Las cosas pueden moverse a distintas velocidades, así que ¿qué pasa con el cambio de velocidad frente al tiempo? La velocidad ya es un cambio, ¡así que estarías hablando del cambio de un cambio! Este cambio de velocidad frente al tiempo es la aceleración, y también es el cambio del cambio de posición frente al tiempo.
Significado de las derivadas de orden superior
El cálculo gira en torno al cambio. Al hallar la derivada de una función, te queda otra función, que a su vez puede volver a diferenciarse en determinadas circunstancias.
Las derivadas de funciones que ya han sido diferenciadas se conocen como Derivadas de Orden Superior.
Tomemos, por ejemplo, la derivada de la función polinómica
\[ f(x) = x^5 +2x^4 -x^2 +4x +1,\]
para la que puedes utilizar la Regla de Potencia para hallar su derivada, es decir
\[ f'(x) = 5x^4 +8x^3 -2x +4.\]
La derivada que acabas de hallar es otra función polinómica, así que puedes utilizar de nuevo la Regla de Potencia para hallar la derivada de \( f'(x), \) obteniendo
\[(f'(x))' = 20x^3+24x^2-2.\]
Esta función que acabas de encontrar se conoce como la segunda deriv ada de \( f.\ Si mantienes esta notación, puedes observar que hay muchos paréntesis. ¡Imagina lo que pasaría si encontraras la tercera o la cuarta derivada! Para solucionar este problema, hay dos notaciones diferentes que se pueden utilizar al escribir Derivadas de Orden Superior.
Reglas para escribir derivadas de orden superior
Más que reglas para escribir Derivadas de Orden Superior, hablamos de notación. Tener una notación coherente es útil para que todo el mundo esté de acuerdo al hablar de Derivadas de Orden Superior.
Notación primitiva de las derivadas de orden superior
Considera el ejemplo anterior de una segunda derivada,
\[ \left( f'(x)\right)' = 20x^3 +24x^2 -2.\]
En lugar de utilizar todos estos paréntesis, los primos se colocan uno al lado del otro, es decir
\[ f''(x) = 20x^3 +24x^2 -2.\]
Si vuelves a diferenciar la función, tendrás una tercera derivada. Esto se denota utilizando tres primos
\[f'''(x) = 60x^2 +48x.\]
Antes de pasar a la cuarta derivada, ten en cuenta que si sigues añadiendo primos esto sería extremadamente engorroso. En lugar de añadir más primos, coloca un número entre paréntesis.
\f^(4)}(x) = 120x +48.\]
Esta notación se mantiene para las derivadas posteriores.
El número se escribe entre paréntesis para evitar confundirlo con un exponente.
Notación de Leibniz para derivadas de orden superior
La notación de Leibniz utiliza notación fraccionaria en lugar de primos.
Recuerda que las derivadas no son fracciones. ¡Se escriben como fracciones sólo como medio de notación!
Una vez más, considera la función del ejemplo anterior. Su derivada utilizando la notación de Leibniz se escribe como
\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x} = 5x^4 +8x^3 -2x +4. \frac{\mathrm{d}f].
Para la segunda derivada, tienes que colocar el número 2 de la siguiente manera:
\[ \frac{mathrm{d}^2 f}{mathrm{d}x^2} = 20x^3 +24x^2 -2. \]
Esta notación es la misma para todas las derivadas de orden superior, por lo que
\frac{mathrm{d}^3f}{mathrm{d}x^3} = 60x^2 +48x,\]
y
\frac{{mathrm{d}^4f}{mathrm{d}x^4} = 120x +48\]
Puedes leer la notación como sigue: La cuarta derivada de \( f \) con respecto a \( x \) cuatro veces.
\[\frac{\mathrm{d}^4 f}{\mathrm{d}x^4}\]
Esto tiene más sentido cuando se estudian las Derivadas Parciales, ¡pero está fuera del alcance de este artículo!
Fórmulas para derivadas de orden superior
La mayoría de las veces no existe una fórmula para hallar Derivadas de Orden Superior. Sin embargo, algunas funciones tienen patrones que se pueden seguir al diferenciarlas.
Considera la siguiente función exponencial
\f(x)=e^{2x}.\]
Puedes hallar su derivada utilizando la Regla de la Cadena, que te da
\[f'(x)=2e^{2x.}\]
Para su segunda derivada puedes utilizar la Regla Múltiple Constante para obtener
\f''(x) &= 2e izquierda( 2e^{2x} derecha) &= 2^{2} e^{2x} \\ &= 4e^{2x}.end{align}]
Cada diferenciación posterior multiplicará la derivada anterior por un factor de dos, de modo que su quinta derivada, por ejemplo, sería
\[ \begin{align} f^{(5)}(x) &= 2^{5} e^{2x} \\ &= 32e^{2x}. \fin{align} \]
En general, su derivada n.ª viene dada por
\f^{(n)} (x) = 2^n e^{2x}.
Hay más funciones cuyas derivadas se relacionan perfectamente con determinados patrones, pero esto también queda fuera del ámbito de este artículo.
Ejemplos de derivadas de orden superior
Encontrar derivadas de orden superior es una tarea sencilla. ¡Sólo tienes que seguir diferenciando la función tantas veces como necesites! Aquí tienes algunos ejemplos.
