Figura 1. Dos tenedores y un palillo en equilibrio sobre un vaso
Al principio, me sorprendió. Si alguien lleva cinta adhesiva, esto se convierte en una tarea sencilla. Pero, ¿quién lleva cinta adhesiva al almuerzo? Parece que aquí hay un truco de física.
De hecho, uno de mis amigos aprovechó el centro de masa de la disposición de los cubiertos. Conociendo el centro de masa, pudieron hacer una disposición tal que todo el peso de los cubiertos lo soportara el vaso. Aquí aprenderás qué son la densidad y el centro de masa y cómo calcular cada uno de ellos.
Definiciones de densidad y centro de masa
Supón que tienes un tablón de madera de peso despreciable, que no se rompe ni se flexiona, apoyado sobre un punto de apoyo a la mitad de su longitud.
Figura 2. Un tablón de peso despreciable apoyado sobre un punto de apoyo
Si pusieras un peso en uno de los extremos del tablón, éste se inclinaría hacia el peso, ¡y el peso caería!
Figura 3. Un peso colocado en un extremo de la tabla, inclinando la tabla y la configuración del peso
Sin embargo, si colocas el peso exactamente donde está el punto de apoyo, entonces el tablón permanecería horizontal, y todo estaría equilibrado.
Figura 4. Un peso equilibrado en el centro del tablón
Para describir este escenario, necesitas conocer la definición de momento.
Definición de momento
El momento respecto a un punto se define como el producto de la masa por su distancia a ese punto.
Sea \(A\) un objeto con masa \(m_A\) situado en una posición relativa \(x_A\) respecto al origen. El momento de \(A\) se define como el producto de \(m_A\) y su posición relativa \(x_A\), es decir
\[ m_Ax_A.\]
En el ejemplo de la tabla anterior, descubriste que colocando el peso, que denominaremos \(A\), exactamente donde se encuentra el fulcro, el sistema estaba equilibrado. Esto se debe a que la posición del punto de apoyo representa el origen, por lo que \(x_A=0\) y el momento de \(A\) viene dado por
\[ \begin{align} m_Ax_A &= m_A(0) \\\\bengin{align}\]
Sin embargo, si colocas el peso en otro lugar, la tabla se inclinará. En este caso, \(x_A \neq 0\), ¡así que su momento también sería distinto de cero!
Hasta ahora, parece que si el momento es igual a cero, el sistema permanecerá en equilibrio; de lo contrario, empezará a inclinarse. Antes de sacar conclusiones precipitadas, deberías explorar qué ocurre cuando añades más peso.
En primer lugar, supongamos que colocas el peso \(A\) en el extremo derecho de la tabla, y añades un peso idéntico, etiquetado como \(B\), en el otro extremo de la tabla. Como la tabla descansa sobre el punto de apoyo la mitad de su longitud \(\ell\), entonces
\[ x_A = \frac{\ell}{2}\}]
y
\[ x_B = -\frac{\ell}{2}.\}]
Como los pesos pesan lo mismo, puedes llamarlos simplemente \(m\), de modo que
\[m_A = m\]
y
\[m_B = m.\]
Deberías esperar que este sistema estuviera equilibrado, ¿no? Vamos a hallar el momento total del sistema, que puede hallarse simplemente sumando el momento de \(A\) y el momento de \(B\), de modo que
\[ \begin{align} m_Ax_A + m_Bx_B &= m\izquierda(\frac{\ell}{2} \derecha) + m\izquierda( - \frac{\ell}{2} \derecha) \\\\= m\izquierda( \frac{\ell}{2} - \frac{\ell}{2} \derecha) \&= m(0) \&= 0. \final{align}\]
Figura 5. Dos pesos iguales en equilibrio sobre un tablón de madera de peso despreciable encima de un punto de apoyo
Hasta aquí todo correcto. Supón ahora que una de las pesas es más pesada. El tablón debería inclinarse hacia la más pesada, ¿no? Si es así, entonces la suma de los momentos de \(A\) y \(B\) no será igual a cero, por lo que puedes llegar a una conclusión.
