Curvas Polares

Fórmula de la curva polar

Puede que estés acostumbrado a escribir funciones de la forma

\[ y=f(x),\]

donde la relación entre \( x \) y \( y \) conduce a una curva en el plano. Cuando una función se escribe en términos de \( x \) y \( y \), decimos que está escrita en coordenadas cartesianas, también conocidas como coordenadas rectangulares.

En cambio, las curvas polares son curvas escritas en términos de coordenadas polares \( r \) y \( \theta.\) Para describir mejor las coordenadas polares, considera un punto del plano.

Imagen 1. Un punto en el plano

A continuación, dibuja un segmento que vaya desde el origen hasta ese punto.

Imagen 2. Segmento que une el origen y el punto del plano

Las coordenadas polares describen la posición de un punto en el plano en términos de \( r \) y \( \theta,\) donde

\[ r = \sqrt{x^2+y^2},\]

es la distancia desde el origen a un punto del plano (la longitud del segmento mostrado en el diagrama), y

\[ \theta = \arctan{frac{y}{x},\}]

es el ángulo entre el eje positivo \(x-\)y la recta que une el origen con el punto.

Imagen 3. Representación gráfica de las coordenadas polares.

Otra forma de describir las coordenadas polares es mediante las ecuaciones

\[ x = r\,\cos{\theta}\}]

y

\[ y = r\,\sin{\theta}}.

Una curva polar es una función descrita en términos de coordenadas polares, que puede expresarse en general como

\[ f(r,\theta).\]

Para más información sobre las coordenadas polares, qué son y cómo convertir entre coordenadas polares y rectangulares, consulta nuestros artículos sobre Coordenadas polares y Derivación de funciones escritas en coordenadas polares.

Tipos de curvas polares

Algunos tipos de curvas pueden expresarse de forma más natural en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Seis clases importantes de tales curvas son,

• Limaçons
• Cardioides
• Curvas rosas
• Espirales arquimedianas
• Espirales logarítmicas
• Lemniscatas

Limaçons

Una limaçon es una curva polar definida por la ecuación

\[ r = a \pm b \sin{\theta}\]

o

\[ r = a \pm b \cos{\theta},\}]

donde \( a \) y \( b \) son constantes. Hay tres tipos de limaçons,

• Looped (limaçons donde \( a < b \)),
• Cardioides (limaçons donde \( a = b \)),
• Con hoyuelos (limaçons donde \( a > b \)).

Limaçon en bucle

Por ejemplo, la limaçon definida por

\[ r = 2 + 3 \sin{\theta},\}]

es una limaçon con bucle porque \( 2 < 3. \) He aquí su gráfico.

Figura 4. Una limaçon con bucles

Limaçon con bucle

Como otro ejemplo, la curva

\[ r = 4 - \cos{\theta}\]

es una limaçon con hoyuelos porque \( 4 > 1. \) Tiene el siguiente aspecto,

Observa que las limaçons definidas mediante el coseno son simétricas respecto al eje horizontal, mientras que las limaçons definidas mediante el seno son simétricas respecto al eje vertical.

Limaçon es sin duda un nombre raro, ¿verdad? ¡Hay una razón por la que se utiliza este nombre!

Cardioides

Los cardioides son casos especiales de limaçons llamados así por su forma de corazón. La ecuación de un cardioide es

\[ r = a(1-\cos{\theta}),\}]

donde \( a \) es alguna constante. Por ejemplo, la cardioide

\[ 1- \cos{\theta}\] tiene este aspecto,

Figura 6. Una cardioide

Curvas rosas

Las curvas rosas son curvas polares llamadas así por Guido Grandi, un matemático italiano que las estudió a principios del siglo XVIII. Se definen mediante ecuaciones de la forma

\[ r = a\sin{\izquierda(n\eta\derecha)},\].

o

\r = a\cos{izquierda(n\eta\derecha)},\].

donde \( a \) es una constante que determina el tamaño de la flor y \( n \) es una constante que determina el número y la colocación de los pétalos. Por ejemplo, la curva de la rosa

\[ r = \cos{{izquierda( 9\theta \derecha)},\]

tiene este aspecto^,3

Figura 7. Una curva de rosa utilizando la función coseno

Por su parte, la curva de la rosa

\[ r = 3 \sin{left( 9 \theta \right) } ,\]

tiene este aspecto

Figura 8. Una curva de rosa definida mediante la función seno

Ambas rosas tienen el mismo número de pétalos. Esto se debe a que \( n \) se fija en 9 en ambas ecuaciones. Sin embargo, una de las rosas está escalada por un factor de 3, lo que corresponde al hecho de que tiene \( a=3.\) También puedes observar que una rosa está girada con respecto a la otra, lo que corresponde al hecho de que una está definida en términos de función seno, mientras que la otra está escrita utilizando la función coseno.

