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Para la definición de continuidad de una función en un punto, consulta Continuidad.
Repaso de la notación de intervalo
En primer lugar, repasemos algunas cosas sobre los intervalos. Recuerda que los intervalos pueden ser abiertos o cerrados, y que puedes escribirlos con diversas notaciones. Las más comunes son la notación de intervalo y la notación de desigualdad:
| Notación de intervalos | Notación de desigualdad |
| \(a, b) | \(a = x = b =) |
| \(a, b) | \(a < x < b) |
| \(-infty, \infty ) \) | todos los números reales, también escrito como \( \mathbb{R} \) |
| \(a, b) | \( a \le x < b \) |
| \(a, b) | \(a < x = b) |
Puedes encontrar más detalles sobre la notación de intervalos en nuestro artículo Funciones
Además, recordemos algunos términos clave que utilizaremos en este artículo: Puntos interiores y puntos finales.
Un punto final es un punto situado en el extremo izquierdo o derecho de un intervalo.
Un punto \( x \) está en el interior de un intervalo \( I \) si \( x \ en I \) y \( x \) no es un punto final de \( I \).
Hagamos un par de ejemplos con aplicaciones a la notación de intervalos.
Para el intervalo \( [2, 3) \) ¿cuáles son los puntos extremos, y qué hay en el interior?
Contesta:
Los puntos extremos son \( x = 2 \) y \( x = 3 \). Observa que uno de los puntos extremos está en el intervalo , pero el otro no. No es necesario que los puntos extremos estén en el interior del intervalo.
Para el interior, sabes que no puede ser un punto final, y tiene que estar dentro del intervalo. Así que para este ejemplo, cualquier punto entre 2 y 3 está en el interior, o dicho de otro modo, los puntos donde \( 2 < x < 3 \). ¡Esto es lo mismo que el intervalo \( (2,3) \)!
¿Y si tu intervalo es \( (-\infty, \infty ) \)? ¿Este intervalo tiene puntos extremos? ¿Qué puntos hay en el interior?
Respuesta:
Los puntos extremos de un intervalo tienen que ser números; en este caso, no lo son (el infinito no es un número), por lo que no hay puntos extremos.
De hecho, cualquier número real está entre \( -\infty \) y \( \infty \), por lo que cualquier número real está en el interior. Eso significa que el interior es \( \mathbb{R} \).
Continuidad de una función en un intervalo
Como hay puntos extremos y puntos interiores de los intervalos, la definición de continuidad sobre un intervalo debe tener en cuenta a ambos. Pero es una buena idea utilizar lo que ya sabes sobre la continuidad en un punto y los límites por la izquierda y por la derecha. Así que empecemos por definir la continuidad por la izquierda y por la derecha.
Se dice que una función \( f(x) \) es continua por la derecha en \( a \) si
|limits_{x \\a a^+} f(x) = f(a) . \]
Se dice que una función es continua por la izquierda en \( a \) si
\Limita de x a a^-} f(x) = f(a).
Para más información sobre los límites por la izquierda y por la derecha, consulta Límites unilaterales.
El problema de definir la continuidad sobre un intervalo es que hay muchos tipos distintos de intervalos. A veces los puntos extremos están en el intervalo, y a veces no. Así que la definición debe tener en cuenta todos esos casos. Hagamos una lista de lo que debería incluir la definición:
Recuerda que para que una función tenga esperanzas de ser continua en un punto, la función tiene que estar definida en ese punto. Así que la primera parte es asegurarte de que el intervalo que te interesa está en el dominio de la función.
Los puntos interiores del intervalo son más fáciles, ya que sabemos que allí podemos evaluar el límite de la función. Así que la definición tiene que decir que la función es continua en cualquier punto interior del intervalo.
No sabes si el intervalo tiene un punto final izquierdo que está en el intervalo o no. De hecho, el punto final izquierdo del intervalo podría no existir, como en el ejemplo \( ( -\infty, 0] \). Así que la definición debe decir algo como "si el punto final izquierdo está en el intervalo, entonces la función es continua desde la izquierda hasta allí".
Tampoco sabes si el intervalo tiene un punto final derecho que esté en el intervalo, así que la definición tiene que ocuparse de ese caso, de forma similar a como se ocupa del punto final izquierdo.
Condensando la lista de deseos en lenguaje matemático se obtiene lo siguiente:
Sea \( I \) un intervalo en el dominio de la función \( f(x)\). Decimos que \ ( f(x) \) es continua en el intervalo \( I \) si se cumplen todas las siguientes condiciones:
- \( f(x) \) es continua en todos los puntos interiores de \( I \);
- si el punto extremo izquierdo \( a \) del intervalo \( I \) está en el intervalo, entonces \( f(x) \) es continua por la derecha en \( a \); y
- si el extremo derecho \( b \) del intervalo \( I \) está en el intervalo, entonces \( f(x) \) es continua por la izquierda en \( b\).
