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En este artículo trataremos todo lo relacionado con la combinación y composición de funciones.
- Combinaciones aritméticas de funciones
- Composición de funciones
- Combinación de funciones a trozos
- Combinación de funciones: ejemplos y aplicaciones reales
¿Qué significa combinar funciones?
Podemos crear una nueva función sumando, restando, multiplicando o dividiendo funciones, del mismo modo que estas operaciones forman un nuevo número.
La combinación de funciones es el acto de combinar varias funciones en una sola. Suele implicar el uso de operadores matemáticos básicos, como la suma o la multiplicación.
Combinaciones aritméticas de funciones
Para empezar, veamos la forma más sencilla de combinar funciones: la combinación aritmética de funciones.
La combinación aritmética defunciones es la creación de nuevas funciones mediante la combinación de funciones existentes utilizando operaciones aritméticas básicas como: suma, resta, multiplicación y división.
Igual que los números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, ¡podemos utilizar estas mismas operaciones con las funciones!
Cómo combinar funciones mediante la suma
Considera las funciones \(f(x) = 2x + 1\) y \(g(x) = 3x +2\).
¿Qué ocurre cuando las combinamos por adición?
\[(f+g)(x) = f(x) + g(x)\]
Ahora podemos sustituir cada una de las funciones.
\[(f + g)(x) = (2x +1) + (3x +2)\]
Y, por último, junta los términos semejantes.
\[(f + g)(x) = 5x + 3\]
Cómo combinar funciones por sustracción
Consideremos de nuevo las mismas funciones, \(f(x) = 2x + 1\) y \(g(x) = 3x +2\).
¿Qué ocurre si las combinamos por sustracción?
\[(f-g)(x) = f(x) - g(x)\].
Ahora sustituimos las funciones como antes.
\[(f - g)(x) = (2x +1) - (3x +2)\]
Y podemos juntar los términos semejantes.
\[(f - g)(x) = -x - 1\]
Cómo combinar funciones por multiplicación
Consideremos las funciones \(f(x) = 2x + 4\) y \(g(x) = x + 2\)
¿Qué ocurre si las multiplicamos
\[(fg)(x) = f(x) \cdot g(x)\]
Y sustituimos las funciones
\[(fg)(x) = (2x + 4)(x+2)\]
A continuación, multiplicamos los paréntesis.
\[(fg)(x) = 2x^2 + 4x + 4x + 8\]
Y de nuevo podemos juntar términos semejantes.
\[(fg)(x) = 2x^2 + 8x + 8\]
Cómo combinar funciones por división
Consideremos de nuevo las funciones \(f(x) = 2x + 4\) y \(g(x) = x + 2\).
¿Qué ocurre cuando las combinamos por división?
\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}].
Y sustituye las funciones
\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{2x+4}{x+2}].
Luego simplificamos algebraicamente. En el caso de estas funciones, buscamos un factor común y dividimos por.
\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{2(x+2)}{x+2}\].
\[(frac{f}{g})(x) = 2\]
En la mayoría de las matemáticas de precálculo, el objeto principal que estudiamos son los números. Aunque también estudiamos patrones generales como los que se ven en funciones y ecuaciones, esto suele ocurrir examinando los propios números.
Esto cambia en el cálculo. En el cálculo, los objetos fundamentales que se estudian son las propias funciones, que son objetos matemáticos mucho más sofisticados que los números.
A menudo resulta útil examinar la fórmula de una función y observar su estructura algebraica. Por ejemplo, dada la función cuadrática
\[f(x) = -3x^2 + 5x -7\]
podríamos beneficiarnos de pensar en ella como la suma de tres funciones más sencillas:
- la función constante \(c(x) = -7\),
- la función lineal \(l(x) = 5x\) que pasa por el punto (0, 0) con pendiente m = 5, y
- la función cuadrática cóncava hacia abajo \(q(x) = -3x^2\).
Cada una de las funciones más sencillas: c, l y q contribuyen a hacer de f la función que es.
