El comportamiento periódico de las ondas se describe a menudo mediante funciones trigonométricas como el seno, el coseno y la tangente. Las derivadas de las funciones trigonométricas también son necesarias si queremos estudiar la propagación de las ondas.
Derivación de las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente
Las derivadas de la función seno, la función coseno y la función tangente implican más funciones trigonométricas.
Las derivadas de la función seno, la función coseno y la función tangente son las siguientes:
\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\]
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\]
\[\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)\]
Las derivadas de estas funciones trigonométricas, junto con las reglas básicas de diferenciación, pueden utilizarse para hallar las derivadas de las demás funciones trigonométricas: secante, cosecante y cotangente. Veamos primero algunos ejemplos relacionados con las funciones trigonométricas seno, coseno y tangente.
Estas funciones también se conocen como sen, cos y tan. En este artículo utilizaremos esta convención.
Derivadas de sen, cos y tan reglas y trucos
Si observas las derivadas y sus fórmulas es fácil ver un patrón. Las derivadas de las dos primeras funciones \(sen\) y \(cos\) son lo contrario de las funciones originales.
En este caso, hay una sencilla regla o truco que puedes memorizar:
La derivada de la función seno es una función coseno con el mismo signo.
La derivada de la función coseno es una función seno con distinto signo.
La derivada de una función tangente es la \(\dfrac{1}{\cos^2(x)}\)
Derivadas de Sin, Cos y Tan: Ejemplos
Empecemos con la derivada de una función en la que interviene la función seno.
Considera la función \(f(x)=\sin(x^2)\). Hallaremos su derivada utilizando la derivada de la función seno, la Regla de la Cadena y la Regla de Potencia.
Sea \(u=x^2\) y diferénciala utilizando la Regla de la Cadena.
\[\dfrac{df}{dx}=\dfrac{d}{du}\sin(u)\dfrac{du}{dx}\]
Diferencia la función seno.
\[\dfrac{df}{dx}=\cos(u)\dfrac{du}{dx}\]
Halla \(\dfrac{du}{dx}}) mediante la regla de la potencia.
\[\dfrac{du}{dx}=2x\]
Sustituye de nuevo \(u=x^2\) y \(\dfrac{du}{dx}=2x\).
\[\dfrac{df}{dx}=left( \cos(x^2) \right) \cdot 2x\]
Reorganiza la ecuación.
\[\dfrac{df}{dx}=2x \cdot cos(x^")\]
Ahora vamos a hallar la derivada de una función en la que interviene la función coseno.
Considera la función \(g(x)=\cos^4(x)\). Hallaremos su derivada utilizando la derivada de la función coseno, la Regla de Potencia y la Regla de la Cadena. ¡No olvides que la derivada de la función coseno es el negativo de la función seno!
Sea \(u=\cos(x)\) y diferénciala utilizando la regla de la cadena.
\[\dfrac{dg}{dx}=\dfrac{d}{du}u^4\dfrac{du}{dx}\]
Diferencia utilizando la regla de la potencia.
\[\dfrac{dg}{dx}=4u^3 \dfrac{du}{dx}\]
Halla \(\dfrac{du}{dx}) diferenciando la función coseno.
\[\dfrac{du}{dx}=-\sin(x)\]
Sustituye de nuevo \(u=\cos(x)\) y \(\dfrac{du}{dx}=-\sin(x)\).
\[\dfrac{dg}{dx}=(4\cos^3(x))(-\sin(x))\]
Reorganiza.
\[\dfrac{dg}{dx}=-4\sin(x)\cos^3(x)\]
La derivada de una función en la que interviene la función tangente es sencilla. Veamos un ejemplo más.
Considera la función \(r(x)=tan(x^2-1)\). Hallaremos su derivada utilizando la derivada de la función tangente, la regla de la cadena y la regla de potencias.
Sea \(u=x^2-1\) y diferénciala utilizando la regla de la cadena.
\[\dfrac{dr}{dx}=\dfrac{d}{du}\tan(u)\dfrac{du}{dx}\]
Diferencia la función tangente.
\[\dfrac{dr}{dx}=\sec^2(u)\dfrac{du}{dx}\]
Halla \(\dfrac{du}{dx}\}) mediante la regla de potencias.
\[\dfrac{du}{dx}=2x\]
Sustituye de nuevo \(u=x^2-1\) y \(\dfrac{du}{dx}=2x\).
\[\dfrac{dr}{dx}=left( \sec^2(x^2-1) \right) \cdot (2x)\]
Reorganiza.
\[\dfrac{dr}{dx}=2x\sec^2(x^2-1)\]
Hemos estado utilizando las reglas de diferenciación de estas funciones trigonométricas sin demostrarlas. Veamos ahora cómo hallar la derivada de cada función.
