Combinar funciones

Considera las funciones \(f(x) = 2x + 1\) y \(g(x) = 3x +2\).

¿Qué ocurre cuando las combinamos por adición?

\[(f+g)(x) = f(x) + g(x)\]

Ahora podemos sustituir cada una de las funciones.

\[(f + g)(x) = (2x +1) + (3x +2)\]

Y, por último, junta los términos semejantes.

\[(f + g)(x) = 5x + 3\]

Consideremos de nuevo las mismas funciones, \(f(x) = 2x + 1\) y \(g(x) = 3x +2\).

¿Qué ocurre si las combinamos por sustracción?

\[(f-g)(x) = f(x) - g(x)\].

Ahora sustituimos las funciones como antes.

\[(f - g)(x) = (2x +1) - (3x +2)\]

Y podemos juntar los términos semejantes.

\[(f - g)(x) = -x - 1\]

Consideremos las funciones \(f(x) = 2x + 4\) y \(g(x) = x + 2\)

¿Qué ocurre si las multiplicamos

\[(fg)(x) = f(x) \cdot g(x)\]

Y sustituimos las funciones

\[(fg)(x) = (2x + 4)(x+2)\]

A continuación, multiplicamos los paréntesis.

\[(fg)(x) = 2x^2 + 4x + 4x + 8\]

Y de nuevo podemos juntar términos semejantes.

\[(fg)(x) = 2x^2 + 8x + 8\]

Consideremos de nuevo las funciones \(f(x) = 2x + 4\) y \(g(x) = x + 2\).

¿Qué ocurre cuando las combinamos por división?

\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{f(x)}{g(x)}].

Y sustituye las funciones

\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{2x+4}{x+2}].

Luego simplificamos algebraicamente. En el caso de estas funciones, buscamos un factor común y dividimos por.

\[(\frac{f}{g})(x) = \frac{2(x+2)}{x+2}\].

\[(frac{f}{g})(x) = 2\]

Digamos que tenemos las funciones

\[f(x) = \sqrt x g(x) = \sqrt{2-x}\].

El dominio de f(x) es \(A = [0, \infty )\).

El dominio de g(x) es \(B = (-\infty, 2]\).

Por tanto, el dominio de (f + g)(x) es

\((f + g) (x) = \sqrt x + \sqrt{2-x}, \text{ Dominio de } (f + g)(x) \text{ es }A \cap B = [0, 2]\)

Análogamente, el dominio de (f - g)(x) es

\((f - g) (x) = \sqrt x - \sqrt{2-x}, \text{ Dominio de } (f - g)(x) \text{ es }A \cap B = [0, 2]\)

Digamos que tenemos las funciones

\[f(x) = x^2; \espacio g(x) = x-1\].

El dominio de f(x) es \(A = (-\infty, \infty)\).

El dominio de g(x) es \(B = (-\infty, \infty)\).

Por tanto, el dominio de \((f \cdot g) (x)\ es:

\((fg)(x) = x^2(x-1); \text{ Dominio de } (fg)(x) \text{ es } A\cap B = (-\infty, \infty)\)

Pero, el dominio de \((\frac{f}{g})(x)\ es

\((\frac{f}{g})(x) = \frac{x^2}{x-1}; \text{ Dominio de } (\frac{f}{g})(x) \text{ es } A \cap B= (-\infty, 1)\cup (1, \infty)\)

\[f(4) = 5(4) + 2 = 20 + 2 = 22\]

\[g(4) = (4)^2 - 1 = 16-1 = 15\]

Supongamos que tenemos dos funciones

\(f(x) = 2 + 3x - x^2\) y \(g(x) = 2x -1\)

¿Qué es \((f \circ g)(x)\)?

Solución:

1. El primer paso es entender qué nos está diciendo que hagamos \((f \circ g)(x)\). Escrito en este orden, tenemos que introducir la función g(x) en la función f(x) y resolver.
   • A partir de ahí, tenemos que recordar la fórmula y escribirla. Así
   • \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
2. Como conocemos la fórmula de g(x), vamos a introducirla:
   • \f(f(g(x)) = f(2x-1)\)
3. Ahora, en todas las partes de la función f, sustituye x por 2x - 1:
   • \((f \circ g)(x) = f(2x-1) = 2+3(2x-1)-(2x-1)^2\)
4. Y simplifica:
   • \((f \circ g)(x) = 2 + 3(2x-1) - (2x-1)^2 \rightarrow (f \circ g)(x) = 2 + 6x-3-(4x^2-4x+1)\rightarrow (f\circ g)(x) = -1 + 6x-4x^2 + 4x-1 \rightarrow (f \circ g)(x) = -4x^2 + 10x -2\)

Tomemos las mismas dos funciones del ejemplo anterior: \(f(x) = 2 + 3x - x^2\) y \(g(x) = 2x -1\)

Sólo que esta vez, vamos a hallar \((g \circ f)(x)\).

