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Después de cortar la patata puedes empezar a pensar al revés. ¿Puedes volver a juntar todas las rodajas para formar de nuevo la patata? Quizá esto sea un poco difícil de hacer porque, una vez cortada, no puedes volver a reconstituir la patata. Sin embargo, el volumen de las rodajas es igual al volumen de la patata antes de que la cortaras.
La idea de cortar en rodajas es muy útil para hallar volúmenes, porque si las rodajas son muy finas, puedes aprovechar las fórmulas para hallar áreas en su lugar, y luego reconstituir de nuevo el sólido mediante integración.
¿Qué significa determinar volúmenes mediante cortes?
Seguramente habrás encontrado antes fórmulas para hallar los volúmenes de algunos cuerpos geométricos, por ejemplo, si te dan un cono, puedes hallar su volumen mediante la fórmula
\V_{{texto{cono}} = \frac{1}{3}\pi r^2 h,\}].
o tal vez te den un cilindro, cuyo volumen puedes hallar con
\V_{\text{cilindro}} = \pi r^2 h.\]
También está el volumen de una pirámide, que independientemente de la forma de su base, puedes hallar su volumen con
\V_{texto{pirámide}} = \frac{1}{3}A h.\]
Pero, ¿de dónde salen todas estas fórmulas? ¿Por qué intervienen \( \frac{1}{3}\})?
La respuesta a esta pregunta resulta más fácil si cortas cualquiera de estos sólidos, obteniendo una sección transversal del cuerpo.
Una sección transversal de un cuerpo es una vista que muestra el aspecto que tendría el cuerpo si hicieras un corte a través de él.
Considera el caso de un cono. Aquí puedes ver una sección transversal obtenida cortando el cono por la mitad de su altura. El corte se hace de modo que sea paralelo a la base del cono.
Figura 1. La sección transversal paralela a la base de un cono es un círculo
Esto es especialmente útil porque la fórmula para hallar el área de un círculo es
\A_{{texto{circulo}} = \pi r^2, \]
por lo que puedes sumar todas las secciones transversales del cono mediante integración para obtener el volumen de un cono.
Hallar volúmenes por corte
Para hallar volúmenes por corte, considera un ejemplo más sencillo: el volumen de un prisma rectangular.
Figura 2. Un prisma rectangularUn prisma rectangular
A continuación, corta el prisma para obtener una sección paralela a cualquiera de sus caras, por ejemplo, una sección paralela a su base.
Figura 3. La sección paralela a la base de un prisma rectangular es un rectángulo
Puedes hallar el área de un rectángulo mediante la fórmula
\[ A_{text{rectángulo}} = \ell w.\}]
Para hallar el volumen del prisma rectangular, imagina que apilas todas las rebanadas rectangulares del prisma. Como todas las rebanadas son iguales, sólo tienes que multiplicar el área del prisma rectangular (llamémosla simplemente \( A \) para simplificar) por la altura del prisma, es decir
\[ \begin{align} V_{{texto{del{prisma}} &= A h &= \ell w h. \end{align} \]
Puedes obtener la misma fórmula si apilas secciones transversales paralelas a cualquier otro lado del prisma.
Puedes imaginar este paso como si arrastraras el área de una sección transversal del prisma de un lado a otro
Figura 4. Volumen del prisma rectangular obtenido arrastrando el área de una sección transversal de un lado a otro
Una idea similar se aplica a otros cuerpos geométricos, como los cilindros.
Figura 5. Volumen de un cilindro obtenido arrastrando el área de una sección transversal de una base a otra
El volumen de un cilindro puede hallarse multiplicando el área de la base por su altura, de modo que
\[ \ iniciar{align} V_{\text{cilindro}} &= A h \\\\pi r^2 h. \end{align}\]
Pero, ¿qué ocurre si los cortes no son iguales? ¡Necesitas integrar!
Determinación de fórmulas de volúmenes por cortes
Hasta ahora has visto que si todas las áreas de una sección transversal de un sólido son iguales, basta con multiplicar por la longitud del lado transversal correspondiente para obtener el volumen de un sólido, como en el caso del prisma rectangular o con el cilindro.
