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Dicho esto, probablemente te vengan a la cabeza las funciones seno y coseno al hablar de funciones trigonométricas, y quizá también la función tangente. Pero ¡tenemos un total de seis funciones trigonométricas! Ha llegado el momento de dedicar algo de tiempo a las funciones secante, cosecante y cotangente.
La función secante, junto con las funciones cosecante y cotangente, se conocen colectivamente como funciones recíprocas, porque son el recíproco de las funciones trigonométricas principales. Aquí aprenderás a hallar la derivada de cada una de ellas.
Derivada de la función secante sec
La función secante es la recíproca de la función coseno.
La función secante se denota como
\[\sec{x}\]
y es el recíproco de la función coseno, es decir
\[\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}.\]
Para hallar la derivada de la función secante puedes utilizar la derivada de la función coseno y la regla del cociente. Empieza escribiendo la función secante en términos de la función coseno, es decir
\[\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}.\]
A continuación, puedes utilizar la regla del cociente, de modo que
\[\frac{1}{cos{x}}. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \sec{x} &= \frac {izquierda(\frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}(1)\derecha)(\cos{x}) - (1)\izquierda(\frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}{cos{x}\derecha) }{(\cos{x})^2}. \\ &= \frac{ \frac(\frac{mathrm{d} {\mathrm{d}x}(1)\derecha)(\cos{x}) - (1)\frac(\frac{mathrm{d} {\mathrm{d}} {\cos{x}\derecha) {\cos^2{x}}. \fin].
La derivada de la constante \(1\) es igual a \(0\), y la derivada de la función coseno es el negativo de la función seno,
\[ \frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} \cos{x} = -\sin{x},\}]
por lo que
\[ \begin{align} \&= \frac {(0)(\cos{x}) -(1)(-\sin{x} ) }{\cos^2{x}}. \\ y= frac {sin{x}} {cos^2{x}} \\ izquierda( \frac{1}{cos{x}} \derecha) \izquierda(\frac{sin{x}}{cos{x}} \derecha).\end{align}]
Para el último paso, puedes volver a escribir el recíproco del coseno como la secante, y también puedes utilizar la identidad trigonométrica
\[\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\tan{x},\]
obteniendo
\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} = (\sec{x})(\tan{x}).
Normalmente encontrarás la expresión anterior en las tablas de derivadas, simplemente escrita sin paréntesis. Esto te da la fórmula de la derivada de la función secante.
La derivada de la función secante es
\[ \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec{x} = \sec{x}\,\tan{x}.\]
Derivada de la función cotangente cot
Es hora de pasar a la función cotangente, que es la recíproca de la función tangente.
La función cotangente se denota como
\[\cot{x}\]
y es la recíproca de la función tangente , es decir
\[\cot{x}=\frac{1}{\tan{x}}.\]
Una particularidad de las funciones tangente y cotangente es que también pueden escribirse como funciones racionales utilizando las funciones seno y coseno, como se ve en uno de los pasos necesarios para hallar la derivada de la función secante. Para la función tangente, puedes escribir
\[\tan{x}=\frac{\sin{x}}{\cos{x}}.\]
Como la función cotangente es la recíproca de la función tangente, también puedes encontrar la función cotangente escrita como una función racional utilizando las funciones seno y coseno, es decir
\[\begin{align} \cot{x} &= \frac{1}{\tan{x}} \\ &= \frac{1}{\frac{sin{x}}{cos{x}}. \end{align}\]
Utilizando las propiedades de las fracciones, puedes escribir esto como
\[\cot{x}=\frac{\cos{x}}{\sin{x}},\]
lo que significa que la función cotangente también puede escribirse como el cociente de la función coseno y la función seno.
