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¿Te has fijado alguna vez en que los jarrones para flores suelen tener formas extravagantes? La alfarería es el arte de dar forma a jarrones, jarras y muchos objetos más utilizando materiales cerámicos como la arcilla. ¿Cómo se consiguen estas formas? Por medio de la rotación. Los recipientes se fabrican haciendo girar la arcilla en un torno de alfarero hasta que alcanza la forma deseada y luego se introduce en un horno para que se endurezca.
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Regístrate gratisVerdadero/Falso: Las superficies de revolución tienen volumen.
Para obtener un paraboloide de revolución necesitas girar \( f(x)=x^2 \) alrededor de ____.
¿Cuál de las siguientes es la fórmula para hallar el área de una superficie de revolución?
Girando una pequeña porción de una curva se obtiene una superficie que parece un cono truncado. Esta superficie se conoce como
Verdadero/Falso: Cualquier recta puede ser un eje de revolución.
Verdadero/Falso: El eje de revolución afecta a la forma de la superficie de revolución.
Verdadero/Falso: La curva \( f(x)=x^2\) puede utilizarse como eje de revolución.
Verdadero/Falso: La curva \(f(x)=x+2\) puede utilizarse como eje de revolución.
En general, para obtener un paraboloide de revolución necesitas hacer girar una parábola alrededor de ____.
Verdadero/Falso: Puedes obtener diferentes superficies de revolución girando la misma función alrededor de diferentes ejes.
Para hallar el área de una superficie de revolución, divide toda la superficie en ____.
Verdadero/Falso: Las superficies de revolución tienen volumen.
Para obtener un paraboloide de revolución necesitas girar \( f(x)=x^2 \) alrededor de ____.
¿Cuál de las siguientes es la fórmula para hallar el área de una superficie de revolución?
Girando una pequeña porción de una curva se obtiene una superficie que parece un cono truncado. Esta superficie se conoce como
Verdadero/Falso: Cualquier recta puede ser un eje de revolución.
Verdadero/Falso: El eje de revolución afecta a la forma de la superficie de revolución.
Verdadero/Falso: La curva \( f(x)=x^2\) puede utilizarse como eje de revolución.
Verdadero/Falso: La curva \(f(x)=x+2\) puede utilizarse como eje de revolución.
En general, para obtener un paraboloide de revolución necesitas hacer girar una parábola alrededor de ____.
Verdadero/Falso: Puedes obtener diferentes superficies de revolución girando la misma función alrededor de diferentes ejes.
Para hallar el área de una superficie de revolución, divide toda la superficie en ____.
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Equipo de profesores de Área de una superficie de revolución
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Enviar comentariosEs hora de conectar esta idea con el Cálculo. Imagina que, en lugar de girar alrededor de la arcilla en un torno de alfarero, giras alrededor de una función. Haciendo esto obtendrás lo que se conoce como superficie de revolución. Sigue leyendo este artículo si quieres saber más sobre las superficies de revolución y cómo hallar su área.
Has visto que mediante integración puedes hallar el área bajo una curva descrita por una función. Estas formas no suelen estar relacionadas con las áreas de ninguna figura geométrica, ¡así que la integración es una gran ayuda!
La integración también puede utilizarse para hallar el área de la superficie de objetos tridimensionales con formas extravagantes. Tomemos por ejemplo una antena parabólica, que es un dispositivo utilizado para las telecomunicaciones, como la TV e Internet. La forma de una antena parabólica puede obtenerse haciendo girar una parábola alrededor de su eje de simetría.
Figura 1. Una antena parabólica tiene la forma de la superficie de revolución obtenida haciendo girar una parábola alrededor de su eje de simetría
Recuerda que el eje de simetría de una parábola es el eje que pasa por su vértice y su foco.
¿Qué es una superficie de revolución?
Una superficie de revolución es una superficie que se obtiene haciendo girar una curva alrededor de un eje fijo.
En general, puedes obtener superficies de revolución haciendo girar cualquier tipo de funciones respecto a cualquier recta. Las superficies de revolución tienen área, pero no tienen volumen, ya que son completamente huecas.
La diferencia entre una superficie de revolución y un sólido de revolución es que el sólido está relleno, por lo que tiene volumen. Por esta razón, un sólido de revolución también se llama volumen de revolución. ¡Más información en nuestro artículo sobre Sólidos de revolución!
Como ya hemos dicho, puedes obtener una superficie de revolución haciendo girar una función alrededor de un eje fijo. Considera el ejemplo de la antena parabólica. Tienes que partir de un segmento de parábola, que debes representar en el espacio tridimensional, ya que girarlo requerirá una dimensión adicional.
Figura 2. El segmento de una parábola representado gráficamente en el plano \(xy-\)del espacio tridimensional.