Del mismo modo, si nos interesara la función
\[p(x) = (3x^2 + 4)(9-2x^2)\]
sería natural que pensáramos en las dos funciones más sencillas:
- \(f(x) = 3x^2 + 4\)y
- \(g(x) = 9 -2x^2)
que se multiplican entre sí para producir p.
Combinación de funciones: Nota sobre el dominio
Cuando combinamos aritméticamente funciones, el dominio de la nueva función contendrá los valores x comunes a las funciones originales. En otras palabras, ambas funciones deben estar definidas en un punto para que su combinación esté definida.
Además, al dividir funciones, el dominio se restringe aún más para que el denominador no sea igual a cero.
Básicamente, lo que esto significa es que cuando evaluamos funciones combinadas, podemos
- Combinar las funciones y luego evaluarlas, o
- Podemos evaluar las funciones y luego combinarlas.
Dominio para la suma y la resta de funciones
Si el dominio de una función, f, es el conjunto A, y el dominio de una función, g, es el conjunto B, entonces el dominio de f + g es la intersección \(A \cap B\) (observa que el símbolo \(\cap), sólo significa "intersección") porque tanto f(x) como g(x) tienen que estar definidas.
Digamos que tenemos las funciones
\[f(x) = \sqrt x g(x) = \sqrt{2-x}\].
El dominio de f(x) es \(A = [0, \infty )\).
El dominio de g(x) es \(B = (-\infty, 2]\).
Por tanto, el dominio de (f + g)(x) es
\((f + g) (x) = \sqrt x + \sqrt{2-x}, \text{ Dominio de } (f + g)(x) \text{ es }A \cap B = [0, 2]\)
Análogamente, el dominio de (f - g)(x) es
\((f - g) (x) = \sqrt x - \sqrt{2-x}, \text{ Dominio de } (f - g)(x) \text{ es }A \cap B = [0, 2]\)
Dominio de la multiplicación y división de funciones
Como ocurre con la suma y la resta de funciones, el dominio de la multiplicación y la división de funciones es la intersección (A \cap B\).
Sin embargo, cuando dividimos funciones, tenemos que restringir aún más el dominio de la función combinada, ya que no podemos dividir por cero. Así, para la división de funciones, el dominio es \(x \en A \cap B \espacio | \espacio g(x) ≠ 0\) . Esto se lee como "el conjunto de todos los valores de x tales que x es un elemento de la intersección de A y B, siempre que g(x) no sea igual a cero". (¡Vaya trabalenguas!)
Digamos que tenemos las funciones
\[f(x) = x^2; \espacio g(x) = x-1\].
El dominio de f(x) es \(A = (-\infty, \infty)\).
El dominio de g(x) es \(B = (-\infty, \infty)\).
Por tanto, el dominio de \((f \cdot g) (x)\ es:
\((fg)(x) = x^2(x-1); \text{ Dominio de } (fg)(x) \text{ es } A\cap B = (-\infty, \infty)\)
Pero, el dominio de \((\frac{f}{g})(x)\ es
\((\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}; \text{ Dominio de } (\frac{f}{g})(x) \text{ es } A \cap B= (-\infty, 1)\cup (1, \infty)\)
Combina funciones mediante operaciones algebraicas: Resumen
Si consideramos dos funciones: f(x) y g(x), entonces, para los valores de x dentro del dominio tanto de f(x) como de g(x), la suma, la diferencia, el producto y el cociente de las dos funciones se definen como:
- Suma: \((f + g) (x) = f(x) + g(x)\)
- Diferencia: \((f - g) (x) = f(x) - g(x)\)
- Producto: \((f - g) (x) = f(x) - g(x))
- Cociente: \((\frac{f}{g}) (x) = \frac{f(x)}{g(x)}; g≠0\)
Para estas cuatro secciones siguientes, consideremos las dos funciones
\(f(x) = 5x + 2\) y \(g(x) = x^2-1\)
También resolveremos cada combinación en la que x = 4.
\[f(4) = 5(4) + 2 = 20 + 2 = 22\]
\[g(4) = (4)^2 - 1 = 16-1 = 15\]
Combinación de funciones: Adición (Suma)
¿Qué es \((f+g)(x)\)?
