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Las funcioneslogarítmicas son las funciones inversas de las funciones exponenciales. Como las funciones logarítmicas son funciones que aumentan lentamente, pueden ser útiles cuando se trata de reescalar grandes cantidades.
Fig. 1. La función logarítmica es una función de crecimiento lento
Además, podemos utilizar las propiedades de los logaritmos en nuestro beneficio en muchas situaciones de resolución de problemas, sobre todo en cálculo. Por estas razones, es esencial aprender a hallar las derivadas de las funciones logarítmicas.
Definición de la derivada de la función logarítmica
Una función logarítmica \( f(x) = \log_{a}x \) calcula el logaritmo con base \( a \) de un valor \(x\). La base \( a \) debe ser un número no negativo. Su derivada se define como el límite de su tasa de variación a medida que la variación se hace muy pequeña.
Sea \( f(x) = \log_{a}x \) una función logarítmica. Su derivada se define por el siguiente límite,
\f'(x) = \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x}.
En la práctica, no se halla la derivada de una función logarítmica utilizando límites. El límite se halla una vez para obtener una fórmula, que luego se utiliza junto con algunas Reglas de Diferenciación para hallar las derivadas de funciones logarítmicas.
Fórmulas de las derivadas de funciones logarítmicas
Como ya hemos dicho, puedes hallar la derivada de una función logarítmica utilizando los límites, pero no es la forma más práctica. En su lugar, puedes utilizar la siguiente fórmula.
La derivada de la función logarítmica viene dada por \[ \frac{{mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}{x} = \left(\frac{1}{ln{a}}\right) \left( \frac{1}{x} \right).\}].
He aquí un ejemplo rápido.
Halla la derivada de
\[f(x)=\log_{5}{x}.\]
Respuesta:
Empieza por observar que la base de la función logarítmica es \( 5.\} Sabiendo esto, puedes utilizar la fórmula de la derivada de una función logarítmica, es decir
\[f'(x)=\left(\frac{1}{ln{5}} \right) \left( \frac{1}{x} \right).\]
Bastante sencillo, ¿verdad?
Derivada de una función logarítmica con base e
En el caso particular de que la base de una función logarítmica sea \( e,\) es decir \( f(x) = \log_{e} x,\) la función recibe un nombre especial.
Si la base de un logaritmo es el número \(e,\) entonces se denomina Logaritmo natural. La función logaritmo natural calcula el logaritmo natural de una variable, y se denota como
\[ f(x) = \ln{x}.\]
Un logaritmo natural tiene la base \( e,\), lo que significa que
\[\ln{e}=1.\\]
Con esto, la fórmula de la derivada de una función logarítmica natural se simplifica, es decir
\[ \begin{align} \frac{{mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} &= \left(\frac{1}{ln{e}}\right) \left( \frac{1}{x} \right) \left( \frac{1}{1}{1}{right) \left( \frac{1}{x} \right) \frac{1}{x} &= \frac{1}{x}. \fin].
La derivada de la función logarítmica natural viene dada por \[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} =\frac{1}{x}.\}].
Observa que conociendo esta fórmula, junto con las propiedades de los logaritmos, puedes diferenciar cualquier función logarítmica. Considera la función logarítmica
\[f(x)=\log_{a}{x}.\]
La función anterior puede reescribirse utilizando las propiedades de los logaritmos, es decir
\f(x) &= log_{a}{x} \[0,5em] &= \frac{\ln{x}}{\ln{a}}. \fin].
Como \( \ln{a} \) es una constante, puedes utilizar la regla de la constante múltiple para factorizarla al diferenciar la función, de modo que
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} &= \frac{1}{\ln{a}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} \\0,5em] &= \frac izquierda( \frac1}{ln{a}} derecha) \frac izquierda( \frac1}{x} derecha), \finalign} \]
que es la fórmula introducida al principio de la sección anterior.
Demostración de la derivada de la función logarítmica
La función logarítmica natural es la función inversa de la función exponencial, esto significa que si
\[y=\ln{x},\]
entonces
\[e^y=x,\]
A continuación, diferencia ambos lados de la ecuación, es decir
\frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} e^y = \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} x].
