Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Hay muchos dispositivos electrónicos que pueden utilizarse para recoger información sobre fenómenos naturales. Pensemos, por ejemplo, en un electrocardiograma, que es un aparato que recoge información sobre los latidos de nuestro corazón y la muestra en una pantalla.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratisSea
La regla para hallar la derivada de la inversa de una función es:
La siguiente expresión denota la derivada de la inversa de una función:
El último paso para hallar la derivada de la inversa de una función es tomar la _________ de
Una función compuesta con su inversa, es decir,
Supón que una función es invertible pero no diferenciable. ¿Puedes hallar la derivada de su inversa?
Sea
Sea
¿Puedes utilizar la regla de la derivada de la inversa de una función si no conoces la derivada de la función original?
Supón que una función es invertible pero no diferenciable. ¿Puedes hallar la derivada de su inversa?
Sea
Sea
¿Puedes utilizar la regla de la derivada de la inversa de una función si no conoces la derivada de la función original?
Sea
La regla para hallar la derivada de la inversa de una función es:
La siguiente expresión denota la derivada de la inversa de una función:
El último paso para hallar la derivada de la inversa de una función es tomar la _________ de
Una función compuesta con su inversa, es decir,
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Derivadas de Funciones Inversas
¡Gracias por tu interés en el aprendizaje por audio!
Esta función aún no está lista, pero nos encantaría saber por qué prefieres el aprendizaje por audio.
¿Por qué prefieres el aprendizaje por audio? (opcional)
Enviar comentariosLa pantalla de un electrocardiograma
La información recogida por un aparato se transforma primero mediante una función, para que pueda ser procesada. Una vez hecho esto, es necesario deshacer la transformación utilizando una función inversa. Este procesamiento puede consistir en hallar una derivada, ¡y a veces incluso es posible trabajar con la derivada de la propia función inversa! En este artículo veremos cómo se hace.
Si conoces la derivada de una función, puedes hallar la derivada de su inversa sin utilizar la definición de derivada. A continuación te explicamos cómo puedes hacerlo.
Sea
Esto significa que tienes que hallar la derivada de
Halla la derivada de
Halla la composición
Toma el recíproco de
Esto se entiende mejor viendo algunos ejemplos.
Hay una gran variedad de funciones invertibles que podemos diferenciar, así que veamos algunos ejemplos.
Las funciones de raíz cuadrada y las funciones cuadráticas son inversas entre sí. Puedes hallar la derivada de una función cuadrática utilizando la regla de potencias y, a continuación, utilizar este resultado para hallar la derivada de una función de raíz cuadrada.
Considera la función
Responde:
1. Halla la derivada de
Para utilizar la fórmula de la derivada de una función inversa, primero tienes que hallar la derivada de
2. Encuentra la composición
Puedes hallar la composición utilizando
y sustituye
3. Toma el recíproco de $( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
El último paso consiste en tomar el recíproco de la expresión que acabas de obtener en el último paso, de modo que
Veamos ahora un ejemplo de función cúbica.
Considera la función
Responde:
Puedes hallar la derivada de la función raíz cúbica siguiendo un procedimiento similar.
1. Halla la derivada de
Puedes utilizar la Regla de Potencia para hallar la derivada de
2. Halla la composición \( g' \izquierda( g^{-1}(x) \derecha ). \)
A continuación, debes hallar la composición de la derivada anterior con la función raíz cúbica, de modo que
3.Toma el recíproco de \( g' \left( g^{-1}(x) \right). \)
Por último, toma el recíproco de la expresión que has obtenido en el paso anterior, que puede reescribirse utilizando las propiedades de los exponentes
Aunque puedes hallar la derivada de funciones logarítmicas utilizando la definición de derivada, también puedes utilizar el hecho de que la función logarítmica es la inversa de la función exponencial.
Sea
Contesta:
1. Halla la derivada de
Empieza por hallar la derivada de la función exponencial, que es ella misma, es decir
2. Halla la composición \( f' \izquierda( f^{-1}(x) \derecha). \ )
Que la derivada de una función exponencial sea ella misma facilita bastante la composición, ya que una función compuesta con su inversa es igual a
3.Toma el recíproco de \( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
Por último, toma el recíproco de la expresión del paso anterior para obtener la derivada de la función logarítmica natural
¡Este procedimiento es una excelente alternativa para hallar la derivada de la función logarítmica natural utilizando la definición de derivada!
Hay dos errores comunes al hallar la derivada de una función inversa.
Hacer la composición en el orden incorrecto.
Olvidar tomar el recíproco de la composición.
Veamos cada uno de ellos.