| Operación | Combinar y luego evaluar | Evaluar y luego combinar | Dominio | ||||
| \((f+g)(x)\) | \((f+g)(x)= f(x) +g(x)\) | \(= (5x+2) + (x^2 -1)\) | \(= 5x + 2+x^2 -1\) | \(=x^2+5x+1\) | --- | --- | \((-\infty, \infty)\) |
\((f+g)(4)= f(4) +g(4)\) | \(= (5(4)+2) + ((4)^2 -1)\) | \(= 5(4) + 2+(4)^2 -1\) | \(16 + 20 +1\) | \(f+g)(4)= f(4) +g(4)\) | \(=22+15 = 37\) | ||
Combinar funciones: Resta (Diferencia)
¿Qué es \((f-g)(x)\)?
| Operación | Combinar y luego evaluar | Evaluar y luego combinar | Dominio | ||||
| \((f-g)(x)\) | \((f-g)(x) = f(x)-g(x)\) | \(= (5x+2) - (x^2 -1)\) | \(=5x + 2 - x^2 + 1\) | \(-x^2+5x+3\) | --- | --- | \((-\infty, \infty)\) |
| \((f-g)(4) = f(4)-g(4)\) | \(= -(4)^2 + 5(4) + 3\) | \(=-16 + 20 + 3\) | \(= 7\) | \(f(4) - g(4)\) | \(22-15 = 7\) | ||
Combinación de funciones: Multiplicación (Producto)
¿Qué es \((f \cdot g)(x)\c)?
| Operación | Combinar y luego evaluar | Evaluar y luego combinar | Dominio | ||||
| \(f y punto g)(x) | \(= (5x+2) (x^2 -1)\) | \(=5x^3-5x+2x^2-2) | \(=5x^3+2x^2-5x-2\) | --- | --- | \((-\infty, \infty)\) | |
\((f \cdot g)(4) = f(4) \cdot g(4)\) | \(= 5(4)^3 + 2(4)^2-5(4)-2\) | \(320 +32-20-2\) | \(=330\) | \(f punto g)(4) | \(22 y 15 = 330) | ||
Combinar funciones: División (Cociente)
¿Qué es \((\frac{f}{g})(x)\)?
| Operación | Combinar, luego evaluar | Evalúa y luego combina | Dominio | |||
| \((\frac{f}{g})(x)\) | \((\frac{f}{g})(x) = \frac{5x+2}{x^2-1}\) | --- | --- | --- | --- | \((\infty, -1) \cup (-1, 1) \cup (1, \infty)\cup) |
| \((\frac{f}{g})(4)\) | \((\frac{f}{g})(4)= \frac{5(4)+2}{(4)^2-1}\) | \(\frac{20+2}{16-1}= \frac{22}{15}\) | \(\frac{f(4)}{g(4)}\) | \(\frac{f(4)}{g(4)} = \frac{22}{15}}) | ||
Cuando dividimos funciones, el dominio se restringe para que el denominador no sea igual a cero.
Composición de funciones
Las funciones también pueden combinarse mediante un proceso llamado composición de funciones (o composición de funciones, ambos significan exactamente lo mismo), que es cuando una función se compone con otra introduciendo una función en la otra y resolviendo.
Por ejemplo, digamos que tenemos las funciones
\[y = f(u) = \sqrt{u} \text{ y } u=g(x)=x^2+1\]
Como y es una función de u y u es una función de x, se deduce que y es, en última instancia, una función de x. Podemos calcularlo por sustitución:
\y = f(u)= f(g(x)) = f(x^2 +1) = \sqrt{x^2 +1}\].
Este proceso se denomina composición porque la nueva función se compone de las dos funciones originales, f y g.
En general, si queremos componer dos funciones cualesquiera, f y g:
- Empezamos con un número x en el dominio de gy hallamos g(x).
- Si g(x) está en el dominio de f, entonces
- Podemos calcular el valor de f(g(x)).
Observa que la salida de la primera función (g(x) en este caso) se utiliza como entrada de la siguiente función (f(x) en este caso).