No es necesario que el valor \(n\) sea un número entero. Por ejemplo, la curva de la rosa

\[ r = 3 \cos{{izquierda(\frac{4}{7}\theta \derecha)},\}}

tiene este aspecto,

Figura 9. Una curva rosa con valor no entero de \( n\)

Espirales arquimedianas

Una espiral de Arquímedes es una curva polar definida por la ecuación

\[r = b\theta.\]

Existe una versión generalizada de la espiral de Arquímedes, llamada neoide, definida por la ecuación

\[ r = a + b\theta, \]

donde \( a \) y \( b \) son constantes. La constante \( a \) determina el valor de la curva en \( \theta = 0 \) (el eje \( x-\)positivo), y \( b \) corresponde al tamaño de la espiral.

Las espirales arquimedianas tienen otra particularidad, ya que existe una distancia de separación constante entre segmentos consecutivos de la espiral que es igual a \(2\pi b\). Por ejemplo, la neoide

\[ r = 1 + 3\theta,\]

tiene este aspecto^,4

Figura 10. Una neoide descrita por \( r = 1 + 3\theta \)

Espirales logarítmicas

Otro tipo importante de espiral es la espiral logarítmica. Las espirales logarítmicas son curvas polares definidas por la ecuación

\[ r = a e^{b\theta},\]

donde \( a \) y \(b \) son constantes. Las espirales logarítmicas reciben su nombre del hecho de que puedes aislar \( \theta \) y escribirla en términos del logaritmo natural de \(r.\)

Por ejemplo, la espiral logarítmica

\[ r = 2e^{frac{1}{3}\theta},\\}]

tiene este aspecto,

Figura 11. Una espiral logarítmica

Óvalos de Cassini

Los óvalos de Cassini son curvas polares descubiertas en 1680 por Giovanni Domenico Cassini. Se definen mediante la ecuación

\[ r^4 = 2a^2r^2\cos{\left(2\theta \right)} + b^4 - a^4,\]

donde \( a \) y \( b \) son constantes. La relación entre \(a\) y \(b\) determina la forma del óvalo de Cassini de la siguiente manera,

• Si \(\frac{b}{a} > 1\), el óvalo tiene 1 bucle,
• Si \(\frac{b}{a} < 1\), el óvalo tiene 2 bucles separados,
• Si \(\frac{b}{a} = 1\), resulta un lemnisco.

Por ejemplo, el óvalo de Cassini

\[ r^4 = 2(2)^2r^2\2cos{{izquierda(2\theta\derecha)}+(3)^4-(2)^4,\}].

tiene este aspecto^,4

Figura 12. Un óvalo de Cassini

Lemniscates

Las lemniscatas son tipos especiales de óvalos de Cassini que parecen ochos. Los lemniscados se definen mediante la ecuación

\r^2 = a^2\sin{izquierda( 2\theta\derecha)},\}].

o

\[ r^2 = a^2\cos{izquierda( 2\theta\derecha)},\}donde \( a \) es una constante. Estas curvas se obtienen estableciendo \( a= b\) en la ecuación de un óvalo de Cassini. Por ejemplo, la lemniscata

\[ r^2 = 4\cos{{izquierda( 2 \theta \derecha)},\}]

tiene este aspecto,

Figura 13. Una lemniscata utilizando la función coseno

Las lemniscatas definidas en términos de seno son idénticas a las definidas en términos de coseno, sólo que giradas 45 grados.

Figura 14. Una lemniscata utilizando la función seno

Simetrías de las curvas polares

Las curvas polares suelen tener simetrías que puedes aprovechar al representarlas gráficamente y estudiar sus propiedades. Comúnmente, hay tres simetrías implicadas cuando se trata de curvas polares,

• Simetría respecto al eje polar,
• Simetría en torno al polo,
• Simetría respecto aleje vertical.

La tabla siguiente resume las distintas simetrías y cómo buscarlas^.6

Simetría respecto al eje polar

La simetría respecto al eje polar es lo mismo que la simetría respecto a la recta \( \theta = \pi,\) el eje horizontal. Una curva polar es simétrica respecto al eje polar si puedes voltear la gráfica respecto al eje horizontal y volver a obtener la misma gráfica con la que empezaste. Equivalentemente, esto significa que si el punto \( (r,\theta)\) está en la curva polar, entonces el punto \( (r,-\theta) \) obtenido volteando \( (r,\theta) \) alrededor del eje horizontal también está en la curva.

Hay un par de pruebas que puedes utilizar para comprobar si una curva es simétrica respecto al eje polar. Si te dan una ecuación para una curva polar y puedes sustituir cada instancia de \( \theta \) por \( -\theta, \) y recuperar la misma ecuación, entonces la curva es simétrica respecto al eje polar. Esto es lo mismo que comprobar si, dado un punto \( (r,\theta) \) en la curva, el punto \( (r,-\theta) \) está también en la curva polar.

Otra prueba que puedes hacer es sustituir \( r \) por \( -r \) y \( \theta \) por \( \pi - \theta.\) Esta prueba funciona porque el punto \( (-r,\pi-\theta) \) es el mismo que el punto \( (r,-\theta),\) sólo que representado de forma ligeramente distinta.

