Derivadas de funciones trigonométricas

Halla la derivada de \( f(x)=\sin{2x}.\)

Responde:

Para hallar esta derivada tendrás que utilizar la Regla de la Cadena. Sea \( u=2x.\} Entonces, por la Regla de Potencia,

$$u'(x)=2.$$

Así que ahora, utilizando la Regla de la Cadena

f'(x) &= \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u}\sin{u} \right) \left( \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x}} \right) \[0,5em] &= \left( \cos{u} \right) (2) \f'(x) &= 2cos{u}. \fin{align}$$

Por último, vuelve a sustituir \( u=2x, \) de modo que

$$f'(x)=2\cos{2x}.$$

Halla la derivada de \( g(x)=\tan{x^3}.\)

Responde:

Empieza por dejar que \( u=x^3.\) Por la regla de potencias,

$$u'(x)=3x^2.$$

A continuación, utiliza la Regla de la Cadena,

$$\begin{align}g'(x) &= \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}}u}\tan{u} \right) \left( \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x} \right) \[0.5em] &= \left(\sec^2{u} \right) (3x^2) \\\\sec &= 3x^2\sec^2{u}, \end{align}$$

y vuelve a sustituir \( u=x^3,\) obteniendo

$$g'(x)=3x^2\sec^2{x^3}.$$

Halla la derivada de \( h(x)=\csc{2x^2}.\)

Responde:

Empieza por dejar que \( u=2x^2.\$) Por la regla de potencias,

$$u'(x)=4x.$$

A continuación, utiliza la Regla de la Cadena para obtener

h'(x) &= \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u}\csc{u} \right) \left( \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x} \right) \[0.5em] &= \left(-\csc{u} \right) \left( \cot{u} \right) (4x) \\left(-4x\left(\csc{u}\right) \left(\cot{u} \right) , \end{align}$$

y vuelve a sustituir \( u=2x^2) para obtener

$$h'(x)=-4x\left(\csc{2x^2}\right) \left(\cot{2x^2}\right).$$

Halla la derivada de \( f(x)=x \izquierda(\sin{x}\derecha).\)

Responde:

Como tienes un producto de funciones, empieza por utilizar la regla del producto, es decir

$$f'(x)=\izquierda( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x\derecha) \sin{x} + x \left(\frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right).$$

Puedes hallar la derivada de \( x \) utilizando la regla de potencias,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x= 1,$$

y la derivada de la función seno es la función coseno

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x}.$$

Sabiendo esto, la derivada de \( f(x) \) es

$$\begin{align}f'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right) \sin{x} + x \left(\frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right) \[0.5em] &= (1)\sin{x}+x\left( \cos{x} \right) \left( \cos{x} \right) &= \sin{x}+x \cos{x}.\end{align}$$

Halla la derivada de $$ g(x) = \frac{\tan{x}}{x^2}.$$

Responde:

Ahora tienes un cociente de funciones, así que empieza utilizando la Regla del Cociente, es decir

$$g'(x)=\frac{ \frac {\frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan{x} \right)x^2-\tan{x}{\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2 \right)}{\frac {\frac {\mathrm{d}} {\frac {\mathrm{d}} {\frac {\frac {\mathrm{d}} {\frac {\frac {\mathrm{d}} \tan{x} \right)x^2.$$

Puedes hallar la derivada de \( x^2 \) con la regla de potencias,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2=2x,$$

y la derivada de la función tangente es la función secante al cuadrado

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan{x}=\sec^2{x}.$$

Finalmente, sustituye las derivadas anteriores en la Regla del Cociente y simplifica, obteniendo

g'(x) &= \frac{ \left( \sec^2{x} \right) x^2- \left( \tan{x} \right) (2x) }{ \left( x^2 \right) ^2}. \\&= \frac{x^2 \left( \sec^2{x} \right) -2x \left( \tan{x} \right) }{x^4}. \[0,5em] &= \frac{x \left( \sec^2{x} \right) - 2\tan{x}}{x^3} .\end{align}$$

Halla la derivada de \( h(x)=\sin^2{x}.\)

Respuesta:

Como la función seno es al cuadrado, se trata de una composición de funciones, por lo que necesitas utilizar la Regla de la Cadena. Empieza por dejar que \( u=\sin{x}.\) Su, derivada es la función coseno

$$u'(x)=\cos{x}.$$

A continuación, utiliza la Regla de la Cadena,

$$\begin{align}h'(x) &= \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u}u^2 \right) \left( \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x}} \right) \[0.5em] &= \left(2u \right) \left( \cos{x} \right) \left(2u \cos{u} \right), \end{align}$$

donde has utilizado la Regla de Potencia para hallar la derivada de \( u^2.\) Por último, sustituye de nuevo \( u=\sin{x},\) obteniendo

$$h'(x)=2 \left( \sin{x}\right) \left( \cos{x}\right) .$$

Un error común es confundir los signos al diferenciar la función coseno, la función cotangente o la función cosecante, es decir

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} \neq \sin{x}. $$

¡Asegúrate de poner el signo negativo!

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} = -\sin{x}. $$

Otro error frecuente se produce al diferenciar la función secante o la función cosecante. Recuerda que al diferenciar estas funciones tienes que escribir las entradas correctas en todos los casos de funciones trigonométricas.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x^2} \neq 2x \left(\sec{x^2} \right) \left( \tan{x} \right). $$

Aquí falta el cuadrado de la entrada de la función tangente. Halla la derivada utilizando la fórmula de la derivada de la función secante. No olvides utilizar las técnicas de diferenciación pertinentes, como la regla de la cadena en este caso.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x^2} = 2x \left(\sec{x^2} \right) \left( \tan{x^2} \right). $$