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La velocidad a la que se propaga este rumor se puede modelizar con el crecimiento logístico. Al principio, el rumor se propaga lentamente, ya que sólo unas pocas personas lo han oído. Sin embargo, a medida que más alumnos oyen el rumor, la velocidad a la que se propaga aumenta. Cuando el número de alumnos que conocen el rumor empieza a alcanzar la población estudiantil total de \(1.000\), la velocidad a la que se propaga el rumor disminuye, ya que quedan menos alumnos a los que contárselo. Una vez que todos los \(1.000\) alumnos han oído el rumor, éste ya no puede propagarse. ¡Éstos son los elementos básicos de la ecuación diferencial logística!
Significado de la ecuación diferencial logística
La ecuación diferencial logística se utiliza para modelizar el crecimiento de la población que es proporcional al tamaño de la población y considera que hay un número limitado de recursos necesarios para la supervivencia. El modelo de crecimiento diferencial logístico describe una situación que dejará de crecer cuando alcance una capacidad de carga. Esencialmente, la población no puede crecer más allá de un determinado tamaño, ya que no hay suficientes recursos vitales para mantenerla.
Fórmula de la ecuación diferencial logística
Para una constante de proporcionalidad \(k\), un tamaño de población \(P\) y una cierta capacidad de carga \(M\), la ecuación diferencial logística es
\[\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{M}\right)\]
y mide el crecimiento de una población a lo largo del tiempo.
Gráfica de la ecuación diferencial logística
A continuación se muestra la gráfica de la ecuación logística.
Fig. 1. Gráfica de una ecuación logística.
Hay un punto en el centro de la gráfica en el que ésta cambia de concavidad. Éste es el punto en el que la tasa de crecimiento de la población empieza a disminuir. Al principio, la tasa de crecimiento del modelo de crecimiento logístico es casi idéntica a la del modelo de crecimiento exponencial. Sin embargo, a medida que pasa el tiempo, la tasa de crecimiento empieza a disminuir. En otras palabras, la población crece cada vez más lentamente a medida que pasa el tiempo, hasta que alcanza su capacidad de carga \(M\). Observa cómo la gráfica no supera la capacidad de carga.
Límites y soluciones de la ecuación diferencial logística
Todas las soluciones de la ecuación diferencial logística son de la forma
\[P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}\]
donde \(A\) es alguna constante que depende de la condición inicial.
Para la derivación de la solución de la ecuación diferencial logística, consulta la Inmersión profunda que aparece más abajo.
Para resolver la ecuación diferencial logística, la integraremos con separación de variables.
\[\int \frac{dP}{P(1-\frac{P}{M})}=\int k dt\]
Empecemos por el lado izquierdo. Primero, simplemente reescribiremos la fracción
\[\int \frac{M}{P(M-P)}dP=\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{M-P}\right)dP\]
Volviendo a la ecuación original
\[\int\left(\frac{1}{P}+\frac{1}{M-P}\right)dP=\int k dt\]
\[\int \frac{dP}{P} + \int \frac{dP}{M-P}= \int kdt\]
\[ln|P|| - ln|M-P|=kt+C\\]
\[ln\left|\frac{P}{M-P}\right|=kt+C\]
\[\frac{P}{M-P}=e^{kt+C}\]
\[\frac{P}{M-P}=Ae^{kt}\]
\[P=\frac{MAe^{kt} }{1+Ae^{kt}}\]
\[P=\frac{M}{\frac{1+Ae^{kt} }{Ae^{kt}}}\]
\[P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}\]
Con un conocimiento básico de los límites, podemos ver que, sea cual sea la constante \(A\), \(\lim_{t \to \infty} P(t)=M\) siempre que \(M\) y \(k\) sean positivas. Dicho de otro modo, mientras la capacidad de carga y la constante de proporcionalidad sean positivas, independientemente del tamaño de la población en \(t=0\), la población alcanzará la capacidad de carga a medida que pase el tiempo. Así pues, la capacidad de carga \(M\) puede considerarse un valor de equilibrio para el modelo logístico.
Ejemplos de ecuaciones diferenciales logísticas
Encuentra la solución al problema de valor inicial \(\frac{dP}{dt}=0,08P(1- \frac{P}{1000})\) donde \(P(0)=200\). Utiliza la solución para hallar el tamaño de la población en \(t=20\) y \(t=100\).