Solución:

1. De nuevo, primero tenemos que entender qué nos está diciendo que hagamos \((g \circ f)(x)\). Escrito en este orden, tenemos que introducir la función f(x) en la función g(x) y resolver.
   • Así que escribamos la fórmula
   • \((g \circ f)(x) = g(f(x))\)
2. Como conocemos la fórmula de f(x), vamos a introducirla:
   • \(g(f(x)) = g(2 + 3x - x^2)\)
3. Ahora, en cualquier lugar de la función g, sustituye x por \(2+3x-x^2\):
   • \((g \circ f)(x) = g(2+3x-x^2) = 2(2 + 3x - x^2) - 1\)
4. Y simplifica:
   • \((g \circ f)(x) = 2(2 + 3x - x^2) - 1 \rightarrow (g \circ f)(x) = 4 + 6x - 2x^2 -1 \rightarrow (g \circ f)(x) = -2x^2 + 6x + 3\)

Esto se parece a \((f \circ f)(x) = f(f(x))\)

Por tanto, si tenemos una función

\[f(x) = 2x +3\]

y la componemos consigo misma, obtenemos

\((f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(2x + 3) = 2(2x+3)+3 = 4x + 6 +3 = 4x + 9\)

El dominio de \(f(x) = \sqrt{x}\) es \([0, \text{ es } \infty)\).

El dominio de \(g(x) = x^2\) es \((-\infty, \infty)\)

Si los componemos como

\((f \circ g)(x) = f(g(x))\)

obtenemos

\(f(g(x)) = f(x^2) = \sqrt{x^2} = x\)

• En este caso, como tanto x como g(x) tienen un dominio de todos los números reales:
  • El dominio son todos los números reales: \((-\infty, \infty)\)

Pero, si las componemos como

\[(g \circ f)(x) = g(f(x))\]

obtenemos

\[g(f(x)) = g(\sqrt x) = (\sqrt{x})^2 = x\].

• En este caso, mientras que x tendría normalmente un dominio de todos los números reales, debemos considerar f(x), que tiene un dominio de todos los números reales no negativos, por lo que:
  • El dominio son todos los números reales no negativos: \([0, \infty)\)

Escribamos la función

\[f(x) = \sqrt{5 -x^2}\]

como composición de dos funciones más sencillas.

Solución 1:

Intentamos descomponer, o descomponemos, f(x) en dos funciones más sencillas que llamaremos g(x) y h(x). Entonces

\[f(x) = g(h(x))\]

1. Para descomponer la función, primero debemos buscar una función dentro de otra función dentro de f(x).
   • Como opción, podríamos ver que la función interior es \(5-x^2\), y la función exterior es \(\sqrt x\).
2. Tras observar esto, podríamos descomponer la función como
   • \(h(x) = 5 -x^2; \espacio g(x) = \sqrt x\)
3. El último paso es volver a comprobar nuestra respuesta recomponiendo las funciones:
   • \(g(h(x)) = g(5 -x^2) = \sqrt{5-x^2} = f(x)\)

Solución 2:

1. Otra opción sería descomponer f(x) en g(x) y h(x) como
   • \(h(x) = x^2g(x) = \sqrt{5-x}\)
2. De nuevo, tenemos que volver a comprobar nuestra respuesta recomponiendo las funciones:
   • \(g(h(x)) = g(x^2) = \sqrt{5-x^2} = f(x)\)

Supongamos que queremos componer dos funciones

\[f(x) = \sqrt x; \space g(x) = x-1\].

