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Preguntar por la derivada de las funciones trigonométricas inversas es una tarea habitual en cálculo diferencial, pero también desempeña un papel importante en cálculo integral, donde utilizas las funciones trigonométricas inversas como herramientas para hallar algunas integrales. Por esta razón, veamos cómo hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.
Notación de las funciones trigonométricas inversas
Antes de empezar, hablaremos brevemente de la notación utilizada para las funciones trigonométricas inversas, que también se conocen como funciones de arco.
La función seno inversa también se conoce como función arcoseno. Existen dos notaciones equivalentes para esta función:
$$\sin^{-1}{x}\equiv\arcsin{x}.$$
El resto de las funciones trigonométricas inversas se denotan de forma similar:
$$\cos^{-1}{x}\equiv\arccos{x},$$
$$\tan^{-1}{x}\equiv\arctan{x},$$
$$\cot^{-1}{x}\equiv\mathrm{arccot}{\,x},$$
$$\sec^{-1}{x}\equiv\mathrm{arcsec}{\,x},$$
y
$$\csc^{-1}{x}\equiv\mathrm{arccsc}{\,x}.$$
Recuerda que \( \equiv \) significa que las dos cosas son equivalentes. En otras palabras, son exactamente lo mismo.
Cabe señalar que el menos uno no es un exponente. Se utiliza para indicar que la función es inversa, a diferencia de \( \sin^{2}{x},\), donde el dos es un exponente que nos indica que la salida de la función seno debe elevarse al cuadrado.
Fórmulas para las derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Una vez aclarada la notación, veamos las fórmulas de las derivadas de las seis funciones trigonométricas inversas.
Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas vienen dadas de la siguiente manera:
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos{x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan{x}=\frac{1}{1+x^2},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccot}{\,x}=-\frac{1}{1+x^2},$$
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}{\,x}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},$$
y
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}{\,x}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
Método para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Al igual que ocurre con las derivadas de otras funciones, el método para hallar la derivada de una función trigonométrica inversa depende de la función. Veamos cómo se hace.
Identifica qué regla o reglas de diferenciación son relevantes.
Utiliza la(s) regla(s) de diferenciación anterior(es).
Escribe la(s) derivada(s) de la(s) función(es) trigonométrica(s) inversa(s), así como de cualquier otra función que intervenga en el cálculo.
Como siempre, estos pasos se entienden mejor viendo ejemplos. ¡Pasemos al siguiente apartado!
Ejemplos de derivadas de funciones trigonométricas inversas
Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas pueden utilizarse junto con otras reglas de diferenciación como la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente. ¡Veamos un ejemplo de cada caso!
Halla la derivada de \( f(x)=\arcsin{x^2}.\)
Responde:
- Identifica qué regla de diferenciación es relevante.
La función está escrita como una composición de funciones y no hay productos ni cocientes implicados, por lo que puedes hacer esta derivada utilizando la regla de la cadena.
2. Utiliza la regla de diferenciación, que en este caso es la regla de la cadena.
Como estás utilizando la regla de la cadena, debes empezar por dejar que \(u=x^2\) y luego aplicar la regla de la cadena, de modo que
$$f'(x)=\left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\arcsin{u} \right)\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$$
3.Escribe las derivadas de las funciones que intervienen en el cálculo.
Ahora puedes escribir la derivada de la función seno inversa en la expresión anterior
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.$$
También tendrás que hallar la derivada restante. Como \(u=x^2,\$) puedes hallar su derivada utilizando la regla de la potencia,
$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=2x,$$
y luego la sustituyes, así
$$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\cdot 2x.$$
Siempre que hagas un cambio de variable, tienes que deshacerlo al final, así que vuelve a sustituir \( u=x^2 \) y simplifica, es decir
$$\begin{align}f'(x) &= \frac{1}{cuadrado{1-\izquierda( x^2 \derecha)^2}\cdot 2x \\[0,5em] f'(x) &= \frac{2x}{cuadrado{1-x^4}}.\end{align}$$
¿Qué te parece la regla del producto?
Halla la derivada de \(g(x)=\ izquierda(\arctan{x}\ derecha) \ izquierda(\cos{x}\ derecha). \)
Contesta:
1. Identifica qué regla de diferenciación es relevante.
La función está escrita como un producto de funciones, por lo que debes utilizar la regla del producto.