Ahora que tienes un segmento de curva graficado en el plano \(xy-\)del espacio tridimensional, tienes que hacerlo girar alrededor de un eje fijo. Este eje se denomina eje de revolución.
Un eje de revolución es el eje alrededor del cual gira una función para obtener una superficie o un sólido de revolución.
Normalmente, en Cálculo, el eje de revolución es el eje \(x-\)o el eje \(y-\)pero puede ser cualquier recta.
Volviendo al ejemplo de la antena parabólica, debes hacer girar el segmento de parábola alrededor del eje \(y-\)para obtener esta superficie de revolución.
Figura 3. Rotación del segmento utilizando el eje \(y-\)como eje de revolución.
Este proceso produce la superficie de revolución. Esta antena parabólica se conoce como paraboloide de revolución.
Figura 4. Un paraboloide de revolución
Ten en cuenta que, por lo general, al girar una curva alrededor de un eje distinto, obtendrás también una superficie distinta. Por ejemplo, al girar la misma curva alrededor del eje \(x-\)¡obtienes una trompeta!
Figura 5. Una trompeta obtenida haciendo girar un segmento de una parábola alrededor del eje \(x-\)
Un cuerno de Gabriel es una superficie de revolución obtenida haciendo girar la curva
\[ f(x) = \frac{1}{x} \text{for}cuadrado 1 \leq x\]
alrededor del eje \(x-\).
Figura 6. Un cuerno de Gabriel
Esta superficie de revolución está envuelta en una interesante paradoja. Puesto que la curva se extiende hasta el infinito, podrías pensar que tiene una superficie infinita y que, si la llenaras, tendría un volumen infinito.
Resulta que, aunque es cierto que el cuerno de Gabriel tiene una superficie infinita, tiene un volumen finito. La paradoja viene del hecho de que esto implicaría que puedes llenar el cuerno de Gabriel de pintura, ¡pero nunca tendrías pintura suficiente para pintar su superficie!
Supongamos que obtienes una superficie de revolución haciendo girar una función alrededor del eje \(x-\)-. Puedes hallar el área de esta superficie de revolución mediante la fórmula
\[ S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2},\mathrm{d}x.\]
Para que esta fórmula funcione debes suponer que la función es positiva en el intervalo \( [a,b]\), y que su derivada \( f'(x)\) existe y es continua en el mismo intervalo.
La fórmula del área de una superficie de revolución puede utilizarse para demostrar la fórmula del área de la superficie de una esfera.
Empieza por observar que puedes obtener una esfera de radio R haciendo girar la curva
\[ f(x)=\sqrt{R^2-x^2} \quad \text{for} \quad -R\leq x \leq R\]
alrededor del eje \(x-\).
Figura 7. Esfera de radio R obtenida al hacer girar \( f(x) = \sqrt{R^2-x^2}\) alrededor del eje \(x-\).
Para utilizar la fórmula del área de una superficie de revolución tendrás que hallar la derivada \( f'(x)\). Puedes conseguirlo con ayuda de la Regla de la Cadena y la Regla de Potencia, es decir
\f'(x) &= \frac{1}{2}\left(\frac{1}{sqrt{R^2-x^2}\right)(-2x) &= \frac{-x}{\sqrt{R^2-x^2}. \fin].
La fórmula implica
\frac{x}{cuadrado}{1+Izquierda( f'(x) \derecha) ^2},\frac{x}{cuadrado}{1+Izquierda( f'(x) \derecha) ^2}.
así que eleva al cuadrado la derivada,
\[ \left(f'(x) \right) ^2 = \frac{x^2}{R^2-x^2},\]
añade \(1\) mientras simplificas,
\1 + izquierda( f'(x) \derecha) ^2 &= 1+frac{x^2}{R^2-x^2} \\ &= \frac{R^2-x^2+x^2}{R^2-x^2} \\ &= \frac{R^2}{R^2-x^2}, \end{align}\]
y toma su raíz cuadrada,
\[ inicio \1+left( f'(x) \right)^2} &= \sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2}}. \\ &= \frac{R}{cuadrado{R^2-x^2}}. \end{align}\]
Observa que, al multiplicar por \( f(x) \) esto se simplificará, dándote
\f(x)^2} &= \frac{R} {cancelar{sqrt{R^2-x^2}} izquierda(\frac{R} {cancelar{sqrt{R^2-x^2}} derecha) \frac{R} {cancelar{sqrt{R^2-x^2}} &= R\end{align} . \]
Esto significa que la integración será bastante sencilla.
\[ \begin{align} A &= 2\pi int_{-R}^R R \,\mathrm{d}x &= 2\pi R \int_{-R}^R \mathrm{d}x &= 2\pi R\left( R-(-R) \right) &= 4\pi R^2. \fin].