A veces querrás mirar todo el dominio de una función y decir si es o no continua en todo el dominio.
Se dice que una función \( f(x) \) es continua en su dominio si es continua en todos los puntos de su dominio.
A veces verás que una función que es continua en toda la recta real se llama continua en todas partes.
Ahora puedes escribir los pasos para comprobar si una función es continua en un intervalo.
Paso 1: Asegúrate de que el intervalo que te interesa forma parte del dominio de la función.
Paso 2: Comprueba el interior del intervalo para ver si la función es continua allí.
Paso 3: Comprueba si es continua por la derecha o por la izquierda, según sea necesario, en los puntos extremos del intervalo.
Ejemplos de continuidad en un intervalo
En primer lugar, veamos algunos ejemplos de utilización de la definición para ver si una función es continua o no en un intervalo.
¿Es la función \( f(x) = \sqrt{ x-4} \) continua en el intervalo \( [0, 7) \)?
Respuesta:
Paso 1: El primer paso es comprobar el dominio de la función. Sabes que no puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo y acabar con un número real, así que para que un punto esté en el dominio necesitas \( x - 4 \ge 0 \), o lo que es lo mismo \( x \ge 4 \). Escribiendo eso en notación de intervalo, el dominio de \( f(x) \) es \( [4, \infty ) \). Como parte del intervalo \( [0, 7 ) \) no está en el dominio, la función definitivamente no es continua en el intervalo \ ( [0, 7 ) \). Ni siquiera necesitas hacer los otros pasos porque ya ha dejado de ser continua.
¿Es la función \ ( f(x) = \sqrt{ x-4} \ ) continua en el intervalo \( [4, 7) \)?
Responde:
Por el ejemplo anterior, ya sabes que el intervalo \( [4, 7) \ ) está en el dominio de la función, así que el Paso 1 está cubierto. Como 7 no está en el intervalo, sólo tienes que comprobar dos cosas:
Paso 2: ¿Es continua la función en algún punto del interior? El interior del intervalo es \ ( (4, 7) \), es decir, si eliges un punto al azar \ ( p \in (4, 7) \), ¿es continua la función en ese punto?
Paso 3: ¿Es continua la función por la derecha en \( p = 4\)?
Paso 2: Ahora, elige un punto al azar \( p \en (4 , 7) \) . Sabes que este punto está en el interior del intervalo y que la función está definida allí. Así que, utilizando las propiedades de los límites y las raíces cuadradas, obtienes
\límite_de_x_hasta p^+} f(x) = límite_de_x_hasta p^+} \sqrt{ x-4} = \sqrt{ p-4} = f(p). \]
Pero era un punto cualquiera del interior del intervalo, lo que significa que esto funciona para cualquier punto del interior.
Paso 3: Primero, mira el valor de la función en \ ( p = 4\). Obtienes \( f(4) = \sqrt{4-4} = 0 \). Luego, utilizando las propiedades de los límites y la función raíz cuadrada, tomando el límite por la derecha en \( p = 4\ ) obtienes
\límite_de_x_hasta 4^+} f(x) = límite_de_x_hasta 4^+} \sqrt{ x-4} = 0.]
Como esto es igual al valor de la función, sabes que la función es continua por la derecha en \( p = 4 \) .
Juntando todos los pasos, sabes que \( f(x) \) es continua en el intervalo \ ( [4, 7) \).
Intervalos de continuidad en una gráfica
Si observas la gráfica de una función, una pregunta que puedes hacerte es "¿cuáles son los intervalos en los que es continua?
Los intervalos en los que la función es continua se llaman intervalos de continuidad.
Para la función de la gráfica, ¿es continua en el intervalo \( (-2, 3] \)?
Comprueba si la función es continua en un intervalo, StudySmarter Original
Contesta:
Observa que el intervalo no contiene el extremo izquierdo, pero sí el extremo derecho.
Repasa los pasos para comprobar la continuidad en un intervalo:
Paso 1: La función está definida en todo el intervalo, así que esa parte es correcta.
Paso 2: Ahora tienes que comprobar los puntos del interior para asegurarte de que la función es continua allí. El interior de \ ( (-2, 3] \) es el intervalo \ ( (-2, 3) \). Si eliges un punto cualquiera del interior y miras el límite, seguro que coincide con el valor de la función. Eso significa que la función es continua en el interior.
Paso 3: Así que sólo tienes que comprobar que \( f(x) \) es continua por la izquierda en \( x = 3 \) porque está en el intervalo. No hace falta que compruebes que f(x) es continua por la derecha en x = -2, porque no está en el intervalo. Como puedes ver en la gráfica
\limita f(x) = 7 = f(3), ^-].
por lo que la función es continua por la izquierda en \ ( x = 3 \).
