Cambios en el Costo y los Ingresos

Dejemos que \(d = C(x)\) represente la cantidad total en dólares gastada en producir \(x\) artículos. La tasa media de variación del coste desde el primer artículo producido \(x_1\) y el último artículo producido \(x_2\) es

\[ \begin{align} \mbox{Tasa media de variación del coste} &= \frac{\Delta d}{\Delta x} \\frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1}. \end{align}\]

Del mismo modo, que \(p = R(x)\) represente el importe total en dólares obtenido por la venta de \(x\) artículos. La tasa media de variación de los ingresos desde el primer artículo vendido \(x_1\) y el último artículo vendido \(x_2\) es

\[ \begin{align} \mbox{Tasa media de variación de los ingresos} &= \frac{\Delta p}{\Delta x} \frac{R(x_2) - R(x_1)}{x_2-x_1}.\final{align} \]

De nuevo, dejemos que \(d = C(x)\) represente la cantidad total en dólares gastada en producir \(x\) artículos. La tasa de variación instantánea del coste al producir el artículo \(x\) es

\[ \begin{align} \mbox{Tasa de variación instantánea del coste} &= \frac{{delta d}{delta x} &= \frac{dd}{dx}. \fin].

Análogamente, dejemos que \(p = R(x)\) represente el importe total en dólares obtenido por la venta de \(x\) artículos. La tasa de variación instantánea de los ingresos al vender el artículo \(x\) es

\[ \begin{align} \mbox{Tasa de variación de los ingresos} &= \frac{{Delta p}{{Delta x} &= \frac{dp}{dx}. \end{align}\]

Una empresa periodística tiene un coste fijo de producción de \(\$80\) por edición, así como un coste marginal de distribución y materiales de impresión de \(40¢\) por ejemplar. Los periódicos se venden a \(50¢) por ejemplar.

1. Formula funciones para los costes, ingresos y beneficios del periódico.
2. A continuación, averigua si el periódico obtiene beneficios o no con la venta de \(600\) ejemplares.
3. ¿Cuántos ejemplares del periódico hay que vender para alcanzar el punto de equilibrio?

Soluciones:

1. Formula funciones para el coste, los ingresos y el beneficio del periódico.
   • Como ya se ha mencionado en la sección Fórmula de costes e ingresos, debes utilizar el contexto del problema para determinar las fórmulas de costes, ingresos y beneficios.
     1. Basándote en los costes que te proporciona el problema, la función de costes puede escribirse como el coste fijo más el coste por ejemplar.\[C(x) = 80 + 0,4x\]
     2. Del mismo modo, la ecuación de ingresos puede escribirse como la cantidad que la empresa periodística gana por ejemplar.\[R(x) = 0,5x\]
     3. Por último, como el beneficio son los ingresos de la empresa menos su coste:\[ \begin{align}P(x) &= R(x) - C(x) \&= 0,5x - (0,4x + 80) \P(x) &= 0,1x-80\end{align}\]
2. Averigua si el periódico obtiene beneficios o no con la venta de \(600\) ejemplares.
   1. Introduce \(x = 600\) en tu ecuación de beneficios.\[P(600) = 0,1(600)-80 = -20\].
   2. Como el beneficio es negativo, la empresa periodística no obtiene beneficios con la venta de \(600\) ejemplares, sino que incurre en pérdidas.
3. Averigua cuántos ejemplares del periódico hay que vender para alcanzar el punto de equilibrio.
   • Alcanzar el punto de equilibrio significa que la empresa no obtiene ningún beneficio. Por tanto, el coste de producción y los ingresos obtenidos son iguales.
   • Para averiguar cuántos periódicos debe vender la empresa para alcanzar el punto de equilibrio, tienes que establecer la ecuación del beneficio igual a \(0\), o \(P(x) = 0\) y luego resolver para \(x\).
     1. Establece \(P(x) = 0\).\[ P(x) = 0,1x - 80 = 0 \]
     2. Resuelve para \(x\).\[ \begin{align}0.1x - 80 &= 0 \0.1x &= 80 \x &= \frac{80}{0.1} \\x &= 800 fin{align} \]
   • Por tanto, el periódico debe vender \(800\) ejemplares para alcanzar el punto de equilibrio.

