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¿Puedes aplicar también el mismo escenario que viste durante el maratón? ¿Puedes comprobar si la serie converge apenas o absolutamente? De hecho, sí, puedes comprobar si la serie converge absolutamente o converge condicionalmente.
Aquí verás la convergencia absoluta y condicional de las series, la diferencia entre convergencia absoluta y condicional, el teorema de la convergencia absoluta y algunos ejemplos de convergencia absoluta y condicional.
Cómo definir la convergencia absoluta y la convergencia condicional
Cuando se trata de series, puedes determinar si convergen o divergen mediante distintas pruebas de convergencia, que probablemente ya habrás visto. Pero resulta que puedes tener series con términos tanto positivos como negativos. Entonces, ¿con qué fuerza convergen todas las series? Aquí es donde entra en juego el concepto de convergencia absoluta.
Convergencia absoluta
La convergencia absoluta de una serie te da la garantía de que converge incluso después de reordenar sus términos.
Si la serie tiene términos positivos y negativos y es perfectamente alterna, puedes comprobar la convergencia mediante la prueba de la serie alterna.
Pero, ¿qué ocurre si una serie no es alterna y además tiene términos negativos? Considera el valor absoluto de los términos para hallar la convergencia de este tipo de series.
Si la serie
\[\suma_limits_{n=1}^{\infty} |izquierda | a_{n} |derecha | \]
converge, entonces la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\]
se llama absolutamente convergente, y puedes decir que converge absolutamente.
La convergencia absoluta se considera más fuerte que la convergencia simple, ya que te obliga a considerar los valores absolutos de la serie. Como verás más adelante, la convergencia absoluta de una serie implica que la serie también converge.
Considerando la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^3} ,\]
verifica si es absolutamente convergente o no.
Solución:
Verificar si esta serie es absolutamente convergente consiste en verificar si la serie de términos en valor absoluto de los términos es convergente.
Para ello, aplica el valor absoluto al término \(a_n\), e identifica el tipo de serie que forma, para saber qué prueba de convergencia utilizar.
La serie de términos con valor absoluto de la serie dada es igual a una serie \(p-\)con \(p=3\):
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left| \frac{(-1)^n}{n^3} \right|=\frac{1}{1^3}+\frac{1}{2^3}+\cdots+\frac{1}{n^3}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}.\}
Como \(p>1\), por la Prueba de la Serie \(p-\)la serie dada es absolutamente convergente.
Para un repaso de este tipo de series, consulta el artículo Series p.
Convergencia condicional
Alternativamente, ¿qué le ocurre a la serie \(\suma_limites_{n=1}^{\infty} a_{n} \) si la serie de sus términos con valor absoluto no converge? Aquí es donde entra en juego la siguiente definición.
Si la serie
\π[πsuma_limits_{n=1}^{infty} |izquierda | a_{n} |derecha | |]
diverge y la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\]
converge, entonces la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}\]
se llama condicionalmente convergente, y puedes decir que converge condicionalmente.
Aquí, el "condicionalmente" sugiere que una serie apenas converge. Puedes comprobar la convergencia condicional comprobando la divergencia de la serie con valores absolutos y la convergencia de la serie original.
Observa que tanto los tipos absolutos como los condicionales conducen a la convergencia. Los tipos de convergencia muestran el comportamiento de la serie y el impacto de los términos positivos y negativos. Esto no significa que las series de convergencia absoluta converjan y las de convergencia condicional no converjan.
Veamos este concepto de convergencia condicional en un ejemplo.
Demuestra que la serie
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}} ,\]
es condicionalmente convergente.
Solución:
Aquí tienes que hacer dos cosas
- demostrar que la serie dada es convergente;
- demostrar que la serie de términos en valor absoluto es divergente.
1. La serie mostrada es una serie alterna en la que
\[a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}.\]
Si compruebas las condiciones de la Prueba de la Serie Alternante, confirmas que converge. En efecto
- \(a_n>0\) para todo \(n\);
- los términos \(a_n\) disminuyen a medida que \(n\) aumenta; y
- para el límite,\[\lim_n \a \infty} a_n=\lim_n \a \infty} \frac{1}{sqrt{n}}=0,\}].
Para recordar este tipo de pruebas, consulta el artículo Series alternas.
Veamos uno de los teoremas importantes sobre la convergencia absoluta.
Teorema de la convergencia absoluta
Recuerda que la mayoría de las pruebas de convergencia de exigen que los términos sean positivos. Pero tanto con términos negativos como positivos, tomar valores absolutos y comprobar la convergencia absoluta abre más posibilidades.
La convergencia absoluta de la serie conduce a la convergencia de la serie. De hecho, ése es el Teorema de la Convergencia Absoluta.
Teorema de la convergencia absoluta:
Si la serie \[\suma_limits_{n=1}^{\infty} |a_{n}||] converge,
entonces la serie \[\suma_limites_{n=1}^{infty} a_{n}] también converge.
Es importante señalar que lo contrario no es cierto. Es decir, todas las series convergentes pueden ser absolutas o no.
A continuación, verás dos ejemplos, uno de una aplicación directa del teorema, y otro en el que la inversa del teorema no se cumple.