Considera ahora el caso de un cono. Supongamos que la base de este cono es igual a \(R,\) y su altura es \( h.\) Si tomas secciones transversales paralelas a su base, comprobarás que éstas no tienen la misma área.
Figura 6. Las secciones transversales de un cono no tienen la misma área
A título ilustrativo, coloca el cono a lo largo del eje \(x-\)con su punta en el origen. Así podrás hallar el radio de cada sección transversal en función de \(x.\)
Figura 7. El radio de cada sección transversal en función de \(x.\)
De hecho, las secciones transversales son todas círculos con radios diferentes, que se pueden hallar utilizando triángulos semejantes, es decir
\[ \frac{R}{h} =\frac{r}{x},\]
por lo que
\[ r = \frac{R}{h}x.\]
Figura 8. Puedes hallar el radio de una sección transversal con ayuda de triángulos semejantes
La función
\[ r(x) = \frac{R}{h}x\]
te da el radio de cada sección transversal en función de su posición respecto a la punta del cono, por lo que el área de una sección transversal es
\[ \iniciar{alinear} A(x) &= \pi \left( r(x) \right) ^2 \pi \left( \frac{R}{h}x \right)^2 \pi \frac{\pi R^2}{h^2}x^2. \fin{align} \]
Ahora que conoces una función para el área de cada sección transversal, puedes sumarlas mediante integración. Los límites de integración son \(a=0\), ya que partes de la punta del cono, y \( b=h\), ya que las secciones transversales se alinean hasta la base, por lo que
\V = A(x). V &= \int_0^h A(x) \,\mathrm{d}x &= \frac{pi R^2}{h^2}x^2\,\mathrm{d}x &= \frac{pi R^2}{h^2}\int_0^h x^2,\mathrm{d}x. \fin]
Puedes resolver la integral definida resultante utilizando la Regla de Potencia y el Teorema Fundamental del Cálculo, es decir
\π[ \begin{align} \int_0^h x^2 \mathrm{d}x &= \left( \frac{1}{3}(h)^3 \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3\right) &= \frac{1}{3}h^3. \fin \]
Introduciendo la integral definida anterior en la fórmula del volumen, se obtiene
\V &= izquierda() V &= \left( \frac{pi R^2}{h^2} \right) \left(\frac{1}{3}h^3 \right) \left&= \frac{pi R^2h^3}{3h^2} |= \frac{1}{3}\pi R^2 h,\final{align}\]
que es la fórmula del volumen de un cono,
\V_{{text{cono}} = R^2h.
¡Así que de ahí viene lo de \( \frac{1}{3})! Puedes encontrar fórmulas para más sólidos siguiendo pasos similares a los anteriores.
Determinar volúmenes cortando sólidos de revolución
Otra forma de hallar volúmenes de sólidos es mediante la rotación de figuras bidimensionales alrededor de un eje de revolución. Los sólidos hallados de este modo se conocen como Sólidos de Revolución, y su volumen se halla utilizando distintos métodos según el sólido.
Figura 9. Sólido de revolución obtenido mediante la rotación de una parábola alrededor del eje \(x-\)^.
¡Consulta nuestros artículos sobre el Método del Disco y el Método de la Arandela para obtener más información sobre este tema!
Ejemplos de volúmenes determinados por corte
¡Hay más fórmulas que se pueden determinar por corte!
Halla la fórmula del volumen de una pirámide cuadrada de lado \( \ell \) y altura \( h.\)
Responde:
La base de una pirámide cuadrada, como su nombre indica, es cuadrada, por lo que su área puede hallarse mediante la fórmula del área de un cuadrado, es decir
\A_{text{square}=\ell ^2.\]
Las secciones transversales paralelas a la base de la pirámide son cuadrados más pequeños. Puedes utilizar triángulos semejantes para hallar que la longitud \( s \) de los lados de estos cuadrados viene dada por
\[ s(x) = \frac{\ell}{h}x. \]
Sabiendo esto, el área de cada sección transversal pasa a ser
\A(x) &= A(x). A(x) &= \ izquierda( s(x) \ derecha)^2 \ izquierda( \frac{\ell}{h}x\ derecha)^2 \frac{\ell^2}{h^2}x^2. \fin \]
Integrando esta área a lo largo del eje \(x-\)desde \( 0 \) hasta \( h, \) puedes hallar el volumen de la pirámide, de modo que
\[ \begin{align} V &= \int_0^h A(x) \, \mathrm{d}x &= \int_0^h \frac{\ell^2}{h^2} x^2 \, \mathrm{d}x &= \frac{\ell^2}{h^2} \frac{\ell^2} x^2 \x^2, \mathrm{d}x. \fin].
