Significado de la antiderivada
En general,necesitas saber cómo hallar antiderivadas para el proceso de integración. Para profundizar en la integración, consulta este artículo sobre Integrales.
La antiderivada de una función \(f\) es cualquier función \(F\) tal que \[F'(x)=f(x).\].
Ten en cuenta que las antiderivadas suelen anotarse utilizando la versión en mayúsculas del nombre de la función (es decir, la antiderivada de \(f\) es \(F\), como se muestra en la definición).
Esencialmente, la antiderivada es una función que te da tu función actual como derivada.
Para encontrar una antiderivada, necesitas conocer muy bien las reglas de diferenciación. Para algunos recordatorios sobre las reglas de diferenciación más comunes, consulta estos artículos sobre Reglas de diferenciación y Derivadas de funciones especiales o consulta la tabla que aparece a continuación en "Reglas de la antiderivada".
Por ejemplo, si tienes la función \(f(x)=2x\) y necesitas hallar la antiderivada, debes preguntarte: "¿Qué función daría este resultado como derivada?". Probablemente, a estas alturas, estés lo bastante familiarizado con la búsqueda de derivadas como para saber que \[\frac{d}{dx}(x^2)=2x.\] Por tanto, una antiderivada de \(f(x)=2x\) es \[F(x)=x^2.\].
También puedes reconocer que la función \(F(x)=x^2\) no es la única función que te dará una derivada de \(f(x)=2x\). La función \(F(x)=x^2+5\), por ejemplo, te daría la misma derivada y también es una antiderivada. Como la derivada de cualquier constante es \(0\), hay infinitas antiderivadas de \(f(x)=x^2\) de la forma \[F(x)=x^2+C.\].
Antiderivada vs Integral
A menudo se confunden las antiderivadas y las integrales. Y con razón. Las antiderivadas desempeñan un papel importante en la integración. Pero hay algunas diferencias.
Las integr ales pueden dividirse en dos grupos: integrales indefinidas e integrales definidas.
Las integrales definidas tienen límites llamados límites de integración. El objetivo de una integral definida es hallar el área bajo la curva para un dominio concreto. Por tanto, una integral definida será igual a un único valor. La forma general de una integral definida será algo así como: \[\int_a^b f(x)dx.\].
Las variables \(a\) y \(b\) serán valores del dominio, y estarás hallando el área bajo la curva \(f(x)\) entre esos valores.
La gráfica siguiente muestra un ejemplo de integral definida. La función considerada aquí es \(f(x)=x^2-2\), y la región sombreada representa la integral definida \(\int_{-1}^{1} x^2-2 dx\).
Fig. 1. Ejemplo de región sombreada representada por una integral definida.
Las integralesindefinidasno tienen límites y no se limitan a un intervalo concreto de la gráfica. También deben tener en cuenta el hecho de que cualquier función dada tiene infinitas antiderivadas debido a la posibilidad de que se sume o reste una constante. Para demostrar que hay muchas posibilidades para una antiderivada, normalmente se añade una variable constante \(C\), así
\[\int f(x)dx=F(x)+C.\]
Esto te permite denotar toda la familia de funciones que podrían darte \(f(x)\) tras la diferenciación y que, por tanto, podrían ser antiderivadas.
Para la gráfica de ejemplo mostrada anteriormente de la función \(f(x)=x^2-2\), todas las posibles antiderivadas son \(F(x)=\frac{1}{3}x^3-2x+c\). El valor \(C\) se denomina constante de integración. A continuación se muestran algunas posibles funciones diferentes que podría ser \(F\) cambiando la constante de integración.
Fig. 2. Gráficas de algunas antiderivadas de \(f(x)=x^2-2.\)
Si necesitas ir un paso más allá y resolver \(C\) para encontrar una función antiderivada concreta, consulta el artículo sobre Problemas de valor inicial de antiderivadas.