Considera la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{3^n-6},\]
y determina si se aplica el Teorema de la Convergencia Absoluta. Si se aplica, ¿qué puedes concluir?
Solución:
Para que el teorema sea aplicable, debes verificar las condiciones del teorema. Es decir, debes verificar si la serie de términos con valor absoluto converge. Observando el valor absoluto obtienes
\[\suma_limits_{n=2}^{\infty}\left| \frac{1}{3^n-6} \right| .\]
Esta serie es una buena candidata para la Prueba de la Raíz. Observando el límite
\[\begin{align}L &=\lim_{n\to 0}\frac{\left|\dfrac{1}{3^{n+1}-6} \right|}{\left|\dfrac{1}{3^{n}-6} \derecha} \\ &=lim_a 0}frac{3^{n}-6\}} {Izquierda} {3^{n}-6\}} {Derecha} {Izquierda} {3^{n+1}-6\} {Derecha} &=lim_a 0}frac{3^{n}-6} {3^{n+1}-6} &= límite hasta 0 frac {3^{n}} {3^{n+1}} y = límite hasta 0 frac {1} {3}cdot {frac {3^{n}} {3^{n}} y = frac {1} {3}.\end{align}\}]
Como \(L<1\), la serie
\¾[¾suma_limits_{n=2}^{\infty}\left| ¾frac{1}{3^n-6} ¾right| ¾]
converge absolutamente. Entonces, por el Teorema de Convergencia Absoluta, sabes que la serie
\suma_limits_{n=2}^{infty} \frac{1}{3^n-6} \frac{1}{3^n-6} \frac{1}{3^n-6}]
converge.
Lo contrario del Teorema de la Convergencia Absoluta sería que la convergencia implica convergencia absoluta. Veamos un ejemplo para demostrar que esto no es cierto.
Demuestra que la serie
\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln{n}}\]
converge condicionalmente.
Solución:
Comprobemos la convergencia de la serie original. La serie original es una serie alterna donde
\[a_n=\frac{1}{\ln{n}}.\]
Comprueba que se cumplen las condiciones para utilizar la prueba de las series alternas,
- \(\dfrac{1}{ln{n}}>0\) para todo \(n> 2\);
- los términos \(\dfrac{1}{ln{n}}) disminuyen al aumentar \(n\); y
- \(\frac{1}{ln}}=0).
Veamos ahora la convergencia de la serie de términos con valor absoluto:
\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left| \frac{(-1)^n}{\ln{n}} \right|=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\ln{n}}.\]
Observa que para \(n> 2\), \(\ln{n}>n\), entonces
\[\frac{1}{\ln{n}}\lt \frac{1}{n}.\]
Sabes que
\es la serie armónica, así que
es la serie armónica, por lo que diverge. Por tanto, la serie
\suma_limites_n=2}^{infty} \frac{1}{ln{n}}]
diverge, lo que significa que la serie original no converge absolutamente. De hecho, la serie original converge condicionalmente.
Por tanto, la convergencia de una serie no implica la convergencia absoluta de la serie.
Veamos una cuestión relacionada. ¿Qué puedes concluir si la serie no es absolutamente convergente?
Volvamos al ejemplo anterior con la serie
\[\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\ln{n}}.\]
¿Puedes aplicar el Teorema de Convergencia Absoluta a esta serie?
Solución:
No! De hecho, has visto que esta serie no converge absolutamente, por lo que no puedes aplicar en absoluto el Teorema de la Convergencia Absoluta. Esto no dice nada sobre la serie en cuestión. Puede converger condicionalmente (como en el ejemplo anterior) o puede divergir, simplemente depende.
Veamos ahora algunas propiedades más de las series.
Diferencia entre convergencia absoluta y condicional
Veamos un resumen de las diferencias entre la convergencia absoluta y la condicional.
Propiedades de la convergencia absoluta:
Si la serie \(\suma límites_{n=1}^{infty} | izquierda | a_{n} | derecha | |) converge, entonces la serie \(\suma límites_{n=1}^{infty} a_{n}\) converge absolutamente;
Si la serie converge absolutamente, entonces convergen las dos series \(\suma_limites_{n=1}^{infty} a_{n}) y \(\suma_limites_{n=1}^{infty} | izquierda | a_{n} | derecha | \);
La convergencia absoluta es una condición fuerte, ya que la convergencia absoluta de una serie implica que la serie converge.
Propiedades de la convergencia condicional:
Si la serie \(\ suma límites_{n=1}^{infty} | izquierda | a_{n} | derecha | | |) diverge, pero la serie \(suma límites_{n=1}^{infty} a_{n}) converge, entonces la serie \(suma límites_{n=1}^{infty} a_{n}) converge condicionalmente;
Si la serie converge condicionalmente, entonces \(\suma_limites_{n=1}^{infty} | izquierda | a_{n} | derecha |) diverge;
La convergencia condicional es una condición comparativamente más débil, ya que la convergencia condicional de una serie no implica que una serie converja.
Con esta información, veamos un ejemplo de convergencia absoluta.