Puedes utilizar la identidad anterior para hallar la derivada de la función cotangente. Como es un cociente de dos funciones, tendrás que utilizar la Regla del Cociente, por lo que
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot{x} = \frac {izquierda(\frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}\cos{x}\derecha) (\sin{x}) - (\cos{x}) \left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{dx}} \sin{x} {derecha) }{(\sin{x})^2.\}].
A continuación, tendrás que utilizar el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno,
\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} {\sin{x} = \cos{x}, \].
y previamente has hallado la derivada de la función coseno. Sustituyendo estas derivadas, obtendrás
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x} &= \frac{(-\sin{x})(\sin{x})-(\cos{x})(\cos{x})}{(\sin{x})^2} \\ &= -\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin^2{x}}. \end{align}\}]
Aquí también tendrás que utilizar la identidad pitagórica,
\[\sin^2{x}+\cos^2{x}=1,\]
así que
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot{x} &= -\frac{\sin^2{x}+\cos^2{x}}{\sin^2{x}} |&= - \frac{1}{\sin^2{x}}. \fin \]
Por último, utiliza las propiedades de los exponentes para escribir
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \cot{x} = - \left(\frac{1}{sin{x}}\right)^2. \]
Como verás más adelante, el recíproco de la función seno es la función cosecante, \( \csc{x}\), por lo que puedes escribir
\[ \inicio{alineación} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \&= -(\csc{x})^2 &=-\csc^2{x}. \end{align}\}]
Esto te da la fórmula de la derivada de la función cotangente.
La derivada de la función cotangente es
\frac {\mathrm{d}} {\mathrm{d}x} \cot{x} = -\csc^2{x}.|]
Derivada de la función cosecante csc
Por último, también encontrarás el recíproco de la función seno.
La función cosecante se denota como
\[\csc{x}\]
y es el recíproco de la función seno, es decir
\[\csc{x}=\frac{1}{\sin{x}}.\]
Puedes hallar la derivada de la función cosecante igual que hiciste con la función secante. Empieza escribiendo la función cosecante en términos de la función seno,
\[ \csc{x} = \frac{1}{\sin{x}}.\]
A continuación, diferénciala utilizando la regla del cociente, es decir
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \csc{x} = \frac{ \frac izquierda( \frac {mathrm{d}} {mathrm{d}x} (1) \derecha) (\sin{x}) - (1) \frac izquierda( \frac {mathrm{d}} {mathrm{d}x} {sin{x} \derecha) }{(\sin{x})^2}, \].
donde puedes utilizar la derivada de la función seno, de modo que
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \csc{x} &= \frac{(0)(\sin{x})-(1)(\cos{x})}{\sin^2{x}}. \\ &= -\frac {\cos{x}} {\sin^2{x}} \\ Izquierda(\frac{1}{sin{x}} {derecha) {izquierda(\frac{cos{x}}{sin{x}} {derecha).\finalign}]
Por último, reescribe el recíproco y utiliza la función cotangente, así
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x} = -(\csc{x})(\cot{x}).\]
Una vez más, lo más probable es que encuentres la fórmula escrita sin paréntesis.
La derivada de la función cosecante es
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\csc{x}=-\csc{x}\,\cot{x}.\]
Derivada de la función secante inversa
Has visto que la función secante es la recíproca de la función coseno. Sin embargo, quizá te preguntes cómo tratar la función secante inversa.
La función secante inversa, también conocida como función arcosecante, se denota como
\[\mathrm{arcsec}{\,x}\]
y es la función inversa de la función secante.
También puedes encontrar la función secante inversa escrita como
\[\sec^{-1}{x},\]
donde tienes que tener en cuenta que el \(-1\) no es un exponente, se utiliza para denotar una función inversa.
No olvides que inversa no es lo mismo que recíproca.
