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Un escenario común presente en una playa, pixabay.com
¿Qué tienen en común todas estas cosas? La respuesta es que su movimiento es periódico.Las funciones periódicas describen cosas como las olas del mar. Las funciones periódicas son funciones que repiten sus resultados a intervalos regulares. Las funciones trigonométricas son excelentes ejemplos de funciones periódicas. Por eso es esencial saber diferenciar funciones trigonométricas.
El significado de la derivada de las funciones trigonométricas
Quizá te preguntes qué significa hallar la derivada de una función trigonométrica.
Hallar la derivada de una función significa que estás hallando otra función que describe su tasa de cambio.
Es decir, la derivada de una función es otra función que describe cómo cambia la función original. Esto se hace independientemente del tipo de funciones con las que estés tratando, ¡y las funciones trigonométricas no son una excepción!
Normalmente se dan fórmulas para las derivadas de todo tipo de funciones. Aquí encontrarás cómo hallar las derivadas de las funciones trigonométricas.
Fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas
Hay seis funciones trigonométricas principales:
La función seno: \( \sin{x}.\)
La función coseno: \( \cos{x}.\})
La función tangente: \ (tan{x}.\)
La función cotangente: \( cot{x}.\)
La función secante: \( \sec{x}.\)
La función cosecante: \( csc{x}.\)
Las funciones trigonométricas son el puente entre la trigonometría y el cálculo. Las seis funciones trigonométricas son funciones periódicas.
Para recordar las gráficas de estas funciones y sus periodos, consulta Funciones trigonométricas.
Veamos ahora cada una de sus derivadas.
Las derivadas de las principales funciones trigonométricas son:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos{x}=-\sin{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan{x}=\sec^2{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x}=-\csc^2{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x}=\left( \sec{x} \right)\left(\tan{x}\right),$$
y
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x}=-\left( \csc{x} \right)\left(\cot{x}\right).$$
Observa cómo todas las derivadas de las funciones trigonométricas implican más funciones trigonométricas. ¡Esta conexión es una firma de la periodicidad de las funciones trigonométricas!
Veamos cómo hallar la derivada de algunas funciones trigonométricas utilizando las derivadas anteriores junto con las Reglas de Diferenciación básicas.
Derivadas de funciones trigonométricas y la regla de la cadena
Veamos cómo diferenciar funciones trigonométricas utilizando la Regla de la Cadena.
Halla la derivada de \( f(x)=\sin{2x}.\)
Responde:
Para hallar esta derivada tendrás que utilizar la Regla de la Cadena. Sea \( u=2x.\} Entonces, por la Regla de Potencia,
$$u'(x)=2.$$
Así que ahora, utilizando la Regla de la Cadena
f'(x) &= \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u}\sin{u} \right) \left( \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x}} \right) \[0,5em] &= \left( \cos{u} \right) (2) \f'(x) &= 2cos{u}. \fin{align}$$
Por último, vuelve a sustituir \( u=2x, \) de modo que
$$f'(x)=2\cos{2x}.$$
¡No olvides elevar al cuadrado la función secante al diferenciar la función tangente!
Halla la derivada de \( g(x)=\tan{x^3}.\)
Responde:
Empieza por dejar que \( u=x^3.\) Por la regla de potencias,
$$u'(x)=3x^2.$$
A continuación, utiliza la Regla de la Cadena,
$$\begin{align}g'(x) &= \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}}u}\tan{u} \right) \left( \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x} \right) \[0.5em] &= \left(\sec^2{u} \right) (3x^2) \\\\sec &= 3x^2\sec^2{u}, \end{align}$$
y vuelve a sustituir \( u=x^3,\) obteniendo
$$g'(x)=3x^2\sec^2{x^3}.$$
Recuerda que tienes dos funciones para las derivadas de las funciones secante y cosecante. No te olvides de ninguna de las dos al volver a sustituir \( u.\)
Halla la derivada de \( h(x)=\csc{2x^2}.\)
Responde:
Empieza por dejar que \( u=2x^2.\$) Por la regla de potencias,
$$u'(x)=4x.$$
A continuación, utiliza la Regla de la Cadena para obtener
h'(x) &= \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u}\csc{u} \right) \left( \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x} \right) \[0.5em] &= \left(-\csc{u} \right) \left( \cot{u} \right) (4x) \\left(-4x\left(\csc{u}\right) \left(\cot{u} \right) , \end{align}$$
y vuelve a sustituir \( u=2x^2) para obtener
$$h'(x)=-4x\left(\csc{2x^2}\right) \left(\cot{2x^2}\right).$$
Ejemplos de derivadas de funciones trigonométricas
El cálculo es cuestión de práctica. También debes ser capaz de utilizar más reglas de diferenciación, como la regla del producto y la regla del cociente.
