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Figura 1. Semillas de girasol dispuestas en espirales logarítmicas - Pixabay
Otros fenómenos naturales con formas que pueden describirse mediante espirales logarítmicas son las conchas de los nautilos e incluso algunas galaxias.
Figura 2. Una galaxia con la forma aproximada de una espiral logarítmica - Pixabay
Este artículo presenta las curvas polares, incluyendo ejemplos importantes de curvas polares, algunas de sus simetrías y cómo representarlas gráficamente.
Fórmula de la curva polar
Puede que estés acostumbrado a escribir funciones de la forma
\[ y=f(x),\]
donde la relación entre \( x \) y \( y \) conduce a una curva en el plano. Cuando una función se escribe en términos de \( x \) y \( y \), decimos que está escrita en coordenadas cartesianas, también conocidas como coordenadas rectangulares.
En cambio, las curvas polares son curvas escritas en términos de coordenadas polares \( r \) y \( \theta.\) Para describir mejor las coordenadas polares, considera un punto del plano.
Imagen 1. Un punto en el plano
A continuación, dibuja un segmento que vaya desde el origen hasta ese punto.
Imagen 2. Segmento que une el origen y el punto del plano
Las coordenadas polares describen la posición de un punto en el plano en términos de \( r \) y \( \theta,\) donde
\[ r = \sqrt{x^2+y^2},\]
es la distancia desde el origen a un punto del plano (la longitud del segmento mostrado en el diagrama), y
\[ \theta = \arctan{frac{y}{x},\}]
es el ángulo entre el eje positivo \(x-\)y la recta que une el origen con el punto.
Imagen 3. Representación gráfica de las coordenadas polares.
Otra forma de describir las coordenadas polares es mediante las ecuaciones
\[ x = r\,\cos{\theta}\}]
y
\[ y = r\,\sin{\theta}}.
Una curva polar es una función descrita en términos de coordenadas polares, que puede expresarse en general como
\[ f(r,\theta).\]
Ten en cuenta que las funciones descritas por coordenadas polares no suelen superar la prueba de la línea vertical. ¡La prueba de la recta vertical sólo se aplica a las funciones que se escriben como \( y=f(x)\)!
La ecuación
\[ r = 3\sin{izquierda(\frac{2}{3}eta\derecha)}\}]
define una curva polar. Su gráfica tiene el siguiente aspecto,
Figura 3. Una curva rosa
Puedes ver la curva anterior como el conjunto de todos los pares \( (r,\theta)\) que satisfacen la ecuación
\[ r = 3\sin{izquierda(\frac{2}{3}\theta\\derecha)}.\]
Para más información sobre las coordenadas polares, qué son y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, consulta nuestros artículos sobre Coordenadas polares y Derivación de funciones escritas en coordenadas polares.
Tipos de curvas polares
Algunos tipos de curvas pueden expresarse de forma más natural en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Seis clases importantes de tales curvas son,
- Limaçons
- Cardioides
- Curvas rosas
- Espirales arquimedianas
- Espirales logarítmicas
- Lemniscatas
Limaçons
Una limaçon es una curva polar definida por la ecuación
\[ r = a \pm b \sin{\theta}\]
o
\[ r = a \pm b \cos{\theta},\}]
donde \( a \) y \( b \) son constantes. Hay tres tipos de limaçons,
- Looped (limaçons donde \( a < b \)),
- Cardioides (limaçons donde \( a = b \)),
- Con hoyuelos (limaçons donde \( a > b \)).
Limaçon en bucle
Por ejemplo, la limaçon definida por
\[ r = 2 + 3 \sin{\theta},\}]
es una limaçon con bucle porque \( 2 < 3. \) He aquí su gráfico.
Figura 4. Una limaçon con bucles
Limaçon con bucle
Como otro ejemplo, la curva
\[ r = 4 - \cos{\theta}\]
es una limaçon con hoyuelos porque \( 4 > 1. \) Tiene el siguiente aspecto,
Observa que las limaçons definidas mediante el coseno son simétricas respecto al eje horizontal, mientras que las limaçons definidas mediante el seno son simétricas respecto al eje vertical.
Limaçon es sin duda un nombre raro, ¿verdad? ¡Hay una razón por la que se utiliza este nombre!