Simetría respecto al polo

Si una curva polar es simétrica respecto al polo, al voltearla respecto a la recta

\[ \theta = \frac{3\pi}{4}\]

no cambia su gráfica. Equivalentemente, una curva polar es simétrica respecto al polo si, para cualquier punto \( (r,\theta)\) de la curva, el punto \( (-r,\theta) \) también está en la curva. Para comprobar la simetría respecto al polo, puedes sustituir \( r \) por \( -r \) y ver si vuelves a obtener la misma ecuación. También puedes probar a sustituir \( \theta \) por \( \theta + \pi.\)

Simetría respecto al eje vertical

Por último, la simetría respecto al eje vertical es lo mismo que la simetría respecto a la recta

\[ \theta = \frac{\pi}{2}.\}]

Para comprobar la simetría respecto al eje vertical, prueba a sustituir \( r \) por \( -r \) y \( \theta \) por \( -\theta.\) También puedes probar a sustituir \( \theta \) por \( \pi-\theta.\)

Graficar curvas polares

Has visto una gran variedad de curvas polares y sus gráficas. Supongamos ahora que te dan una fórmula y quieres representar gráficamente la curva polar.

Una estrategia consiste en aprender las fórmulas de ejemplos importantes de curvas polares y comprender sus gráficas correspondientes. Muchas de las curvas con las que se te puede pedir que trabajes son variantes de las curvas polares comentadas anteriormente, por lo que conocer estas curvas, sus ecuaciones y sus propiedades puede ser bastante útil. Sin embargo, lo más probable es que no todas las curvas polares con las que te encuentres tengan una fórmula que reconozcas. ¡Por no hablar de la tarea de memorizar todas las formas y fórmulas!

Aquí puedes ver algunas alternativas para representar gráficamente curvas polares.

Graficar curvas polares manualmente

Hay varias estrategias que puedes utilizar cuando grafiques curvas polares manualmente. En estos casos, una de las primeras cosas que puedes hacer es comprobar la periodicidad. Si la función que estás representando es periódica, sólo tendrás que representar la función durante un período. A continuación, busca puntos en la curva para distintos valores de \( \theta.\) Una vez graficados estos valores, une los puntos para aproximar la curva.

También puedes comprobar si hay simetrías. Esto puede reducir enormemente la cantidad de trabajo que necesitas hacer. Por ejemplo, si sabes que una curva polar es simétrica respecto al eje vertical, sólo debes dibujar la curva en un semiplano y luego reflejarla a través del eje para obtener la otra mitad.

Graficadores de curvas polares en línea

Hay muchas herramientas online gratuitas, como Geogebra y Desmos, para representar gráficamente curvas polares. Para representar curvas polares en cualquiera de estas herramientas, sólo tienes que escribir la ecuación de la curva en el campo de entrada.

Por ejemplo, para representar gráficamente una rosa con tres hojas en Geogebra o Desmos utilizando coordenadas polares, escribe

\r = \cos{(3\theta)}\].

y pulsa intro.

Para escribir el símbolo \( \theta \) en Geogebra, utiliza el teclado matemático, que puedes abrir haciendo clic en el símbolo del teclado situado en la parte inferior izquierda del campo de entrada. Para escribir el símbolo \( \theta\) en Desmos, escribe la palabra 'theta'.

Por supuesto, hay muchas otras formas de trazar curvas polares. Si tienes una calculadora gráfica, probablemente tenga una función que te permita trazar funciones en coordenadas polares. También puedes utilizar lenguajes de programación y software como Python, Matlab y Octave.

Área de curvas polares

Supongamos que tienes una curva polar definida por

\[ r = f(\theta). \]

Para hallar el área límite entre la recta \( \theta = \theta_1,\) la curva \( f(\theta),\) y la recta \( \theta=\theta_2, \) debes utilizar la fórmula

\[ A = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{1}{2}left[ f(\theta) \right] ^2 \, \mathrm{d}\theta.]

Para más información sobre este tema, echa un vistazo a nuestro artículo sobre el Área de las regiones delimitadas por curvas polares.

Longitud de las curvas polares

Si en cambio necesitas hallar la longitud de la curva polar \( f(\theta),\) trazada entre los ángulos \( \theta_1 \) y \( \theta_2,\) tendrás que utilizar la fórmula

\[ L = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2+\left( \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\theta} \right)^2}\,\mathrm{d}\theta.\]

¿Necesitas más información sobre cómo manejar esta fórmula? ¡Consulta nuestro artículo sobre la Longitud de Arco en Coordenadas Polares!

1. Eli Maor, "e": La historia de un número, 1994.

2. John W. Rutter, Geometría de las curvas, 2000.

3. Guido Grandi, Flores geometrici ex Rhodonearum, et Cloeliarum curvarum descriptione resultantes, ..., 1728.

4. Ross L. Finney, Franklin D. Demana, Bert K. Waits, Daniel Kennedy y David M. Bressoud, Cálculo: Gráfico, Numérico, Algebraico, 2016.

5. Benoit Mandelbrot, Fractales y Caos: Fractales y más allá, 2004.

6. James Stewart, Cálculo, séptima edición, 2012.