La integral definida resultante es la misma que en el ejemplo anterior del cono, puedes hallarla con ayuda de la Regla de Potencia y el Teorema Fundamental del Cálculo, dándote
\[ \int_0^h x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}h^3.\]
Volviendo a introducir esta integral en la fórmula del volumen, se obtiene
\[ \begin{align} V &= \ izquierda( \frac{ell^2}{h^2} \ derecha) \ izquierda( \frac{1}{3}h^3 \ derecha) \&= \frac{ell^2h^3}{3h^2} \\ y= \frac{1}{3}{ell^2h. \fin \]
Observa que el área de la base es \( A=\ell^2,\) por lo que puedes sustituirla en la fórmula anterior y obtener
\V=frac{1}{3}Ah,\}]
que puede resultarte más familiar.
¿Te has preguntado alguna vez por qué la fórmula del volumen de una esfera contiene \( \frac{4}{3} \)?
Halla la fórmula del volumen de una esfera de radio \( R.\)
Responde:
Empieza imaginando que colocas la esfera en el origen del sistema de coordenadas. Las secciones transversales de una esfera son todas círculos, por lo que puedes hallar el área de una sección transversal de la esfera utilizando
\[ A(x) = \pi \izquierda(r(x)\derecha)^2.\]
Necesitas hallar el radio de la esfera en función de su posición respecto al origen. Para ello, céntrate en la sección transversal de la esfera.
Fig. 10. El radio de una sección transversal de la esfera de radio R puede expresarse en términos de \(x\).
El radio de una sección transversal satisface la ecuación
\[x^2+r^2=R^2,\\]
de donde puedes obtener
\[r^2=R^2-x^2,\]
por lo que
\[\left( r(x) \right) ^2 = R^2-x^2.\]
Esto significa que el área de una sección transversal viene dada por
\[ A(x) = \pi (R^2-x^2),\]
por lo que puedes integrar para hallar el volumen de la esfera, es decir
\V(x) = \int_{-R}^R \pi \left(R^2-x^2\right) \, \mathrm{d}x\].
La integral puede hacerse con la Regla de Potencia. No olvides que, en este caso, ¡R es una constante!
\[ \begin{align} V(x) &= \int_{-R}^R \pi \left( R^2-x^2\right) \, \mathrm{d}x &= \pi \left[ \left( R^2(R)-\frac{1}{3}(R)^3 ^right) - \left( R^2(-R) -\frac{1}{3}(-R)^3 ^right) \right]. \\ ¾ &= ¾pi ¾left[ ¾left(R^3-\frac{1}{3}R^3 \right)-\left( -R^3+\frac{1}{3}R^3 \right)¾right]¾ &= ¾pi ¾left[ ¾frac{2}{3}R^3+\frac{2}{3}R^3\right] ¾ &= ¾pi R^3. \fin].
¡Y así se obtiene la fórmula del volumen de una esfera!
Determinar volúmenes mediante cortes - Puntos clave
- Una sección transversal de un cuerpo es una vista que muestra el aspecto que tendría el cuerpo si hicieras un corte a través de él.
- La idea de determinar volúmenes por corte consiste en hallar las áreas de los cortes de un cuerpo, e integrarlas para obtener su volumen.
- Para ello, obtienes rebanadas, o secciones transversales, alineadas a lo largo del eje de integración.
- Las fórmulas de muchos cuerpos geométricos se pueden hallar por corte, como los volúmenes de pirámides, conos y esferas.
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