Si queremos componerlas como \((f \circ g)(x)\):

1. Escribe la fórmula - \((f \circ g)(x) = f(g(x))\)
   • Así queda más claro que
     • f(x) es la función "externa" y
     • g(x) es la función "interna
2. Ahora, sustituye la variable, x, de la función "externa", f(x), por la función "interna", g(x) para obtener
   • \((f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(x-1) = \sqrt{x-1}\)
   • Por tanto, la función compuesta es \(f(g(x)) = \sqrt{x-1}\)

Si comparamos la composición, \((f \circ g)(x)\), con la multiplicación, \((f \cdot g)(x)\), (esto también podría escribirse como (fg)(x) vemos que las respuestas no son las mismas.

• Si multiplicamos \((f \cdot g)(x)\), obtenemos:
  • \((f \cdot g)(x) = \sqrt x \cdot (x-1) = (\sqrt x)(x) - \sqrt x = x \sqrt x - \sqrt x\)
  • Que no es lo mismo que la composición. ¡Por tanto, \((f \circ g) (x) ≠ (f \cdot g)(x)\)!

Dadas f, g y h \((f \circ (g \circ h))(x) = f((g \circ h)(x)) = f(g(h(x))) = (f \circ g)(h(x)) = ((f \circ g) \circ h)(x)\)

Por tanto, \(f \circ(g \circ h) = (f \circ g) \circ h\)

Supongamos que tenemos dos funciones a trozos

\(f(x) = \inicio{casos} 2 & x > 2 \ 2 & x < 2 \end{casos}) y \(g(x) = \inicio{casos} -2 & x \geq 2 \ 2 & x<2 \end{casos}).

Y queremos calcular g(x) - f(x).

Solución:

Para esta función a trozos, tenemos que dividirla en casos.

• Para \(x <2\):
  • f(x) = 3 y g(x) = 2.
    • Por tanto, \((g - f)(x) = -1\)
• En \(x = 2\):
  • f(x) no existe
    • Por tanto, \((g - f)(x)\) es indefinido
• Para \(x > 2\):
  • \(f(x) = 2\) y \(g(x) = -2\).
    • Por tanto, \((g - f)(x) = -4\)

Si \(f(x) = x^2 - 2x - 3\) y \(g(x) = x + 1\), halla lo siguiente:

1. \(f-g)(-1)\)
2. \(\izquierda( \frac{f}{g} \derecha) (x)\)

Solución:

1. Aquí tenemos que restar g(x) de f(x) y luego sustituir x por -1.
   • \((f-g)(x) = f(x) - g(x) = (x^2 -2x -3)-(x+1) = x^2 -2x - 3 -x -1 = x^2 - 3x -4\)
   • \((f -g)(-1) = (-1)^2 -3(-1) -4 = 1 + 3 -4 = 0\)
2. Aquí tenemos que dividir f(x) por g(x). Observa que podemos factorizar f, por lo que la fracción se puede simplificar.
   • \frac {x^2-2x-3}{x+1} = \frac {(x-3)\cancel{(x+1)}}{cancel{x+1}} = x-3 \text{ si } x≠ 1\)

Encuentra \((f+g), (f-g), (fg),\text{ y } \left( \frac{f}{g} \right)\) para las funciones:

\[f(x) = x^2 + 3g(x) = x-1\]

Soluciones:

• \((f + g) = f(x) + g(x) = (x^2 + 3) + (x-1) = x^2 + 3 +x -1 = x^2 + x +2\)
• \((f-g) = f(x) - g(x) = (x^2+3) - (x-1) = x^2 + 3 - x +1 = x^2 - x +4\)
• \((fg) = f(x) \cdot g(x) = (x^2 + 3)(x-1) = x^3 - x^2+3x-3\)
• \left( \frac{f}{g} \right) = \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{x^2+3}{x-1}, x ≠ 1\)

La gráfica de dos funciones a trozos, StudySmarter Originals

La gráfica de la función f se muestra en azul, y la gráfica de la función g se muestra en verde. Utiliza las gráficas para resolver cada cantidad.