Encuentra la tercera derivada de
\[ f(x) = 3x^4 +6x^2 -1.\]
Responde:
Puedes diferenciar esta función polinómica utilizando la regla de potencias, lo que te dará
\[ f'(x) = 12x^3 +12x.\]El resultado es otra función polinómica, así que sigue hasta encontrar la tercera derivada, es decir
\[ f''(x) = 36x^2+12,\]
y
\[f''(x) = 72x.\]
¡Has utilizado la regla de la potencia tres veces seguidas en el ejemplo anterior! No siempre tendrás que utilizar la misma regla de diferenciación una y otra vez, aquí tienes otro ejemplo.
Halla la tercera derivada de
\[g(x) = \sin{4x}.\]
Respuesta:
Aquí puedes utilizar la regla de la cadena junto con el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno, por lo que
\g'(x) = 4\cos{4x}.\]
Para hallar la siguiente derivada, ahora tienes que utilizar la regla de la Múltiple Constante junto con el hecho de que la derivada de la función coseno es la función seno negativa, por lo que
\[ \begin{align} g''(x) &= 4 \left( -4\sin{4x}\right) \\\tu &= -16\sin{4x}.\end{align}\\]
Vuelves a tener la función seno, así que diferénciala de nuevo para obtener la tercera derivada
\g'''(x) &= -16 \left( 4\cos{4x} \right) &= -64\cos{4x}. \fin].
¿Notas algún patrón?
Veamos la derivada de otra función polinómica.
Halla la cuarta derivada de
\[ h(x) = x^2 +3x +1.\]
Responde:
Como se trata de una función polinómica, tienes que aplicar la Regla de Potencia varias veces consecutivas. Así obtendrás
\[ h'(x) =2x+3,\]
entonces
\[ h''(x) = 2. \]
Observa que, en este punto, la derivada es ahora una función constante. Por tanto, la siguiente derivada (¡y todas las derivadas posteriores!) será igual a 0, es decir
\[ h'''(x) = 0,\]
y
\[ h^{(4)} (x) = 0,\].
Las derivadas de orden superior de las funciones polinómicas tenderán a hacerse cero en algún momento. Si diferencias una función polinómica más veces que su grado, la derivada se hará cero.
Aplicaciones de las derivadas de orden superior
Aplicaciones de las derivadas de orden superior en matemáticas
La segunda derivada de una función nos da información sobre los máximos y mínimos de una función y su concavidad. Para más información sobre estos temas, puedes consultar nuestros artículos sobre los siguientes temas:
La prueba de la segunda derivada
Derivadas y forma de una gráfica
Aplicaciones de las derivadas de orden superior en la ciencia
Un ejemplo excelente de derivadas de orden superior es la aceleración.
La aceleración es la segunda derivada de la posición respecto al tiempo.
Esto significa que si tienes una función que describe la posición de un objeto, su segunda derivada describirá su aceleración.
La posición de un objeto en el tiempo viene dada por la función
\[ s(t) = 100-4,9t^2,\]
donde \(t\) se mide en segundos y \(s(t)\) se mide en metros. Halla su aceleración.
Contesta:
Aquí necesitas diferenciar la función de posición para hallar la velocidad del objeto. Esto puede hacerse con la Regla de Potencia, así
\[ s'(t) = -9,8t.\]
Observa que las unidades de \(s'(t)\) ¡son metros por segundo! Esto se debe a que puedes pensar en la derivada como una pendiente, que es el ascenso sobre el descenso. La subida tiene unidades de metros, y el recorrido tiene unidades de segundos, así que
\frac[ \frac{mbox{subida}}{mbox{corrida}} = \frac{mbox{metros}}{mbox{segundo}} = \frac{m}{s}.\]
Ahora, como la aceleración es la derivada de la velocidad, necesitas diferenciar de nuevo para hallarla, es decir
\[ s''(t) = -9,8.\]
Pero, ¿cuáles son las unidades? Recuerda que se trata de la derivada de la velocidad, que tenía unidades de
\( m/s\). Así que para la aceleración, las unidades son
\frac[ \frac{mbox{segundo}} = \frac{mbox{metros}} {\mbox{segundo}} = \frac{m} {s^2}.\]
La aceleración del objeto es la constante \(-9,8 m/s^2\). ¡Se trata de un objeto en caída libre!
Las derivadas de segundo orden también están presentes en fenómenos más naturales. Entre ellos se incluyen
- La difusión del calor a través de un material.
- La propagación de ondas.
- La difusión de una sustancia en un líquido.
- La mecánica de los fluidos.
Derivadas de orden superior - Puntos clave
- Las derivadas de orden superior se obtienen diferenciando una función más de una vez.
- La segunda derivada se obtiene diferenciando dos veces, la tercera derivada diferenciando tres veces, y así sucesivamente.
- Hay dos formas de denotar las derivadas de orden superior.
- La notación prima utiliza hasta tres primos. Para derivadas superiores (cuarta, quinta, etc.) se utiliza un número entre paréntesis.
- Una segunda derivada se denota \( f''(x).\)
- La quinta derivada se denomina \( f^(5)}(x). \)
- La notación de Leibniz utiliza números sin paréntesis.
- Una segunda derivada se denota \( \frac{\mathrm{d}^2 f}{\mathrm{d}x^2} .\)
- La quinta derivada se denomina \frac {\mathrm{d}^5 f} {\mathrm{d}x^5} .\)
- La notación prima utiliza hasta tres primos. Para derivadas superiores (cuarta, quinta, etc.) se utiliza un número entre paréntesis.
- Las derivadas de orden superior se utilizan para describir varios fenómenos naturales, como la difusión del calor, la propagación de las ondas y la mecánica de los fluidos.
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