Halla la derivada de \( f(x)=x \izquierda(\sin{x}\derecha).\)
Responde:
Como tienes un producto de funciones, empieza por utilizar la regla del producto, es decir
$$f'(x)=\izquierda( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x\derecha) \sin{x} + x \left(\frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right).$$
Puedes hallar la derivada de \( x \) utilizando la regla de potencias,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x= 1,$$
y la derivada de la función seno es la función coseno
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x}.$$
Sabiendo esto, la derivada de \( f(x) \) es
$$\begin{align}f'(x) &= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right) \sin{x} + x \left(\frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sin{x} \right) \[0.5em] &= (1)\sin{x}+x\left( \cos{x} \right) \left( \cos{x} \right) &= \sin{x}+x \cos{x}.\end{align}$$
¿Qué te parece la regla del cociente? ¡No hay problema!
Halla la derivada de $$ g(x) = \frac{\tan{x}}{x^2}.$$
Responde:
Ahora tienes un cociente de funciones, así que empieza utilizando la Regla del Cociente, es decir
$$g'(x)=\frac{ \frac {\frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan{x} \right)x^2-\tan{x}{\frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2 \right)}{\frac {\frac {\mathrm{d}} {\frac {\mathrm{d}} {\frac {\frac {\mathrm{d}} {\frac {\frac {\mathrm{d}} \tan{x} \right)x^2.$$
Puedes hallar la derivada de \( x^2 \) con la regla de potencias,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x^2=2x,$$
y la derivada de la función tangente es la función secante al cuadrado
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \tan{x}=\sec^2{x}.$$
Finalmente, sustituye las derivadas anteriores en la Regla del Cociente y simplifica, obteniendo
g'(x) &= \frac{ \left( \sec^2{x} \right) x^2- \left( \tan{x} \right) (2x) }{ \left( x^2 \right) ^2}. \\&= \frac{x^2 \left( \sec^2{x} \right) -2x \left( \tan{x} \right) }{x^4}. \[0,5em] &= \frac{x \left( \sec^2{x} \right) - 2\tan{x}}{x^3} .\end{align}$$
Es hora de un ejemplo más utilizando la Regla de la Cadena.
Halla la derivada de \( h(x)=\sin^2{x}.\)
Respuesta:
Como la función seno es al cuadrado, se trata de una composición de funciones, por lo que necesitas utilizar la Regla de la Cadena. Empieza por dejar que \( u=\sin{x}.\) Su, derivada es la función coseno
$$u'(x)=\cos{x}.$$
A continuación, utiliza la Regla de la Cadena,
$$\begin{align}h'(x) &= \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u}u^2 \right) \left( \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x}} \right) \[0.5em] &= \left(2u \right) \left( \cos{x} \right) \left(2u \cos{u} \right), \end{align}$$
donde has utilizado la Regla de Potencia para hallar la derivada de \( u^2.\) Por último, sustituye de nuevo \( u=\sin{x},\) obteniendo
$$h'(x)=2 \left( \sin{x}\right) \left( \cos{x}\right) .$$
Recuerda, ¡la práctica hace al maestro!
Errores comunes
Todos cometemos errores de vez en cuando. Aquí verás algunos errores comunes al diferenciar funciones trigonométricas.
Un error común es confundir los signos al diferenciar la función coseno, la función cotangente o la función cosecante, es decir
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} \neq \sin{x}. $$
¡Asegúrate de poner el signo negativo!
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cos{x} = -\sin{x}. $$
Una forma fácil de recordar los signos de las derivadas de las funciones trigonométricas es prestar atención al nombre de la función. Si empieza por "co", como coseno, cotangentey cosecante, entonces la derivada tiene signo negativo.
Otro error frecuente se produce al diferenciar la función secante o la función cosecante. Recuerda que al diferenciar estas funciones tienes que escribir las entradas correctas en todos los casos de funciones trigonométricas.
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x^2} \neq 2x \left(\sec{x^2} \right) \left( \tan{x} \right). $$
Aquí falta el cuadrado de la entrada de la función tangente. Halla la derivada utilizando la fórmula de la derivada de la función secante. No olvides utilizar las técnicas de diferenciación pertinentes, como la regla de la cadena en este caso.
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x^2} = 2x \left(\sec{x^2} \right) \left( \tan{x^2} \right). $$
Ten cuidado si estás diferenciando funciones trigonométricas con diferentes entradas. ¡Hacer las cosas paso a paso te ayudará a no confundir las entradas!
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Puede que también necesites hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, como el seno inverso, la tangente inversa, etc. Consulta nuestro artículo sobre Derivadas de funciones trigonométricas inversas para profundizar en el tema.
Derivadas de funciones trigonométricas - Puntos clave
- Las funciones trigonométricas son funciones periódicas. Las funciones trigonométricas se utilizan para describir fenómenos periódicos.
- Las derivadas de las seis funciones trigonométricas principales son las siguientes:$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{x}=\cos{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos{x}=-\sin{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\tan{x}=\sec^2{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x}=-\csc^2{x},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x}=\left( \sec{x} \right)\left(\tan{x}\right),$$
y
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x}=-\left( \csc{x} \right)\left(\cot{x}\right).$$
- Los errores más comunes al diferenciar funciones trigonométricas son los siguientes:
- Confundir los signos. Recuerda que las funciones que empiezan por "co " tienen signo negativo en su derivada.
- Mezclar las entradas de las derivadas de la función secante y la función cosecante. Recuerda colocar la entrada correcta en cada función trigonométrica después de diferenciarla.
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