1. \(f(3)\)
2. \(g(3)\)
3. \(f(3) + g(3)\)
4. \((f -g) (3)\)

Solución:

1. \(f(3) = -3\)
2. \(g(3) = 9\)
3. \(f(3) + g(3) = -3 + 9 = 6\)
4. \((f -g) (3) = f(3) - g(3) = -3 -9 = -12\)

Si \(f(x) = x^2 + 10\) y \(g(x) = \sqrt{x-1}\), halla lo siguiente:

1. \(f(g(x))\)
2. \((g \circ f)(4)\)
3. \((f\circ f)(x)\)

Solución:

1. Aquí tenemos que sustituir la x por g(x) en f(x).
   • \(f(g(x)) = f(\sqrt{x-1}) = (\sqrt{x-1})^2 +10\)
   • \(f(g(x)) = x-1+10\)
2. Aquí tenemos que hallar g(f(x)) y luego evaluarla en x = 4.
   • \((g \circ f)(x) = g(f(x)) = g(x^2 + 10) = \sqrt{(x^2 + 10) - 1} = \sqrt{x^2 + 9}\)
   • \((g \circ f)(4) = \sqrt{(4)^2 + 9} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5\)
3. Aquí estamos componiendo f consigo misma, así que sustituimos \(x^2-10\\) por la x en f.
   • \((f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(x^2 + 10) = (x^2 +10)^2 + 10\)
   • \((f \circ f)(x) = x^4 + 20 x^2 + 110\)

Si \(f(x) = \sqrt x\) y \(g (x) = \sqrt{2-x}\), halla cada composición y su dominio.

1. \((f \circ g)\)
2. \((g \circ f)\)
3. \(f Circ f)
4. \((g \circ g)\)

Solución:

1. \(f \circ g = f(g(x))\)
   • \(f(g(x)) = f(\sqrt{2-x}) = \sqrt {\sqrt{2-x}} = \sqrt[4]{2-x}\)
   • El dominio de \(f(g(x))\) es \((-\infty, 2]\)
2. \(g \circ f = g(f(x))\)
   • \(g(f(x))= g(\sqrt{x}) = \sqrt{2-\sqrt{x}})
   • Para hallar el dominio, tanto \(\sqrt x\) como \(\sqrt{2-\sqrt{x}}) deben tener \(x \geq 0\).
     • Para que \(\sqrt{x}\) esté definido, \(x \geq 0\).
     • Para que \(\sqrt{2-\sqrt x}\) esté definido, \(2-\sqrt x \geq 0\), o \(\sqrt x \leq 2\), o \(x \leq 4\).
     • Por tanto, para cumplir ambos requisitos, el dominio de \(g(f(x))\) es \([0, 4]\)
3. \(f \circ f = f(f(x))\)
   • \(f(f(x)) = f(\sqrt{x}) = \sqrt {\sqrt{x}} = \sqrt[4]{x})
   • El dominio de \(f(f(x))\) es \([0, \infty))
4. \(g \circ g = g(g(x))\)
   • \(g(g(x)) = g(\sqrt{2-x}) = \sqrt{2 - \sqrt{2-x}}\)
   • Para hallar el dominio, tanto \(2 - x \leq 0\) como \(2 - \sqrt{2-x} \geq 0\).
     • Para \(2-x \geq 0, \space x \leq 2\)
     • Para \(2 - \sqrt{2-x} = 0, espacio = 2 x \leq 2 \rightarrow 2 - x \leq 4 \rightarrow x \geq -2\)
     • Por tanto, el dominio de \(g(g(x))\) es \([-2, 2]\)

¡También podemos componer tres o más funciones! Por ejemplo, la función compuesta \(f \circ g \circ h\) se puede hallar aplicando primero h, luego g, y después f, así

\[(f \circ g\circ h)(x) = f(g(h(x)))\].

Entonces, encuentra \((f \circ g \circ h)(x)\) si:

\[f(x) = \frac{x}{x+1} \qquad g(x) = x^{10} \qquad h(x) = x +3 \]

Solución:

\[(f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+3)) = f \left( (x+3)^{10}\right) = \frac{(x+3)^{10}}{(x+3)^{10}+1}\].

Dada la función

\[F(x) = \cos^2(x+9)\].

Encuentra las funciones f, g y h tales que \(F = f \circ g \circ h\).

Solución:

1. Como \(F(x) = (\cos(x+9))^2\), la fórmula de F dice:
   1. Primero suma 9
   2. Luego toma el coseno del resultado
   3. y elevarlo al cuadrado.
2. Por tanto, dejamos que
   1. \(h(x) = x +9\)
   2. \(g(x) = \cos(x)\)
   3. \(f(x) = x^2\)
3. Por tanto, \((f \circ g \circ h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x+9)) = f(\cos(x+9)) = (\cos(x+9))^2 = F(x)\)