Dado que el lanzamiento de un cohete implica dos cantidades relacionadas que cambian con el tiempo, la respuesta a esta pregunta se basa en una aplicación de las derivadas conocidas como tasas relacionadas. En este artículo descubrirás algunas de las muchas aplicaciones de las derivadas y cómo se utilizan en cálculo, ingeniería y economía.
Aplicaciones de las derivadas en el cálculo
Ser capaz de resolver el problema de las tasas relacionadas comentado anteriormente es sólo una de las muchas aplicaciones de las derivadas que aprenderás en cálculo. También aprenderás cómo se utilizan las derivadas para:
encontrarrectas tangentes y normales a una curva, y
encontrar valores máximos y mínimos .
Luego podrás utilizar estas técnicas para resolver problemas de optimización , como maximizar un área o maximizar los ingresos.
Además, aprenderás cómo se pueden aplicar las derivadas para:
resolver límites complicados
hacer aproximaciones, y
obtener gráficas precisas.
Aplicación de las Derivadas: Líneas tangentes y normales
Las derivadas son herramientas muy útiles para hallar las ecuaciones de las rectas tangentes y normales a una curva.
Fig. 1. Utilización de la derivada para hallar las rectas tangente y normal a una curva.
Líneas tangentes a una curva
La recta tangente a una curva es la que toca a la curva en un solo punto y cuya pendiente es la derivada de la curva en ese punto.
Para hallar la recta tangente a una curva en un punto dado (como en la gráfica anterior), sigue estos pasos:
- Dados un punto y una curva, halla la pendiente tomando la derivada de la curva dada.
- El punto dado es \[ (2, 4) \]
- La curva dada es: \[ f(x) = x^{2} \]
- La derivada de la curva dada es \[ f'(x) = 2x \]
- Introduce la coordenada \( x \) del punto dado en la derivada para hallar la pendiente.\[ \begin{align}f'(x) &= 2x \\f'(2) &= 2(2) \\\\= 4 \\= m.\end{align} \]
- Utiliza la forma punto-pendiente de una recta para escribir la ecuación.[ \begin{align}y-y_1 &= m(x-x_1) \\y-4 &= 4(x-2) \y &= 4(x-2)+4 \\= 4x - 4.\end{align} \]
Para más información y ejemplos sobre este tema, consulta nuestro artículo sobre Líneas tangentes.
Líneas normales a una curva
La recta normal a una curva es perpendicular a la recta tangente. Utiliza la recta tangente a la curva para hallar la recta normal a la curva. La pendiente de la recta normal es
\[ n = - \frac{1}{m} = - \frac{1}{f'(x)}. \]
Para hallar la recta normal a una curva en un punto dado (como en la gráfica anterior), sigue estos pasos:
- Halla la recta tangente a la curva en el punto dado, como en el ejemplo anterior.
- La recta tangente a la curva es \[ y = 4(x-2)+4 \]
- Utiliza la pendiente de la recta tangente para hallar la pendiente de la recta normal.
- La pendiente de la recta normal a la curva es:\[ \begin{align}n &= - \frac{1}{m} \n &= - \frac{1}{4} end{align} \]
- Utiliza la forma punto-pendiente de una recta para escribir la ecuación.[ \begin{align}y-y_1 &= n(x-x_1) \y-4 &= - \frac{1}{4}(x-2) \y &= - \frac{1}{4} (x-2)+4 fin{align} \]
Aplicación de Derivados: Tipos relacionados
En muchos escenarios del mundo real, las cantidades relacionadas cambian con respecto al tiempo. Si vuelves a pensar en el lanzamiento del cohete, puedes decir que la velocidad de cambio de la altura del cohete, \( h \), está relacionada con la velocidad de cambio del ángulo de tu cámara con el suelo, \( \theta \). En este caso, se dice que \( \frac{dg}{dt} \) y \( \frac{d\theta}{dt} \) son tasas relacionadas porque \( h \) está relacionada con \( \theta \).
En los problemas de tasas relacionadas, estudias cantidades relacionadas que cambian con respecto al tiempo y aprendes a calcular una tasa de cambio si te dan otra tasa de cambio.
Estrategia: Resolver problemas de tasas relacionadas
- Asigna símbolos a todas las variables del problema y esboza el problema si tiene sentido.
- En términos de las variables que acabas de asignar, enuncia la información que se te da y la tasa de cambio que necesitas hallar.
- Encuentra una ecuación que relacione tus variables.
- Utilizando la regla de la cadena, toma la derivada de esta ecuación con respecto a la variable independiente.
- La nueva ecuación relaciona las derivadas.
- Sustituye todos los valores conocidos en la derivada y resuelve la tasa de cambio que necesitabas encontrar.