El lado izquierdo de la ecuación es la función exponencial, por lo que puedes utilizar la fórmula de la derivada de la función exponencial. Sin embargo, como \( y \) es una función de \(x,\) debes utilizar también la Regla de la Cadena.
\[ e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x\].
El lado derecho puede diferenciarse mediante la regla de potencias, de modo que
\[ e^y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 1. \]
Por último, sustituye de nuevo \(e^y=x\) y aísla la derivada de la función logarítmica natural, obteniendo
\frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} = \frac{1}{x}. \]
A veces merece la pena inspeccionar cómo hallar derivadas por su definición utilizando límites. Esto puede ser un poco complicado, ¡pero da mucha experiencia! ¡Sumerjámonos en ello!
Recordemos la definición de la derivada de la función logarítmica natural a través de límites, que es
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\ln{(x+\Delta x)}-\ln{x}{\Delta x}.\]
Puedes reescribir la expresión dentro del límite utilizando la propiedad del cociente de los logaritmos y la propiedad de la potencia de los logaritmos, es decir
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \lim_{Delta x \rightarrow 0} \left[ \ln{left( \frac{x+\Delta x}{\Delta x} \right)}^{\frac{1}{\Delta x}} \derecha] \]
Ahora viene la parte complicada. Multiplica por \( \frac{x}{x} \) en el exponente de la función, es decir
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} &= \lim_{Delta x \rightarrow 0} \left[ \ln{left( \frac{x+\Delta x}{\Delta x} \right)}^{\frac{1}{\Delta x}{\frac{x}{x}} \right] \\0,75em] &= \lim_{{Delta x} {{Delta x} {{Delta x} {{Delta x} {{Delta x} {{Delta x} {{Delta x} {{Delta x} {{Delta x} {{Delta x} \derecha] . \fin \]
Ahora utiliza de nuevo la Propiedad de Potencia de los Logaritmos para que \( \frac{1}}{x} \) pase de ser un exponente a ser un coeficiente. Puedes sacarlo del límite, ya que no depende de \( \Delta x.\) También tienes que simplificar la fracción dentro del logaritmo natural, así que
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \frac{1}{x} \lim_{{Delta x} {flecha derecha 0} \left[ \ln{left( 1+ \frac{{{Delta x}}{x}\right)^{\frac{x}{{Delta x}} \right].
El siguiente paso es utilizar las propiedades de los límites para intercambiar el límite y el logaritmo natural. Puedes hacerlo porque el logaritmo natural es una función continua.
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \frac{1}{x} \ln{left[ \lim_{Delta x \rightarrow 0} \left( 1+{\frac{\Delta x}{x}\right)^{\frac{x}{\Delta x}\right]}.
A continuación, haz la sustitución
\[ u=\frac{x}{\Delta x}}.\]
Como \ ( x>0, \ ) \( u \) tiende a infinito positivo a medida que \( \Delta x \) tiende a cero. Esto te permitirá reescribir el límite como
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \ln{x} = \frac{1}{x} \ln{left[ \lim_{u \rightarrow \infty} \left( 1+ \frac{1}{u}\right)^{u}\right]},\i]
que es una de las definiciones de \( e,\) la base del logaritmo natural, por lo que
\frac[ \frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x} = \frac{1}{x} \ln{e}.\]
Como \ ( e \) es la base del logaritmo natural, este último factor es igual a 1, obteniéndose finalmente
\frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x} \ln{x}= \frac{1}{x}.\]
Ejemplos de derivadas de funciones logarítmicas
Ha llegado el momento de trabajar con algunos ejemplos. Puedes utilizar las reglas de diferenciación y las propiedades de los logaritmos en tu beneficio.
Halla la derivada de
\[ f(x) = \ln{x^2}.\]
Respuesta:
Hay dos formas de hallar la derivada de la función dada. Utilizando la regla de la cadena y utilizando las propiedades de los logaritmos.