Por tanto, la función f(x) es continua en el intervalo (-2, 3).
Para la función de la gráfica, ¿es continua en el intervalo \ ( (-2, 3] \)?
Comprueba si la función es continua en el intervalo mediante una gráfica, StudySmarter Originals
Contesta:
Esta función es casi igual que la del ejemplo anterior. De hecho, la comprobación para asegurarse de que es continua en el interior es exactamente la misma. Así que sólo queda comprobar el punto final derecho del intervalo \( (-2, 3] \). Observa que \( f(3) = 1 \). Además
\[ \limits_{x \to 3^-} f(x) = 7 . \\]
Ahora el límite por la izquierda en el punto final no coincide con el valor de la función, por lo que la función NO es continua en el intervalo \( (-2, 3] \) .
Para la función de la gráfica siguiente, halla todos los intervalos de continuidad.
Encontrar intervalos de continuidad a partir de una gráfica, StudySmarter Originals
Contesta:
Viendo la gráfica, está claro que la función está definida en todas partes. Incluso en \( x = 0 \), la función está definida, y \( f(0) = 3 \). Además, en cualquier lugar distinto de \( x = 0 \) el límite es el mismo que el valor de la función. Por tanto, el único punto del que debes preocuparte es \( x = 0 \). Como este punto está en el dominio, tienes que comprobar el límite por la izquierda y por la derecha:
\[ \limits_{x \to 0^-} f(x) = 3 , \]
y
\límite limita a 0^+ f(x) = infty .
Como esos dos límites no son iguales, la función no es continua en \( x = 0 \) aunque esté definida allí. Así que los intervalos de continuidad son \( (-\infty , 0) \cup ( 0, \infty ) \).
Utilizar la ecuación para encontrar intervalos de continuidad
Naturalmente, no querrás representar gráficamente cada función para ver dónde están los intervalos de continuidad. Así que veamos algunos ejemplos de cómo utilizar la fórmula de la función para encontrarlos.
Halla los intervalos de continuidad de la función
\f(x) = \frac{x + 3} {{sqrt{ x^2 - 4}} .]
Respuesta:
Los pasos son exactamente los mismos si buscas intervalos de continuidad.
Paso 1: Para empezar a buscar intervalos de continuidad, primero tienes que encontrar el dominio de la función. El numerador de esta función es una recta bonita, y está definida en todas partes.
Así que el único problema sería el denominador de la función, que es \( \sqrt{ x^2 - 4} \).
Recuerda que no puedes tener un cero en el denominador, y que no puedes sacar la raíz cuadrada de un número negativo. Puedes factorizar esta ecuación para obtener
\[ \sqrt{ x^2 - 4} = \sqrt{ (x - 2)(x+ 2)} , \]
y las raíces de esta ecuación están en \( x = 2 \) y \( x = -2 \). Además, sólo está definida cuando
\[ x^2 - 4 \ge 0 , \]
o, en otras palabras, cuando
\x^2 \ge 4 \]
lo que significa que o bien \( x \le -2 \) o bien \( x \ge 2 \) deben ser ciertas. Entonces, juntando la regla de "ningún cero en el denominador" con la regla de "números positivos dentro de raíces cuadradas", puedes ver que la función \( f(x) \) tiene el dominio \( ( -\infty , -2) \cup (2, \infty ) \).
Paso 2: No hay más puntos posibles de discontinuidad en el dominio que los que ya has encontrado, por lo que la función es continua en el interior del dominio.
Paso 3: Los puntos extremos del dominio no están en el dominio, así que no necesitas hacer una comprobación especial para ellos.
Eso significa que los intervalos de continuidad para \( f(x) \) son \( ( -\infty , -2) \) y \( (2, \infty ) \).
Halla los intervalos de continuidad de la función
\[ f(x) = \sqrt{ -x^3 -3x^2 + 13x + 15} . \]
Respuesta:
Paso 1: El primer paso es hallar el dominio de la función. Ayuda que la función dentro de la raíz cuadrada tenga una forma factorizada y que
\[ -x^3 -3x^2 + 13x + 15 = -(x-3)(x+1)(x+5). \]
Las raíces de esta función están en \( x = 3 \), \( x = -1 \) y \( x = -5 \).
Si introducimos valores de prueba en cada intervalo entre las raíces, sabremos que la función
\[ y = -(x-3)(x+1)(x+5) \]
es positiva en los intervalos \( (-\infty , -5) \cup (-1, 3) \). Por tanto, el dominio de \( f(x) \) es \( (-\infty , -5] \cup [-1, 3] \).
Puedes encontrar más detalles sobre cómo determinar si la función es positiva o negativa en un intervalo en la sección Notación en intervalos de nuestro artículo sobre Funciones
Paso 2: El interior del dominio es \ ( (-\infty , -5) \cup (-1, 3) \cup) y en él no hay puntos de discontinuidad posibles. Eso significa que la función es continua en el interior del dominio.