Figura 6. Dos pesos diferentes sobre un tablón de madera. El tablón se inclina hacia el peso mayor.
Los pesos juntos forman lo que se llama una distribución de masas, y si el sistema no se inclina en ninguna dirección decimos que el sistema está en equilibrio.
Si los momentos de un reparto de masas suman cero, entonces el sistema está en equilibrio.
Supón que tienes dos pesas, \(m_A=2 \text{ lb}\) y \( m_B=4 \text{ lb}\) que están unidas por una varilla delgada de peso despreciable. La varilla descansa sobre un punto de apoyo situado a \(\frac{2}{3}\) de su longitud, más cerca de \(m_A\). ¿Está en equilibrio esta distribución de masas?
Solución:
Imagina que acabas de colocar las pesas, de modo que todavía no hay inclinación en el tablón, si es que la hay.
Figura 7. Dos pesas unidas por una barra que descansa sobre un punto de apoyo a \(2/3\) de su longitud
A partir de aquí, puedes hallar que
\[ x_A= \frac{1}{3} \ell\]
y
\[ x_B=-\frac{2}{3} \ell, \]
por lo que ahora puedes hallar el momento total del sistema, es decir
\[ \begin{align} m_A x_A + m_B x_B &= (2) \left( \frac{1}{3}\ell \right) + (4) \left(- \frac{2}{3}\ell \right) \\= \frac{2}{3}\ell - \frac{8}{3}\ell \&= -2\ell. \fin \]
Como \( \ell\) representa una longitud, es distinta de cero, por lo que el momento total de la distribución de la masa no es igual a cero. Esto significa que no está en equilibrio.
Distribuciones de masa en dos dimensiones
También es posible tener una distribución de masa en dos dimensiones. En este caso, puedes distinguir entre momentos sobre el eje \(x-\)y momentos sobre el eje \(y-\)y. A pesar de hallar la posición sobre el eje \(x-\)-, en el ejemplo de la tabla, te referías al momento respecto al eje \(y-\)-, ya que estabas midiendo a qué distancia se encontraba cada peso del eje \(y-\)-. Por ello, el momento respecto al eje \(y-\)del peso \(A\) se define como
\[ m_Ax_A,\]
mientras que su momento respecto al eje \(x-\)se define como
\[ m_Ay_A.\]
Para saber si el sistema está en equilibrio debes considerar los momentos respecto a ambos ejes por separado. Esto significa que debes hallar la suma de momentos respecto al eje \(x-\)y la suma de momentos respecto al eje \(y-\)y.
Si la suma de los momentos respecto a ambos ejes es igual a cero, entonces el sistema está en equilibrio respecto al origen.
Las posiciones en el plano cartesiano de tres pesos vienen dadas por
\[ A=(3,2),\]
\[ B=(-2,1),\]
y
\[ C=(0,3).\]
La masa de \(A\) es igual a \(m\), \(B\) pesa el doble que \(A\), y \(C\) pesa el triple que \(A\). ¿Está esta configuración de masas en equilibrio respecto al origen?
Solución:
Para saber si la distribución de masas está en equilibrio respecto al origen, debes averiguar si está en equilibrio respecto a ambos ejes.
Empieza por averiguar si está en equilibrio respecto al eje \(y-\)-, para lo que debes calcular
\[ m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C. \]
Recuerda que si quieres hallar el momento en torno al eje \(y-\)debes utilizar los valores \(x-\). Del mismo modo, para hallar el momento sobre el eje \(x-\)utilizarás los valores \(y-\).