El nombre limaçon, traducido del francés, significa literalmente "caracol". Este nombre procede de ciertos tipos de limaçons que parecen conchas de caracol.
Cardioides
Los cardioides son casos especiales de limaçons llamados así por su forma de corazón. La ecuación de un cardioide es
\[ r = a(1-\cos{\theta}),\}]
donde \( a \) es alguna constante. Por ejemplo, la cardioide
\[ 1- \cos{\theta}\] tiene este aspecto,
Figura 6. Una cardioide
Curvas rosas
Las curvas rosas son curvas polares llamadas así por Guido Grandi, un matemático italiano que las estudió a principios del siglo XVIII. Se definen mediante ecuaciones de la forma
\[ r = a\sin{\izquierda(n\eta\derecha)},\].
o
\r = a\cos{izquierda(n\eta\derecha)},\].
donde \( a \) es una constante que determina el tamaño de la flor y \( n \) es una constante que determina el número y la colocación de los pétalos. Por ejemplo, la curva de la rosa
\[ r = \cos{{izquierda( 9\theta \derecha)},\]
tiene este aspecto,3
Figura 7. Una curva de rosa utilizando la función coseno
Por su parte, la curva de la rosa
\[ r = 3 \sin{left( 9 \theta \right) } ,\]
tiene este aspecto
Figura 8. Una curva de rosa definida mediante la función seno
Ambas rosas tienen el mismo número de pétalos. Esto se debe a que \( n \) se fija en 9 en ambas ecuaciones. Sin embargo, una de las rosas está escalada por un factor de 3, lo que corresponde al hecho de que tiene \( a=3.\) También puedes observar que una rosa está girada con respecto a la otra, lo que corresponde al hecho de que una está definida en términos de función seno, mientras que la otra está escrita utilizando la función coseno.
No es necesario que el valor \(n\) sea un número entero. Por ejemplo, la curva de la rosa
\[ r = 3 \cos{{izquierda(\frac{4}{7}\theta \derecha)},\}}
tiene este aspecto,
Figura 9. Una curva rosa con valor no entero de \( n\)
Las curvas de rosa con valores irracionales de \(n\) (como \(\pi\), por ejemplo) pueden ser especialmente interesantes porque en realidad nunca se completan. Dada una curva rosa irracional \(f\) y un punto arbitrario \(P\) en el disco que contiene \(f\), por mucho que te acerques a \(P\), hay un punto de \(f\) más cerca de \(P\) que tú. \(f\) es un ejemplo de conjunto denso; otro ejemplo es el conjunto de los números racionales en la recta real.
Espirales arquimedianas
Una espiral de Arquímedes es una curva polar definida por la ecuación
\[r = b\theta.\]
Existe una versión generalizada de la espiral de Arquímedes, llamada neoide, definida por la ecuación
\[ r = a + b\theta, \]
donde \( a \) y \( b \) son constantes. La constante \( a \) determina el valor de la curva en \( \theta = 0 \) (el eje \( x-\)positivo), y \( b \) corresponde al tamaño de la espiral.
Las espirales arquimedianas tienen otra particularidad, ya que existe una distancia de separación constante entre segmentos consecutivos de la espiral que es igual a \(2\pi b\). Por ejemplo, la neoide
\[ r = 1 + 3\theta,\]
tiene este aspecto,4
Figura 10. Una neoide descrita por \( r = 1 + 3\theta \)
Las espirales arquimedianas son curvas polares que deben su nombre al antiguo matemático griego Arquímedes. Arquímedes escribió un libro entero, Sobre las espirales, acerca de estas curvas y sus aplicaciones.
Espirales logarítmicas
Otro tipo importante de espiral es la espiral logarítmica. Las espirales logarítmicas son curvas polares definidas por la ecuación
\[ r = a e^{b\theta},\]
donde \( a \) y \(b \) son constantes. Las espirales logarítmicas reciben su nombre del hecho de que puedes aislar \( \theta \) y escribirla en términos del logaritmo natural de \(r.\)
Por ejemplo, la espiral logarítmica
\[ r = 2e^{frac{1}{3}\theta},\\}]
tiene este aspecto,
Figura 11. Una espiral logarítmica
La espiral logarítmica también recibe el nombre de spira mirabilis, que significa "espiral milagrosa" en latín.
