Figura 1. Diagrama de situación de la cafetería
En este escenario, tanto tú como tu amigo estáis comunicando la misma información sobre dónde os encontráis con respecto a la cafetería. La diferencia es que, mientras tú utilizas un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas, tu amigo utiliza un sistema de coordenadas polares. Este artículo presentará las coordenadas polares, cómo representar gráficamente las coordenadas polares, cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, y generalizaciones de las coordenadas polares en tres dimensiones.
Sistema de coordenadas polares
Probablemente estés acostumbrado a hablar de puntos en el plano refiriéndote a sus coordenadas \(x\) y \(y\). Este sistema de etiquetado de puntos se denomina sistema de coordenadas rectangulares, también conocido como coordenadas cartesianas.
Figura 2. El sistema de coordenadas rectangulares
Lascoordenadas polares son sólo una forma diferente de etiquetar puntos en el plano. En lugar de utilizar las coordenadas \(x\) y \(y\), el sistema de coordenadas polares designa los puntos en función de la distancia que los separa del origen, \(r\), y de su ángulo \(\theta\) con respecto al eje positivo \(x\), medido en sentido contrario a las agujas del reloj. Este ángulo \(\theta\) suele medirse en radianes.
Más abajo en este artículo, puedes aprender a convertir entre grados y radianes, ¡por si se te había olvidado!
Figura 3. El sistema de coordenadas polares
En principio, tanto el ángulo \(\theta\) como la distancia radial \(r\) pueden tomar cualquier valor real. En la práctica, los valores de \(r\) sólo se expresan con valores no negativos, es decir
\[ r \en [0,\infty).\]
Si \(r\) es cero, entonces, independientemente de \(\theta), el punto \((r,\theta)\) está en el polo.
Figura 4. El origen, o polo, en coordenadas polares
La convención habitual es expresarlo como si \(\theta=0\) para evitar cualquier ambigüedad.
Como ya se ha dicho, \(r\) puede tomar valores negativos, pero no suele expresarse así. En lugar de escribir un punto \((-r,\theta)\) con coordenada \(r\) negativa, se escribe la reflexión del punto \((r,\theta)\) añadiendo \(\pi\) al ángulo.
Figura 5. Un punto y su reflexión en coordenadas polares
La coordenada angular, \(\theta\), suele expresarse utilizando valores entre \(0\) y \(2\pi\), es decir
\[ \theta \en [0,2\pi).\}]
Al igual que con la coordenada radial, también es posible obtener un punto \((r,-\theta)\) con coordenada \(\theta\) negativa. Puedes obtener este punto girando en el sentido de las agujas del reloj desde el eje x positivo en \(\theta\) en lugar de en el sentido contrario.
Figura 6. Dos puntos con signos \(\theta\) opuestos
Las coordenadas polares y cartesianas introducen implícitamente la noción de diferentes métricas y diferentes formas de hablar de la distancia. Volviendo a nuestro escenario de la cafetería, podrías decir que tú y tu amigo estáis a \(8\) manzanas de la cafetería (4 manzanas a través y \(4\) manzanas hacia abajo), o que estáis a \(1\) milla (\(1,61 km\)) de la cafetería. Ambas nociones de distancia tienen sus ventajas. La "distancia en bloques", llamada métrica del taxi, te indica cuánto tienes que andar para llegar a la cafetería si debes permanecer en la acera. La "distancia diagonal", o métrica euclidiana, te indica el camino más corto que podrías tomar para llegar a la cafetería, suponiendo que puedas atravesar diagonalmente las manzanas de la ciudad.
Las métricas y sus espacios métricos asociados son cada vez más importantes a medida que sigues estudiando matemáticas y tienen increíbles aplicaciones prácticas en áreas que van desde la ciencia de datos al procesamiento de señales o la mecánica cuántica.