Se te da que \(m_A=m\). Como \(B\) pesa el doble y \(C\) el triple, esto significa que \( m_B=2m\) y \(m_C=3m\). Así que
\[ \begin{align} m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C &= (m)(3)+(2m)(-2)+(3m)(0) \ &= 3m-4m+0m \\= -m. \end{align}\]
Puedes detenerte aquí, pues acabas de comprobar que el sistema no está en equilibrio respecto al eje \(y-\)lo que significa que tampoco lo está respecto al origen.
A título ilustrativo, puedes hallar el momento respecto al eje \(x-\)así
\[ \begin{align} m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C &= (m)(2)+(2m)(1)+(3m)(3) &= 2m+2m+9m = 13m. \end{align}\]
Esto significa que el sistema tampoco está en equilibrio respecto al eje \(x-\)-.
En estos ejemplos, se te ha dado la masa de las pesas junto con sus posiciones. Aunque para unas pocas pesas esto es sencillo, es posible tener una gran cantidad de pesas, por lo que se requiere una función que describa la distribución de la masa.
La densidad es una función que describe la distribución de la masa de un sistema.
Ten en cuenta que esta definición de densidad está dentro del contexto del momento y del centro de masa.
Con todo esto, ya estás preparado para estudiar la definición de centro de masa.
El centro de masa de una distribución de masas es un punto tal que la suma de los momentos respecto a él es igual a cero. El centro de masa también se conoce como centro de gravedad.
Esto significa que si colocas el punto de apoyo en el centro de masa de una distribución de masas, entonces estará en equilibrio.
En general, se te pedirá que encuentres el centro de masa de una configuración de masas en dos dimensiones.
Las coordenadas \( (x_{CM}, y_{CM}) \ del centro de masa de una configuración de masas vienen dadas por
\[ x_{CM} = \frac{M_y}{M}]
y
\[ y_{CM} = \frac{M_x}{M},\]
donde \(M_y\) es la suma de los momentos respecto al eje \(y-\), \(M_x\) es la suma de los momentos respecto al eje \(x-\), y \(M\) es la masa total de la configuración.
Has comprobado que la configuración de masas del ejemplo anterior no estaba en equilibrio respecto al origen. Intenta ahora encontrar su centro de masa.
Las posiciones en el plano cartesiano de tres pesos vienen dadas por
\[ A=(3,2),\]
\[ B=(-2,1),\]
y
\[ C=(0,3).\]
La masa de \(A\) es igual a \(m\), \(B\) pesa el doble que \(A\), y \(C\) pesa el triple que \(A\). Halla el centro de masa de esta configuración.
Solución:
Anteriormente has hallado que
\[ M_y = -m \]
y
\[ M_x = 13m, \]
ahora sólo necesitas hallar la masa total de la configuración, es decir
\[ \begin{align} M &= m_A+m_B+m_C &= m+2m+3m &= 6m. \end{align}\]
Por último, puedes hallar el centro de masa, así
\x_{CM} &= \frac{M_y}{M} \\ y= \frac{-m}{6m}. \\ &= -\frac{1}{6} \end{align}\}]
y
\y_{CM} &= \frac{M_x}{M} \\ y = frac 13m 6m \\ &= \frac{13}{6}.\final{align}]
Esto significa que el centro de masa de la configuración se encuentra en
\izquierda( -\frac{1}{6}, \frac{13}{6} \derecha).
Densidad y centro de masa en cálculo
Hasta ahora has estado viendo configuraciones de masas que consisten en pesos que se toman como si fueran puntos. Estas configuraciones se denominan configuraciones de masas discretas porque constan de una cantidad finita y contable de masas.
Sin embargo, ¡objetos como tablones, barras, láminas y láminas sí tienen masa! Se puede pensar en estos objetos como si fueran configuraciones de masa continua, y aquí es donde entra en juego el Cálculo.
Hay dos cosas que puedes hacer cuando tratas con configuraciones de masa continua:
- Te pueden dar una función que describa la densidad de un objeto, en cuyo caso tendrás que encontrar su masa total.