Supongamos que una empresa de juguetes produce \(x\) juguetes con un coste de \(C(x) = 10000 + 3x + 0,01x^2\) que engloba los gastos generales totales (como el alquiler de la fábrica), los materiales, la mano de obra, etc.

1. Halla el coste marginal de producir \(500\) juguetes.
2. ¿Cuánto tiene que cobrar la empresa por el \(500^) juguete para obtener un beneficio de \(\$10\)?
3. A continuación, halla el coste marginal medio desde \(200\) juguetes hasta \(300\) juguetes.

Solución:

1. Halla el coste marginal de producir \(500\) juguetes.
   1. Halla la ecuación del coste marginal.
      • Recuerda que la ecuación del coste marginal es la derivada de la ecuación del coste. Por tanto, utiliza la regla de la potencia para tomar la derivada de \(C(x)\).\[ C'(x) = 3 +0,02x\]
   2. Introduce el número de juguetes por \(x\) para hallar el coste de producción de un juguete.
      • Introduciendo \(x = 500\) en \(C(x)\) obtienes\[ C(500) = 3 + 0,02(500) = 13,\].
      • ¿Qué significa realmente este valor?\(C(500) = 13\) significa que al producir el \(500^{th}\) juguete, la empresa está fabricando juguetes a un coste de \(\$13\) por juguete.
      • Por tanto, el coste marginal de producir los \(500\) juguetes es \(\$13\).
2. ¿Cuánto tiene que cobrar la empresa por el juguete número 500 para obtener un beneficio de 10 céntimos?
   • Por la solución A, sabes que a la empresa le costó fabricar el juguete \(500^ésimo) \(\$13\). Y, como sabes que la ecuación del beneficio es (P(x) = R(x) - C(x)\), puedes resolver esta ecuación de los ingresos para determinar cuánto debe cobrar la empresa por el juguete.
     1. Utiliza la ecuación para el beneficio:\[ P(x) = R(x) - C(x) \]
     2. Resuelve los ingresos.\[ \begin{align}P(x) &= R(x) - C(x) \P(x) + C(x) &= R(x) \R(x) &= P(x) + C(x)\end{align} \]
     3. Introduce tus valores conocidos de beneficio \((10$)\) y coste \((13$)\), y resuelve los ingresos.\[ R(x) = \$10 + \$13 = \$23 \]
   • Para que laempresa obtenga un beneficio de \(\$10) por el \(500^) juguete construido, debe cobrar \(\$23) por él.
3. Halla el coste marginal medio de \(200\) juguetes a \(300\) juguetes.
   1. Para hallar el coste marginal medio de \(200\) juguetes a \(300\) juguetes, tienes que utilizar la fórmula de la tasa media de cambio:\[ \mbox{Tasa Media de Cambio } = \frac{\Delta d}{\Delta x} = \frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1}]donde,\[ x_1 = 200 \text{ y } x_2 = 300. \}].
   2. A continuación, debes utilizar la función de costes dada para hallar \(C(x_1)\) y \(C(x_2)\).
      • Para \(x_1 = 200\):\[ \begin{align}C(x_1) &= 10000 + 3(x_1) + 0,01(x_1)^2 \C(200) &= 10000 + 3(200) + 0,01(200)^2 \C(200) &= 10000 + 600 + 400 \C(200) &= 11000\end{align} \]
      • Para \(x_2 = 300):\[ \begin{align}C(x_2) &= 10000 + 3(x_2) + 0,01(x_2)^2 \C(300) &= 10000 + 3(300) + 0,01(300)^2 \C(300) &= 10000 + 900 + 900 \C(300) &= 11800\end{align} \]
   3. Ahora, introduce todos tus valores en la fórmula de la tasa media de cambio.\mbox[ \mbox{Tasa media de cambio } = \frac{\Delta d}{\Delta x} = \frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1}]donde,\[ x_1 = 200, x_2 = 300, C(x_1) = 11000, \text{ y } C(x_2) = 11800. \]\[ \begin{align}\mbox{Tasa media de cambio} &= \frac{\Delta d}{\Delta x} \&= \frac{C(x_2) - C(x_1)}{x_2-x_1} \&= \frac{11800 - 11000}{300 - 200} \\&= \frac{800}{100} \frac&= 8\final{align} \]
   4. Así que, por término medio, el coste de producción de un juguete entre el \(200^) juguete construido y el \(300^) juguete construido es de \(\$8\) por juguete.