Terminología de las coordenadas polares
Hay varios términos que es importante conocer cuando se trabaja con coordenadas polares. El punto que llamamos origen cuando trabajamos con coordenadas rectangulares se llama polo cuando trabajamos con coordenadas polares. Lo que llamamos eje x cuando trabajamos con coordenadas rectangulares se llama eje polar cuando trabajamos con coordenadas polares.
El eje polar también se conoce como dirección de referencia.
La distancia desde el origen denotada como coordenada \(r\), también se denomina radio, coordenada radial o distancia radial. La coordenada \(\theta\) se denomina coordenada angular, ángulo polar o acimut.
Tabla 1. Terminología utilizada en coordenadas polares
| Nombre(s) en coordenadas rectangulares | Nombre(s) en coordenadas polares |
| Origen | Polo |
| Eje horizontal, o eje \(x\) | Eje polar, o dirección de referencia |
| Distancia desde el origen | Coordenada radial, radio o distancia radial |
| Ángulo en el sentido contrario al de las agujas del reloj respecto al eje \(x\)-positivo | Coordenada angular, ángulo polar o acimut |
Grados y radianes
La coordenada angular \(\theta\) suele especificarse en grados o en radianes. Grados y radianes son sólo formas distintas de medir ángulos.
Algebraicamente, la relación entre grados y radianes es la siguiente:
\[\begin{align} k\pi\text{ radianes } &= 180k \text{ grados } \\ k\text{ grados } &= \dfrac{k\pi} {180} \fin]]
El ángulo \(30^{circ}\}) puede escribirse en radianes. Utilizando la conversión
\[k\text{ grados} = \dfrac{k\pi}{180}\text{ radianes}, \]
obtendrás que
\[ \begin{align} 30 grados &= 180 radianes \\ y = 6 radianes. \fin].
A la inversa, un ángulo de \(\tfrac{\pi} {4}) radianes puede escribirse como grados. Utilizando la conversión
\[k\pi\text{ radianes} = 180k \text{ grados}, \]
obtendrás que
\[\begin{align} \4 radianes &= \frac{1 \, \pi \text{radianes}} {4} \\ y= 180 grados. \\ y= 45 grados. \fin]
Representaciones múltiples de puntos en coordenadas polares
Uno de los aspectos interesantes de trabajar con coordenadas polares es que cada punto tiene infinitas coordenadas polares que lo describen. Ya lo has señalado antes para el polo, que dijimos que está representado por \((0,\theta)\) para cualquier valor de \(\theta\). Por ejemplo, las coordenadas \((0,0)\), \((0,-\pi)\) y \(\left(0,\tfrac{cuadrado{\pi}}{17}\right)\) representan el polo.
Cabe señalar que esta representación multivaluada suele evitarse y las coordenadas se muestran en el rango
\[ r \en [0,\infty)\]
y
\[ \theta \en [0,2\pi).\]
Sin embargo, para algunos escenarios especiales, como la descripción del movimiento en Física, estos dominios se amplían para que ambos incluyan todos los números reales.
En general, los puntos \((r,\theta)\) y \((r,\theta+2n\pi)\) para cualquier número entero \(n\) describen el mismo punto. Los puntos \((-r,\theta)\) y \((r,\theta+m\pi)\), donde \(m\) es un entero impar , también describen el mismo punto.
Geométricamente, \((r,\theta)\) y \((r,\theta+2n\pi)\) representan el mismo punto, porque añadir \(2n\pi\) equivale a girar el punto \(2n\pi\) radianes, o algún múltiplo de 360 grados. Rotar un múltiplo de \(2\pi\) no cambia la posición del punto, por lo que \((r,\theta)\) y \((r,\theta+2n\pi)\) representan el mismo punto.
Figura 7. Múltiples representaciones de un mismo punto en coordenadas polares
Las coordenadas \(\left(1,\tfrac{pi}{4}\right)\} y \(\left(1,\tfrac{9\pi}{4}\right)\} describen el mismo punto, ya que
|inicio{alineación} \frac{9\pi}{4} &=\frac{\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}\\ &=\frac{\pi}{4}+2\pi. \fin].