- Te pueden dar una función que describa la forma de un objeto, en cuyo caso tendrás que encontrar su centro de masa.
Por ejemplo, supongamos que necesitas hallar el centro de masa de una lámina delgada cuya forma puede verse como el área bajo una curva.
Figura 8. Una lámina delgada que tiene la forma del área bajo una parábola
El área bajo una curva te suena, ¿verdad? Para abordar este escenario tendrás que utilizar integrales.
Densidad y centro de masa mediante integrales
Puedes utilizar integrales para hallar la masa de un objeto dada su densidad o para hallar su centro de masa dada su forma.
Centro de masa mediante integrales
Cuando te encarguen hallar el centro de masa de una lámina descrita por el área bajo una curva, normalmente te dirán que tiene una densidad de masa constante (o uniforme) \( \rho\). Para ello, puedes seguir utilizando las fórmulas
\[ x_{CM} = \frac{M_y}{M}}
y
\y_{CM} = \frac{M_x}{M}.
La diferencia es que tienes que hallar \(M_y\) y \(M_x\) con un planteamiento distinto, a saber
\[ M_y =\rho \int_a^b xf(x)\,\mathrm{d}x, \]
\[ M_x = \frac{1}{2} \rho \int_a^b f(x) ^2 \, \mathrm{d}x,\]
y
\[ M = \rho \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]
Esto se entiende mejor con un ejemplo.
Halla el centro de masa de una lámina de densidad constante \( \rho\) cuya forma viene descrita por el área siguiente
\[ f(x)= 4-x^2\]
en el intervalo \( [-2,2]\).
Solución:
Aquí tendrás que hallar el momento respecto a ambos ejes y la masa total de la lámina. Para el momento respecto al eje \(y-\)debes hallar
\M_y &= \r M_y &= \rho \int_a^b x f(x) ,\mathrm{d}x \rho \int_{-2}^2 x (4-x^2),\mathrm{d}x, \end{align}].
lo que puedes hacer con ayuda de la Regla de Potencia, así
\M_y &= M_y. M_y &= \rho \int_-2}^2 x(4-x^2),\mathrm{d}x &= \rho \int_-2}^2 (4x-x^3),\mathrm{d}x &=rho \left. \left[ 2x^2-\frac{1}{4}x^4\right]\right|_{-2}^2 \\rho \left[ \left( 2(2)^2-\frac{1}{4}(2)^4 \right) - \left(2(-2)^2-\frac{1}{4}(-2)^4 \right) \right]. \\ &= \rho \left( 4-4 \right) &= 0. \end{align}\]
Observa que para la integral anterior también podrías haber utilizado el hecho de que es una función impar integrada sobre un intervalo simétrico, por lo que cabe esperar que la integral sea cero.
A continuación, halla el momento con respecto al eje \(x-\)así
\M_x M_x &= \frac{1}{2} \(f(x))^2,\mathrm{d}x, &= \frac{1}{2}\rho \int_{-2}^2 (4-x^2)^2,\mathrm{d}x, \final. \]
donde primero tendrás que expandir el binomio
\M_x = \frac{1}{2}\rho \int_{-2}^2 (16-8x^2+x^4)\,\mathrm{d}x.
Esta vez debes identificar que estás integrando una función par sobre un intervalo simétrico, por lo que
\[ \int_{-2}^2 (16-8x^2+x^4)\,\mathrm{d}x = 2 \int_0^2 (16-8x^2+x^4)\,\mathrm{d}x, \]
lo que significa que
\M_x = \rho \int_0^2 (16-8x^2+x^4)\,\mathrm{d}x.\]
Ahora puedes utilizar la Regla de Potencia,
\M_x &= M_x. M_x &= \rho \left. \left[16x-\frac{8}{3}x^3+\frac{1}{5}x^5 \right] \right|_{0}^2 \\ & &= \rho \left[ \left(16(2)-\frac{8}{3}(2)^3+\frac{1}{5}(2)^5 \right) - \left( 16(0)-\frac{8}{3}(0)^3+\frac{1}{5}(0)^5\right)\right] {{0}^2 \\ ¾ &= ¾rho ¾left( ¾frac{256}{15} - 0¾right)¾ &= ¾frac{256}{15}\rho. \fin].