Un error frecuente es hacer la composición en el orden equivocado. Recuerda que, en general
Veamos un ejemplo de composición realizada en el orden incorrecto.
Volvamos al ejemplo de la función cuadrática
que tiene una
Otro error frecuente es olvidarse de tomar el recíproco después de hallar la composición. Es decir
izquierda( f^{-1}(x)\derecha) ' (x) \neq f'izquierda( f^{-1}(x)\derecha),$$$
así que recuerda siempre tomar el recíproco de la composición
Izquierda( f^{-1}(x)\derecha) ' (x) = \frac{1}{f'\izquierda( f^{-1}(x)\derecha)}.$$
Las funciones inversas de las funciones trigonométricas suelen llamarse simplemente funciones trigonométricas inversas. También se conocen como funciones de arco. Puedes utilizar la Fórmula de la derivada de una función inversa para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
Sea
Halla la derivada de la función seno inversa.
Contesta:
1. Halla la derivada de
En primer lugar, necesitas la derivada de la función seno (echa un vistazo a nuestras Derivadas de funciones trigonométricas si necesitas un repaso)
2. Encuentra la composición \( f' \izquierda( f^{-1}(x) \derecha). \ )
Si intentas hacer la composición ahora mismo, sería un poco complicado. En su lugar, puedes utilizar la identidad pitagórica
para reescribir
De este modo, al componer el seno y el seno inverso obtendrás
3.Toma el recíproco de \( f' \left( f^{-1}(x) \right). \)
Como de costumbre, el último paso consiste en tomar el recíproco de la expresión anterior
lo que te da la derivada de la función seno inversa.
Se puede utilizar un procedimiento similar para hallar la derivada de la función tangente inversa. Veamos el siguiente ejemplo.
Sea
Contesta:
1. Halla la derivada de
Empieza por hallar la derivada de la función tangente, es decir
2. Encuentra la composición \( g' \izquierda( g^{-1}(x) \derecha). \ )
Al igual que en la derivada del seno inverso, tienes que escribirla en términos de la función tangente. Esta vez la identidad pitagórica
hace el trabajo. De este modo, la derivada de la función tangente es
Esto hace que la composición sea bastante más sencilla, así
g' \left( f^{-1}(x) \right) &= \left( \tan{ \left( \arctan{x} \right) } \right)^2+1 \[0.5em]&= x^2+1,\end{align}$$
3.Toma el recíproco de
Por último, toma el recíproco de la expresión obtenida en el paso anterior para obtener
Las funciones pueden representarse de muchas formas. Tomemos por ejemplo una tabla de valores
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 2 | 4 |
| 3 | 9 |
| 4 | 16 |
Puedes utilizar la tabla anterior para hallar la pendiente de una recta secante a la función tomando dos puntos y aplicando la fórmula de la pendiente
\[ m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}]
como se muestra en la siguiente imagen.
Fig. 1. Gráfica de una recta secante a la función en dos puntos.
En la imagen anterior, los puntos
Cambiando los valores de la tabla puedes obtener la inversa de la función original, en este caso obtendrás la función raíz cuadrada.
| 0 | 0 |
| 1 | 1 |
| 4 | 2 |
| 9 | 3 |
| 16 | 4 |
También puedes encontrar una recta secante a la función raíz cuadrada utilizando dos puntos. El primer punto puede seguir siendo el mismo, ya que lo comparten ambas funciones. Para el segundo punto, en lugar de utilizar
Fig. 2. Gráfica de una recta secante a la función inversa en dos puntos.
Esta vez los puntos
\m &= \frac{f^{-1}(4)-f^{-1}(1)}{4-1} &= \frac{2-1}{3} \ &= \frac{1}{3}. \fin{align} \]
Observa que la pendiente de la secante de la función inversa es la recíproca de la pendiente de la recta secante a la función original. Además, necesitas componer la función y la inversa para hallar la pendiente anterior. ¿Te suenan estos pasos?
La pendiente de las rectas secantes se relaciona con las derivadas mediante un límite. El razonamiento anterior sigue funcionando a medida que tomas intervalos más pequeños, conectando con la fórmula de la derivada de una función inversa.
La demostración de la derivada de una función inversa utiliza el hecho de que la composición de una función y su inversa es igual a la función identidad, es decir
A continuación, diferencia ambos lados de la ecuación. Utiliza la regla de potencias para diferenciar el lado derecho de la ecuación, de modo que
El lado izquierdo de la ecuación se puede diferenciar mediante la regla de la cadena, con lo que se obtiene
y, por último, puedes aislar la derivada de la función inversa
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Get to know Lily
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
Get to know Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Al registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