Es fundamental que no sustituyas los valores conocidos demasiado pronto. Si haces la sustitución de los valores conocidos antes de tomar la derivada, entonces las cantidades sustituidas se comportarán como constantes y sus derivadas no aparecerán en la nueva ecuación que halles en el paso 4.
Hay muchos artículos diferentes sobre tasas relacionadas, como Tasas de cambio, Movimiento a lo largo de una línea, Cambio de población y Cambios en costes e ingresos.
Aplicación de las Derivadas: Aproximaciones lineales y diferenciales
Cuando se trata de funciones, las funciones lineales son unas de las más fáciles con las que trabajar. Por tanto, te proporcionan una herramienta útil para aproximar los valores de otras funciones. Te basarás en esta aplicación de las derivadas también más adelante, cuando aprendas a aproximar funciones utilizando polinomios de grado superior al estudiar secuencias y series, concretamente cuando estudies series de potencias.
Los conceptos clave y las ecuaciones de aproximaciones lineales y diferenciales son:
Una función diferenciable, \( y = f(x) \), puede aproximarse en un punto, \( a \), mediante la función de aproximación lineal:
\[ L(x) = f(a) + f'(a)(x-a). \]
Dada una función, \( y = f(x) \), si, en lugar de sustituir \( x \) por \( a \), sustituyes \( x \) por \( a + dx \), entonces la diferencial:
\[ dy = f'(x)dx \]
es una aproximación al cambio en \( y \).
Sin embargo, el cambio real en \( y \) es:
\[ \Delta y = f(a+dx) - f(a). \]
Un error de medición de \( dx \) puede provocar un error en la cantidad de \( f(x) \). Esto se conoce como error propagado, que se estima mediante:
\[ dy \approx f'(x)dx \]
Para estimar el error relativo de una cantidad ( \( q \) ) se utiliza:\[ \frac{ \Delta q}{q}. \]
Para más información sobre este tema, consulta nuestro artículo sobre la Fórmula de la Cantidad de Cambio.
Aplicación de las Derivadas: Máximos y Mínimos
Una de las aplicaciones más comunes de las derivadas es encontrar los valores extremos, o máximos y mínimos, de una función. Una vez que aprendas los métodos para encontrar los valores extremos (también conocidos colectivamente como extremos), podrás aplicar estos métodos a aplicaciones posteriores de las derivadas, como la creación de gráficos precisos y la resolución de problemas de optimización.
Los términos y conceptos clave de máximos y mínimos son:
Términos
Extremo absoluto
Si una función, \( f \), tiene un máximo absoluto o un mínimo absoluto en el punto \( c \), entonces se dice que la función \( f \) tiene un extremo absoluto en \( c \).
Máximo absoluto / Máximo absoluto
Si \( f(c) \geq f(x) \) para todo \( x \) en el dominio de \( f \), se dice que \( f \) tiene un máximo absoluto en \( c \).
Mínimo absoluto / mínimo absoluto
Si \( f(c) \leq f(x) \) para todo \( x \) en el dominio de \( f \), se dice que \( f \) tiene un mínimo absoluto en \( c \).
Extremo local
Si una función, \( f \), tiene un máximo o mínimo local en el punto \( c \), entonces se dice que \( f \) tiene un extremo local en \( c \).
Máximo local / Máximo local
Si existe un intervalo, \( I \), tal que \( f(c) \geq f(x) \) para todo \( x \) en \( I \), se dice que \( f \) tiene un máximo local en \( c \).
Mínimo local / mínimo local
Si existe un intervalo, \( I \), tal que \( f(c) \leq f(x) \) para todo \( x \) en \( I \), se dice que \( f \) tiene un mínimo local en \( c \).
Punto crítico
Según las definiciones anteriores, el punto \( (c, f(c)) \) es un punto crítico de la función \( f \).
Número crítico
Si \( f'(c) = 0 \) o \( f'(c) \) es indefinido, se dice que \( c \) es un número crítico de la función \( f \).
Teorema del valor extremo
Si la función \( f \) es continua en un intervalo finito y cerrado, entonces \( f \) tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
Teorema de Fermat
Si una función \( f \) tiene un extremo local en el punto \( c \), entonces \( c \) es un punto crítico de \( f \).
Conceptos
Es posible que una función tenga
tanto un máximo absoluto como un mínimo absoluto
sólo un extremo absoluto, o
no tener ningún extremo absoluto.
Si una función tiene un extremo local, el punto donde se produce debe ser un punto crítico.
Sin embargo, una función no tiene por qué tener un extremo local en un punto crítico.
Una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado tiene un máximo absoluto y un mínimo absoluto.
Cada extremo se produce en un punto crítico o en un punto final de la función.
Para más información sobre máximos y mínimos, consulta Problemas de Máximos y Mínimos y Máximos y Mínimos Absolutos.