Óvalos de Cassini
Los óvalos de Cassini son curvas polares descubiertas en 1680 por Giovanni Domenico Cassini. Se definen mediante la ecuación
\[ r^4 = 2a^2r^2\cos{\left(2\theta \right)} + b^4 - a^4,\]
donde \( a \) y \( b \) son constantes. La relación entre \(a\) y \(b\) determina la forma del óvalo de Cassini de la siguiente manera,
- Si \(\frac{b}{a} > 1\), el óvalo tiene 1 bucle,
- Si \(\frac{b}{a} < 1\), el óvalo tiene 2 bucles separados,
- Si \(\frac{b}{a} = 1\), resulta un lemnisco.
Por ejemplo, el óvalo de Cassini
\[ r^4 = 2(2)^2r^2\2cos{{izquierda(2\theta\derecha)}+(3)^4-(2)^4,\}].
tiene este aspecto,4
Figura 12. Un óvalo de Cassini
Lemniscates
Las lemniscatas son tipos especiales de óvalos de Cassini que parecen ochos. Los lemniscados se definen mediante la ecuación
\r^2 = a^2\sin{izquierda( 2\theta\derecha)},\}].
o
\[ r^2 = a^2\cos{izquierda( 2\theta\derecha)},\}donde \( a \) es una constante. Estas curvas se obtienen estableciendo \( a= b\) en la ecuación de un óvalo de Cassini. Por ejemplo, la lemniscata
\[ r^2 = 4\cos{{izquierda( 2 \theta \derecha)},\}]
tiene este aspecto,
Figura 13. Una lemniscata utilizando la función coseno
Las lemniscatas definidas en términos de seno son idénticas a las definidas en términos de coseno, sólo que giradas 45 grados.
Figura 14. Una lemniscata utilizando la función seno
Las curvas polares aparecen en algunos lugares interesantes y quizá inesperados. Por ejemplo, puede que hayas oído hablar del conjunto de Mandelbrot. El conjunto de Mandelbrot es un ejemplo de fractal, una forma que contiene copias de sí misma a diferentes escalas.
El conjunto de Mandelbrot contiene varias de las curvas de las que hemos hablado. Por ejemplo, el bulbo principal del conjunto tiene forma de cardioide.5
Figura 15. El límite de una sección del conjunto de Mandelbrot
Acercándote al borde del conjunto, puedes ver espirales logarítmicas.5
Figura 16. Se pueden encontrar espirales logarítmicas en el conjunto de Mandelbrot
El límite del conjunto de Mandelbrot, aunque es increíblemente complejo, en realidad puede construirse utilizando una secuencia de lemniscatas.
Simetrías de las curvas polares
Las curvas polares suelen tener simetrías que puedes aprovechar al representarlas gráficamente y estudiar sus propiedades. Comúnmente, hay tres simetrías implicadas cuando se trata de curvas polares,
La tabla siguiente resume las distintas simetrías y cómo buscarlas.6
| Nombre | Eje de simetría | Prueba |
| Simetría respecto al polo | $$\theta = \frac{3\pi}{4}$$ | Sustituye \(r\) por \(-r\) o (equivalentemente) sustituye \(\theta\) por \(\pi + \theta\). |
| Simetría respecto al eje polar | $$\theta = \pi$$ | Sustituye \(r\) por \(-r\) y \(\theta\) por \(\pi - \theta\), o (equivalentemente) sustituye \(\theta\) por \(-\theta\). |
| Simetría respecto al eje vertical | $$\theta = \frac{\pi}{2}$$ | Sustituye \(r\) por \(-r\) y \(\theta\) por \(-\theta\), o (equivalentemente) sustituye \(\theta\) por \(\pi - \theta\). |
Simetría respecto al eje polar
La simetría respecto al eje polar es lo mismo que la simetría respecto a la recta \( \theta = \pi,\) el eje horizontal. Una curva polar es simétrica respecto al eje polar si puedes voltear la gráfica respecto al eje horizontal y volver a obtener la misma gráfica con la que empezaste. Equivalentemente, esto significa que si el punto \( (r,\theta)\) está en la curva polar, entonces el punto \( (r,-\theta) \) obtenido volteando \( (r,\theta) \) alrededor del eje horizontal también está en la curva.