2. Utiliza la regla de diferenciación, en este caso la regla del producto.
Los productos implicados son la función tangente inversa y la función coseno, por lo que
$$g'(x)= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan{x} \right) \cos{x} + \arctan{x} \izquierda( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}\cos{x} {derecha).$$
3. Escribe las derivadas de las funciones que intervienen en el cálculo.
Arriba tienes la derivada de la función tangente inversa, y la derivada de la función coseno es el negativo de la función seno, por lo que
$$\begin{align}g'(x) &= \left( \frac{1}{1+x^2} \right)\cos{x} + \arctan{x} \izquierda (-sin{x} derecha) &= frac{cos{x}} {1+x^2}-izquierda (arctan{x} derecha) izquierda (sin{x} derecha). \fin{align}$$
Pruebas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Habrás observado que las derivadas de las funciones trigonométricas implican a otras funciones trigonométricas, pero las derivadas de las funciones trigonométricas inversas no. Para entender mejor por qué ocurre esto, echaremos un vistazo a la demostración de la derivada de cada función trigonométrica inversa.
Derivada del seno inverso
Empecemos recordando que la función seno inversa está relacionada con la función seno por el hecho de que son inversas la una de la otra. Esto significa que
$$y=\arcsin{x}} \es cierto si y sólo si \sin{y}=x.$$
A continuación, diferencia ambos lados de \( \sin{y}=x,\) de modo que
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin{y}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x.$$
La derivada de la función seno es la función coseno, pero como \( y\) es una función de \( x, \) tienes que utilizar la regla de la cadena en el lado izquierdo de la ecuación. El lado derecho de la ecuación es la derivada de \(x,\), por lo que es sólo 1. Esto te dará
$$(\cos{y})\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =1,$$
donde puedes utilizar la identidad pitagórica trigonométrica,
$$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1,$$ para escribir el coseno en términos del seno. Haciendo esto se obtiene
$$\left(\sqrt{1-\sin^2{y}}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =1.$$
A continuación, sustituye \( \sin{y}=x \) para obtener
$$\left(\sqrt{1-x^2}\right)\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =1.$$
A continuación, aísla la derivada de \( y \),
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},$$
que es la fórmula para diferenciar la función seno inversa
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Volvamos a la demostración de la derivada de la función seno inversa. Después de hacer la diferenciación implícita te quedaba la siguiente ecuación:
$$\cos{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1.$$
Si vuelves a sustituir \( y=\arcsin{x}\) tendrás una composición de una función trigonométrica y una función trigonométrica inversa, es decir
$$\cos{\left(\arcsin{x}\right)}.$$
Existe un método ingenioso en el que puedes utilizar un triángulo auxiliar para hallar esta composición. Primero, construye un triángulo con \(\sin{y}=x,\), lo que significa que la razón del cateto opuesto a la hipotenusa es igual a \(x.\) Esta idea se entiende mejor si la escribes como
$$\begin{align} \sin{y} &= x\\[0,5em] &= \frac{x}{1}.\end{align}$$
Aquí tienes que mirar a \( y \) como si fuera un ángulo.
Fig. 1. Triángulo auxiliar construido con \(sen(y)=x\).
El cateto restante se puede hallar utilizando el Teorema de Pitágoras
$$a^2+b^2=c^2,$$
donde \(a=x,\) \(c=1,\) y \( b \) es el cateto que falta, por lo que
$$\begin{align} b &= \sqrt{c^2-a^2} |= \sqrt{1-x^2}. \fin{align}$$
Fig. 2. El cateto restante del triángulo auxiliar.
Ahora que conoces la longitud del cateto adyacente, puedes escribir el coseno de \(y\) como el cociente entre el cateto adyacente y la hipotenusa.
Comienzo \cos{y} &= \frac{\sqrt{1-x^2}{1} \\ y &= 1qrt1-x^2}.end{align}$$
Con esta información ya puedes escribir la derivada de la función seno inversa,
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Intenta hacer lo mismo con las derivadas de las demás funciones trigonométricas inversas.
Puedes intentar encontrar las derivadas del coseno inverso, la tangente inversa y la cotangente inversa de forma similar.