Aplicación de las Derivadas: El Teorema del Valor Medio
Uno de los teoremas más importantes del cálculo, y una aplicación de las derivadas, es el Teorema del Valor Medio (a veces abreviado como MVT). Al igual que la aplicación anterior, el MVT es algo que utilizarás y desarrollarás más adelante.
Los conceptos clave del teorema del valor medio son:
Definición de la MVT
Si una función, \( f \), es continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \) y diferenciable en el intervalo abierto \( (a, b) \), entonces existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a, b) \) tal que
\[ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \]
El caso especial del MVT conocido como teorema de Rolle
Si una función, \( f \), es continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \), diferenciable en el intervalo abierto \( (a, b) \), y si \( f(a) = f(b) \), entonces existe un punto \( c \) en el intervalo abierto \( (a, b) \) tal que
\[ f'(c) = 0 \]
Los corolarios del teorema del valor medio
Funciones con derivada cero
Sea \( f \) diferenciable en un intervalo \( I \). Si \( f'(x) = 0 \) para todo \( x \) en \( I \), entonces \( f'(x) = \) constante para todo \( x \) en \( I \).
Teorema de la diferencia constante
Si las funciones f) y g) son diferenciables en un intervalo I, y f'(x) = g'(x) es constante para todo x en I, entonces f(x) = g(x) + C para alguna constante C.
Funciones crecientes y decrecientes
Sea \( f \) continua en el intervalo cerrado \( [a, b] \) y diferenciable en el intervalo abierto \( (a, b) \).
Si \( f'(x) > 0 \) para todo \( x \) en \( (a, b) \), entonces \( f \) es una función creciente sobre \( [a, b] \).
Si \( f'(x) < 0 \) para todo \( x \) en \( (a, b) \), entonces \( f \) es una función decreciente sobre \( [a, b] \).
Aplicación de las derivadas: Las derivadas y la forma de una gráfica
Partiendo de las aplicaciones de las derivadas para encontrar máximos y mínimos y del teorema del valor medio, ahora puedes determinar si un punto crítico de una función corresponde a un valor extremo local. Pero, ¿qué ocurre con la forma de la gráfica de la función? Pues bien, esta aplicación te enseña a utilizar las derivadas primera y segunda de una función para determinar la forma de su gráfica.
Los conceptos clave de las derivadas y la forma de una gráfica son:
la prueba de la primera derivada
Supongamos que una función, \( f \), es continua sobre un intervalo \( I \) y contiene un punto crítico, \( c \). Si \( f \) es diferenciable en \( I \), excepto posiblemente en \( c \), entonces \( f(c) \) cumple una de las siguientes condiciones:
Si \( f' \) cambia de signo de positivo cuando \( x < c \) a negativo cuando \( x > c \), entonces \( f(c) \) es un máximo local de \( f \).
Si \( f' \) cambia de signo de negativo cuando \( x < c \) a positivo cuando \( x > c \), entonces \( f(c) \) es un mínimo local de \( f \).
Si \( f' \) tiene el mismo signo para \( x < c \) y \( x > c \), entonces \( f(c) \) no es ni un máximo ni un mínimo local de \( f \).
Es un método para hallar el máximo absoluto y el mínimo absoluto de una función continua definida sobre un intervalo cerrado. Consiste en lo siguiente
Encontrar todos los extremos relativos de la función.
Evalúa la función en los valores extremos de su dominio.
Ordena los resultados de los pasos 1 y 2 de menor a mayor.
El menor valor es el mínimo global.
El mayor valor es el máximo global.
prueba de concavidad
Si \( f \) es una función doblemente diferenciable en un intervalo \( I \), entonces:
Si \( f''(x) > 0 \) para todo \( x \) en \( I \), entonces \( f \) es cóncava hacia arriba sobre \( I \).
Si \( f''(x) < 0 \) para todo \( x \) en \( I \), entonces \( f \) es cóncava hacia abajo sobre \( I \).
la prueba de la segunda derivada
Supongamos que \( f'(c) = 0 \), \( f'' \) es continua sobre un intervalo que contiene \( c \).
Si \( f''(c) > 0 \), entonces \( f \) tiene un mínimo local en \( c \).
Si \( f''(c) < 0 \), entonces \( f \) tiene un máximo local en \( c \).
Si \( f''(c) = 0 \), entonces la prueba no es concluyente.
Debes evaluar \( f'(x) \) en un punto de prueba \( x \) a la izquierda de \( c \) y en un punto de prueba \( x \) a la derecha de \( c \) para determinar si \( f \) tiene un extremo local en \( c \).
