discontinuidad de salto

Para la función de la gráfica siguiente

1. Encuentra una ecuación para la función
2. Demuestra que tiene una discontinuidad de salto en $x=2$.

Función con un salto discontinuo, StudySmarter Original

Respuesta:

Al escribir la ecuación de una función como ésta, es más fácil pensar en ella por partes y luego juntar todas las partes al final.

1. A la izquierda de $x=2$la función tiene una intersección y en $\left(0,2\right)$ y la pendiente de la recta es 1, por lo que la ecuación de la recta de la izquierda en forma pendiente-intersección es $y=x+\hspace{0.17em}2$.
2. A la derecha de $x=2$la función tiene intersección x en $(3,0)$ y la pendiente de la recta es $-1$. Por tanto, la ecuación de la recta de la derecha es $y=-x+3$.
3. En el punto $x=2$ el valor de la función es 1.
4. Juntando todas esas partes, obtienes la función definida a trozos

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+\hspace{0.17em}2,& x<\hspace{0.17em}2\\ -x+3,& x\ge 2\end{array}\right.$.

Para demostrar que tiene una discontinuidad de salto, por desgracia no basta con señalar el punto de la gráfica y decir "¡ves, salta!". En lugar de eso, tienes que fijarte en los límites por la izquierda y por la derecha. Utiliza la definición de función que has encontrado,

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(x+2\right)=2+2=4$,

y

$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\left(-x+3\right)=-2+3=1$.

Así puedes ver que tanto el límite por la izquierda como el límite por la derecha son números reales, pero desde luego no son el mismo número. Eso demuestra que hay una discontinuidad de salto en $x=2$.

¿Tiene la función

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<1\\ 0,& x=1\\ 2-(x^2-1),& x>\hspace{0.17em}1\end{array}\right.$

tiene una discontinuidad de salto en $x=1$?

Contesta:

Comprobemos los límites

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1$

y

id="5129483" role="math" $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }(2-\left(x^2-1\right)=2-\left(1^2-1\right)=2-0=2$,

El límite izquierdo no es igual al límite derecho en $x=1$por lo que sabes que la función no sólo es discontinua en $x=1$sino que tiene una discontinuidad de salto allí.

¿La función

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}{x}^2,& x<1\\ 2x-1,& x\ge 1\end{array}\right.$

Contesta:

Se trata, de nuevo, de comprobar los límites

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }{x}^2=1$

y

Los límites izquierdo y derecho son iguales, y el valor de la función en $x=1$ también es 1. Por lo tanto $g\left(x\right)$ es realmente continua allí, y no tiene discontinuidad de salto.

¿Puede el producto de dos funciones que tienen una discontinuidad de salto en $x=3$ no tener una discontinuidad de salto en $x=3$?

Respuesta:

El producto puede ser, pero no tiene por qué ser, continuo. Veamos un par de casos. Para ambos, utilizarás la función

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 3\\ x-1,& x>3\end{array}\right.$.

Puedes ver, observando los límites izquierdo y derecho en $x=3$ que $f\left(x\right)$ tiene ahí una discontinuidad de salto.

Ahora piensa en la función

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x-1,& x<3\\ x+\hspace{0.17em}1,& x\ge 3\end{array}\right.$.

Esa función también tiene un salto discontinuo en $x=3.$ Entonces en $x=3$,

$f\left(3\right)·g\left(3\right)=(3+1)(3+1)=16$.

Mirando el límite desde la izquierda y la derecha,

$\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)·g\left(x\right)=\underset{x\to 3^{-}}{\lim }(x+1)(x-1)=(3+1)(3-1)=8$,

y

$\underset{x\to 3^{+}}{\lim }f\left(x\right)·g\left(x\right)=\underset{x\to 3^{+}}{\lim }(x-1)(x+1)=(3-1)(3+1)=8$.

Así pues, tenemos una función en la que el límite izquierdo es igual al límite derecho en $x=3$pero el valor de la función aquí no coincide con el límite... ¡se trata de una discontinuidad removible, no de una discontinuidad de salto!

¿Puede el producto de una función que tiene una discontinuidad en salto en $x=3$ y una función continua ser continua en $x=3$?

Responde:

¡Claro! Toma como función continua la que es idénticamente cero, o dicho de otro modo $g\left(x\right)=0$ para todos los valores de $x$. Por el ejemplo anterior, sabes que

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x+1,& x\le 3\\ x-1,& x>3\end{array}\right.$

tiene una discontinuidad de salto en $x=3$pero

El producto de las dos funciones es siempre igual a 0, por lo que el producto es continuo en$x=3$.

¿Puede el producto de dos funciones, ambas con discontinuidades de salto en $x=3$ser continuo en $x=3$?

Responde:

¡Claro que sí! Toma tus funciones definidas por

$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1,& x\le 3\\ -1,& x>\hspace{0.17em}3\end{array}\right.$,

y

$g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}-1,& x\le 3\\ 1,& x>3\end{array}\right.$.

Ambas funciones tienen un salto discontinuo en $x=3$pero su producto es

$f\left(x\right)·g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}1·(-1),& x\le 3\\ (-1)·1,& x>3\end{array}\right.=\left\{\begin{array}{ll}-1,& x\le 3\\ -1,& x>\hspace{0.17em}3\end{array}\right.=-1$,

que es continua en $x=3$.