El resultado de esta composición es la nueva función \(h(x) = f(g(x))\) que se obtiene sustituyendo g en f. Esto se llama composición (o compuesto) de f y g y se denota por \((f \circ g)\) leído como "niebla" o "f círculo g" o "f de g de x".
La composición defunciones consiste en tomar una función, digamos \(g(x)\), e introducirla en otra función, digamos \(f(x)\), y simplificarla o resolverla para un valor de x.
La función compuesta \((f \circ g)\) se define como
\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
Nota importante: ¡la composición de funciones NO es multiplicación!
La imagen siguiente nos muestra cómo representar \((f \circ g)\) en términos de máquinas.
La máquina f º g se compone primero de la máquina g y luego de la máquina f, StudySmarter Originals
Supongamos que tenemos dos funciones
\(f(x) = 2 + 3x - x^2\) y \(g(x) = 2x -1\)
¿Qué es \((f \circ g)(x)\)?
Solución:
- El primer paso es entender qué nos está diciendo que hagamos \((f \circ g)(x)\). Escrito en este orden, tenemos que introducir la función g(x) en la función f(x) y resolver.
- A partir de ahí, tenemos que recordar la fórmula y escribirla. Así
- \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
- Como conocemos la fórmula de g(x), vamos a introducirla:
- \f(f(g(x)) = f(2x-1)\)
- Ahora, en todas las partes de la función f, sustituye x por 2x - 1:
- \((f \circ g)(x) = f(2x-1) = 2+3(2x-1)-(2x-1)^2\)
- Y simplifica:
- \((f \circ g)(x) = 2 + 3(2x-1) - (2x-1)^2 \rightarrow (f \circ g)(x) = 2 + 6x-3-(4x^2-4x+1)\rightarrow (f\circ g)(x) = -1 + 6x-4x^2 + 4x-1 \rightarrow (f \circ g)(x) = -4x^2 + 10x -2\)
Es importante tener en cuenta que, al combinar funciones, el orden de combinación importa. En otras palabras, f(g(x )) no es necesariamente igual a g(f(x)). De hecho, ¡es un caso especial cuando ambas son iguales!
Composición de funciones: ¡el orden importa!
En el ejemplo anterior, teníamos dos funciones y las combinamos utilizando la composición de funciones. ¿Qué pasaría si invirtiéramos el orden de composición de estas dos funciones? ¡Veámoslo!
Tomemos las mismas dos funciones del ejemplo anterior: \(f(x) = 2 + 3x - x^2\) y \(g(x) = 2x -1\)
Sólo que esta vez, vamos a hallar \((g \circ f)(x)\).
Solución:
- De nuevo, primero tenemos que entender qué nos está diciendo que hagamos \((g \circ f)(x)\). Escrito en este orden, tenemos que introducir la función f(x) en la función g(x) y resolver.
- Así que escribamos la fórmula
- \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)
- Como conocemos la fórmula de f(x), vamos a introducirla:
- \(g(f(x)) = g(2 + 3x - x^2)\)
- Ahora, en cualquier lugar de la función g, sustituye x por \(2+3x-x^2\):
- \((g \circ f)(x) = g(2+3x-x^2) = 2(2 + 3x - x^2) - 1\)
- Y simplifica:
- \((g \circ f)(x) = 2(2 + 3x - x^2) - 1 \rightarrow (g \circ f)(x) = 4 + 6x - 2x^2 -1 \rightarrow (g \circ f)(x) = -2x^2 + 6x + 3\)
Como vemos, esta solución no es la misma que la del ejemplo anterior. Al componer funciones, ¡el orden importa!
Composición de funciones: Componer una función consigo misma
Es totalmente posible componer una función consigo misma.