Paso 3: Sólo tienes que comprobar que los límites izquierdo o derecho en los puntos extremos del dominio coinciden con los valores de la función allí.
Para \( x = -5 \), la evaluación da \( f(-5) = 0 \). Mirando el límite por la izquierda allí
\[ límite_de_x a -5^-} f(x) = límite_de_x a -5^-} \x^3 -3x^2 + 13x + 15} = 0 . \]
Como ambos son iguales, f(x) es continua por la izquierda en x = -5. Podemos hacer una comprobación similar para demostrar que es continua por la izquierda en \( x = 3 \) .
Para \( x = -1 \) tendrás que comprobar el límite por la derecha. Así que
\límite de f(x) = límite de -x^3 -3x^2 + 13x + 15} = 0 = f(-1)].
lo que significa que es continua por la derecha en \ ( x = -1 \).
Poniéndolo todo junto, has comprobado el interior del dominio, y los límites apropiados por la izquierda y por la derecha en los puntos extremos del dominio que están realmente en el dominio, por lo que sabes que \( f(x) \) es continua en su dominio. Eso significa que los intervalos de continuidad son \ ( (-\infty , -5 ) \) y \( (-1, 3) \).
Demostrar la continuidad en un intervalo
Apliquemos la definición de continuidad en un intervalo a algunos ejemplos.
Tomemos la recta \( f(x) = 4x - 3 \). El dominio de esta función es toda la recta real. ¿Es continua esta función en todas partes?
Responde:
En lugar de intentar hacerlo para cada uno de los puntos del dominio (¡lo que sería imposible!) toma \( p \) como un número real aleatorio. Utilizando la definición de continua, tienes que comprobar que el límite existe en \( p \) y es el mismo que el valor de la función allí. Al comprobarlo se obtiene
\límite_de_x_hasta p} f(x) = límite_de_x_hasta p} (4x-3) = 4p-3 = f(p), |].
lo que significa que \( f(x) \) es continua en \( p \). Pero \( p \) era sólo un número real aleatorio, ¡lo que significa que esto funciona para cualquier número real! Por tanto \( f(x) \) es continua en todas partes.
De hecho, puedes hacer exactamente el mismo proceso que en el ejemplo anterior para cualquier polinomio, lo que conduce al siguiente teorema.
Teorema: Todo polinomio es continuo en toda la recta real.
¿Qué pasa con las funciones racionales?
Donde está la función
\[ f(x) = \frac{ x^2 - 4}{x + 3} \]
continua?
Respuesta:
En primer lugar, tienes que decidir dónde está el dominio de la función, porque seguro que no quieres perder el tiempo comprobando puntos que no están en el dominio. Ya sabes que el dominio de las funciones racionales está en todas partes excepto donde el denominador es igual a cero. Eso significa que el dominio de es \( ( -\infty, -3) \cup (-3, \infty ) \). Igual que en el ejemplo anterior, toma \( p \) como un punto aleatorio del dominio, por lo que \( p \in ( -\infty, -3) \cup (-3, \infty ) \ ) . Como \( p \) está en el dominio, sabes que \( p \) no es el punto final del dominio (en otras palabras, no es \( -3 \) ), por lo que no necesitas comprobar los límites izquierdo o derecho. Comprobación del límite
\[ \limits_{x \to p} f(x) = \limits_{x \to p} \frac{ x^2 - 4}{x + 3} = \frac{ p^2 - 4}{p + 3} = f(p) . \]
Pero \( p \) era sólo un punto aleatorio del dominio, por lo que la función es continua en todo su dominio, o dicho de otro modo, es continua en \( ( -\infty, -3) \cup (-3, \infty ) \) .
Pero el proceso que hiciste en el ejemplo anterior funcionaría para cualquier función racional. Así que puedes escribir el siguiente teorema.
Teorema: Toda función racional es continua en su dominio.
Continuidad en un intervalo - Puntos clave
- Sea un intervalo en el dominio de la función . Decimos que es continua en el intervalo \( I \) si se cumplen todas las siguientes condiciones:
- \( f(x) \) es continua en todos los puntos interiores de \( I \);
- si el punto extremo izquierdo \( a \) del intervalo \( I \) está en el intervalo, entonces \( f(x) \) es continua por la derecha en \( a \); y
- si el extremo derecho \( b \) del intervalo \( I \) está en el intervalo, entonces \( f(x) \) es continua por la izquierda en \( b \).
- Se dice que una función es continua en su dominio si es continua en todos los puntos de su dominio.
- Los intervalos en los que una función es continua se llaman intervalos de continuidad.
- Una función que es continua en toda la recta real se llama continua en todas partes.
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