¡Utilizando la fórmula del área de una superficie de revolución has obtenido la fórmula del área de la superficie de una esfera! ¡Estupendo!
Aunque éste ha sido un ejemplo realmente bonito, ten en cuenta que las integrales implicadas en la determinación del área de una superficie de revolución suelen ser bastante complicadas, por lo que se recomienda el uso de Sistemas de Álgebra Computacional (SAC) para la evaluación de dichas integrales.
Al igual que con los sólidos de revolución y la longitud de arco de una curva, la mejor forma de calcular el área de una superficie de revolución suele empezar por dividir toda la superficie en formas más simples. Girando una pequeña porción de una curva obtendrás una superficie que se parece a un cono truncado. Esta superficie se denomina frustum de un cono.
Figura 8. Frustro de un cono obtenido al girar un pequeño segmento de una curva
Supongamos ahora que sabes cómo hallar la superficie de un frustro de un cono. Sólo tienes que sumar la superficie de todos los frustos y ¡listo! La suma será una aproximación al área de la superficie de revolución. Como de costumbre, tomando el límite a medida que el número de frustos tiende a infinito, obtendrás una coincidencia exacta.
La tarea se convierte en hallar el área de la superficie de un frustro de un cono. Empieza recordando que el área de la superficie lateral de un cono, que se denotará como \( L_S\), viene dada por
\[ L_S = \pi R s,\]
donde \( R \) es el radio de la base del cono, y \( s \) es su altura oblicua.
Figura 9. Dimensiones de un cono
Para construir el frustum basta con quitar la punta del cono, de modo que el área del frustum, que se llamará \(A_f\) pasa a ser
\[ A_f=\pi R s - \pi r (s-\ell),\]
donde \( r \) es el radio de la punta del cono, y \( s-\ell \) es su altura oblicua.
Figura 10. Dimensiones de un frustro
Esta vez, puedes relacionar \(\ell\) con el mismo segmento que utilizarías para hallar la longitud del arco de una curva, y los radios del frustum se pueden hallar evaluando la función en dos valores consecutivos, como se muestra en la figura siguiente.
Figura 11. Dimensiones del frustro en términos de la función \(f(x)\)
Lo único que queda por saber es \( s \). Esto se puede averiguar con un poco de álgebra y triángulos semejantes, es decir
\[ \iniciar{alinear} \frac{r}{R} &= \frac{s-\ell}{s} \ rs &= Rs-R\ell \ rs-Rs &= -R\ell \ s(R-r) &=R\ell \ s &= \frac{R\ell}{R-r}. \end{align}\]
Con esto, es posible escribir y simplificar la expresión para el área de un frustro, así
\[ \begin{align} A_f &= \pi R s - \pi r (s-\ell) \\pi (Rs-rs+r\ell). \fin{align} \]
Ahora sustituye la expresión que acabas de hallar por \(s\), es decir
\π[ \iniciar{alinear} A_f &= \pi \left( R\frac{R\ell}{R-r}-r\frac{R\ell}{R-r}+r\ell \right) \pi \left( \frac{R^2\ell}{R-r}-\frac{Rr\ell}{R-r} +r\ell\right) \\pi &= \pi\ell \left( \frac{R^2-Rr+Rr-r^2}{R-r}\right) &= \pi\ell \left( \frac{R^2-r^2}{R-r}\right). \fin{align}\]
La expresión puede simplificarse aún más factorizando la diferencia de cuadrados, de modo que
\[ \begin{align} A_f &= \pi\ell\left( \frac{(R+r)\cancel{(R-r)}}{\cancel{R-r}}\right) \f &= \pi\ell(R+r). \fin{align}\]
Ahora puedes utilizar la expresión anterior para el área de la circunferencia del cono y escribirla en términos de cantidades relacionadas con \( f(x)\), es decir
\[ A_{f_i} = \pi\left[ f(x_i-1})+f(x_i) \right] \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},\]
que puedes reescribir como
\[ A_{f_i} = \pi \left[ f(x_{i-1})+f(x_i) \right] \Delta xsqrt{1+left( \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)},\}].
donde se ha añadido el índice \(i \) para denotar que se trata de la \(i^ésima) pieza de toda la superficie. Ahora puedes utilizar el Teorema del Valor Intermedio para reescribir
\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}}]
en términos de la derivada de \( f\), de modo que
\[ A_{f_i} = \pi \left[ f(x_i-1})+f(x_i) \right] \Delta x \sqrt{1+\left(f'(x_i^*\right)^2},\].
donde \( x_i^*\) es algún valor entre \(x_{i-1}\) y \(x_i\).