Esto se parece a \((f \circ f)(x) = f(f(x))\)
Por tanto, si tenemos una función
\[f(x) = 2x +3\]
y la componemos consigo misma, obtenemos
\((f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(2x + 3) = 2(2x+3)+3 = 4x + 6 +3 = 4x + 9\)
Composición de funciones: Considerando los dominios
¡No lo olvides! Tenemos que considerar dos dominios al componer funciones. Si intentamos evaluar \((f \circ g)(x)\), podemos ver que g se evalúa en x, por lo que x debe estar en el dominio de g. Y como fis se evalúa en g, g debe estar en el dominio de f. En otras palabras:
- Para \((f \circ g)(x)\), x debe ser un valor que pueda introducirse en g para obtener un valor de g(x) que pueda introducirse en f para obtener f(g(x)).
- Para \((g \circ f)(x)\), x debe ser un valor que pueda enchufarse en f para darnos un valor de f(x) que pueda enchufarse en g para obtener g(f(x)).
Consideremos las funciones \(f(x) = \sqrt{x}\) y \(g(x) = x^2\)
El dominio de \(f(x) = \sqrt{x}\) es \([0, \text{ es } \infty)\).
El dominio de \(g(x) = x^2\) es \((-\infty, \infty)\)
Si los componemos como
\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
obtenemos
\(f(g(x)) = f(x^2) = \sqrt{x^2} = x\)
- En este caso, como tanto x como g(x) tienen un dominio de todos los números reales:
- El dominio son todos los números reales: \((-\infty, \infty)\)
Pero, si las componemos como
\[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]
obtenemos
\[g(f(x)) = g(\sqrt x) = (\sqrt{x})^2 = x\].
- En este caso, mientras que x tendría normalmente un dominio de todos los números reales, debemos considerar f(x), que tiene un dominio de todos los números reales no negativos, por lo que:
- El dominio son todos los números reales no negativos: \([0, \infty)\)
Composición de funciones: Descomponer funciones
Con toda esta charla sobre la composición de funciones, merece la pena mencionar que también podemos ir en sentido contrario y descomponer funciones. Esto puede ser útil si estamos trabajando con una función más complicada. La descomposición de funciones es el término para dividir una función en varias funciones más sencillas.
Igual que no hay una forma incorrecta de comerse un Reese's, ¡a menudo hay más de una forma de descomponer una función!
Escribamos la función
\[f(x) = \sqrt{5 -x^2}\]
como composición de dos funciones más sencillas.
Solución 1:
Intentamos descomponer, o descomponemos, f(x) en dos funciones más sencillas que llamaremos g(x) y h(x). Entonces
\[f(x) = g(h(x))\]
- Para descomponer la función, primero debemos buscar una función dentro de otra función dentro de f(x).
- Como opción, podríamos ver que la función interior es \(5-x^2\), y la función exterior es \(\sqrt x\).
- Tras observar esto, podríamos descomponer la función como
- \(h(x) = 5 -x^2; \espacio g(x) = \sqrt x\)
- El último paso es volver a comprobar nuestra respuesta recomponiendo las funciones:
- \(g(h(x)) = g(5 -x^2) = \sqrt{5-x^2} = f(x)\)
Solución 2:
- Otra opción sería descomponer f(x) en g(x) y h(x) como
- \(h(x) = x^2g(x) = \sqrt{5-x}\)
- De nuevo, tenemos que volver a comprobar nuestra respuesta recomponiendo las funciones:
- \(g(h(x)) = g(x^2) = \sqrt{5-x^2} = f(x)\)
Composición de funciones: Errores comunes
La composición de funciones no es lo mismo que multiplicar funciones
A pesar de lo que parece la notación, cuando componemos funciones, no estamos simplemente multiplicándolas. Cuando componemos funciones, estamos sustituyendo la variable de la función "exterior" por la de la función "interior" y evaluando.
Supongamos que queremos componer dos funciones
\[f(x) = \sqrt x; \space g(x) = x-1\].
Si queremos componerlas como \((f \circ g)(x)\):
- Escribe la fórmula - \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
- Así queda más claro que
- f(x) es la función "externa" y
- g(x) es la función "interna
- Así queda más claro que
- Ahora, sustituye la variable, x, de la función "externa", f(x), por la función "interna", g(x) para obtener
- \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x-1) = \sqrt{x-1}\)
- Por tanto, la función compuesta es \(f(g(x)) = \sqrt{x-1}\)
Si comparamos la composición, \((f \circ g)(x)\), con la multiplicación, \((f \cdot g)(x)\), (esto también podría escribirse como (fg)(x) vemos que las respuestas no son las mismas.