Por último, halla la masa de la lámina, que viene dada por
\[ \begin{align} M &= \rho \int_a^b f(x),\mathrm{d}x &= \rho \int_{-2}^2 (4-x^2) \, \mathrm{d}x &= 2 \rho \int_0^2 (4-x^2),\mathrm{d}x &= 2\rho \left. \left( 4x-\frac{1}{3}x^3 \right) \right |_0^2, \end{align}\]
donde has vuelto a utilizar el hecho de que el integrando es simétrico. Termina la evaluación sustituyendo \(x=2\) y \(x=0\), es decir
\[ \begin{align} M &= 2 \rho \left[ \left( 4(2)-\frac{1}{3}(2)^3\right)-\left( 4(0)-\frac{1}{3}(0)^3\right) \right]. \\ &=2\rho \left(8-\frac{8}{3}\rho) \&= \frac{32}{3}\rho. \fin{align}\}]
Por último, puedes hallar las coordenadas del centro de masa sustituyendo los valores que acabas de hallar, es decir
\x_{CM} &= \frac{M_y} {{M}} &= \frac{0} {\frac{32} {3} \rho} \\ &=0fin{align},\}]
y
\y_{CM} &= \frac{M_x} {{M}} &= \frac{\frac{256} {15} {\rho} {\frac{32} {3} \πrho} \\ &= 8{5}\final.\f]
Figura 9. Lámina de densidad uniforme y su centro de masa
Hallar la masa de un objeto mediante integrales
También se te puede pedir que halles la masa total de un objeto cuando la densidad no es constante, es decir
\[ \rho = \rho (x).\]
Normalmente, esto se hará en una dimensión, ya que hacerlo en dos o tres dimensiones requerirá integrales dobles o triples, lo que está fuera del ámbito del PA.
Para hallar la masa de un objeto dada una función que describe su densidad, basta con integrar, es decir
\[ M = \int_a^b \rho(x) \, \mathrm{d}x.\]
Halla la masa \(M\) de una varilla de densidad no uniforme de longitud \(2\) cuya densidad viene descrita por la función
\[ \rho(x) = \frac{1}{4}(x-1)^2,\]
donde \(x\) representa la distancia a un extremo de la varilla.
Solución:
Empieza por observar la gráfica de la función que describe la densidad de la varilla, que es una parábola.
Figura 10. Gráfica de \( \rho(x)\). El área bajo la curva representa la masa de cada sección de la varilla
Puedes observar cómo la mayor parte del peso de la varilla se encuentra en sus extremos. Para hallar la masa total tendrás que resolver la integral definida
\[ M = \int_0^2 \frac{1}{4}(x-1)^2\,\mathrm{d}x.\]
Puedes expandir el binomio, pero te resultará más sencillo utilizar la sustitución con
\[ u=x-1,\]
así que
\[ \mathrm{d}u=\mathrm{d}x.\]
De esta forma puedes hallar la integral indefinida
\[ \begin{align} \int \frac{1}{4}(x-1)^2,\mathrm{d}x &= \int \frac{1}{4}u^2,\mathrm{d}x &= \frac{1}{4}\left( \frac{1}{3} u^3\right) \frac{1}{12}(x-1)^3, \end{align} \]
mientras que, como es habitual, no necesitas añadir la constante de integración porque tu objetivo es la evaluación de una integral definida. Ahora puedes utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo y evaluar la integral definida, así
\[ \begin{align} M &= \left. \izquierda( \frac{1}{12}(x-1)^3 \ derecha) \ derecha |_0^2 \ izquierda( \frac{1}{12}(2-1)^3 derecha) - \ izquierda( \frac{1}{12}(0-1)^3 \ derecha) \ izquierda & &= \frac{1}{12}-\izquierda(-\frac{1}{12} \derecha) \ &= \frac{1}{6}. \end{align}\]
Esto significa que la varilla pesa \( \frac{1}{6}}) unidades de masa.