Hay un par de pruebas que puedes utilizar para comprobar si una curva es simétrica respecto al eje polar. Si te dan una ecuación para una curva polar y puedes sustituir cada instancia de \( \theta \) por \( -\theta, \) y recuperar la misma ecuación, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar. Esto es lo mismo que comprobar si, dado un punto \( (r,\theta) \) en la curva, el punto \( (r,-\theta) \) está también en la curva polar.
Otra prueba que puedes hacer es sustituir \( r \) por \( -r \) y \( \theta \) por \( \pi - \theta.\) Esta prueba funciona porque el punto \( (-r,\pi-\theta) \) es el mismo que el punto \( (r,-\theta),\) sólo que representado de forma ligeramente distinta.
Comprueba la curva de la rosa
\[ r = 3 \cos{{izquierda(2\ta\derecha)},\}
para comprobar su simetría respecto al eje polar.
Solución
Empieza por \( \theta \) por \( -\theta.\) Esto te dará
\[ \begin{align} r &= 3\cos{\left(2(-\theta)\right)} &= 3\cos{(-2\theta)}. \fin].
La función coseno tiene la propiedad
\[\cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\]
para cualquier valor de \( \theta,\) por lo que
\r &= 3 \cos{(-2\theta)} &= 3\cos{(2\theta)}. \fin]]
Como ésta es la misma ecuación con la que empezaste, esta prueba tiene éxito. Por tanto, esta curva rosa es simétrica respecto al eje polar.
Figura 17. Una curva rosa con simetría respecto al eje polar
Si una curva polar supera una prueba de simetría, entonces definitivamente tiene esa simetría. Sin embargo, aunque una curva polar no supere todas las pruebas de simetría que intentes, puede que siga teniendo esa simetría. Esto se debe al hecho de que las curvas polares tienen muchas representaciones algebraicas equivalentes, y no siempre puedes saber con sólo mirar dos ecuaciones si describen la misma curva.
Simetría respecto al polo
Si una curva polar es simétrica respecto al polo, al voltearla respecto a la recta
\[ \theta = \frac{3\pi}{4}\]
no cambia su gráfica. Equivalentemente, una curva polar es simétrica respecto al polo si, para cualquier punto \( (r,\theta)\) de la curva, el punto \( (-r,\theta) \) también está en la curva. Para comprobar la simetría respecto al polo, puedes sustituir \( r \) por \( -r \) y ver si vuelves a obtener la misma ecuación. También puedes probar a sustituir \( \theta \) por \( \theta + \pi.\)
Prueba la lemniscata
\[ r^2 = 4\sin{ izquierda( 2\theta \derecha)},\}
para comprobar la simetría respecto al polo.Solución
Primero, prueba a sustituir \( r \) por \( -r, \) es decir
\[ \begin{align} (-r)^2=4\sin{(2\theta)} \ r^2 = 4\sin{(2\theta)}. \end{align}\]
Como la ecuación que has obtenido es la misma que la original, esta lemniscata es simétrica respecto al polo. También puedes intentar la otra prueba de simetría y sustituir \( \theta \) por \( \theta+\pi, \) es decir
\[ \begin{align} r^2 &= 4\sin{\izquierda(2(\theta+\pi) \derecha)} \ {\i} &= 4\sin{(2\theta+2\pi)}. \fin].
La función seno tiene un periodo de \(2\pi,\pi), lo que significa que la identidad
\[ \sin{(\theta+2\pi)}]
es cierta para cualquier valor de \(\theta,\pi), por lo que
\r^2 = 4 \sin{(2\theta)}.
Una vez más, la ecuación es la misma que la original, por lo que la curva tiene simetría respecto al polo.
Figura 18. Una lemniscata con simetría respecto al polo
Simetría respecto al eje vertical
Por último, la simetría respecto al eje vertical es lo mismo que la simetría respecto a la recta
\[ \theta = \frac{\pi}{2}.\}]
Para comprobar la simetría respecto al eje vertical, prueba a sustituir \( r \) por \( -r \) y \( \theta \) por \( -\theta.\) También puedes probar a sustituir \( \theta \) por \( \pi-\theta.\)
Prueba la limaçon
\[ r = 2+3\sin{\theta},\}]
para comprobar la simetría respecto al eje vertical.