- Utilizando la Regla de la Cadena.Empieza por dejar \( u(x) = x^2,\) y utiliza la Regla de la Cadena, es decir\[ \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\ln{u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\] Puedes hallar la derivada de \( u(x) \) mediante la regla de la potencia, es decir,\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x,\}]y también puedes escribir la derivada de la función logarítmica natural, así\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x,\} \frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}x} &= \left( \frac{1}{u} \right) (2x) \frac[0,5em] &= \left( \frac{1}{x^2} \right) (2x) \frac[0,5em] &= \frac{2}{x}. \end{align}\]
- Utilizando las propiedades de los logaritmos.En lugar de utilizar la regla de la cadena, puedes empezar reescribiendo la función utilizando la propiedad de la potencia de los logaritmos, es decir,\[ f(x)= 2\ln{x}.\}A partir de aquí, puedes utilizar la regla de la constante múltiple y diferenciar la función logarítmica natural, de modo que\[ \frac{{align}} \ln{x}. \frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}x} &= (2)\left( \frac{1}{x} \right) \frac &= \frac{2}{x}. \fin \]
¿Qué método prefieres? Obtendrás la misma respuesta de cualquier forma.
Puedes utilizar más propiedades de los logaritmos en tu beneficio. Considera ahora un ejemplo con la propiedad producto de los logaritmos.
Halla la derivada de
\[ g(x) = \ln{ izquierda(xe^x \derecha)}. \]
Respuesta:
Una vez más, tienes dos opciones para hallar la derivada de la función dada. En general, es aconsejable utilizar las propiedades de los logaritmos siempre que puedas.
Empieza por utilizar la propiedad del producto de los logaritmos para reescribir la función, es decir
\[ g(x) = \ln{x} + \ln{e^x}.\}Como la función logarítmica natural es la función inversa de la función exponencial, puedes reescribir aún más la función anterior, así
\[ g(x) = \ln{x} + x.\]
A partir de aquí, puedes diferenciar cada término, lo que te da
\frac{{mathrm{d}g}{mathrm{d}x} = \frac{1}{x} + 1.\]
A veces no se podrán utilizar las propiedades de los logaritmos en la función con la que estés trabajando. En estos casos, basta con aplicar cualquier regla de diferenciación pertinente.
Halla la derivada de la función
\[ h(x) = \ln{izquierda(\sin{x}\derecha)}.\]
Responde:
Aquí puedes dejar que \( u(x) = \sin{x} \) y utilizar la Regla de la Cadena, es decir
\frac{mathrm{d}h}{mathrm{d}x} = \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u} \ln{u} \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x}.\]
La derivada de la función seno es la función coseno, por lo que
\frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x} = \cos{x}.\]
Conociendo esto y la derivada de la función logarítmica natural puedes escribir
\[ \begin{align} \izquierda( \frac{1}{u} {derecha) (\cos{x}) \frac[0,5em] &= \frac{cos{x}}{sin{x}} \[0,5em] &= \tan{x}, \end{align}]
donde has utilizado la identidad trigonométrica
\[ \frac{\cos{x}}{\sin{x}}=\tan{x}.\]
Derivadas de funciones logarítmicas - Puntos clave
- Las funciones logarítmicas son funciones invers as de las funciones expon enciales de la misma base.
- La función logarítmica natural es la inversa de la función exponencial con base \( e.\)
- La derivada de una función logarítmica viene dada por\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}} \log_{a}{x} = \left(\frac{1}{ln{a}}\right) \left(\frac{1}{x} \right).\]
- En el caso de la función logarítmica natural, la fórmula anterior se simplifica en\frac{{mathrm{d}} {{mathrm{d}}x} \ln{x} = \frac{1}{x}.\]
- La derivada de la función logarítmica natural puede demostrarse utilizando la diferenciación implícita y la regla de diferenciación de la función exponencial.
- La derivada de la función logarítmica natural también se puede demostrar utilizando los límites. Es importante conocer una de las definiciones de \( e \) como límite, que es \[ e = \lim_{u \rightarrow \infty} \left( 1+\frac{1}{u} {right)^u .\].
- Las propiedades de los logaritmos, como la regla de la potencia de los logaritmos y laregla del producto de los logaritmos, pueden utilizarse antes de diferenciar una función para simplificarla.
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