Aplicación de las derivadas: Límites en el infinito y asíntotas
Una vez que comprendas las derivadas y la forma de una gráfica, puedes basarte en esos conocimientos para representar gráficamente una función definida en un dominio no limitado. Para ello, necesitas conocer el comportamiento de la función como \( x \a \pm \infty \). Esta aplicación de las derivadas define los límites en el infinito y explica cómo afectan los límites infinitos a la gráfica de una función.
Los términos y conceptos clave de los límites en el infinito y las asíntotas son:
Términos
comportamiento final
El comportamiento de la función, \( f(x) \), como \( x\to \pm \infty \).
asíntota horizontal
Si \( \lim_{x \a \pm \infty} f(x) = L \), entonces \( y = L \) es una asíntota horizontal de la función \( f(x) \).
Límite infinito en el infinito
La función \( f(x) \) se hace cada vez más grande a medida que \( x \) también se hace cada vez más grande.
límite en el infinito
El valor límite, si existe, de una función \( f(x) \) a medida \( x \to \pm \infty \).
asíntota oblicua
La recta \( y = mx + b \), si \( f(x) \) se aproxima a ella, según \( x \a \pm \infty \) es una asíntota oblicua de la función \( f(x) \).
Conceptos
El límite de la función \( f(x) \) es \( L \) a medida que \( x \a \pm \infty \) si los valores de \( f(x) \) se acercan cada vez más a \( L \) a medida que \( x \) se hace cada vez mayor.
El límite de la función \( f(x) \) es \( \infty \) como \( x \a \infty \) si \( f(x) \) se hace cada vez mayor a medida que \( x \) también se hace cada vez mayor.
El límite de la función \( f(x) \) es \( - \infty \) como \( x \to \infty \) si \( f(x) < 0 \) y \( \left| f(x) \right| \) se hace cada vez mayor a medida que \( x \) también se hace cada vez mayor.
Para la función polinómica \( P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ puntos + a_{1}x + a_{0} \), donde \( a_{n} \neq 0 \), el comportamiento final viene determinado por el término principal: \( a_{n}x^{n} \).
Si \( n \neq 0 \), entonces \( P(x) \) se aproxima a \( \pm \infty \) en cada extremo de la función.
Para la función racional \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \), el comportamiento del extremo viene determinado por la relación entre el grado de \( p(x) \) y el grado de \( q(x) \).
Si el grado de \( p(x) \) es menor que el grado de \( q(x) \), entonces la recta \( y = 0 \) es una asíntota horizontal de la función racional.
Si el grado de \( p(x) \) es igual al grado de \( q(x) \), entonces la recta \( y = \frac{a_{n}}{b_{n}} \), donde \( a_{n} \) es el coeficiente principal de \( p(x) \) y \( b_{n} \) es el coeficiente principal de \( q(x) \), es una asíntota horizontal de la función racional.
Si el grado de \( p(x) \) es mayor que el grado de \( q(x) \), entonces la función \( f(x) \) se aproxima a \( \infty \) o a \( - \infty \) en cada extremo.
Aplicación de las derivadas: Problemas de Optimización
Siguiendo con las aplicaciones de las derivadas que has aprendido hasta ahora, los problemas de optimización son una de las aplicaciones más comunes en cálculo. Se definen como problemas de cálculo en los que quieres resolver un valor máximo o mínimo de una función.
Estrategia: Resolver problemas de optimización
- Introduce todas las variables.
- Si tiene sentido, dibuja una figura y etiqueta todas tus variables.
- Determina qué cantidad (cuál de tus variables del paso 1) necesitas maximizar o minimizar.
- Determina para qué intervalo de valores de las otras variables (si se puede determinar en este momento) necesitas maximizar o minimizar tu cantidad.
- Escribe una fórmula para la cantidad que necesitas maximizar o minimizar en función de tus variables.
- Lo más probable es que esta fórmula incluya más de una variable.
- Escribe las ecuaciones que necesites para relacionar las variables independientes en la fórmula del paso 3.
- Utiliza estas ecuaciones para escribir la cantidad a maximizar o minimizar como función de una variable.
- Identifica el dominio de consideración de la función en el paso 4.
- Asegúrate de considerar el problema físico a resolver.
- Localiza el valor máximo o mínimo de la función del paso 4.
- Este paso suele implicar la búsqueda de puntos críticos y la evaluación de una función en los puntos extremos.
Aplicación de las derivadas: Regla de L'Hôpital
La Regla de L' Hôpital, una potente herramienta para evaluar límites, es otra aplicación de las derivadas en cálculo. Esta aplicación utiliza las derivadas para calcular límites que, de otro modo, sería imposible encontrar. Estos límites se encuentran en lo que se denomina formas indeterminadas.