Sumando todos los frustos, obtienes una aproximación para el área de la superficie de revolución, es decir
\[ A \approx \sum_{i=1}^N \pi \left[ f(x_i-1})+f(x_i) \right] \Delta x \sqrt{1+left(f'(x_i^*\right)^2}. \]
Ahora toma el límite a medida que \( N \) va a infinito, esto será:
Así se obtiene la fórmula del área de una superficie de revolución, que es
\[ A = 2 \pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2},\mathrm{d}x.\]
Aquí tienes algunos ejemplos para hallar el área de una superficie de revolución.
Halla el área de la superficie de revolución obtenida al girar
\[ f(x) = \frac{1}{3}x^3 \quad \text{for} \quad 0\leq x \leq 1\]
alrededor del eje \(x-\).
Solución:
Debes empezar por hallar la derivada de \( f(x) \) con ayuda de la Regla de Potencia, esto te dará
\[ f'(x)= x^2.\\]
A continuación, tendrás que elevar al cuadrado la derivada anterior, sumarla a \(1\) y sacar su raíz cuadrada. Es decir
\[ \begin{align} \sqrt{1+(f'(x))^2} &= \sqrt{1 + (x^2)^2} \\ ¾ &= ¾qrt{1+x^4}. \end{align}\]
El área de la superficie de revolución viene dada por
\[ \begin{align} A &= 2\pi \int_0^1 \frac{1}{3}x^3\sqrt{1+x^4},\mathrm{d}x &= \frac{2\pi}{3} \x^3 = cuadrado 1+x^4, mmathrmx. \fin]]
Como \( x^3\) es proporcional a la derivada de \(x^4\), puedes utilizar la integración por sustitución dejando que
\[ u=x^4,\]
así
\[\mathrm{d}u = 4x^3 \mathrm{d}x.\]
Así puedes evaluar primero la integral indefinida
\[ \begin{align} \int x^3\sqrt{1+x^4},\mathrm{d}x &= \frac{1}{4} |int (1+u) &= \frac {1}{4} \int (1+u)^{^1/_2} \fin].
con ayuda de la Regla de Potencia, obteniendo
\[ \begin{align} \x &= \frac{1}{4}[\frac{2}{3}(1+u)^{3/_2}[\frac{1}{6}(1+x^4)^{3/_2}[\frac{2}{3}(1+u)^{3/_2}[\frac{1}{6}(1+x^4)^{3/_2}. \end{align}\}]
Por último, utiliza el resultado anterior para evaluar la integral definida y simplificar, es decir
\[\inicio{align} A &= 2\pi\left[\frac{1}{6}(1+(1)^4)^{^3/_2}-\frac{1}{6}(1+(0)^4)^{^3/_2} \right] \frac{1}{3}(2^{^3/_2}-1) \frac{1}{3}(2\sqrt{2}-1), \end{align}].
y puedes utilizar una calculadora para hallar el valor numérico de la expresión anterior, que es
\[ A \aprox 1,914724 \, \, \text{unidades cuadradas.}\}]
¡A veces necesitarás la ayuda de un CAS para evaluar las integrales!
Halla el área de la superficie de revolución obtenida al girar
\[ g(x) = x^2 \quad \text{para} \quad 1 \leq x \leq 3\]
alrededor del eje \(x-\).
Solución:
Podrías pensar que, como la función es de grado menor, encontrar la superficie de revolución implicada será más fácil. Desgraciadamente, no es así. Como siempre, empieza por hallar la derivada de la función, que es
\[ g'(x)=2x.\]
Ahora tienes que elevarla al cuadrado, sumarla a \(1\), y sacar su raíz cuadrada, con lo que obtendrás
\[ \iniciar{alinear} \sqrt{1+(g'(x))^2} &= \sqrt{1+(2x)^2} \\ &= \sqrt{1+4x^2}. \end{align}\]
Esto significa que el área de la superficie de revolución viene dada por
\[ A = 2\pi\int_1^3 x^2\sqrt{1+4x^2},\mathrm{d}x.\]
La evaluación de la integral
\[ \int_1^3 x^2\sqrt{1+4x^2},\mathrm{d}x]
implica funciones hiperbólicas inversas, por lo que sería mejor utilizar un Sistema de Álgebra Computacional para su evaluación. Esto te dará
\[ \int_1^3 x^2\sqrt{1+4x^2},\mathrm{d}x \approx 40,984,\}]
así que puedes introducir este valor en el área de la superficie de revolución y obtener
\[ \begin{align} A &= 2\pi \int_1^3 x^2\sqrt{1+4x^2},\mathrm{d}x \ &\approx 257,51, \text{unidades cuadradas}. \fin]]
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