Derivada de la cosecante inversa
Como ya has encontrado la derivada de la función seno inversa, ¡puedes utilizarla a tu favor! Como la función cosecante es la recíproca de la función seno, puedes escribir la identidad
$$y=\mathrm{arccsc}{\,x}=\arcsin{\left(\frac{1}{x}\right)}.$$
Se puede diferenciar utilizando la regla de la cadena y la derivada de la función seno inversa. Sea
$$u=\frac{1}{x}$$
y halla la derivada,
$$\begin{align}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\arcsin{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x} \\[0.5em] &= \frac{1}{\sqrt{1-u^2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}. \fin{align}$$
Sustituye de nuevo \(u \) y su derivada para obtener
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}.$$
A continuación, trabaja la expresión resultante con un poco de álgebra para hallar
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{1}{x}\right)^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right).$$
Puedes reescribir esta última ecuación trabajando la expresión dentro de la raíz y utilizando el hecho de que la raíz cuadrada de \( x\) al cuadrado es igual al valor absoluto de \( x\), es decir
$$\sqrt{x^2}=|x|.$$
A partir de aquí puedes simplificar aún más la ecuación para obtener
$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}},$$
obteniendo la derivada de la función cosecante inversa
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}{\, x} =-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
La derivada de la secante inversa puede hallarse de forma similar, sólo tienes que utilizar la derivada del coseno inverso en su lugar.
Gráficas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas
Te habrás dado cuenta de que, a diferencia de las derivadas de las funciones trigonométricas, las derivadas de las funciones trigonométricas inversas son funciones racionales que a veces incluyen también raíces cuadradas. Seguro que suena un poco extravagante, ¡pero las gráficas tienen un aspecto muy chulo! ¡Echémosles un vistazo!
Seno y coseno inversos
Cuando observes las gráficas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas, debes prestar especial atención a su dominio. En el caso del seno inverso y el coseno inverso, el dominio es
$$-1 \leq x \leq 1,$$
por lo que la gráfica de la derivada del seno inverso se mostrará en el mismo intervalo.
Fig. 3. Gráfica de la derivada de la función seno inverso.
Como la derivada del coseno inverso es el negativo de la gráfica anterior, la gráfica del coseno inverso es la gráfica del seno inverso reflejada en el eje x.
Fig. 4. Gráfica de la derivada de la función coseno inverso.
Observa que hay asíntotas en \( x=-1 \) y \( x=1,\)
Tangente inversa y cotangente
Esta vez empieza recordando que el dominio de las funciones tangente y cotangente son todos los números reales, por lo que sus gráficas se extienden hasta el infinito. A continuación se muestra la gráfica de la derivada de la tangente inversa.
Fig. 5. Gráfica de la derivada de la función tangente inversa.
De nuevo, la derivada de la cotangente inversa tiene el signo contrario al de la derivada de la tangente inversa, por lo que se produce otra reflexión a través del eje x.
Fig. 6. Gráfica de la derivada de la función cotangente inversa.
¡En este caso no hay asíntotas verticales!
Secante y cosecante inversas
Para la secante inversa y la cosecante inversa hay que tener en cuenta que el dominio tiene una discontinuidad, es decir
$$-\infty < x \leq -1 \, \mbox{ y } \, 1 \leq x < \infty,$$
por lo que la gráfica de su derivada tendrá un hueco para \( -1 < x < 1.\)
Fig. 7. Gráfica de la derivada de la función secante inversa.
Por último, la gráfica de la derivada de la cosecante inversa es también un reflejo de la derivada de la secante inversa a través del eje x.
Fig. 8. Gráfica de la derivada de la función cosecante inversa.
Derivadas de funciones trigonométricas inversas - Aspectos clave
- La inversa de la función seno se denomina función arcoseno. El resto de las funciones trigonométricas inversas se denominan de forma similar.
- Las derivadas de las seis funciones trigonométricas inversas son las siguientes:
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arcsin{x}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arccos{x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\arctan{x}=\frac{1}{1+x^2}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccot}{\,x}=-\frac{1}{1+x^2}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arcsec}{\,x}=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
- $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathrm{arccsc}{\,x}=-\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$
- Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas pueden demostrarse utilizando la diferenciación implícita y aplicando las identidades trigonométricas pitagóricas.
- Puedes utilizar un triángulo auxiliar si te cuesta recordar las identidades trigonométricas pitagóricas.
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