Cambio de Población

La población de una colonia de bacterias puede medirse en miles mediante la ecuación \(P(t)=t^{2}+4t-1\) donde \(t\) es la medida en horas. Halla la medida del cambio de población entre la hora 3 y la hora 5.

Respuesta:

Para hallar la medida del cambio de población durante el periodo de tiempo, introduces \(5\) para \(t_{2}\) y \(3\) para \(t_{1}\).

\[\begin{align}\text{cambio poblacional} &=P(t_{2})-P(t_{1})\&=P(5)-P(3)\&=(5^{2}+4(5)-1)-(3^{2}+4(3)-1)\&=44-20\&=24.\\end{align}\]

La población de bacterias de la colonia aumentó en \(24{,}000\\}) en ese lapso concreto de dos horas.

La población de una ciudad de \(100{,}000\) personas se triplica cada \(10\) años. ¿Cuál será la población de la ciudad dentro de \(4\) años?

Responde:

Si \(P(t)\) representa la población de la ciudad en el momento \(t\), entonces \(P(0)=100{,}000\\). Puedes esperar que \(P(10)=300{,}000\\).

Puedes hallar la tasa media de crecimiento anual de la población en los periodos de diez años utilizando la fórmula

\[\begin{align} \tasa media de cambio & = \frac{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_{1}} \&=\frac{300{,}000-100{,}000}{10-0}\&=\frac{200{,}000}{10}\&=20{,}000.\end{align}\]

Así que, por término medio, la población de la ciudad aumenta en 20.000 personas al año.

Para calcular la población de la ciudad al cabo de cuatro años

\[\begin{align}P(4)&=P(0)+4(\text{tasa media de cambio} )\&=100{,}000+4(20{,}000)\&=180{,}000.\end{align}\]

Al cabo de cuatro años, la población total de la ciudad es de unas \(180{,}000\\) personas.

La población de una colonia de bacterias puede medirse en miles mediante la ecuación \(P(t)=t^{2}+4t-1\) donde \(t\) se mide en horas. Halla la tasa de cambio del crecimiento de la población a las \(2\) horas. A continuación, halla la tasa media de cambio del crecimiento de la población a lo largo de \(2\) horas.

Respuesta:

Para hallar la tasa de variación instantánea del crecimiento de la población, introduce \(P(t)\) en la fórmula de la tasa de variación instantánea con \(t_{1}=2\) horas y \(t_{2}=t\) para obtener

\[\begin{align} P'(2) &=lim_t_a2}frac{P(t)-P(2)}{t-2}\&=lim_t_a2}frac{(t^{2}+4t-1)-(2^{2}+4(2)-1)}{t-2}&=lim_t_a2}frac{(t^{2}+4(2)-1)}{t-2}.=lim_{t\to2}\frac{t^2}+4t-12}{t-2}\&=lim_{t\to2}\frac{(t-2)(t+6)}{t-2}\&=lim_{t\to2}(t+6)\frac(t+6)\&=8.\\\end{align}\]

A las \(2\) horas, la población de bacterias crece a un ritmo de \(8{,}000\\) bacterias por hora.

Vamos a hallar la tasa media de crecimiento de la población en dos horas para ver cómo se comparan las tasas.

\[\begin{align}\text{tasa media de cambio} &=\frac{P(2)-P(0)}{2-0}&=\frac{(2^{2}+4(2)-1)-(0^{2}+4(0)-1)}{2}&=\frac{11-(-1)}{2}&=6.\\end{align}\]

Por término medio, durante las dos primeras horas, la población de la colonia de bacterias crece a un ritmo de unas \(6{,}000\\} bacterias por hora.

La población de ranas de cierto estanque se observó durante los meses de primavera y se modelizó mediante la función \(P(t)=1,25^t+2\) donde \(t\) es el tiempo medido en semanas y \(P\) es la población en cientos de ranas.

a) Halla la tasa media de cambio de la población entre la semana \(3\) y la semana \(7\).

b) Halla la tasa instantánea de cambio de la población en la semana \(5\).

En primer lugar, puede ser útil saber cómo es la gráfica de la función. El gráfico siguiente muestra la función \(P(t)\) junto con una tabla de valores para varias semanas:

Fig. 1 - Gráfica de nuestra función de crecimiento exponencial de la población con una tabla de valores

Solución:

Para ambas partes de la pregunta, también puede ayudarte recordar que otro término para la tasa de cambio es pendiente. Deberías ser capaz de trazar una línea en la gráfica para representar la tasa de cambio de la población.

Parte a) Para hallar la tasa media de cambio de la población entre dos momentos, \(t_1\) y \(t_2\), puedes trazar una recta entre esos puntos, aquí semana \(3\) y semana \(7\), en la gráfica como se muestra a continuación. Esto se denomina recta secante. La pendiente de la recta secante entre dos puntos es la tasa de variación media entre esos puntos.

Fig. 2 - Nuestra función exponencial con una recta secante.

Para hallar la pendiente de esta recta secante, necesitas la fórmula de la tasa media de cambio de la población (que es muy similar a la fórmula de la pendiente de una recta entre dos puntos):

\[\begin{align} \Tasa media de cambio {&=\frac{\Delta P(t)}{\Delta t}\ {&=\frac{P(t_{2})-P(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}. . \end{align}\]

Puedes utilizar la tabla de valores para sustituir:

\[\begin{align} \Tasa media de cambio}&={fracto}{P(7)-P(3)}{7-3} &={fracto}{6,77-3,95}{7-3} &={fracto}{2,82}{4} &=aproximadamente 0,71 . \end{align}\]

Recuerda que la población se mide en centenas, por lo que una tasa media de cambio de \(0,71\) significa que la población aumenta una media de \(71\) ranas por semana desde la semana \(3\) hasta la semana \(7\).

Parte b) Para hallar la tasa instantánea de cambio de la población a las \(5\) semanas, utiliza la fórmula anterior, que dice que \[\text{tasa instantánea de cambio}=P'(t).\].

Recordemos primero que la derivada de una función en un punto te indica la pendiente de la recta tangente en ese punto. En la gráfica, se vería así:

Fig. 3 - Nuestra función exponencial con una recta tangente

Para hallar la pendiente de esa recta tangente, primero tienes que hallar la derivada de tu función \(P(t)\). Como \(P(t)\) es una función exponencial, necesitarás la regla de la derivada de la función exponencial. Y recuerda que la derivada de una constante es \(0\):

\[\begin{align} P'(t)&=\frac{d}{dt}(1.25^{t}+2)\\ &=1.25^{t}ln(1.25).\\ \end{align}\]

Ahora puedes sustituir \(5\) por \(t\) para hallar la pendiente en \(5\) semanas:

\[\iniciar{alinear} P'(t)&=1.25^{t}ln(1.25)\\ P'(5)&=1.25^{5}ln(1.25)\\ &\approx0.68.\\ \end{align}\]

Así pues, la población de ranas crece a un ritmo de unas \(68\) ranas por semana en \(5\) semanas.

Observa que la semana \(5\) está a medio camino entre la semana \(3\) y la semana \(7\). Si observas al mismo tiempo la línea secante y la línea tangente en el gráfico, como se muestra en la imagen de abajo, verás lo parecidas que son las líneas. Esto demuestra que la tasa media de cambio de la población es una aproximación bastante buena de la tasa instantánea de cambio de la población.

Fig. 4 - Nuestra función exponencial con línea secante y línea tangente