La tasa de cambio de una población depende de la velocidad a la que se producen los nacimientos y las muertes, de los recursos disponibles y de la competencia potencial por esos recursos. Puedes utilizar estos parámetros para formular una ecuación que modele la población. Entonces, por supuesto, la derivada o tasa de cambio de esa ecuación es la tasa a la que cambia la población.
Las tasas de crecimiento de lapoblación ayudan a los científicos a hacer predicciones sobre el tamaño futuro de la población y los recursos necesarios para mantenerla. Puedes aplicar las tasas de crecimiento de la población a la propagación de infecciones víricas. Calcular el ritmo al que un virus infecta a personas o animales puede dar una indicación de lo extendida que está (o estará) una infección, los recursos necesarios para ayudar a los infectados y la mejor forma de combatir las infecciones visuales.
Definición de cambio demográfico
Las poblaciones no sólo se refieren a las personas. Todo ser vivo forma parte de una población. Y las poblaciones de todo tipo rara vez son un valor estático. Las poblaciones cambian constantemente debido a diversos factores (medio ambiente, fuentes de alimento, migración, depredación, enfermedades, etc.).
Elcambio de población es el cambio natural del número de un organismo concreto en un entorno.
A menudo, el cambio en la población sigue una tendencia, que suele aumentar o disminuir con el tiempo.
Medidas del cambio de población
Si conoces la tendencia de una población, puedes averiguar cuánto ha cambiado esa población en un determinado periodo de tiempo.
La medida del cambio poblacional es la diferencia de una población entre el comienzo de un determinado intervalo de tiempo y el final de ese intervalo.
Como las poblaciones cambian con el tiempo, la medida de una población puede representarse a menudo como una función del tiempo denominada \(P(t)\). Para hallar la medida del cambio poblacional de esa función \(P(t)\) entre los tiempos \(t_{1}\) y \(t_{2}\), basta con hallar la diferencia \(P(t_{2})-P(t_{1})\).
La población de una colonia de bacterias puede medirse en miles mediante la ecuación \(P(t)=t^{2}+4t-1\) donde \(t\) es la medida en horas. Halla la medida del cambio de población entre la hora 3 y la hora 5.
Respuesta:
Para hallar la medida del cambio de población durante el periodo de tiempo, introduces \(5\) para \(t_{2}\) y \(3\) para \(t_{1}\).
\[\begin{align}\text{cambio poblacional} &=P(t_{2})-P(t_{1})\&=P(5)-P(3)\&=(5^{2}+4(5)-1)-(3^{2}+4(3)-1)\&=44-20\&=24.\\end{align}\]
La población de bacterias de la colonia aumentó en \(24{,}000\\}) en ese lapso concreto de dos horas.
¿Y si quieres saber a qué velocidad cambia una población en lugar de cuánto ha cambiado?
Tasa de cambio de la población
A veces las poblaciones cambian lentamente si el medio ambiente y otros factores son relativamente estables. Otras veces la población aumenta o disminuye rápidamente en un breve periodo de tiempo. Puede ser muy informativo averiguar a qué velocidad se producen esos cambios.
Si \(P(t)\) es el número de organismos de una población en el momento \(t\), la tasa de cambio de la población en el momento \(t\) es \(P'(t)\).
La tasa de cambio de la población te indica a qué velocidad aumenta o disminuye la población en un periodo de tiempo determinado o en un instante concreto. Y, como la tasa de cambio suele hacer en cálculo, esto significa que puedes utilizar la derivada de la función población \(P(t)\). El cálculo nos proporciona dos fórmulas para calcular el cambio de población: el cambio de población medio y el cambio de población instantáneo.
Fórmulas de cambio de población
Tasa media de cambio de la población
La tasa media de cambio de la población mide cuánto cambia la población en un periodo de tiempo concreto. Es una aplicación de la Fórmula de la Cantidad de Cambio.
Sea \(P(t)\) una ecuación de población que representa el número de personas, animales u organismos de una población en el momento \(t\). La tasa media de cambio pobla cional de \(P(t)\) entre los tiempos \(t_{1}\) y \(t_{2}\) es
\[\begin{align} \tasa media de cambio }&=\frac {{Delta P(t)}{{{Delta t}\frac {{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}. . \end{align}\]
¿Cómo se obtiene la fórmula de la tasa media de cambio de la población?