Solución
Empieza sustituyendo \( r \) por \( -r \) y \( \theta \) por \( -\theta,\) es decir
\[ -r = 2 + 3 \sin{(-\theta)},\]
donde puedes utilizar el hecho de que la función seno es una función impar, lo que significa que
\[ \sin{(-\theta)}=-\sin{\theta}\]
para cualquier valor de \( \theta,\) por lo que
\[ \begin{align} -r &= 2 -3\sin{\theta} \\r &= -2+3\sin{\theta}. \fin]]
Como la ecuación anterior no es igual a la original, esta prueba no te dice si la curva es simétrica respecto al eje vertical. Sin embargo, si pruebas a sustituir \( \theta \) por \( \pi-\theta,\) obtendrás
\[ r = 2 +3 \sin{(\pi-\theta)},\]
y ahora puedes utilizar la identidad
\[ \sin{(\pi-\theta)} = \sin{\theta},\].
así que
\[ r = 2 + 3 \sin{\theta}.\]
La ecuación anterior es equivalente a la ecuación original, lo que demuestra que esta limaçon es simétrica respecto al eje vertical.
Figura 19. Una limaçon con simetría respecto al eje vertical
Graficar curvas polares
Has visto una gran variedad de curvas polares y sus gráficas. Supongamos ahora que te dan una fórmula y quieres representar gráficamente la curva polar.
Una estrategia consiste en aprender las fórmulas de ejemplos importantes de curvas polares y comprender sus gráficas correspondientes. Muchas de las curvas con las que se te puede pedir que trabajes son variantes de las curvas polares comentadas anteriormente, por lo que conocer estas curvas, sus ecuaciones y sus propiedades puede ser bastante útil. Sin embargo, lo más probable es que no todas las curvas polares con las que te encuentres tengan una fórmula que reconozcas. ¡Por no hablar de la tarea de memorizar todas las formas y fórmulas!
Aquí puedes ver algunas alternativas para representar gráficamente curvas polares.
Graficar curvas polares manualmente
Hay varias estrategias que puedes utilizar cuando grafiques curvas polares manualmente. En estos casos, una de las primeras cosas que puedes hacer es comprobar la periodicidad. Si la función que estás representando es periódica, sólo tendrás que representar la función durante un período. A continuación, busca puntos en la curva para distintos valores de \( \theta.\) Una vez graficados estos valores, une los puntos para aproximar la curva.
También puedes comprobar si hay simetrías. Esto puede reducir enormemente la cantidad de trabajo que necesitas hacer. Por ejemplo, si sabes que una curva polar es simétrica respecto al eje vertical, sólo debes dibujar la curva en un semiplano y luego reflejarla a través del eje para obtener la otra mitad.
Grafica la curva polar descrita por
\[ r = 1 + 2\cos{\theta}.\}
Solución
Empieza por comprobar las simetrías. En primer lugar, comprueba la simetría respecto al eje polar sustituyendo \( \theta,\) por \( -\theta,\) de modo que
\[ r = 1 + 2\cos{(-\theta)},\\]
como la función coseno es una función par, esto significa que
\[ \cos{(-\theta)} = \cos{\theta},\\]
por lo que
\[ r = 1 + 2\cos{{theta}}.\]
Como esta ecuación es igual a la original, la curva es simétrica respecto al eje polar. Antes de comprobar si hay más simetrías, prueba a introducir en la ecuación unos cuantos valores agradables de \( \theta \).
| \[ \theta \] | \[ 1 + 2\cos{\theta} \] | \[ r \] |
| \[ 0 \] | \[1 + 2 \cos{0} \] | \[ 3 \] |
| \[frac {\pi} {4}] | \1 + 2 \cos{\frac{\pi}{4}] | \[1 + 2 cuadrado] |
| |frac {\pi}{2}} | \1 + 2 \cos{\frac{\pi}{2}} | \[ 1 \] |
| \[ \frac{3\pi}{2}} | \[1 + 2coscosfrac3pi2] | \1 - cuadrado de 2 |
| \[ \pi \] | \[ 1 + 2 \cos{\pi}\}] | \[-1\] |
Para representar gráficamente valores negativos de \(r,\) sólo tienes que ir al lado opuesto del ángulo \( \theta) que estés utilizando. Trazando estos puntos obtendrás
Figura 20. Graficar curvas polares uniendo los puntos
A continuación, conecta los puntos. Debes tener en cuenta que estás trazando una curva polar, ¡así que intenta conectar los puntos en una fisión curva!