Del mismo modo, las coordenadas \(\izquierda(-10,\tfrac{5\pi}{6}\derecha)\}) e \(\izquierda(10,\tfrac{11\pi}{6}\derecha)\} describen el mismo punto, ya que
\[Inicio \frac{11\pi}{6} &= \frac{5\pi}{6}+\frac{6\pi}{6} \\ ¾ &= ¾frac{5\pi}{6}+\pi. \fin].
Cómo convertir de coordenadas rectangulares a polares
A estas alturas, ya te habrás dado cuenta de que trabajar con coordenadas polares tiene sus ventajas, así que aquí puedes aprender a convertir de coordenadas rectangulares a coordenadas polares.
Dado un punto en coordenadas cartesianas, puedes encontrar una expresión para ese mismo punto en coordenadas polares. Para ello, puedes utilizar las fórmulas
\[\begin{align}r&=\sqrt{x^2+y^2} \theta &= \arctan{left( \frac{y}{x}\right)}. \fin \]
También puedes encontrar la función arctangente escrita como la función tangente inversa, es decir
\[ \theta = \tan^{-1}{izquierda( \frac{y}{x}\derecha)}}.
Para ver de dónde salen estas fórmulas, supongamos que te dan un punto \((x,y)\) en coordenadas rectangulares y quieres saber sus correspondientes coordenadas polares \((r,\theta)\). Si graficaras el punto, obtendrías algo parecido a la siguiente imagen.
Figura 8. Un punto del plano representado en coordenadas polares y rectangulares
Puedes utilizar hechos conocidos sobre triángulos rectángulos para escribir las relaciones entre \(x\), \(y\), \(r\) y \(\theta\). En primer lugar, observa que puedes utilizar el Teorema de Pitágoras para escribir
\[x^2+y^2=r^2.\]
A partir de aquí, puedes resolver para \(r\) para obtener la primera fórmula,
\[ r = \sqrt{x^2+y^2}.\]
También puedes utilizar el hecho de que la tangente de un ángulo \(\theta\) en un triángulo rectángulo es el cociente entre su lado opuesto y su lado adyacente, de modo que puedes escribir
\[ \tan{\theta} = \frac{y}{x}.\]
Ahora puedes utilizar la función tangente inversa para aislar \(\theta\), es decir
\[ \theta = \arctan{izquierda( \frac{y}{x}\derecha)}.\]
El punto
\[ P=(3, 4)\]
está dado en coordenadas cartesianas. Escribe \(P\) en coordenadas polares.
Solución:
Para hallar \(r\) basta con elevar al cuadrado cada componente del punto, sumarlas y sacar la raíz cuadrada, es decir
\[ \begin{align} r &= \sqrt{x^2+y^2} \\ y= raíz cuadrada de 3^2+4^2 \\ y= razón cuadrática {9 +16} \\ y = el cuadrado de 25 \\ &= 5. \fin].
A continuación, halla el ángulo mediante
\[\theta = \arctan{izquierda(\frac{y}{x}\derecha)}\}].
con ayuda de una calculadora, es decir
\[\begin{align} \theta &= \arctan{frac{y}{x}} \ta &= \arctan{izquierda(\frac{4}{3} {derecha)} \ta &= 0,9272. \fin \]
Recuerda que este ángulo suele indicarse en radianes, ¡así que asegúrate de que tu calculadora los utiliza!
Esto significa que el punto \(P\) en coordenadas polares es
\[ P =(5,0.9272).\]
Como tienes que utilizar la función tangente inversa para hallar el ángulo \(\theta\), es mejor discutirlo un poco más.
Tangente y arctangente
Al utilizar la fórmula
\[\theta=\arctan{\left(\frac{y}{x}\right)},\]
debes tener en cuenta ciertos tecnicismos relacionados con las funciones tangente y arctangente.