- Si multiplicamos \((f \cdot g)(x)\), obtenemos:
- \((f \cdot g)(x) = \sqrt x \cdot (x-1) = (\sqrt x)(x) - \sqrt x = x \sqrt x - \sqrt x\)
- Que no es lo mismo que la composición. ¡Por tanto, \((f \circ g) (x) ≠ (f \cdot g)(x)\)!
El orden de composición de las funciones es importante
A diferencia de la combinación de funciones, la composición de funciones no es conmutativa.
\[(f \circ g)(x) ≠ (g \circ f) (x)\]
Ahora bien, hay que decir que existen algunoscasos especiales en los que \((f \circ g)(x)\) sí es igual a \((g \circ f)(x)\). Si es así, significa que las dos funciones son funciones inversas.
Sin embargo, la composición de funciones es asociativa.
Si tenemos tres funciones que pueden componerse entre sí, se aplica la propiedad asociativa.
Dadas f, g y h \((f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f(g(h(x))) = (f \circ g)(h(x)) = ((f \circ g) \circ h)(x)\)
Por tanto, \(f \circ(g \circ h) = (f \circ g) \circ h\)
Combinación de funciones a trozos
Al combinar funciones a trozos, seguimos las mismas reglas que al combinar cualquier otra función, excepto:
- Puede que tengamos que dividir la combinación en varios casos si sólo hay una función definida en un punto.
Supongamos que tenemos dos funciones a trozos
\(f(x) = \inicio{casos} 2 & x > 2 \ 2 & x < 2 \end{casos}) y \(g(x) = \inicio{casos} -2 & x \geq 2 \ 2 & x<2 \end{casos}).
Y queremos calcular g(x) - f(x).
Solución:
Para esta función a trozos, tenemos que dividirla en casos.
- Para \(x <2\):
- f(x) = 3 y g(x) = 2.
- Por tanto, \((g - f)(x) = -1\)
- f(x) = 3 y g(x) = 2.
- En \(x = 2\):
- f(x) no existe
- Por tanto, \((g - f)(x)\) es indefinido
- f(x) no existe
- Para \(x > 2\):
- \(f(x) = 2\) y \(g(x) = -2\).
- Por tanto, \((g - f)(x) = -4\)
- \(f(x) = 2\) y \(g(x) = -2\).
Combinación de funciones: Ejemplos y aplicaciones reales
¡Aquí tienes más ejemplos de combinación de funciones!
Ejemplos: combinaciones aritméticas de funciones
Si \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) y \(g(x) = x + 1\), halla lo siguiente:
- \(f-g)(-1)\)
- \(\izquierda( \frac{f}{g} \derecha) (x)\)
Solución:
- Aquí tenemos que restar g(x) de f(x) y luego sustituir x por -1.
- \((f-g)(x) = f(x) - g(x) = (x^2 -2x -3)-(x+1) = x^2 -2x - 3 -x -1 = x^2 - 3x -4\)
- \((f -g)(-1) = (-1)^2 -3(-1) -4 = 1 + 3 -4 = 0\)
- Aquí tenemos que dividir f(x) por g(x). Observa que podemos factorizar f, por lo que la fracción se puede simplificar.
- \frac {x^2-2x-3}{x+1} = \frac {(x-3)\cancel{(x+1)}}{cancel{x+1}} = x-3 \text{ si } x≠ 1\)
- \frac {x^2-2x-3}{x+1} = \frac {(x-3)\cancel{(x+1)}}{cancel{x+1}} = x-3 \text{ si } x≠ 1\)
Encuentra \((f+g), (f-g), (fg),\text{ y } \left( \frac{f}{g} \right)\) para las funciones:
\[f(x) = x^2 + 3g(x) = x-1\]
Soluciones:
- \((f + g) = f(x) + g(x) = (x^2 + 3) + (x-1) = x^2 + 3 +x -1 = x^2 + x +2\)
- \((f-g) = f(x) - g(x) = (x^2+3) - (x-1) = x^2 + 3 - x +1 = x^2 - x +4\)
- \((fg) = f(x) \cdot g(x) = (x^2 + 3)(x-1) = x^3 - x^2+3x-3\)
- \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2+3}{x-1}, x ≠ 1\)
Ejemplos: combinar funciones a trozos
La gráfica de dos funciones a trozos, StudySmarter Originals
La gráfica de la función f se muestra en azul, y la gráfica de la función g se muestra en verde. Utiliza las gráficas para resolver cada cantidad.