Figura 21. Gráfica de curvas polares uniendo los puntos
Anteriormente has comprobado que la gráfica tiene simetría polar, así que refleja la gráfica a lo largo de lo que sería el eje \(x-\)-.
Figura 22. Simetría al graficar curvas polares
Graficadores de curvas polares en línea
Hay muchas herramientas online gratuitas, como Geogebra y Desmos, para representar gráficamente curvas polares. Para representar curvas polares en cualquiera de estas herramientas, sólo tienes que escribir la ecuación de la curva en el campo de entrada.
Por ejemplo, para representar gráficamente una rosa con tres hojas en Geogebra o Desmos utilizando coordenadas polares, escribe
\r = \cos{(3\theta)}\].
y pulsa intro.
Para escribir el símbolo \( \theta \) en Geogebra, utiliza el teclado matemático, que puedes abrir haciendo clic en el símbolo del teclado situado en la parte inferior izquierda del campo de entrada. Para escribir el símbolo \( \theta\) en Desmos, escribe la palabra 'theta'.
Por supuesto, hay muchas otras formas de trazar curvas polares. Si tienes una calculadora gráfica, probablemente tenga una función que te permita trazar funciones en coordenadas polares. También puedes utilizar lenguajes de programación y software como Python, Matlab y Octave.
Si tienes problemas para representar gráficamente una curva polar, comprueba el intervalo de valores theta que has trazado. En ocasiones, tendrás que ampliar el rango de valores theta que estás utilizando para asegurarte de que la curva se traza correctamente.
Área de curvas polares
Supongamos que tienes una curva polar definida por
\[ r = f(\theta). \]
Para hallar el área límite entre la recta \( \theta = \theta_1,\) la curva \( f(\theta),\) y la recta \( \theta=\theta_2, \) debes utilizar la fórmula
\[ A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2}left[ f(\theta) \right] ^2 \, \mathrm{d}\theta.]
Para más información sobre este tema, echa un vistazo a nuestro artículo sobre el Área de las regiones delimitadas por curvas polares.
Longitud de las curvas polares
Si en cambio necesitas hallar la longitud de la curva polar \( f(\theta),\) trazada entre los ángulos \( \theta_1 \) y \( \theta_2,\) tendrás que utilizar la fórmula
\[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2+\left( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \right)^2}\,\mathrm{d}\theta.\]
¿Necesitas más información sobre cómo manejar esta fórmula? ¡Consulta nuestro artículo sobre la Longitud de Arco en Coordenadas Polares!
Curvas polares - Puntos clave
- Las curvas polares se definen mediante relaciones en términos de coordenadas polares.
- Algunos tipos importantes de curvas polares son las limaçons, las cardioides, las curvas de rosa, las espirales de Arquímedes, las espirales logarítmicas, los óvalos de Cassini y las lemniscatas.
- Los tres tipos de simetría que puede tener una curva polar son la simetría respecto al eje polar, la simetría respecto al polo y la simetría respecto al eje vertical.
- Para representar gráficamente curvas polares, conoce los tipos comunes de curvas polares y sus propiedades, comprueba la periodicidad, comprueba la simetría y, a continuación, encuentra varios puntos de la curva y conéctalos.
1. Eli Maor, "e": La historia de un número, 1994.
2. John W. Rutter, Geometría de las curvas, 2000.
3. Guido Grandi, Flores geometrici ex Rhodonearum, et Cloeliarum curvarum descriptione resultantes, ..., 1728.
4. Ross L. Finney, Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Daniel Kennedy y David M. Bressoud, Cálculo: Gráfico, Numérico, Algebraico, 2016.
5. Benoit Mandelbrot, Fractales y Caos: Fractales y más allá, 2004.
6. James Stewart, Cálculo, séptima edición, 2012.
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