Área de una superficie de revolución

Significado de la superficie de revolución

Has visto que mediante integración puedes hallar el área bajo una curva descrita por una función. Estas formas no suelen estar relacionadas con las áreas de ninguna figura geométrica, ¡así que la integración es una gran ayuda!

La integración también puede utilizarse para hallar el área de la superficie de objetos tridimensionales con formas extravagantes. Tomemos por ejemplo una antena parabólica, que es un dispositivo utilizado para las telecomunicaciones, como la TV e Internet. La forma de una antena parabólica puede obtenerse haciendo girar una parábola alrededor de su eje de simetría.

Figura 1. Una antena parabólica tiene la forma de la superficie de revolución obtenida haciendo girar una parábola alrededor de su eje de simetría

¿Qué es una superficie de revolución?

En general, puedes obtener superficies de revolución haciendo girar cualquier tipo de funciones respecto a cualquier recta. Las superficies de revolución tienen área, pero no tienen volumen, ya que son completamente huecas.

La diferencia entre una superficie de revolución y un sólido de revolución es que el sólido está relleno, por lo que tiene volumen. Por esta razón, un sólido de revolución también se llama volumen de revolución. ¡Más información en nuestro artículo sobre Sólidos de revolución!

Área de una superficie de revolución en cálculo

Como ya hemos dicho, puedes obtener una superficie de revolución haciendo girar una función alrededor de un eje fijo. Considera el ejemplo de la antena parabólica. Tienes que partir de un segmento de parábola, que debes representar en el espacio tridimensional, ya que girarlo requerirá una dimensión adicional.

Figura 2. El segmento de una parábola representado gráficamente en el plano \(xy-\)del espacio tridimensional.

Ahora que tienes un segmento de curva graficado en el plano \(xy-\)del espacio tridimensional, tienes que hacerlo girar alrededor de un eje fijo. Este eje se denomina eje de revolución.

Normalmente, en Cálculo, el eje de revolución es el eje \(x-\)o el eje \(y-\)pero puede ser cualquier recta.

Volviendo al ejemplo de la antena parabólica, debes hacer girar el segmento de parábola alrededor del eje \(y-\)para obtener esta superficie de revolución.

Figura 3. Rotación del segmento utilizando el eje \(y-\)como eje de revolución.

Este proceso produce la superficie de revolución. Esta antena parabólica se conoce como paraboloide de revolución.

Figura 4. Un paraboloide de revolución

Ten en cuenta que, por lo general, al girar una curva alrededor de un eje distinto, obtendrás también una superficie distinta. Por ejemplo, al girar la misma curva alrededor del eje \(x-\)¡obtienes una trompeta!

Figura 5. Una trompeta obtenida haciendo girar un segmento de una parábola alrededor del eje \(x-\)

Fórmula para hallar el área de una superficie de revolución

Supongamos que obtienes una superficie de revolución haciendo girar una función alrededor del eje \(x-\)-. Puedes hallar el área de esta superficie de revolución mediante la fórmula

\[ S = 2\pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+f'(x)^2},\mathrm{d}x.\]

Para que esta fórmula funcione debes suponer que la función es positiva en el intervalo \( [a,b]\), y que su derivada \( f'(x)\) existe y es continua en el mismo intervalo.

Aunque éste ha sido un ejemplo realmente bonito, ten en cuenta que las integrales implicadas en la determinación del área de una superficie de revolución suelen ser bastante complicadas, por lo que se recomienda el uso de Sistemas de Álgebra Computacional (SAC) para la evaluación de dichas integrales.

Derivación de la fórmula del área de una superficie de revolución

Al igual que con los sólidos de revolución y la longitud de arco de una curva, la mejor forma de calcular el área de una superficie de revolución suele empezar por dividir toda la superficie en formas más simples. Girando una pequeña porción de una curva obtendrás una superficie que se parece a un cono truncado. Esta superficie se denomina frustum de un cono.

Figura 8. Frustro de un cono obtenido al girar un pequeño segmento de una curva

Supongamos ahora que sabes cómo hallar la superficie de un frustro de un cono. Sólo tienes que sumar la superficie de todos los frustos y ¡listo! La suma será una aproximación al área de la superficie de revolución. Como de costumbre, tomando el límite a medida que el número de frustos tiende a infinito, obtendrás una coincidencia exacta.

La tarea se convierte en hallar el área de la superficie de un frustro de un cono. Empieza recordando que el área de la superficie lateral de un cono, que se denotará como \( L_S\), viene dada por

\[ L_S = \pi R s,\]

donde \( R \) es el radio de la base del cono, y \( s \) es su altura oblicua.