Demostración de las derivadas de las funciones Sin, Cos y Tan
Puedes demostrar las derivadas de cada función trigonométrica utilizando la definición de límite. Así comprenderás mejor las derivadas de cada una de ellas.
Diferenciación de la función seno
La derivada de la función seno puede hallarse utilizando la definición de la derivada de una función.
\[\dfrac{d}{dx}{sin(x) = lim_{h \rightarrow 0 \dfrac{{sin(x+h)-{sin(x)}{h}}].
Ahora podemos utilizar la identidad del seno de la suma de dos ángulos para reescribir la expresión anterior.
\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(x)\cosh(h)+\sinh(h)\cos(x)-\sin(x)}{h}\]
Esto se puede reescribir utilizando el álgebra y las propiedades de los límites
\[\dfrac {d}{dx}\sin(x)=\sin(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac {\cos(h)-1}{h}+\cos(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac {\sin(h)}{h}]
El valor de los límites implicados puede hallarse utilizando el Teorema del Apriete.
Si utilizamos los límites \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{sin(h)}{h}=1\) y luego \(\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{cos(h)-1}{h}=1\)
Hallamos la derivada de la función seno sustituyendo las expresiones anteriores.
\[\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\]
Para esta derivación, hemos utilizado los valores de dos límites sin demostrarlos. En aras de la exhaustividad, ¡vamos a sumergirnos en su demostración!
Primero demostraremos el límite \(lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{sin(h)}{h}\). Considera el círculo unitario y los triángulos del diagrama siguiente.
Fig. 1. Diagrama que muestra diferentes áreas relacionadas con el ángulo \(h\).
Sea \(S_1\) el área del triángulo isósceles \(OAC\), \(S_2\) el área del sector circular \(OAC\), y \(S_3\) el área del triángulo rectángulo \(OAB\). El área de los triángulos puede hallarse observando que su base es igual a \(1\), la altura del triángulo \(OAC\) es igual a \(\sin(h)\) y la altura del triángulo \(OAB\) es igual a \(\tan(h)\).
\(S_1=\dfrac{1}{2} \sen(h)\) y \(S_2=dfrac{1}{2} \Tan(h)\N)
Podemos hallar el área \(S_2)con la fórmula del área de un sector circular.
\[S_2=\dfrac{1}{2}h\]Observa que \(S_3\) contiene a \(S_2), que a su vez contiene a \(S_1\). Esto significa que podemos establecer la siguiente desigualdad
\[S_3>S_2>S_1\].
Sustituyendo las expresiones de cada área en la desigualdad anterior, podemos escribir lo siguiente
\[\dfrac{1}{2}\tan(h)>\dfrac{1}{2}h>\dfrac{1}{2}\sin(h)\]
A continuación, dividimos toda la desigualdad por \(\dfrac{1}{2}sin(h)\):
\[\dfrac{1}{\cos(h)}>\dfrac{h}{\sin(h)}>1\]
Podemos tomar el recíproco de cada término de la desigualdad, invirtiendo los signos de desigualdad.
\[\cos(h)< \dfrac{\sin(h)}{h}<1\]
Por el Teorema del Estrujamiento, los valores de \(\dfrac{\sin(h)}{h}\) están siendo estrujados entre \(\cos(h)\) y 1\(1\) a medida que \(h \h) \h).
Como \(\cos(0)=1\) podemos concluir que \(lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h}=1\).
Trabajemos ahora en el segundo límite con un poco de álgebra.
\lim_[lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h} = lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}left( \dfrac{cos(h)+1}{cos(h)+1} \right) = lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos^2(h)-1}{h(\cos(h)+1)}].
Ahora podemos utilizar la identidad pitagórica y la propiedad del producto de límites.
\lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}=lim_h \rightarrow 0} \dfrac{-\sin^2(h)}{h(\cos(h)+1)}= - \left( lim_h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h} \derecha) izquierda (lim_h flecha derecha 0) frac {sin(h)} {cos(h)+1} \derecha)
El primer límite es igual a 1, como hemos visto anteriormente. El segundo límite puede evaluarse para hallar que es igual a \(0\).
\[lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}= 1\cdot(0)=0\]
Diferenciación de la función coseno
La derivada de la función coseno puede hallarse de forma similar.
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)= lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x+h)-\\cos(x)}{h}]
Ahora podemos utilizar la identidad del coseno de la suma de dos ángulos para reescribir la expresión anterior.