En primer lugar, observa que esta expresión es indefinida cuando \(x=0\). En este caso, el punto \((x,y)\) debe estar en el eje \(y\)-. Por tanto, \(\ta) debe ser \(\tfrac{\pi}{2}\) o \(-\tfrac{\pi}{2}\), dependiendo de si \(y\) es positivo o negativo.
Figura 9. Dos puntos en coordenadas polares cuando \(x=0\)
A continuación, dado cualquier \(\tfrac{y}{x}), en realidad hay dos valores de \(\theta\) en \([-\pi,\pi]\) que satisfacen \(\tan(\theta)=\tfrac{y}{x}).
Dados \(y=1\) y \(x=1\), los ángulos \(\tfrac{\pi}{4}\) y \(-\tfrac{3\pi}{4}\) cumplen que
\[ \tfrac{pi}{4}} \&=tanquierda(-\dfrac{3\pi}{4}derecha) &=dfrac{y}{x} \\ &=dfrac{1}{1} \\&=1. \fin].
Observa que estos ángulos son reflexiones entre sí; siempre es así.
Para asegurarte de que estás especificando el punto correcto al escribir un punto en coordenadas polares, debes asegurarte de que el ángulo \(\tfrac{pi}{2}\ que utilizas está en el cuadrante correcto. La función arctangente sólo devuelve ángulos comprendidos entre \(-\tfrac{\pi}{2}}) y \(\tfrac{\pi}{2}}), por lo que \(\arctan\left(\tfrac{y}{x}\right)\) sólo devuelve el valor correcto para \(\theta) si el punto \((x,y)\) está en el primer o cuarto cuadrante.
Figura 10. Gráfica de la función arctangente
Además, como los valores de \(\theta\) se suelen dar entre \(0\) y \(2\pi\), también tienes que hacer una corrección si el ángulo que obtienes de la calculadora es negativo. La tabla siguiente resume cómo hallar \(\theta\).
Tabla 2. Relación entre el signo de \(x\) y el ángulo \(\theta\)
| Cuadrante | Signo de \(x\) | Signo de \(y\) | \( \theta\) |
| I | \(+\) | \(+\) | \(\theta=\arctan\izquierda(\dfrac{y}{x}derecha)\) |
| II | \(-\) | \(+\) | \(\theta=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi\) |
| III | \(-\) | \(-\) | \(\theta=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)+\pi\) |
| IV | \(+\) | \(-\) | \(\theta=\arctan\left(\dfrac{y}{x}\right)+2\pi\) |
Considera el punto \( P= (-2,1) \).
- ¿En qué cuadrante está \(P\)?
- Halla su coordenada \(r\).
- Halla su coordenada \(\eta).
Solución:
- Como la coordenada \(x\) es negativa y su coordenada \(y\) es positiva, el punto \(P\) está en el segundo cuadrante (II).
- Este paso es bastante sencillo, basta con utilizar la fórmula para \(r\), es decir\[ \begin{align} r &= \sqrt{x^2+y^2} |= \sqrt{(-2)^2+1^2} \\y = razón cuadrática 4+1 \\y= cuadratura de 5.end \]
- Acabas de averiguar que \(P\) está en el segundo cuadrante, así que utiliza una calculadora y averigua que\[\begin{align} \theta &= \arctan{left( \frac{1}{-2}\right)}+\pi \tta &= \arctan{left(-0,5\right)}+\pi \tta &= -0,463647+3,141592 \tta &= 2,677945.\end{align}].
Cómo convertir de coordenadas polares a coordenadas rectangulares
Supongamos ahora que te dan un punto en coordenadas polares y quieres saber cómo expresar ese punto utilizando coordenadas rectangulares. Para este caso, también puedes utilizar el mismo diagrama del triángulo rectángulo que relaciona \(x\), \(y\), \(r\) y \(\eta).