Siempre que hables de funciones inversas, debes tener cuidado con su dominio. Para la función secante inversa tienes que considerar que las salidas de la función secante son tales que\[ |\sec{x}| \geq 1, \]
por lo que el dominio de la función secante inversa serán todos los números cuyo valor absoluto sea mayor o igual que \(1\), es decir
\[ (-\infty,-1] \cup [1,\infty).\\]
Además, como la función secante es una función periódica, es posible obtener la misma salida a partir de dos entradas distintas. Para asegurarnos de que la secante inversa es una función, hay que restringir este rango, y la convención habitual es que sus salidas estén entre \(0\) y \(\pi\), excepto \(\frac{\pi}{2}\), por lo que
\[ 0 \leq \mathrm{arcsec}{, x} \leq \pi, \text{donde,}\, \mathrm{arcsec}{, x} \neq \frac{\pi}{2}.\]
Una vez aclarado esto, es hora de ver la derivada de la función secante inversa, que puede obtenerse mediante diferenciación implícita y algunas identidades trigonométricas.
La derivada de la función secante inversa es
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \x} = \frac{1}{|x||sqrt{x^2-1}}.
Derivada de la función cotangente inversa
La función cotangente inversa, como su nombre indica, es la inversa de la función cotangente.
La función cotangente inversa, también conocida como función arcus cotangente, se denota como
\[\mathrm{arccot}{, x}\]
y es la función inversa de la función cotangente.
Una notación alternativa para la función cotangente inversa es
\[\cot^{-1}{x}.\]
Puedes obtener cualquier número real como salida de la función cotangente, por lo que el dominio de la función cotangente inversa está formado por todos los números reales.
Las salidas de la función cotangente inversa suelen elegirse de modo que se encuentren entre \(0\) y \(\pi\), sin incluir estos valores. Esto significa que
\[ 0 < \mathrm{arccot}{, x} < \pi.\]
Ten en cuenta que algunos libros pueden definir el intervalo entre \( -^\pi/_2 \) y \( ^\pi/_2,\) sin incluir \(0\), es decir
\[ \left[-\frac{\pi}{2},0 \right) \cup \left( 0, \frac{\pi}{2} \right].\]
La derivada de la función cotangente inversa es
\frac[ \frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{arccot}{\frac{1}{x^2+1}} = -\frac{1}{x^2+1}].
Derivada de la función cosecante inversa
¡No te olvides de la función cosecante inversa!
La función cosecante inversa, también conocida como función arcosecante, se denota como
\[\mathrm{arccsc}{, x}\]
y es la función inversa de la función cosecante.
La función cosecante inversa también puede escribirse como
\[ \csc^{-1}{x},\}]
y su derivada se diferencia de la derivada de la secante inversa por un signo.
Al igual que la función secante inversa, las salidas de la función cosecante son tales que\[ |\csc{x}| \geq 1, \]
por lo que el dominio de la función cosecante inversa serán todos los números cuyo valor absoluto sea mayor o igual que \(1\), es decir
\[ (-\infty,-1] \cup [1,\infty).\]
Las salidas de la función cosecante inversa son tales que están entre \( -^\pi/_2\) y \( ^\pi/_2\), excepto \(0\). Es decir
\[ -\frac{\pi}{2} \leq \mathrm{arccsc}{,x} \leq \frac{pi}{2}, \text{donde,}, \mathrm{arccsc}{,x} \neq 0,\}.
La derivada de la función cosecante inversa es
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \x} = -\frac{1}{|x||sqrt{x^2-1}}.
Para ver cómo se obtienen ésta y el resto de las derivadas, echa un vistazo a nuestro artículo sobre las Derivadas de las Funciones Trigonométricas Inversas.
Ejemplos de derivadas de sec, csc y cot
¡Practica las derivadas anteriores haciendo algunos ejemplos!
Halla la derivada de
\[ f(x) = \sec{2x^2}.\]
Solución:
Para hallar esta derivada tendrás que utilizar la Regla de la Cadena junto con la Regla de Potencia y la derivada de la función secante. Empieza por dejar que \[ u=2x^2,\]
entonces la Regla de la Cadena te dice que
\[ f'(x)= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u}\sec{u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\].