Fórmula de la antiderivada
Considerando de nuevo que la definición de antiderivada es cualquier función \(F\) que te da tu función \(f\) como resultado de la diferenciación, puedes darte cuenta de que eso significa que no habrá una fórmula para encontrar todas las antiderivadas. En este punto, has aprendido muchas reglas diferentes para diferenciar muchos tipos distintos de funciones (función potencia, funciones trigonométricas, funciones exponenciales, funciones logarítmicas, etc.). Por tanto, si vas a hallar la antiderivada de distintos tipos de funciones, habrá una gran variedad de reglas. Pero la idea general para hallar una antiderivada es invertir los pasos de diferenciación que conoces. En el siguiente apartado encontrarás fórmulas específicas para hallar la antiderivada de funciones comunes.
Propiedades de las antiderivadas
Hay algunas propiedades que pueden facilitar la búsqueda de antiderivadas para algunas funciones. La Regla de la Suma y la Regla de la Diferencia (explicadas en el artículo sobre Reglas de Diferenciación) se aplican tanto a las antiderivadas como a las derivadas.
Recuerda que la diferenciación es lineal, lo que significa que la derivada de una suma de términos es igual a la suma de las derivadas de los términos individuales, y la derivada de una diferencia de términos es igual a la diferencia de las derivadas de los términos individuales.
La integración también es lineal. La antiderivada de la suma de términos múltiples es igual a la suma de las antiderivadas de los términos individuales, y lo mismo se aplica a la \[\int f(x) \pm g(x) dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx=F(x)\pm G(x)+C.\].
La regla de la constante múltiple también se aplica a las antiderivadas. La antiderivada de una función que se multiplica por una constante \(k\) es igual a la constante \(k\) multiplicada por la antiderivada de la función. Esencialmente, puedes "factorizar" una constante de la integral antes de hallar la antiderivada, \[\int k\cdot f(x)dx=k\int f(x)dx=kF(x)+C.\].
Errores a evitar
Como ocurre con la mayoría de las cosas en matemáticas, las reglas que se aplican a la suma y la resta no se aplican en la misma medida a la multiplicación y la división. Así pues, no hay ninguna propiedad que diga que la antiderivada del producto o cociente de dos funciones sea la misma que el producto o cociente de las antiderivadas de las funciones, \[\int f(x)\cdot g(x)dx \neq \int f(x)dx \cdot \int g(x)dx.\].
Encontrar antiderivadas para este tipo de funciones será mucho más complicado. Recuerda que la regla del producto para la diferenciación es: [f(x)\cdot g(x))=f(x)\frac{dg}{dx}+g(x)\frac{df}{dx}].
Así que encontrar antiderivadas de funciones con productos en ellas significa que, o bien se aplicó una regla de la cadena durante la diferenciación, o bien se utilizó la regla del producto. Para abordar antiderivadas como éstas, puedes consultar los artículos sobre Integración por sustitución e Integración por partes.
Reglas de las antiderivadas
Las reglas para hallar antiderivadas suelen ser inversas a las reglas para hallar derivadas. A continuación se muestra una tabla con las reglas comunes de las antiderivadas.
| Regla de diferenciación | Regla de la antiderivada asociada |
| Regla de la constante. \(\dfrac{d}{dx}(C)=0.\) | \(\int 0dx=C.\) |
| La regla de la potencia. \(\dfrac{d}{dx}(x^n)=nx^{n-1}.\) | \(\int x^ndx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C, n \neq -1.\}) |
| La regla exponencial (con \(e\)). \(\dfrac{d}{dx}(e^x)=e^x.\) | \(\int e^xdx=e^x+C.\) |
| La regla exponencial (con cualquier base \(a\)). \(drac{d}{dx}(a^x)=a^x \cdot \ln a.\) | \(\int a^xdx=\dfrac{a^x}{ln a}+C, a \neq 1.\}) |
| La regla del logaritmo natural. \(\dfrac{d}{dx}(\ln x)=\dfrac{1}{x}.\) | \(\int \dfrac{1}{x}dx=\ln |x|+C.\) |
| La regla del seno. \(frac{d}{dx}(sen x)=cos x.|C) | \(\int \cos xdx=\sin x + C.\) |
| La regla del coseno. \(drac {d} {dx}(\cos x)=-\sin x.\) | \(\int \sin xdx=-\cos x +C.\) |
| La regla de la tangente. \(dfrac{d}{dx}(tan x)=-sec^2 x.^) | \(\int \sec^2 xdx=\tan x + C.\) |
| La regla de la cotangente. \(drac{d}{dx}(cot x)=-\csc^2 x.|) | \(\int \csc^2 xdx=-\cot x + C.\) |
| La regla secante. \(drac{d}{dx}(\sec x)=sec x \tan x.\) | \(\int \sec x \tan xdx=\sec x + C.\) |
| La regla de la cosecante. \(drac{d}{dx}(\csc x)=-\csc x \cot x.\) | \(\int \csc x \cot x dx =-\csc x + C.\) |
Tabla 1. Reglas de diferenciación y sus antiderivadas.