Figura 11. Un punto del plano representado en coordenadas polares y rectangulares
Concéntrate en el ángulo \(\theta\). Como tienes un triángulo rectángulo, puedes escribir el seno del ángulo como
\[ \sin{\theta} = \frac{y}{r}\}].
Del mismo modo, el coseno del ángulo es
\[ \cos{\theta} = \frac{x}{r}\}]
Resolviendo cada expresión para \(x\) y \(y\) obtendrás:
\[ x=r\,\cos{{theta}\}]
y
\y=r, seno de laeta].
A diferencia de lo que ocurre al pasar de coordenadas rectangulares a coordenadas polares, las expresiones anteriores no necesitan que tengas en cuenta ninguna consideración especial. ¡No pueden ser más sencillas!
Antes has comprobado que el punto \(P=(-2,1) \) tenía:
\[ r = \sqrt{5}\]
y
\[ \theta = 2,677945 \}].
Comprueba que los valores anteriores son correctos.
Solución:
Para hallar la coordenada \(x\) utiliza
\[ x = r \, \cos{{theta},\]
entonces utiliza una calculadora y halla
\x &= cuadrado5 \cdot \cos{2,677945} \\ &= -2. \end{align}\}]
Para la coordenada \(y), utiliza en su lugar:\[ y = r\, \sin{\\theta}\]
es decir
\y &= \sqrt{5} \cdot \sin{2,677945} \\ &= 1. \end{align}\}]
Los valores anteriores son precisamente las coordenadas rectangulares del punto \(P\).
Gráficas de coordenadas polares
Puedes utilizar varios recursos electrónicos para representar gráficamente puntos en coordenadas polares. Por ejemplo, en Geogebra, puedes representar gráficamente un punto \((r,\theta)\) escribiendo \((r;\theta)\). Muchas calculadoras gráficas también te permiten trazar puntos utilizando coordenadas polares, al igual que programas y lenguajes de programación como Python, Octave y Matlab. Para obtener información sobre cómo trazar curvas polares, consulta el artículo Curvas polares.
Ejemplos de conversión entre coordenadas polares y coordenadas rectangulares
¡Aquí puedes ver algunos ejemplos de conversión entre ambos sistemas de coordenadas!
Ejemplos de conversión de coordenadas rectangulares a polares
Para estos ejemplos, supón que te dan un punto en coordenadas rectangulares y quieres encontrarlo escrito en coordenadas polares.
Convierte el punto \[ P= \left(-2\sqrt{3},-2\right)\}]
de coordenadas rectangulares a polares.
Solución:
En primer lugar, observa que este punto está en el tercer cuadrante, ya que tanto \(x\) como \(y\) son negativos.
A continuación, halla \(r\) utilizando
\[r=\sqrt{x^2+y^2},\]
es decir
\[\begin{align}r&=\sqrt{\left(-2\sqrt{3}\right)^2+(-2)^2} \\ &=cuadrado 4(3)+4} \\ y= cuadrado 12+4 \\ &= cuadrado de 16 &=4.end].
A continuación, halla theta. Como el punto está en el tercer cuadrante, tendrás que usar {[\ta=arctan}(\frac{y}{x})+pi,\}].
es decir
\[\begin{align}\theta&=arctan+izquierda(\frac{-2}{-2sqrt{3}}derecha)+\pi \tta&=arctan+izquierda(\dfrac{1}{sqrt{3}}derecha)+\pi \tta&=dfrac{\pi}{6}+\pi \tta&=dfrac{7}{6}.\final{align}\}].
Por tanto, el punto \(\izquierda(-2sqrt{3},-2\derecha)\} en coordenadas polares es \(\izquierda(4,\tfrac{7\pi}{6}\derecha)\}.
He aquí otro ejemplo.
Convierte el punto
\[ Q = \left(\tfrac{3\sqrt{2}}{2},-\tfrac{3\sqrt{2}}{2}}right)\].
de coordenadas rectangulares a polares.
