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Con sólo echar un vistazo a una colina puedes saber de antemano si será fácil subirla o no, ¡su forma en realidad te está dando información!
En lugar de pensar en una colina, puedes imaginar una gráfica. La forma y las derivadas de una función pueden darte información crucial sobre su comportamiento, así que aquí veremos cómo se relacionan las derivadas y la forma de una gráfica.
Derivadas y la forma de una gráfica Significado
Hablar de la forma de una gráfica puede sonar un poco vago al principio. ¿Qué tipo de formas hay en una gráfica?
En Cálculo, la forma de una gráfica se refiere a características importantes de diferentes secciones de la gráfica:
- ¿Es creciente o decreciente?
- ¿Está por encima o por debajo del eje x?
- ¿Tiene una pendiente pronunciada?
- ¿Sus líneas tangentes están por debajo o por encima de la gráfica?
Las características anteriores pueden aplicarse a diferentes secciones, o intervalos, de la gráfica. ¡Una gráfica puede ser creciente en un intervalo y decreciente en otro!
Relación entre las derivadas y la forma de una gráfica
Ahora que has visto el significado de la forma de una gráfica en Cálculo, quizá te preguntes cómo intervienen las derivadas.
Las derivadas miden el cambio, por lo que conocer la derivada de una función es clave para saber cómo cambia su gráfica.
La primera derivada te dice si la gráfica aumenta o disminuye.
La segunda derivada te dice si la gráfica se curva hacia arriba o hacia abajo.
Conocer esta información es suficiente para esbozar aproximadamente la gráfica de una función ¡sin necesidad de utilizar un programa de representación gráfica!
Efectos de la primera derivada en la forma de una gráfica
Como ya hemos dicho, la primera derivada de una función te dice si una función aumenta o disminuye en un intervalo determinado. Funciona de la siguiente manera:
- Una función \(f (x) \) es creciente en un intervalo en el que su derivada es positiva, es decir \( f'(x) > 0\).
- Una función es decreciente en un intervalo en el que su derivada es negativa, es decir \( f'(x) <0\).
También puedes dar una interpretación gráfica a las afirmaciones anteriores, es decir
- Una función es creciente en un intervalo en el que la pendiente de una recta tangente a su gráfica es positiva.
- Una función es decreciente en un intervalo en el que la pendiente de una recta tangente a su gráfica es negativa.
Figura 1. Intervalos decrecientes y crecientes de una función
Los puntos donde \( f'(x)=0 \) se conocen como puntos críticos. En las funciones con derivadas continuas, los puntos críticos suelen ser puntos en los que una función pasa de creciente a decreciente o viceversa. Para más información sobre este tema, echa un vistazo a nuestro artículo sobre la Prueba de la Primera Derivada.
Efectos de la segunda derivada en la forma de una gráfica
La segunda derivada de una función \( f(x) \) se denomina \( f''(x)\), y se puede hallar diferenciando la primera derivada de la función, es decir, diferenciando una función dos veces seguidas. La segunda derivada de una función, suponiendo que exista, te dice hacia dónde se curva la función. Hay dos palabras especiales en Cálculo para esta idea: Cóncava y Convexa.
Se dice que una función es cóncava hacia abajo, o simplemente cóncava, en un intervalo en el que su segunda derivada es negativa. Las rectas tangentes a la gráfica de la función dentro de un intervalo en el que es cóncava estarán por encima de la gráfica.
Figura 2. Una recta tangente a una función en un intervalo donde es convexa se sitúa por encima de la gráfica
¿Y si las rectas tangentes están por debajo de la gráfica?
Se dice que una función es cóncava hacia arriba, o convexa, en un intervalo en el que su segunda derivada es positiva. Las rectas tangentes a la gráfica de la función dentro de un intervalo en el que es convexa estarán por debajo de la gráfica.
Figura 3. Una recta tangente a una función en un intervalo donde es convexa queda por debajo de la gráfica
¡La concavidad de una gráfica es independiente de si es creciente o decreciente! Puedes tener, por ejemplo, un intervalo decreciente cóncavo o un intervalo decreciente convexo. ¡Las cuatro combinaciones son posibles!
En las siguientes gráficas, puedes observar la diferencia entre funciones cóncavas y convexas con gráficas.