Los términos y conceptos clave de la Regla de L' Hôpital son:
Términos
Al evaluar un límite, las formas \[ \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, \ 0 \cdot \infty, \ \infty - \infty, \ 0^{0}, \ \infty^{0}, \mbox{ y 1^\infty} \] se consideran formas indeterminadas porque necesitas analizar más a fondo (es decir, utilizando la regla de L'Hôpital) si el límite existe y, en caso afirmativo, cuál es el valor del límite.
Regla de L'Hôpital
Si dos funciones, \( f(x) \) y \( g(x) \), son funciones diferenciables en un intervalo \( a \), excepto posiblemente en \( a \), y \[ \lim_x \a} f(x) = 0 = \lim_x \a} g(x) \] o \[ \lim_x \a} f(x) \mbox{ y } \son infinitas. \Entonces el límite entre f'(x) y g'(x) existe o es infinito.
Conceptos
Puedes utilizar la regla de L'Hôpital para evaluar el límite de un cociente cuando está en cualquiera de las formas indeterminadas \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} \).
También puedes utilizar la regla de L'Hôpital en las demás formas indeterminadas si puedes reescribirlas en términos de un límite que incluya un cociente cuando esté en cualquiera de las formas indeterminadas \( \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty} \).
Aplicación de las derivadas: Método de Newton
En muchas aplicaciones de las matemáticas, necesitas encontrar los ceros de las funciones. Por desgracia, suele ser muy difícil -si no imposible- calcular explícitamente los ceros de estas funciones. El método de Newton salva el día en estas situaciones porque es una técnica eficaz para aproximar los ceros de las funciones.
Los términos y conceptos clave del método de Newton son:
Términos
proceso iterativo
Proceso en el que se genera una lista de números como \[ x_{0}, x_{1}, x_{2}, \ldots \] empezando con un número \( x_{0} \) y definiendo después \[ x_{n} = F \left( x_{n-1} \right) \] para \( n \neq 1 \).
Método de Newton
Método de aproximación a las raíces de \( f(x) = 0 \). Utiliza una conjetura inicial de \( x_{0} \). Cada aproximación posterior se define mediante la ecuación \[ x_{n} = x_{n-1} - \frac{f(x_{n-1})}{f'(x_{n-1})}. \].
Conceptos
El método de Newton aproxima las raíces de \( f(x) = 0 \) partiendo de una aproximación inicial de \( x_{0} \). A partir de ahí, utiliza rectas tangentes a la gráfica de \( f(x) \) para crear una secuencia de aproximaciones \( x_1, x_2, x_3, \ldots \).
Fallos del método de Newton:
Este método falla cuando la lista de números \( x_1, x_2, x_3, \ldots \) no se aproxima a un valor finito, o bien
cuando se aproxima a un valor distinto de la raíz que buscas.
Cualquier proceso en el que se genere una lista de números \( x_1, x_2, x_3, \ldots \) definiendo un número inicial \( x_{0} \) y definiendo los números siguientes mediante la ecuación \[ x_{n} = F \left( x_{n-1} \right) \] para \( n \neq 1 \) es un proceso iterativo.
El método de Newton es un ejemplo de proceso iterativo, en el que la función \[ F(x) = x - \left[ \frac{f(x)}{f'(x)} \right] \] para una función dada de \( f(x) \).
Aplicación de las derivadas: Antiderivadas
Después de haber repasado todas las aplicaciones de las derivadas anteriores, puede que ahora te preguntes: ¿qué pasa si le damos la vuelta al proceso de la derivada? ¿Qué pasa si tengo una función \( f(x) \) y necesito encontrar una función cuya derivada sea \( f(x) \)? ¿Qué aplicación tiene esto?
Para responder a estas preguntas, primero debes definir las antiderivadas.
Una antiderivada de una función \( f \) es una función cuya derivada es \( f \).
Uno de los muchos ejemplos en los que te interesaría una antiderivada de una función es el estudio del movimiento.
Los términos y conceptos clave de las anti derivadas son:
Términos
antiderivada
Una función \( F(x) \) tal que \( F'(x) = f(x) \) para todo \( x \) en el dominio de \( f \) es una antiderivada de \( f \).
La antiderivada más general de una función \( f(x) \) es la integral indefinida de \( f \). La notación \[ \int f(x) dx \] denota la integral indefinida de \( f(x) \).
problema de valor inicial
Problema que requiere encontrar una función \( y \) que satisfaga la ecuación diferencial \[ \frac{dy}{dx} = f(x) \] junto con la condición inicial de \[ y(x_{0}) = y_{0}. \].
Conceptos
Si la función \( F \) es antiderivada de otra función \( f \), entonces toda antiderivada de \( f \) es de la forma \[ F(x) + C \] para alguna constante \( C \).