Ejemplos de antiderivadas
Veamos algunos ejemplos que utilizan las reglas descritas anteriormente.
Supongamos que te dan una función que describe la velocidad de una partícula, \(f(x)=x^3-10x+8\) donde \(x\) es el tiempo en segundos del movimiento de la partícula. Encuentra todas las funciones de posición posibles para la partícula.
Solución:
En primer lugar, recuerda que la velocidad es la derivada de la posición. Así que para encontrar la función de posición \(F\), necesitas encontrar las antiderivadas de la función de velocidad \(f\) que te dan, \[\int 3x^2-10x+8dx=F(x).\].
Para esta antiderivada, puedes empezar utilizando tanto la regla de la suma como la regla de la constante múltiple para individualizar los términos. Luego puedes utilizar la regla de la potencia en cada término para hallar la antiderivada de cada término individual,
\[\begin{align} \int 3x^2-10x+8dx&=3\int x^2dx-10\int xdx+\int 8dx+C.\&=3\left(\frac{x^3}{3}\right)-10\left(\frac{x^2}{2}\right)+8x+C.\\\\int 3x^2-10x+8dx&=x^3-5x^2+8x+C.\\\end{align}\]
Por tanto, todas las funciones de posición posibles para \(f\) son \[F(x)=x^3-5x^2+8x+C.\].
Tus siguientes pasos a partir de aquí dependerán del tipo de problema que se te pida resolver. Podrían pedirte que hallaras una función de posición concreta haciendo un problema de valor inicial. O puede que te pidan la distancia recorrida por la partícula en un intervalo de tiempo concreto resolviendo un problema de integral definida.
Veamos ahora un ejemplo que demuestra lo importante que es reconocer tus reglas de derivación.
Encuentra todas las posibles antiderivadas \(F\) de la función \(f(x)=\dfrac{5}{4x}\).
Solución:
En primer lugar, utilizarás la regla de la constante múltiple para factorizar los coeficientes tanto del numerador como del denominador. Esto realmente limpia el problema para que sea más fácil reconocer qué regla de la derivada estás buscando, \[F(x)=\int \frac{5}{4x}dx=\frac{5}{4} \int \frac{1}{x}dx.\}].
Si no reconoces inmediatamente qué regla de antidiferenciación aplicar aquí, puedes intentar invertir la Regla de Potencia, ya que suele funcionar cuando la variable tiene exponentes negativos y/o fraccionarios. Pero te encontrarás rápidamente con el problema de obtener \(x^0\) después de sumar 1 a la potencia. Esto es, por supuesto, un problema, ya que \(x^0=1\) y entonces \(x\) ¡desaparecería! Así que piensa en tus reglas de diferenciación para recordar cuándo obtuviste como resultado una derivada de \(\frac{1}{x}\). Ésta es la derivada de \(\ln x\). Así que ahora puedes utilizarla para hallar las antiderivadas,
\F(x) F(x)&=\frac{5}{4} \int \frac{1}{x}dx.\&=\frac{5}{4} (|ln |x|)+C.\\F(x)&=\frac{5}{4} \ln |x| + C, F(x)=\ln |x|^{\frac{5}{4}+C.\l] [end{align}].
El último ejemplo puede ser complicado. Observa que la tabla de antiderivadas anterior no tiene la antiderivada de \(\tan x\). Parece que debería ser una antiderivada bastante sencilla de encontrar, ¿verdad? Pues no es tan sencillo como sus homólogos el seno y el coseno. Requiere conocer sus propiedades trigonométricas y la integración por sustitución.