Fórmulas de densidad y centro de masa
Aquí puedes ver una recopilación de las fórmulas relacionadas con la densidad y el centro de masa.
El centro de masa de una configuración de masas tiene coordenadas \( (x_{CM}, y_{CM})\), que vienen dadas por
\[ x_{CM} = \frac{M_y}{M}]
y
\[ y_{CM} = \frac{M_x}{M}.\}
Si trabajas con una configuración de masa discreta, entonces
\M_y = m_1 x_1 + m_2 x_2 + puntos + m_n x_n,|].
\[ M_x = m_1 y_1 + m_2 y_2 + \dots + m_n y_n,\]
y
\[ M= m_1 + m_2 + \puntos + m_n,\]
Si trabajas con una lámina de densidad constante \(\rho\), entonces
\[ M_y =\rho \int_a^b xf(x)\,\mathrm{d}x, \]
\[ M_x = \frac{1}{2} \rho \int_a^b f(x) ^2 \, \mathrm{d}x,\]
y
\[ M = \rho \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x,\]
donde la forma de la lámina viene dada por el área entre \( f(x) \), \( x=a\), \(x=b\), y el eje \(x-\)\.
Si te piden que halles la masa de una varilla delgada con densidad descrita por \( \rho(x)\), entonces
\[ M = \int_a^b \rho(x) \, \mathrm{d}x.\]
Ejemplos de problemas sobre densidad y centro de masa
Aquí puedes ver más problemas sobre densidad y centro de masa.
Las posiciones en el plano cartesiano de tres pesos vienen dadas por
\[ A=(-1,2),\]
\[ B=(1,-2),\]
y
\[ C=(2,-1).\]
\(A\) pesa lo mismo que \(B\), mientras que \(C\) pesa lo mismo que la suma de los pesos \(A\) y \(B\). Halla el centro de masa de esta configuración.
Solución:
Empieza por observar que \(A\) y \(B\) pesan lo mismo, por lo que puedes etiquetar ese valor como \(m\). \(C\) pesa lo mismo que la suma de \(A\) y \(B\), así que
\[ \begin{align} m_C &= m_A+m_B \\_m &= m+m \_m &=2m. \end{align}]
Halla ahora los momentos, empezando por el momento con respecto al eje \(y-\),
\M_y &= m_A x. M_y &= m_A x_A + m_B x_B + m_C x_C \\\= (m)(-1)+(m)(1)+(2m)(2) \\= -m+m+4m \\= 4m, \end{align}\].
entonces el momento con respecto al eje \(x-\),
\M_x &= m_A y M_x &= m_A y_A + m_B y_B + m_C y_C &= (m)(2)+(m)(-2)+2m(-1) &= 2m-2m-2m &=-2m, \end{align} \]
y la masa total del sistema
\M &= m_A + m_B M &= m_A + m_B + m_C \\\= m+m+2m \\\=4m. \fin \]
Por último, puedes hallar las coordenadas del centro de masa, es decir
\x_{CM} &= \frac{M_y}{M} \\ y= \frac {4m} {4m} \\ &= 1, fin]].
y
\y_{CM} &= \frac{M_x}{M} \\ y &= -frac {-2m} {4m} \\ &= -\frac{1}{2}.\final{align}]
Esto significa que el centro de masa está situado en
\izquierda( 1, -\frac{1}}{2} \frac{1}{2} derecha).
¿Y el centro de masa de una lámina?
Halla el centro de masa de una lámina de densidad constante \( \rho\) cuya forma se describe mediante el área siguiente
\[ f(x)= 2x\]
en el intervalo \( [0,3]\).