Resolver el problema de valor inicial \[ \frac{dy}{dx} = f(x), \mbox{ con la condición inicial } y(x_{0}) = y_{0} |0}] requiere que
encontrar primero el conjunto de antiderivadas de \( f \) y luego
buscar la antiderivada concreta que también satisfaga la condición inicial.
Aplicaciones de las derivadas en ingeniería
Las aplicaciones de las derivadas en ingeniería son realmente muy amplias. Para tocar el tema, primero debes comprender que hay muchos tipos de ingeniería. Por nombrar algunos;
Ingeniería Mecánica
Ingeniería Civil
Ingeniería Industrial
Ingeniería Eléctrica
Ingeniería Aeroespacial
Ingeniería Química
Ingeniería Informática
\( \vdots \)
Todos estos campos de la ingeniería utilizan el cálculo. Todas ellas utilizan aplicaciones de las derivadas a su manera, para resolver sus problemas.
Un ejemplo común a varias disciplinas de la ingeniería es el uso de las derivadas para estudiar las fuerzas que actúan sobre un objeto. Por ejemplo,
Los Ingenieros Mecánicos podrían estudiar las fuerzas que sobre una máquina (o incluso dentro de la máquina).
Los Ingenieros Civiles podrían estudiar las fuerzas que actúan sobre un puente.
Los Ingenieros Industriales podrían estudiar las fuerzas que actúan sobre una planta.
Los Ingenieros Aeroespaciales podrían estudiar las fuerzas que actúan sobre un cohete.
Y así sucesivamente.
En todos los casos, para estudiar las fuerzas que actúan sobre distintos objetos, o en distintas situaciones, el ingeniero necesita utilizar aplicaciones de las derivadas (y mucho más).
Aplicaciones de los derivados en economía
¡Incluso el sector financiero necesita utilizar el cálculo! Las aplicaciones de los derivados se utilizan en economía para determinar y optimizar
la oferta y la demanda
beneficios y costes, e
ingresos y pérdidas.
Aplicaciones de los derivados: Ejemplos
Lanzamiento de un cohete - Ejemplo de tarifas relacionadas
Tu cámara está situada a \( 4000ft \) de la plataforma de lanzamiento de un cohete. El cohete se lanza, y cuando alcanza una altitud de \( 1500ft \) su velocidad es \( 500ft/s \). ¿A qué velocidad debe cambiar el ángulo de tu cámara con respecto al suelo para que pueda mantener a la vista el cohete mientras realiza su vuelo?
Solución:
- Esboza el problema.
Tu cámara está a \( 4000ft \) de la plataforma de lanzamiento de un cohete. Los dos índices relacionados -el ángulo de tu cámara \( (\theta) \) y la altura \( (h) \) del cohete- están cambiando con respecto al tiempo \( (t) \).- Aquí, \( \theta \) es el ángulo entre el objetivo de tu cámara y el suelo y \( h \) es la altura del cohete sobre el suelo.
- Aclara qué es exactamente lo que intentas averiguar.
- El problema te pide que encuentres la velocidad de cambio del ángulo de tu cámara respecto al suelo cuando el cohete está a \( 1500ft \) del suelo. Ambas variables cambian con respecto al tiempo.
- Esto significa que tienes que encontrar \( \frac{d \theta}{dt} \) cuando \( h = 1500ft \). También sabes que la velocidad del cohete en ese momento es \( \frac{dh}{dt} = 500ft/s \).
- Determina qué ecuación relaciona las dos cantidades \( h \) y \( \theta \).
- Volviendo a tu imagen del paso \( 1 \), podrías pensar en utilizar una ecuación trigonométrica. ¿Qué relaciona los lados opuestos y adyacentes de un triángulo rectángulo? ¡La función \( \tan \)! Así que tienes:\[ \tan(\theta) = \frac{h}{4000} .\]
- Reorganizando para resolver \( h \) se obtiene:\[ h = 4000\tan(\theta). \]
- Diferéncialo para obtener:\frac{dh}{dt} = 4000\sec^{2}(\theta)\frac{d\theta}{dt} .\]
- Halla \( \frac{d\theta}{dt} \) cuando \( h = 1500ft \).
- Para hallar \( \frac{d \theta}{dt} \), primero tienes que hallar \(\sec^{2} (\theta) \). ¿Cómo puedes hacerlo?
- Volviendo a la trigonometría, sabes que \( \sec(\theta) = \frac{texto}{hipotenusa}}{{texto}{adyacente}}. \).
- Y, por lo dado en este problema, sabes que \( \text{adyacente} = 4000ft \) y \( \text{opuesto} = h = 1500ft \).