Halla la antiderivada general de \(f(x)=\tan x\).
Solución:
Como la tangente no es el resultado directo de ninguna de las reglas de diferenciación, tendrás que intentar algo distinto para ella. Empieza por reescribir la tangente utilizando las propiedades trigonométricas que conoces,
\[\int \tan xdx=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx.\]
Esto resulta bastante útil porque la derivada del seno es el coseno y la derivada del coseno es el seno negativo. Utilizarás este hecho para hacer una sustitución \(u\)-. Aquí elegiremos el coseno para \(u\),
\u&=cos x.\\ du&=-\sin xdx.\\\ -du&=\sin xdx.\\fin{align}\]
Ahora haz tu sustitución, |[\int \tan xdx=-\int \frac{1}{u}du.\]
Puedes ver aquí que esto se parece a la regla de la derivada del logaritmo natural:
\int \tan xdx=-int \int \tan xdx&=-\int \frac{1}{u}du.\\int \tan xdx&=-\ln |u| + C.\end{align}\}].
Ahora puedes volver a sustituir u
\π[πint \tan xdx=-\ln |cos x| +C.π]
Resulta que la tangente es una función simple con una antiderivada no tan simple.
Antiderivada de las funciones trigonométricas inversas
Las funciones trigonométricas inversas son una especie de caso extraño en lo que respecta tanto a la diferenciación como a la integración. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas en realidad no parecen estar relacionadas con las propias funciones trigonométricas inversas. Deberías estar atento a las Integrales resultantes de funciones trigonométricas inversas (exploradas aquí con más profundidad). A modo de recordatorio, a continuación se muestra una tabla con las reglas de diferenciación de las funciones trigonométricas inversas y las antiderivadas asociadas:
| Regla de diferenciación | Antiderivada asociada |
| La regla del arcoseno. \(\dfrac{d}{dx}(\sin ^{-1}x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}.\) | \(\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\sin^{-1}x+C.\) |
| La regla del arcocoseno. \(\dfrac{d}{dx}(\cos^{-1}x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}.\) | \(\int \dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\cos^{-1}x+C.\) |
| La regla de la arctangente. \(\dfrac{d}{dx}(\tan^{-1}x)=\dfrac{1}{1+x^2}.\) | \(\int \dfrac{1}{1+x^2}dx=\tan^{-1}x+C.\) |
| La regla arcsecante. \(\dfrac{d}{dx}(\sec^{-1}x)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.\) | \(\int \dfrac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}dx=\sec^{-1}x+C.\) |
| La regla arccosecante. \(\dfrac{d}{dx}(\csc^{-1}x)=\dfrac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.\) | \(\int \dfrac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}dx=\csc^{-1}x+C.\) |
| La regla Arccotangente. \(\dfrac{d}{dx}(\cot^{-1}x)=\dfrac{-1}{1+x^2}.\) | \(\int \dfrac{-1}{1+x^2}dx=\cot^{-1}x+C.\) |
Tabla 2. Reglas de diferenciación de las funciones trigonométricas inversas y sus antiderivadas.
Las antiderivadas de las funciones trigonométricas inversas tienen mucho que ver (pero al menos parecen un poco más relacionadas). A continuación tienes una tabla de las antiderivadas de las funciones trigonométricas inversas. Se obtienen utilizando los métodos Integración por partes e Integración por sustitución:
Tabla 3. Reglas de diferenciación de las funciones trigonométricas inversas y sus antiderivadas.