Considera la serie siguiente:
\[\suma_limits_{n=1}^{\infty }\frac{\sin n}{n^2}.\]
¿Qué tipo de convergencia (si la hay) tiene esta serie?
Solución:
Primero veamos si la serie converge de forma absoluta observando
\[\frac{{sin n}{n^2} \frac{n^2} \frac{n=1}^{infty}\left|.\ right|.\]
Esta serie es buena para utilizarla con la Prueba de Comparación Directa.
Observa que
\[0 \le \left| \sin{n} \right| \le 1,\\]
así que
\0 \le \left| \frac{sin{n}}{n^2} \right| \le \frac{1}{n^2}.\]
La serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\]
converge porque es una serie \(p-\)con \(p=2\), así que por la Prueba de Comparación Directa
\¾[¾suma_limits_{n=1}^{\infty }left| ¾frac{\text{sin}\};n}{n^2} ¾right|]
también converge.
Esto significa que la serie converge absolutamente, lo que implica que también converge por el Teorema de la Convergencia Absoluta.
La convergencia absoluta es una convergencia fuerte porque el hecho de que la serie de términos con valor absoluto converja, hace que la serie original, la que no tiene valor absoluto, también converja.
La convergencia condicional es la siguiente.
Considera la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}.\]
¿Qué tipo de convergencia (si la hay) tiene esta serie?
Solución:
Para comprobar si tiene convergencia absoluta, observa la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left| \frac{(-1)^{n+1}}{n} \right|.\]
De hecho, ésta es la serie armónica, y sabes que diverge. Por tanto, la serie original no converge absolutamente. Esto significa que no puedes utilizar el Teorema de la Convergencia Absoluta.
Ahora vamos a comprobar la convergencia de la serie. Se trata de una serie alterna donde \(a_n=\dfrac{1}{n}\). Se cumplen las condiciones para aplicar la prueba de las series alternas, ya que
- \(a_n>0\) para todo \(n\);
- los términos \(a_n\) disminuyen al aumentar \(n\); y
- \(a_n=limita {n}a {infty} {frac{1}}{n}=0\}).
A continuación, ¡más ejemplos!
Ejemplo de convergencia absoluta
Veamos otro ejemplo para ver cómo funciona la convergencia absoluta.
¿La serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}\]
¿conviene absolutamente o no?
Solución:
Puedes utilizar la Prueba de las Series Alternas para demostrar que la serie converge, pero eso no significa que converja absolutamente.
Para comprobar la convergencia absoluta tendrías que mirar
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left |(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}} \right |=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}.\]
Puedes aplicar la prueba de la raíz a la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}}\]
para ver que converge.
Recuerda que planteas la Prueba de la Raíz como:
Sea \(\suma_limites_{n=1}^{infty} a_n\) una serie y defina \(L\) por \[L=lim_{n}a \infty |izquierda | a_n |derecha |^{frac{1}{n}=lim_{n}a \infty |sqrt[n]{\izquierda | a_n |derecha |}.\}].
Entonces se cumple lo siguiente:
1. Si \(L<1\) entonces la serie es absolutamente convergente.
2. 2. Si \(L>1\), la serie diverge.
3. 3. Si \(L=1\), la prueba no es concluyente.
Puesto que la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty }\left |(-1)^{n}\frac{n^{2}+2n+5}{2^{n}} |derecha ||] converge, la serie
\converge absolutamente.
Hagamos a continuación un ejemplo con convergencia condicional.
Ejemplo de convergencia condicional
Aquí verás el ejemplo de convergencia condicional.
¿Es la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}\]
¿es absolutamente convergente o condicionalmente convergente?
Solución:
Primero comprobemos la convergencia absoluta observando
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left |\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}} | = \frac{1} {{sqrt{n}}.
Esta serie diverge según la prueba de la serie \(p-\)-. Por tanto, la serie original no converge absolutamente.
Pero ¿convergerá condicionalmente? Para comprobarlo, tienes que hallar la convergencia de la serie original. La serie original es una serie alterna con \(a_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}\). La prueba de la serie alterna, te da que la serie
\[\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-3}}{\sqrt{n}}\]
converge. Por tanto, la serie es condicionalmente convergente.
Convergencia absoluta y condicional - Puntos clave
- Si la serie \(\suma límites_{n=1}^{infty} | izquierda | a_{n} | derecha | |) converge, entonces la serie \(\suma límites_{n=1}^{infty} a_{n}) se llama absolutamente convergente.
- Si la serie ¾(¾suma_limita_{n=1}^{infty} ¾ izquierda | a_{n} ¾ derecha | |) diverge pero ¾ (¾suma_limita_{n=1}^{infty} a_{n}) converge, entonces la serie ¾(¾suma_limita_{n=1}^{infty} a_{n}) se llama convergente condicional.
- Teorema de la convergencia absoluta - Si la serie \(\suma_limites_{n=1}^{infty}|a_{n}|) converge, entonces la serie \(\suma_limites_{n=1}^{infty} a_{n}\) también converge.
- Una serie que converge puede ser absolutamente convergente o no. No puedes saberlo sin comprobarlo.
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