- Por tanto, puedes utilizar el teorema de Pitágoras para resolver la \( \text{hypotenuse} \).\[ \begin{align}a^{2}+b^{2} &= c^{2} \\(4000)^{2}+(1500)^{2} &= (\text{hipotenusa})^{2} \\\text{hypotenuse} &= 500 \qrt{73}ft.\end{align} \]
- Por lo tanto, cuando ( h = 1500ft), ( \sec^{2} ( \theta ) \) es:\[ \begin{align}\sec^{2}(\theta) &= \left( \frac{text{hypotenuse}}{text{adjacent}} \right)^{2} \\&= izquierda( \frac {500 \sqrt{73}}{4000} \derecha)^{2} \\&= \frac{73}{64}.\end{align} \]
- Introduce los valores de \( \sec^{2}(\theta) \) y \( \frac{dh}{dt} \) en la función que encontraste en el paso 4 y resuelve para \( \frac{d \theta}{dt} \).\[ \begin{align}\frac{dh}{dt} &= 4000\sec^{2}(\theta)\frac{d\theta}{dt} \\500 &= 4000 \ft( \frac{73}{64} \right) \frac{d\theta}{dt} \\\frac{d\theta}{dt} &= \frac{8}{73}.\end{align} \]
- Para hallar \( \frac{d \theta}{dt} \), primero tienes que hallar \(\sec^{2} (\theta) \). ¿Cómo puedes hacerlo?
- Por tanto, la velocidad a la que debe cambiar el ángulo de tu cámara con respecto al suelo para que pueda mantener el cohete a la vista mientras realiza su vuelo es:\frac{d\theta}{dt} = \frac{8}{73} rad/s. \frac{8}{73} rad/s.]
Aplicación de ingeniería - Ejemplo de optimización
Eres ingeniero agrónomo y necesitas vallar un área rectangular de unas tierras de cultivo. Un lado del espacio está bloqueado por una pared de roca, así que sólo necesitas vallar tres lados. Dado que sólo tienes \( 1000ft \) de vallado, ¿cuáles son las dimensiones que te permitirían vallar la superficie máxima? ¿Cuál es la superficie máxima?
Determina las dimensiones \( x \) y \( y \) que maximizarán la superficie de la finca utilizando \( 1000ft \) de vallado.
Solución:
- Sea \( x \) la longitud de los lados de la finca que discurren perpendiculares a la pared rocosa, y sea \( y \) la longitud del lado de la finca que discurre paralelo a la pared rocosa. Entonces el área de la granja viene dada por la ecuación del área de un rectángulo:\[ A = x \cdot y. \]
- Como quieres hallar el área máxima posible dada la restricción de \( 1000 pies \) de vallado para rodear el perímetro de la granja, necesitas una ecuación para el perímetro del espacio rectangular.
- No olvides que la valla sólo tiene que rodear \( 3 \) de los \( 4 \) lados. Así pues, tu ecuación de restricción es:\[ 2x + y = 1000. \]
- Ahora quieres resolver esta ecuación para \( y \) de modo que puedas reescribir la ecuación del área sólo en términos de \( x \):\[ y = 1000 - 2x. \]
- Reescribiendo la ecuación del área, obtienes:\[ \begin{align}A &= x \cdot y \A &= x \cdot (1000 - 2x) \A &= 1000x - 2x^{2}.\end{align} \]
- Antes de lanzarte a maximizar el área, tienes que determinar cuál es tu dominio.
- En primer lugar, sabes que las longitudes de los lados de tu finca deben ser positivas, es decir, \( x \) y \( y \) no pueden ser números negativos.
- Como \( y = 1000 - 2x \), y necesitas \( x > 0 \) y \( y > 0 \), cuando resuelvas \( x \), obtendrás:\[ x = \frac{1000 - y}{2}. \]
- Minimizando \( y \), es decir, si \( y = 1 \), sabes que:\[ x < 500. \]
- Por tanto, necesitas determinar el valor máximo de \( A(x) \) para \( x \) en el intervalo abierto de \( (0, 500) \).
- Sin embargo, no sabes que una función tenga necesariamente un valor máximo en un intervalo abierto, pero sí sabes que una función tiene un valor máximo (y mínimo) en un intervalo cerrado. Por tanto, debes considerar la función área \( A(x) = 1000x - 2x^{2} \) sobre el intervalo cerrado de \( [0, 500] \).
- En primer lugar, sabes que las longitudes de los lados de tu finca deben ser positivas, es decir, \( x \) y \( y \) no pueden ser números negativos.
- Halla el área máxima posible de la finca maximizando \( A(x) = 1000x - 2x^{2} \) en el intervalo cerrado de \( [0, 500] \).
- Como \( A(x) \) es una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, sabes que, por el teorema del valor extremo, tendrá valores máximos y mínimos. Estos valores extremos se dan en los puntos extremos y en cualquier punto crítico.
- En los puntos extremos, sabes que \( A(x) = 0 \).