Figura 9. Dimensiones de un cono

Para construir el frustum basta con quitar la punta del cono, de modo que el área del frustum, que se llamará \(A_f\) pasa a ser

\[ A_f=\pi R s - \pi r (s-\ell),\]

donde \( r \) es el radio de la punta del cono, y \( s-\ell \) es su altura oblicua.

Figura 10. Dimensiones de un frustro

Esta vez, puedes relacionar \(\ell\) con el mismo segmento que utilizarías para hallar la longitud del arco de una curva, y los radios del frustum se pueden hallar evaluando la función en dos valores consecutivos, como se muestra en la figura siguiente.

Figura 11. Dimensiones del frustro en términos de la función \(f(x)\)

Lo único que queda por saber es \( s \). Esto se puede averiguar con un poco de álgebra y triángulos semejantes, es decir

\[ \iniciar{alinear} \frac{r}{R} &= \frac{s-\ell}{s} \ rs &= Rs-R\ell \ rs-Rs &= -R\ell \ s(R-r) &=R\ell \ s &= \frac{R\ell}{R-r}. \end{align}\]

Con esto, es posible escribir y simplificar la expresión para el área de un frustro, así

\[ \begin{align} A_f &= \pi R s - \pi r (s-\ell) \\pi (Rs-rs+r\ell). \fin{align} \]

Ahora sustituye la expresión que acabas de hallar por \(s\), es decir

\π[ \iniciar{alinear} A_f &= \pi \left( R\frac{R\ell}{R-r}-r\frac{R\ell}{R-r}+r\ell \right) \pi \left( \frac{R^2\ell}{R-r}-\frac{Rr\ell}{R-r} +r\ell\right) \\pi &= \pi\ell \left( \frac{R^2-Rr+Rr-r^2}{R-r}\right) &= \pi\ell \left( \frac{R^2-r^2}{R-r}\right). \fin{align}\]

La expresión puede simplificarse aún más factorizando la diferencia de cuadrados, de modo que

\[ \begin{align} A_f &= \pi\ell\left( \frac{(R+r)\cancel{(R-r)}}{\cancel{R-r}}\right) \f &= \pi\ell(R+r). \fin{align}\]

Ahora puedes utilizar la expresión anterior para el área de la circunferencia del cono y escribirla en términos de cantidades relacionadas con \( f(x)\), es decir

\[ A_{f_i} = \pi\left[ f(x_i-1})+f(x_i) \right] \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2},\]

que puedes reescribir como

\[ A_{f_i} = \pi \left[ f(x_{i-1})+f(x_i) \right] \Delta xsqrt{1+left( \frac{\Delta y}{\Delta x}\right)},\}].

donde se ha añadido el índice \(i \) para denotar que se trata de la \(i^ésima) pieza de toda la superficie. Ahora puedes utilizar el Teorema del Valor Intermedio para reescribir

\[ \frac{\Delta y}{\Delta x}}]

en términos de la derivada de \( f\), de modo que

\[ A_{f_i} = \pi \left[ f(x_i-1})+f(x_i) \right] \Delta x \sqrt{1+\left(f'(x_i^*\right)^2},\].

donde \( x_i^*\) es algún valor entre \(x_{i-1}\) y \(x_i\).

Sumando todos los frustos, obtienes una aproximación para el área de la superficie de revolución, es decir

\[ A \approx \sum_{i=1}^N \pi \left[ f(x_i-1})+f(x_i) \right] \Delta x \sqrt{1+left(f'(x_i^*\right)^2}. \]

Ahora toma el límite a medida que \( N \) va a infinito, esto será:

• Convierte la suma, \( \Sigma \), en una integral, \( \int\).
• Los valores \( x_{i-1}\), \( x_i \), y \( x_i^* \) se comprimen, por lo que todos coinciden, así que éstos serán sólo \(x\).
  • Esto implica que \( f(x_{i-1}) + f(x_i) = 2f(x) \).
• Convierte la longitud del intervalo, \(\Delta x\), en una diferencial, \( \mathrm{d}x\).
• Obtendrás una correspondencia exacta del área.

Así se obtiene la fórmula del área de una superficie de revolución, que es

\[ A = 2 \pi \int_a^b f(x)\sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2},\mathrm{d}x.\]

Área de una superficie de revolución Ejemplos

Aquí tienes algunos ejemplos para hallar el área de una superficie de revolución.

¡A veces necesitarás la ayuda de un CAS para evaluar las integrales!