El cambio en el tamaño de la población entre \(t_{1}\) y \(t_{2}\) puede explicarse como la diferencia entre el tamaño de la población en el momento \(t_{2}\) y el tamaño de la población en \(t_{1}\). En términos matemáticos, puedes escribirlo como
\[\Delta P(t)=P(t_{2})-P(t_{1}).\]
Si quieres averiguar cuánto ha cambiado la población entre \(t_{1})y \(t_{2}), sólo tienes que dividir el cambio en el tamaño de la población \(\Delta P(t)\) por el tiempo transcurrido, \(\Delta t=t_{2}-t_{1}).
Veamos un ejemplo.
La población de una ciudad de \(100{,}000\) personas se triplica cada \(10\) años. ¿Cuál será la población de la ciudad dentro de \(4\) años?
Responde:
Si \(P(t)\) representa la población de la ciudad en el momento \(t\), entonces \(P(0)=100{,}000\\). Puedes esperar que \(P(10)=300{,}000\\).
Puedes hallar la tasa media de crecimiento anual de la población en los periodos de diez años utilizando la fórmula
\[\begin{align} \tasa media de cambio & = \frac{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_{1}} \&=\frac{300{,}000-100{,}000}{10-0}\&=\frac{200{,}000}{10}\&=20{,}000.\end{align}\]
Así que, por término medio, la población de la ciudad aumenta en 20.000 personas al año.
Para calcular la población de la ciudad al cabo de cuatro años
\[\begin{align}P(4)&=P(0)+4(\text{tasa media de cambio} )\&=100{,}000+4(20{,}000)\&=180{,}000.\end{align}\]
Al cabo de cuatro años, la población total de la ciudad es de unas \(180{,}000\\) personas.
Tasa instantánea de variación de la población
Para hallar la tasa exacta de cambio de una población en un momento determinado, hallas la tasa instantánea de cambio de la población. Observa que la tasa instantánea de cambio de la población es sinónimo de la derivada de la población.
Para recordar cosas como las tasas de cambio y cómo se relacionan con las derivadas, consulta el artículo Tasas de cambio
Sea \(P(t)\) una ecuación de población que representa el número de personas, animales u organismos de una población en el momento \(t\). La tasa instantánea de cambio de la población en el tiempo \(t\) es
\&=lim_{{delta t\}a 0} \frac{{delta n}{{delta t} \\ &=P'(t). \final{align}\]
Observa que esto significa que la derivada de la ecuación de población es la tasa de cambio instantánea.
La única diferencia entre la fórmula de la tasa media de cambio de la población y la fórmula de la tasa instantánea de cambio de la población es el límite que hay delante. Como quieres hallar la fórmula de la tasa de cambio de la población en un único momento en el tiempo, \(\Delta t\) debe estar muy cerca de \(0\). Por tanto, hallarás el límite de la fórmula de la tasa media de cambio de la población a medida que el cambio en el tiempo se aproxime a \(0\). Veamos un ejemplo de esto.
La población de una colonia de bacterias puede medirse en miles mediante la ecuación \(P(t)=t^{2}+4t-1\) donde \(t\) se mide en horas. Halla la tasa de cambio del crecimiento de la población a las \(2\) horas. A continuación, halla la tasa media de cambio del crecimiento de la población a lo largo de \(2\) horas.
Respuesta:
Para hallar la tasa de variación instantánea del crecimiento de la población, introduce \(P(t)\) en la fórmula de la tasa de variación instantánea con \(t_{1}=2\) horas y \(t_{2}=t\) para obtener
\[\begin{align} P'(2) &=lim_t_a2}frac{P(t)-P(2)}{t-2}\&=lim_t_a2}frac{(t^{2}+4t-1)-(2^{2}+4(2)-1)}{t-2}&=lim_t_a2}frac{(t^{2}+4(2)-1)}{t-2}.=lim_{t\to2}\frac{t^2}+4t-12}{t-2}\&=lim_{t\to2}\frac{(t-2)(t+6)}{t-2}\&=lim_{t\to2}(t+6)\frac(t+6)\&=8.\\\end{align}\]
A las \(2\) horas, la población de bacterias crece a un ritmo de \(8{,}000\\) bacterias por hora.
Vamos a hallar la tasa media de crecimiento de la población en dos horas para ver cómo se comparan las tasas.
\[\begin{align}\text{tasa media de cambio} &=\frac{P(2)-P(0)}{2-0}&=\frac{(2^{2}+4(2)-1)-(0^{2}+4(0)-1)}{2}&=\frac{11-(-1)}{2}&=6.\\end{align}\]
Por término medio, durante las dos primeras horas, la población de la colonia de bacterias crece a un ritmo de unas \(6{,}000\\} bacterias por hora.
Ejemplo de cambio de población
Ahora vamos a hallar la tasa media de cambio de la población y la tasa instantánea de cambio de la población para la función de una población.