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(x)scos(h)-\sin(x)\sin(h)-\cos(x)}{h}\]
Una vez más, reescribimos esto con la ayuda de un poco de álgebra y las propiedades de los límites.
\[\dfrac {d}{dx}\cos(x)=cos(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac {cos(h)-1}{h}-\sin(x)lim_{h \rightarrow 0} \dfrac {\sin(h)}{h}]
A continuación, sustituimos los valores de los límites anteriores y hallamos la derivada de la función coseno.
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\]
Utilizar la definición de derivada no es la única forma de demostrar la derivada de la función coseno. ¡Podemos utilizar la derivada de la función seno junto con las identidades trigonométricas a nuestro favor!
Si ya conocemos la derivada de la función seno, podemos utilizar la identidad trigonométrica pitagórica para hallar la derivada de la función coseno. Considera la siguiente identidad trigonométrica pitagórica:
\[\sin^2(x)+cos^2(x)=1\]
Podemos diferenciar con respecto a \(x\) ambos lados de la ecuación. Como el lado derecho de la ecuación es igual a una constante, su derivada es igual a \(0\).
\[\dfrac{d}{dx}\left( \sin^2(x)+cos^2(x)\right)=0\]
Se puede utilizar la regla de la cadena en el lado izquierdo de la ecuación.
\[2\sin(x)\dfrac{d}{dx}\sin(x)+2\cos(x)\dfrac{d}{dx}\cos(x)=0\]
Anteriormente descubrimos que la derivada de la función seno es la función coseno, así que sustituiremos ese resultado en la ecuación anterior.
\[2\sin(x)\cos(x)+2\cos(x)\dfrac{d}{dx}\cos(x)=0\]
Por último, dividimos la ecuación por \(2\cos(x)\) y aislamos la derivada de \(\cos(x)\).
\[\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\]
Diferenciación de la función tangente
También podemos utilizar la definición de derivada para hallar la derivada de la función tangente. Sin embargo, como ya conocemos las derivadas de las funciones seno y coseno, podemos utilizar la regla del cociente. Empezaremos escribiendo la función tangente como el cociente de la función seno y la función coseno.
\[\dfrac{d}{dx} \tan(x)=\dfrac{d}{dx} \izquierda( \dfrac{sin(x)}{cos(x)} \derecha)|].
A continuación, utilizamos la regla del cociente.
\[\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\dfrac {izquierda( \dfrac{d}{dx}\sin(x)\derecha)\cdot \cos(x)- {izquierda( \dfrac{d}{dx} \cos(x) \right) \cdot \sin(x) }{\cos^2(x)}]
Sustituyamos ahora las derivadas de las funciones seno y coseno.
\[\dfrac{d}{dx}\tan(x) = \dfrac{\cos^2(x)+\sin^2(x)}{cos^2(x)}\]
El numerador puede simplificarse con la identidad trigonométrica pitagórica.
\[\dfrac{d}{dx} \tan(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\]
Esto puede simplificarse aún más si recordamos que la función secante es la recíproca de la función coseno.
\[\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)\]
En este caso, ¡utilizar la regla del cociente es más rápido y sencillo que utilizar la definición de derivada!
Derivada de las funciones inversas de Sin, Cos y Tan
Las funciones sen, cos y tan también tienen una inversa\(f^1\\). Estas funciones son las siguientes
\(arccoseno\) o \(\sin^{-1}\).
\(arcoseno) o (coscos^-1}).
\(arctangente) o (tan^-1}).
Sus derivadas se encuentran en las fórmulas siguientes.
\[\dfrac{d}{dx} sin^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx} cos^{-1}(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx} tan^{-1}(x)=\dfrac{1}{1-x^2}\]
Derivadas de Sin, Cos y Tan - Puntos clave
- La derivada de la función seno es la función coseno. Es decir, \(\dfrac{d}{dx}\sin(x)=\cos(x)\).
- La derivada de la función coseno es el negativo de la función seno. Es decir, \(\dfrac{d}{dx}\cos(x)=-\sin(x)\).
- La derivada de la función tangente es la función secante al cuadrado. Es decir \(\dfrac{d}{dx}\tan(x)=\sec^2(x)\).
- Para demostrar las derivadas de la función seno y la función coseno se utilizan dos límites importantes. Son los siguientes \(lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\sin(h)}{h}=1) y \(lim_{h \rightarrow 0} \dfrac{\cos(h)-1}{h}=0).
- La derivada de la función tangente puede hallarse utilizando la regla del cociente o la definición de derivada.
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