- Como el área debe ser positiva para todos los valores de \( x \) en el intervalo abierto de \( (0, 500) \), el máximo debe darse en un punto crítico. Para hallar los puntos críticos, debes tomar la primera derivada de A(x), hacerla igual a cero y resolver para x.[ \begin{align}A(x) &= 1000x - 2x^2} \\A'(x) &= 1000 - 4x \0 &= 1000 - 4x \x &= 250.\end{align} \]
- El único punto crítico es \( x = 250 \). Por tanto, el área máxima debe darse cuando \( x = 250 \).
- Introduciendo este valor en tu ecuación del perímetro, obtienes el valor \( y \)de este punto crítico:\[ \begin{align}y &= 1000 - 2x \\y &= 1000 - 2(250) \y &= 500.\end{align} \]
- Por tanto, para maximizar la superficie de la finca, \( x = 250ft \) y \( y = 500ft \). El área es \( 125000ft^{2} \). El gráfico siguiente lo visualiza.
- Como \( A(x) \) es una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, sabes que, por el teorema del valor extremo, tendrá valores máximos y mínimos. Estos valores extremos se dan en los puntos extremos y en cualquier punto crítico.
Para maximizar la superficie de la finca, tienes que encontrar el valor máximo de \( A(x) = 1000x - 2x^{2} \).
Aplicación Económica - Ejemplo de Optimización
Eres el Director Financiero de una empresa de alquiler de coches. Has descubierto que si cobras a tus clientes \( p \) dólares al día por alquilar un coche, donde \( 20 < p < 100 \), el número de coches \( n \) que tu empresa alquila al día puede modelizarse mediante la función lineal
\[ n(p) = 600 - 6p. \]
Si la empresa cobra \( 20 $ \) o menos al día, alquilará todos sus coches. Si la empresa cobra \( 100 $ \) al día o más, no alquilará ningún coche.
¿Cuánto debes decir a los propietarios de la empresa que alquilen los coches para maximizar los ingresos?
Solución:
- Sea \( p \) el precio cobrado por coche de alquiler al día. Sea \( n \) el número de coches que alquila tu empresa al día. Sean \( R \) los ingresos obtenidos por día.
- Encuentra una ecuación que relacione estas tres variables.
- Los ingresos diarios son el número de coches alquilados al día multiplicado por el precio cobrado por coche alquilado al día:\[ R = n \cdot p. \]
- Sustituye el valor de \( n \) por el dado en el problema original.\[ \begin{align}R &= n \cdot p \R &= (600 - 6p)p \R &= -6p^{2} + 600p. fin{align} \]
- Determina cuál es tu dominio.
- Como pretendes decir a los propietarios que cobren entre \( 20 $ \) y \( 100 $ \) por coche y día, necesitas hallar el máximo ingreso para \( p \) en el intervalo cerrado de \( [20, 100] \).
- Encuentra el máximo ingreso posible maximizando \( R(p) = -6p^{2} + 600p \) en el intervalo cerrado de \( [20, 100] \).
- Como \( R(p) \) es una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, sabes que, por el teorema del valor extremo, tendrá valores máximos y mínimos. Estos valores extremos se dan en los puntos extremos y en cualquier punto crítico.
- Encuentra los puntos críticos tomando la primera derivada, haciéndola igual a cero, y resolviendo para \( p \).\[ \begin{align}R(p) &= -6p^{2}} + 600p \\R'(p) &= -12p + 600 \0 &= -12p + 600 \p = 50.\end{align} \]
- El único punto crítico es \( p = 50 \). Por tanto, el ingreso máximo debe producirse cuando \( p = 50 \).
- Introduciendo este valor en tu ecuación de ingresos, obtienes el valor R(p) de este punto crítico:\[ \begin{align}R(p) &= -6p^{2} + 600p \R(50) &= -6(50)^{2} + 600(50) \R(50) &= 15000.\end{align} \]
- Por lo tanto, para maximizar los ingresos, debes decir a los propietarios que cobren \ ( 50 $ \ ) por coche y día. El gráfico siguiente lo visualiza.
- Como \( R(p) \) es una función continua sobre un intervalo cerrado y acotado, sabes que, por el teorema del valor extremo, tendrá valores máximos y mínimos. Estos valores extremos se dan en los puntos extremos y en cualquier punto crítico.
Para maximizar los ingresos, tienes que equilibrar el precio cobrado por coche de alquiler al día con el número de coches que los clientes alquilarán a ese precio.
Aplicación de las derivadas - Puntos clave
- En cálculo, hay muchas aplicaciones de las derivadas, entre ellas
- Líneas tangentes y normales a curvas
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- Aproximaciones Lineales y Diferenciales
- Máximos y Mínimos
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- Antiderivadas
- Las derivadas son útiles más allá del ámbito de las matemáticas, en campos como
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