| Función trigonométrica inversa | Antiderivadas de funciones trigonométricas inversas |
| Antiderivada del arcoseno. | \(\int \sin^{-1}xdx=xsin^{-1} x + \sqrt{1-x^2}+C.\) |
| Antiderivada arcocoseno. | \(\int \cos^-1} xdx=xcos^-1} x - \sqrt{1-x^2}+C.\) |
| Antiderivada arctangente. | \(\int \tan^-1} xdx=xtan^-1} x - \frac{1}{2} \ln |1+x^2|+C.\) |
| Antiderivada arcosecante. | \(\int \sec^{-1} xdx=x\sec^{-1} x - \ln |x+\sqrt{x^2-1}|+C.\) |
| Antiderivada arccosecente. | \(\int \csc^{-1} xdx=xcsc^{-1} x + \ln |x+cuadrado{x^2-1}|+C.\) |
| Antiderivada Arccotangente. | \(\int \cot^{-1} xdx=xcot^{-1}x + \frac{1}{2} \ln |1+x^2|+C.\) |
Quizá te preguntes de dónde salen esas antiderivadas de las funciones trigonométricas inversas. A continuación te explicamos el proceso para hallar la antiderivada de la función arcoseno. El proceso utiliza tanto la integración por partes como la integración por sustitución, así que asegúrate primero de que estás familiarizado con ellas.
Empezaremos con la Integración por partes, lo que significa que nuestra función tendrá que dividirse en dos partes, \[\int \sin^{-1} xdx=\int \sin^{-1} x \cdot 1dx.\].
Ahora recuerda que la integración por partes \[\int udv=uv-\int vdu\] por lo que ahora tenemos que elegir nuestras partes. Una parte se asignará como \(u\) y la otra como \(dv\). Utilizando la regla empírica LIATE (descrita en el artículo de integración por partes), elegiremos \(u\) para que sea la función trigonométrica inversa. Una vez asignados \(u\) y \(dv\), también tenemos que encontrar \(du\) y \(v\), así
| \(u=sin^{-1}x.\\) | \(v=x.\) |
| \(du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx.\) | \(dv=1dx) |
Ahora podemos sustituir cada parte
\[\iniciar{alinear} \int udv&=uv-\int vdu.\\int \sin^{-1}x \cdot 1dx&=x\sin^{-1} x - \int \frac{x}{sqrt{1-x^2}}dx.\ fin{align}\}].
Ahora tenemos que centrarnos en el último término, que es una nueva integral. Para hallar la antiderivada de la segunda integral, tendremos que utilizar la integración por sustitución, también conocida como \(u\)-sustitución. Para ello, elegiremos que
\u&=1-x^2. du&=-2xdx. -frac{1}{2}du&=xdx. fin]].
A continuación, seguiremos donde lo dejamos, pero centrándonos en integrar el último término utilizando la sustitución \(u\)-elegida anteriormente,
\[\iniciar{alignar} \int \sin^{-1}xdx&=xsin^{-1}x-\int \frac{x} {\sqrt{1-x^2}}dx.\&=x\sin^{-1}x-\int -\frac{1}{2} \&=xsin^{-1}x+ \frac{1}{2}int \frac{1}{sqrt{u}du.\\&=xsin^{-1}x+ \frac{1}{2}int u^-\frac{1}{2}du.\\\\finalign}]
En este punto, para integrar, necesitamos utilizar la regla de la potencia,
\[\iniciar \int \sin^{-1}xdx&=x\sin^{-1}x+\frac{1}{2} \left(\frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}\right)+C.\\ xml-ph-0000@deepl.internal &=x\sin^{-1}x+u^{\frac{1}{2}}+C.\\ xml-ph-0001@deepl.internal &=x\sin^{-1}x+\sqrt{u}+C.\\ xml-ph-0002@deepl.internal \end{align}\]
Y, por último, sustituye de nuevo por \(u\) para obtener tu antiderivada final, \[\int \sin^{-1}xdx=xsin^{-1}x+qtrt{1-x^2}+C.\].
Los pasos para hallar las antiderivadas de las otras funciones trigonométricas inversas serán similares, y tendrás que emplear estrategias parecidas.
Antiderivadas - Puntos clave
- Una antiderivada de \(f\) es una función \(F\) tal que \(F'(x)=f(x).\) Es una forma de "deshacer" la diferenciación.
- Hay infinitas antiderivadas para cualquier función dada, por lo que la familia de funciones antiderivadas se escribirá a menudo como una integral indefinida definida como \(\int f(x)=F(x)+C\).
- No existe una única fórmula para hallar la antiderivada. Hay muchas fórmulas básicas para hallar antiderivadas de funciones comunes basadas en reglas de diferenciación comunes.
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