Solución:
Empieza por observar que este punto está en el cuarto cuadrante porque \(x\) es positivo y \(y\) es negativo.
Ahora halla \(r\) como de costumbre, es decir
\[\begin{align} r &= \sqrt{\left(\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2+\left(-\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\right)^2} \\ &= \sqrt{dfrac{9\cdot2}{4}+\dfrac{9\cdot2}{4} \\ y=cuadrado dedfrac9+dfrac9 \\ &=3.\final{align}\f]
Anteriormente has comprobado que el punto se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo que tendrás que utilizar
\[ \theta = \arctan{izquierda( \frac{y}{x} \derecha)}+2\pi.\}]
Antes de continuar, observa que los valores \(x\) y \(y\) son iguales, sólo que con signos opuestos. Esto significa que
\[ \frac{y}{x}=-1,\]
por lo que no necesitas escribir toda la enorme fracción, ya que se simplificará a \(-1\). Sabiendo esto
\[ \begin{align} \ta &= \arctan{-1}+2\pi \ta &= -\frac{\pi}{4}+2\pi \ta &= \frac{7\pi}{4}.\end{align}\ta].
Esto significa que el punto \(Q\) escrito en coordenadas polares es
\Q = izquierda (3, frac 7pi 4 derecha).
Ejemplos de conversión de coordenadas polares a rectangulares
Para el siguiente ejemplo, supongamos que te dan un punto en coordenadas polares y quieres saber cómo se escribe en coordenadas rectangulares.
Convierte el punto
\[\left(4,-\tfrac{\pi}{3}\right)\]
de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
Solución:
Empieza por hallar \(x\) mediante la fórmula \(x=r\cos(\theta)\).
\[\begin{align} x&=4\cosquierda(-\dfrac{\pi}{3}\derecha) \\ &= 4\izquierda(\dfrac{1}{2}\derecha) \&=2.\end{align}]
A continuación, halla \(y\), mediante la fórmula \(y=r\sin(\theta)\).
\[\begin{align} y&=4\sin-izquierda(-\dfrac{\pi}{3}\derecha) \\ {\begin{align}} &= 4\izquierda(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\b}derecha) \ {\begin{align}} &=-2\sqrt{3}.\final{align}}]
Así pues, el punto \(\left(4,-\tfrac{\pi}{3}\right)\} en coordenadas cartesianas es \((2,-2\sqrt{3})\}.
He aquí un último ejemplo.
Convierte el punto
\[\left(5,\tfrac{3\pi}{4}\right)\]
de coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
Solución:
Primero, halla \(x\) mediante la fórmula \(x=r\cos(\theta)\).
\[\begin{align} x&=5\cosquierda(\dfrac{3\pi}{4}derecha) &= 5\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}derecha) &=-\dfrac{5\sqrt{2}}{2}.\end{align}].
A continuación, halla \(y\), mediante la fórmula \(y=r\sin(\theta)\).
\[\begin{align} x&=5\sinquierda(\dfrac{3\pi}{4}\derecha) &= 5\izquierda(\dfrac{2\qrt}{2}\2}derecha) &=\dfrac{5\qrt}{2}.\final{align}]
Por tanto, el punto \(\left(5,\tfrac{3\pi}{4}}\right)\) en coordenadas cartesianas es \(\left(-\tfrac{5\sqrt{2}}{2},\tfrac{5\sqrt{2}}{2}}right)\).
No te preocupes si tu calculadora no te da los valores exactos de las funciones trigonométricas. Si le das un valor decimal, la respuesta sigue siendo la misma.
Coordenadas polares - Puntos clave
- El sistema de coordenadas polares es un sistema de etiquetado de puntos en el plano por su distancia al origen y su ángulo con respecto al eje x positivo.
- Hay múltiples formas de representar cualquier punto en coordenadas polares.
- Al convertir de coordenadas rectangulares a polares, ten cuidado de en qué cuadrante está tu punto, y asegúrate de utilizar la función arctangente adecuada.
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