- \(f(3)\)
- \(g(3)\)
- \(f(3) + g(3)\)
- \((f -g) (3)\)
Solución:
- \(f(3) = -3\)
- \(g(3) = 9\)
- \(f(3) + g(3) = -3 + 9 = 6\)
- \((f -g) (3) = f(3) - g(3) = -3 -9 = -12\)
Ejemplos: composición de funciones
Si \(f(x) = x^2 + 10\) y \(g(x) = \sqrt{x-1}\), halla lo siguiente:
- \(f(g(x))\)
- \((g \circ f)(4)\)
- \((f\circ f)(x)\)
Solución:
- Aquí tenemos que sustituir la x por g(x) en f(x).
- \(f(g(x)) = f(\sqrt{x-1}) = (\sqrt{x-1})^2 +10\)
- \(f(g(x)) = x-1+10\)
- Aquí tenemos que hallar g(f(x)) y luego evaluarla en x = 4.
- \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 10) = \sqrt{(x^2 + 10) - 1} = \sqrt{x^2 + 9}\)
- \((g \circ f)(4) = \sqrt{(4)^2 + 9} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)
- Aquí estamos componiendo f consigo misma, así que sustituimos \(x^2-10\\) por la x en f.
- \((f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x^2 + 10) = (x^2 +10)^2 + 10\)
- \((f \circ f)(x) = x^4 + 20 x^2 + 110\)
Si \(f(x) = \sqrt x\) y \(g (x) = \sqrt{2-x}\), halla cada composición y su dominio.
- \((f \circ g)\)
- \((g \circ f)\)
- \(f Circ f)
- \((g \circ g)\)
Solución:
- \(f \circ g = f(g(x))\)
- \(f(g(x)) = f(\sqrt{2-x}) = \sqrt {\sqrt{2-x}} = \sqrt[4]{2-x}\)
- El dominio de \(f(g(x))\) es \((-\infty, 2]\)
- \(g \circ f = g(f(x))\)
- \(g(f(x))= g(\sqrt{x}) = \sqrt{2-\sqrt{x}})
- Para hallar el dominio, tanto \(\sqrt x\) como \(\sqrt{2-\sqrt{x}}) deben tener \(x \geq 0\).
- Para que \(\sqrt{x}\) esté definido, \(x \geq 0\).
- Para que \(\sqrt{2-\sqrt x}\) esté definido, \(2-\sqrt x \geq 0\), o \(\sqrt x \leq 2\), o \(x \leq 4\).
- Por tanto, para cumplir ambos requisitos, el dominio de \(g(f(x))\) es \([0, 4]\)
- \(g(f(x))= g(\sqrt{x}) = \sqrt{2-\sqrt{x}})
- \(f \circ f = f(f(x))\)
- \(f(f(x)) = f(\sqrt{x}) = \sqrt {\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x})
- El dominio de \(f(f(x))\) es \([0, \infty))
- \(g \circ g = g(g(x))\)
- \(g(g(x)) = g(\sqrt{2-x}) = \sqrt{2 - \sqrt{2-x}}\)
- Para hallar el dominio, tanto \(2 - x \leq 0\) como \(2 - \sqrt{2-x} \geq 0\).