Utilizando la Regla de Potencia, se obtiene
\frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x} = 4x,\]
por lo que
\[ f'(x)= \left( \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}u} \sec{u} \right) (4x), \]
utiliza ahora la derivada de la función secante, lo que te da
\f'(x) = (\sec{u},\tan{u}) (4x).
Por último, sustituye \(u\) y reordénalo, es decir
\f'(x) = (4x) \sec{2x^2} \, \tan{2x^2}.\]
También puedes utilizar la regla del producto para hallar las derivadas de las funciones trigonométricas recíprocas.
Halla la derivada de
\g(x) = x\cot{x}.\]
Solución:
Aquí tendrás que utilizar la Regla del Producto, es decir
\[ g'(x) = \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} x \right) \cot{x} + x\left( \frac{mathrm{d}}{mathrm{d}x}\cot{x} \right).\]
A continuación, utiliza la regla de potencias y la derivada de la función cotangente, de modo que
\[ g'(x) = (1)(\cot{x})+x(-\csc^2{x}),\}].
y, por último, simplifica la derivada, es decir
\[ g'(x) = \cot{x}-x\csc^2{x}.\]
Sencillo, ¿verdad? Echa un vistazo a otro ejemplo en el que se utiliza la regla de la cadena.
Halla la derivada de
\[ h(x)= e^{\csc{x}}.\]
Solución:
Aquí tienes que identificar que la función exponencial toma como entrada la salida de la función cosecante, esto significa que debes dejar que
\[ u = \csc{x},\]
entonces, utilizando la derivada de la función cosecante obtienes
\frac {\mathrm{d}u} {\mathrm{d}x} = -\csc{x}\,\cot{x}.\]
Utilizando la regla de la cadena se obtiene
\[ h'(x) = \left(\frac{mathrm{d}}{mathrm{d}u}e^u\right) \frac{mathrm{d}u}{mathrm{d}x}.\]
La derivada de la función exponencial es la propia función exponencial, por lo que
\[ h'(x) = e^u \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.\]
Por último, sustituye \(u\) por su derivada y reordénala, de modo que
\[ \begin{align} h'(x) &= (e^{\csc{x}})(-\csc{x}\,\cot{x}) \ &= -e^{\csc{x}}\csc{x},\cot{x}. \fin].
Derivadas de sec, csc y cot - Puntos clave
- Las funciones secante, cosecante y cotangente se conocen colectivamente como funciones trigonométricas recíprocas .
- La función secante es la recíproca de la función coseno, \[\sec{x}=\frac{1}{\cos{x}}.\}].
- La función cosecante es la recíproca de la función seno, \[\csc{x}=\frac{1}{sin{x}}.\].
- La función cotangente es la recíproca de la función tangente, \[\cot{x}=\frac{1}{tan{x}}.\].
- Puedes hallar las derivadas de la función secante, cosecante y cotangente utilizando las derivadas de las funciones seno y coseno, junto con la Regla del Cociente.
- |frac{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} = \sec{x},\tan{x}.\]
- \csc{x} = - csc{x},cot{x}.
- \frac{{mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cot{x} = -\csc^2{x}.\}
- Las funciones trigonométricas inversas, también llamadas funciones de arco, son las funciones inversas de las funciones trigonométricas. Las funciones trigonométricas inversas no son lo mismo que las funciones trigonométricas recíprocas.
- Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas pueden obtenerse mediante diferenciación implícita y algunas identidades trigonométricas.
- \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \x} = \frac{1}{|x||sqrt{x^2-1}}.
- \frac{{mathrm{d}}{\mathrm{d}x} {\mathrm{arccot}{\frac{1}{x^2+1}}, x} = -\frac{1}{x^2+1}}.
- \[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{mathrm{d}{mathrm{d}x}, x} = -\frac{1}{|x||sqrt{x^2-1}}.
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