Solución:
Como de costumbre, tendrás que hallar tanto los momentos como la masa de la lámina. Para el momento respecto al eje \(y-\)tendrás que calcular
\M_y &= \r M_y &= \rho \int_a^b x f(x),\mathrm{d}x \rho \int_0^3 x (2x),\mathrm{d}x \rho \int_0^3 2x^2,\mathrm{d}x, \end{align} \]
que puedes hallar con ayuda de la Regla de Potencia, es decir
\M_y &= r M_y &= \rho \int_0^3 2x^2 \, \mathrm{d}x &= \rho \left. \left( \frac{2}{3}x^3\3right)\right|_0^3 \\rho \left( \frac{2}{3}(3)^3-\frac{2}{3}(0)^3 \right) \\frac{54}{3}\rho \\rho &= 18\rho. \fin].
A continuación, halla el momento con respecto al eje \(x-\)utilizando la fórmula correspondiente, de modo que
\M_x M_x &= \frac{1}{2}\rho \int_a^b (f(x))^2,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}\rho \int_0^3 (2x)^2 \,\mathrm{d}x &&= \frac{1}{2}\rho\int_0^3 4x^2,\mathrm{d}x &= \rho \int_0^3 2x^2,\mathrm{d}x.\fin]
Observa que ésta es la misma integral que acabas de hallar antes, así que
\[M_x = 18\rho\]
también. Ahora halla la masa de la lámina utilizando
\[ \begin{align} M &= \rho \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x &= \rho \int_0^3 2x,\mathrm{d}x, \end{align}].
Si lo haces así, obtendrás
\M &= Rho M &= \rho \left.\left( x^2 \right) \right|_0^3 &= \rho( (3)^2-(0)^2 ) \\&= 9\rho. \end{align}\]
Por último, puedes utilizar estos valores para hallar las coordenadas del centro de masa, es decir
\x_{CM} &= \frac{M_y}{M} \\ y= frac_18_rho_{9_rho} \\ y= 2 fin]].
y
\y_{CM} &= \frac{M_x}{M} \\ y = frac 18 rho 9 rho \\ &= 2.\pend{align}\]
Esto significa que el centro de masa está situado en
\[ (2,2).\]
Densidad y centro de masa - Puntos clave
- El momento respecto a un punto se define como el producto de la masa por su distancia a dicho punto.
- Si la suma de los momentos respecto a un punto es igual a cero, entonces el sistema está en equilibrio respecto a ese punto.
- La distribución de masas es un sistema formado por muchos cuerpos que tienen peso.
- La distribución de masa puede ser discreta o continua.
- La densidad es una función que describe la distribución de masa de un sistema.
- El centro de masa de una distribución de masas es un punto tal que la suma de los momentos respecto a él es igual a cero.
- Para hallar el centro de masa \( (x_{CM},y_{CM}) \ de una distribución de masas se utilizan las fórmulas\[x_{CM} = \frac{M_y}{M}]y\[y_{CM} = \frac{M_x}{M}.\].
- Si tienes una distribución discreta de la masa, entonces\[ M_y = m_1 x_1 + m_2 x_2 + \dots + m_n x_n,\] \[ M_x = m_1 y_1 + m_2 y_2 + \dots + m_n y_n,\]y\[ M = m_1 + m_2 + \dots + m_n.\]
- Si tienes una lámina delgada de densidad uniforme \( \rho\) cuya forma viene descrita por \( f(x)\), entonces\[ M_y =\rho \int_a^b xf(x)\},\mathrm{d}x, \] \[ M_x = \frac{1}{2} \rho \int_a^b f(x) ^2 \, \mathrm{d}x,\]y\[ M = \rho \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]
- Si te dan una densidad no uniforme en forma de \( \rho(x)\) entonces puedes hallar la masa total del objeto con una integral\[ M = \int_a^b \rho(x)\,\mathrm{d}x.\]
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