- Para \(2-x \geq 0, \space x \leq 2\)
- Para \(2 - \sqrt{2-x} = 0, espacio = 2 x \leq 2 \rightarrow 2 - x \leq 4 \rightarrow x \geq -2\)
- Por tanto, el dominio de \(g(g(x))\) es \([-2, 2]\)
¡También podemos componer tres o más funciones! Por ejemplo, la función compuesta \(f \circ g \circ h\) se puede hallar aplicando primero h, luego g, y después f, así
\[(f \circ g\circ h)(x) = f(g(h(x)))\].
Entonces, encuentra \((f \circ g \circ h)(x)\) si:
\[f(x) = \frac{x}{x+1} \qquad g(x) = x^{10} \qquad h(x) = x +3 \]
Solución:
\[(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+3)) = f \left( (x+3)^{10}\right) = \frac{(x+3)^{10}}{(x+3)^{10}+1}\].
Dada la función
\[F(x) = \cos^2(x+9)\].
Encuentra las funciones f, g y h tales que \(F = f \circ g \circ h\).
Solución:
- Como \(F(x) = (\cos(x+9))^2\), la fórmula de F dice:
- Primero suma 9
- Luego toma el coseno del resultado
- y elevarlo al cuadrado.
- Por tanto, dejamos que
- \(h(x) = x +9\)
- \(g(x) = \cos(x)\)
- \(f(x) = x^2\)
- Por tanto, \((f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+9)) = f(\cos(x+9)) = (\cos(x+9))^2 = F(x)\)
Cómo representar gráficamente combinaciones de funciones
La representación gráfica de combinaciones de funciones puede hacerse de forma sencilla en dos pasos:
Combina las funciones correspondientes en una única función.
Representar gráficamente la función recién creada.
Sin embargo, lo realmente interesante es ver cómo la combinación de dos funciones altera las gráficas originales de dichas funciones. Por ejemplo, si combináramos las funciones \(f(x) = 3x + 4\) y \(g(x) = x\), ¿cómo crees que se compararía la gráfica de nuestra función combinada con la gráfica de f(x)? Vamos a analizarlo y averiguarlo.
En primer lugar, combinemos simplemente las funciones f(x) y g(x) en una única función h(x) por adición.
\[h(x) = (f+g)(x) = f(x) + g(x)\]
Y a continuación, como siempre, sustituimos nuestras funciones f(x) y g(x).
\[h(x) = 3x + 4+ x\]
Y como antes, simplemente juntamos los términos semejantes para hallar nuestra función combinada final.
\[h(x) = 4x +4\]
Si representamos gráficamente las dos funciones originales con la nueva función combinada, obtenemos el gráfico siguiente. ¿Qué podemos observar en la relación entre h(x), f(x) y g(x)? Bueno, como podemos ver, h(x) tiene un gradiente mayor que f(x) o g(x). De hecho, ¡el gradiente de h(x) es igual a los gradientes de f(x) y g(x) combinados!
Si tenemos en cuenta lo que hacemos realmente al combinar funciones, esto tiene mucho sentido. La salida de una función combinada (el número en el eje vertical ) para una entrada dada (el número en el eje horizontal ) es simplemente una combinación de las salidas de cada función original.
Para comprobarlo, elige un valor en el eje x y busca el valor del eje y para cada una de las funciones. ¿Es el valor del eje y de h(x) igual a los valores del eje y de f(x) y g(x) sumados?
Combinar funciones - Puntos clave
- Hay dos formas principales de combinar funciones:
- Combinar funciones mediante operaciones algebraicas (también llamadas combinaciones aritméticas de funciones)
- Composición de funciones
- Las combinaciones aritméticas de funciones utilizan métodos de precálculo para combinar funciones existentes y crear otras nuevas:
- Suma y resta
- Multiplicación y división
- La composición de funciones utiliza un método de sustitución para crear nuevas funciones a partir de las existentes.
- Al combinar funciones, siempre hay que tener en cuenta el dominio de la nueva.
- Los errores más comunes al combinar funciones son:
- Olvidar el dominio
- Tratar la composición de funciones igual que la multiplicación de funciones
- Olvidar que el orden de composición de las funciones importa
\((f+g)(x)= f(x) +g(x)\)g(g(x)) = g(\sqrt{2-x}) = \sqrt{2 - \sqrt{2-x}}\)
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