Las dos funciones de abajo son crecientes. Sin embargo, observa cómo se curvan de forma diferente.
Figura 4. La línea tangente está por encima de la función, por lo que es cóncava
Figura 5. La recta tangente está por debajo de la función, por lo que es convexa
Ahora ambas funciones de abajo son decrecientes. Presta mucha atención a la curvatura.
Figura 6. La recta tangente está por encima de la función, por lo que es cóncava
Figura 7. La línea tangente está por debajo de la función, por lo que es convexa
Los puntos en los que una función pasa de cóncava a convexa, o viceversa, se llaman puntos de inflexión. Para más información sobre este tema, consulta nuestro artículo sobre la Prueba de la Segunda Derivada.
Ejemplos de efectos de la primera y segunda derivadas en la forma de una gráfica
La primera derivada de una función puede utilizarse para encontrar intervalos en los que una función aumenta o disminuye. Aquí tienes un ejemplo de cómo se hace.
Determina los intervalos en los que la función
\[f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+1\]
es creciente y/o decreciente.
Solución:
Como necesitas hallar los intervalos en los que la función dada es creciente y/o decreciente, debes empezar por hallar su derivada. Puedes hacerlo con la Regla de Potencia, es decir
\[ f'(x) = x^2-4.\]
Para saber dónde aumenta la función, tienes que resolver la desigualdad
\f'(x)>0,\]
es decir
\[x^2-4>0,\]
que puedes factorizar como
\[(x+2)(x-2)>0,\]
La desigualdad anterior establece que el producto de dos expresiones es mayor que cero. Esto significa que ambas expresiones tienen el mismo signo, por lo que
\[ x+2>0 \cuadrado \texto{y} \cuadrado x-2>0 \texto}]
o
\x+2<0 cuadrado texto y cuadrado x-2<0].
La resolución de la desigualdad compuesta anterior te dice que \( x>2 \) o \(x<-2\), por lo que la función es creciente en el intervalo \( (-\infty,-2) \) y en el intervalo \( (2,\infty)\).
Para saber dónde es decreciente la función, puedes resolver la desigualdad
\[ f'(x) <0,\]].
pero como ya has resuelto una igualdad así, el intervalo restante es el intervalo decreciente, por lo que la función es decreciente en el intervalo \( (-2,2) \).
Para comprobar si tu resultado tiene sentido, debes terminar echando un vistazo a la gráfica de la función dada.
Figura 8. La función tiene un intervalo decreciente y dos intervalos crecientes
También puedes hallar la concavidad de la función dada utilizando su segunda derivada.
Determina los intervalos en los que la función
\[f(x)=\frac{1}{3}x^3-4x+1\]
es cóncava y/o convexa.
Solución:
Anteriormente, has hallado la derivada de la función dada utilizando la Regla de Potencia, es decir
\[ f'(x)= x^2-4.\]
Utilizando de nuevo la Regla de Potencia, puedes hallar la segunda derivada, es decir
\f''(x)=2x.\]
Para hallar los intervalos en los que la función es cóncava, tienes que resolver la desigualdad
\[ f''(x) < 0,\]
es decir
\[2x <0,\]
cuya solución es
\[ x<0.\]
Esto significa que la función es cóncava en el intervalo \( (-\infty,0) \).
Para encontrar los intervalos en los que la función es convexa, tienes que resolver la desigualdad
\[ f''(x) >0, \]
pero como acabas de resolver una desigualdad similar, basta con invertir el signo de la desigualdad, de modo que
\[ x>0\]
te da el intervalo en el que la función es convexa, es decir \( (0,\infty)\).
Figura 9. La función es cóncava en un intervalo y convexa en otro
Derivadas y forma de una gráfica - Puntos clave
- La derivada de una función puede indicar si una función es creciente o decreciente en un intervalo.
- Si \( f'(x) >0\), \( f(x) \) es creciente.
- Si \( f'(x) <0\), \( f(x) \) es decreciente.
- Según cómo se doble, una función puede ser cóncava hacia abajo (o sólo cóncava), o puede ser cóncava hacia arriba (o convexa).
- La segunda derivada de una función puede decir si una función es cóncava o convexa.
- Si \( f''(x) <0\), \( f(x) \) es cóncava.
- Si \( f''(x) >0\), \( f(x) \) es convexa.
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