La población de ranas de cierto estanque se observó durante los meses de primavera y se modelizó mediante la función \(P(t)=1,25^t+2\) donde \(t\) es el tiempo medido en semanas y \(P\) es la población en cientos de ranas.
a) Halla la tasa media de cambio de la población entre la semana \(3\) y la semana \(7\).
b) Halla la tasa instantánea de cambio de la población en la semana \(5\).
En primer lugar, puede ser útil saber cómo es la gráfica de la función. El gráfico siguiente muestra la función \(P(t)\) junto con una tabla de valores para varias semanas:
Fig. 1 - Gráfica de nuestra función de crecimiento exponencial de la población con una tabla de valores
Solución:
Para ambas partes de la pregunta, también puede ayudarte recordar que otro término para la tasa de cambio es pendiente. Deberías ser capaz de trazar una línea en la gráfica para representar la tasa de cambio de la población.
Parte a) Para hallar la tasa media de cambio de la población entre dos momentos, \(t_1\) y \(t_2\), puedes trazar una recta entre esos puntos, aquí semana \(3\) y semana \(7\), en la gráfica como se muestra a continuación. Esto se denomina recta secante. La pendiente de la recta secante entre dos puntos es la tasa de variación media entre esos puntos.
Fig. 2 - Nuestra función exponencial con una recta secante.
Para hallar la pendiente de esta recta secante, necesitas la fórmula de la tasa media de cambio de la población (que es muy similar a la fórmula de la pendiente de una recta entre dos puntos):
\[\begin{align} \Tasa media de cambio {&=\frac{\Delta P(t)}{\Delta t}\ {&=\frac{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}. . \end{align}\]
Puedes utilizar la tabla de valores para sustituir:
\[\begin{align} \Tasa media de cambio}&={fracto}{P(7)-P(3)}{7-3} &={fracto}{6,77-3,95}{7-3} &={fracto}{2,82}{4} &=aproximadamente 0,71 . \end{align}\]
Recuerda que la población se mide en centenas, por lo que una tasa media de cambio de \(0,71\) significa que la población aumenta una media de \(71\) ranas por semana desde la semana \(3\) hasta la semana \(7\).
Parte b) Para hallar la tasa instantánea de cambio de la población a las \(5\) semanas, utiliza la fórmula anterior, que dice que \[\text{tasa instantánea de cambio}=P'(t).\].
Recordemos primero que la derivada de una función en un punto te indica la pendiente de la recta tangente en ese punto. En la gráfica, se vería así:
Fig. 3 - Nuestra función exponencial con una recta tangente
Para hallar la pendiente de esa recta tangente, primero tienes que hallar la derivada de tu función \(P(t)\). Como \(P(t)\) es una función exponencial, necesitarás la regla de la derivada de la función exponencial. Y recuerda que la derivada de una constante es \(0\):
\[\begin{align} P'(t)&=\frac{d}{dt}(1.25^{t}+2)\\ &=1.25^{t}ln(1.25).\\ \end{align}\]
Ahora puedes sustituir \(5\) por \(t\) para hallar la pendiente en \(5\) semanas:
\[\iniciar{alinear} P'(t)&=1.25^{t}ln(1.25)\\ P'(5)&=1.25^{5}ln(1.25)\\ &\approx0.68.\\ \end{align}\]
Así pues, la población de ranas crece a un ritmo de unas \(68\) ranas por semana en \(5\) semanas.
Observa que la semana \(5\) está a medio camino entre la semana \(3\) y la semana \(7\). Si observas al mismo tiempo la línea secante y la línea tangente en el gráfico, como se muestra en la imagen de abajo, verás lo parecidas que son las líneas. Esto demuestra que la tasa media de cambio de la población es una aproximación bastante buena de la tasa instantánea de cambio de la población.
Fig. 4 - Nuestra función exponencial con línea secante y línea tangente
Cambio de población - Puntos clave
- La tasa de cambio, o derivada, tiene aplicaciones útiles en el campo de la ecología, más concretamente en la medición de los cambios de población
- La medida del cambio poblacional entre los tiempos \(t_{1}\) y \(t_{2}\) viene dada por la ecuación \[\text{cambio poblacional} =P(t_{2})-P(t_{1}).\].
- La tasa media de cambio de la población entre el tiempo \(t_{2}) y \(t_{1}) se mide con la fórmula\[\frac{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_1}.\}
- La tasa instantánea de cambio de la población en el tiempo \(t\) se mide con la fórmula \[\lim_limits{\Delta t \a 0}\frac{\Delta P(t)}{\Delta t}=P'(t).\}]
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