Como ya conocemos la solución general de una ecuación diferencial logística, lo único que tenemos que hacer es extraer la información pertinente de la ecuación diferencial e introducirla en la solución.
Tomando como referencia la ecuación diferencial logística general, podemos ver que la constante de proporcionalidad \(k\) es igual a 0,08 y la capacidad de carga \(M\) es igual a 1000. Sigamos adelante e introduzcamos estos valores en la solución general de la diferencial logística.
\[P(t)=\frac{1000}{1+Ae^{-0.08t}}\]
Sólo nos falta la constante \(A\). Por suerte, ¡podemos utilizar el valor inicial del problema para resolver \(A\)!
\[P(0)=\frac{1000}{1+Ae^{-0.08(0)}}\]
\[200=\frac{1000}{1+Ae^{0}}\]
\[200+200A=1000\]
\[200+200A=1000\]
\[A=4\]
Por tanto, tenemos una solución a \[\frac{dP}{dt}}:
\[P(t)=\frac{1000}{1+4e^{-0.08t}}\]
Podemos utilizar esta solución para hallar el tamaño de la población en \(t=20\) y \(t=100\) simplemente introduciendo, resolviendo y redondeando al número entero más próximo.
\[P(20)=\frac{1000}{1+4e^{-0.08(20)}}\]
\[P(20)=aproximadamente 553]
\[P(100)=\frac{1000}{1+4e^{-0.08(100)}}\]
\[P(100)=999\]
Una población \(P\) tiene una tasa de cambio de \(\frac{dP}{dt}=0,3P(5000-P)\). ¿Cuándo aumenta el tamaño de la población a un ritmo creciente? ¿Cuándo aumenta el tamaño de la población a un ritmo decreciente?
El tamaño de la población aumenta cuando \(\frac{dP}{dt}>0\). Para comprobar cuándo el tamaño de la población aumenta a un ritmo creciente, tenemos que buscar cuándo \(\frac{d^2}P}{dt^2}}>0). Así pues, averigüemos cuándo tanto la primera como la segunda derivada son mayores que 0.
Primero, fijaremos la primera derivada igual a 0.
\[\frac{dP}{dt}=0.3P(5000-P)=0\]
\[1500P-0,3P^{2}=0\]
\[P(1500-0,3P)=0\]
\[P=0\; o\; P=5000\]
Cuando \(0 \le P < 5000\), \(\frac{dP}{dt}>0\). Por tanto, \(P\) es creciente entre 0 y 5000.
Ahora, hallaremos la segunda derivada y la haremos igual a 0.
\[\frac{d^{2}P}{dt^{2}}=1500-0.6P\]
\[\frac{d^{2}P}{dt^{2}}=1500-0.6P=0\]
\[1500-0.6P=0\]
\[P=2500\]
Cuando \(P<2500\), \(\frac{d^{2}}P}{dt^{2}}>0\). Por tanto, el tamaño de la población aumenta a un ritmo creciente cuando la población está entre 0 y 2.500.
Cuando \(P>2500\), \(\frac{d^2}P}{dt^{2}}<0\). Por tanto, el tamaño de la población aumenta a un ritmo decreciente cuando la población está entre 2.500 y 5.000 habitantes.
Tomando como referencia la gráfica de la ecuación logística representada al principio del artículo, la gráfica cambia de concavidad cuando la población está en 2.500. Esencialmente, cuando la población alcanza las 2.500 personas, el ritmo de crecimiento de la población disminuye.
Ecuación diferencial logística - Puntos clave
- La ecuación diferencial logística se utiliza para modelizar un crecimiento de la población proporcional al tamaño de ésta y que tiene en cuenta que existe un número limitado de recursos necesarios para la supervivencia: describe una situación en la que la población dejará de crecer cuando alcance una capacidad de carga
- Para una constante de proporcionalidad \(k\), un tamaño de población \(P\), y cierta capacidad de carga \(M\), la ecuación diferencial logística es \(\frac{dP}{dt}=kP(1-\frac{P}{M})\) y mide el crecimiento de una población a lo largo del tiempo
- Todas las soluciones de la ecuación diferencial logística tienen la forma \(P(t)=\frac{M}{1+Ae^{-kt}}), donde \(A\) es una constante que depende de la condición inicial.
- No importa cuál sea la constante \(A\), \(\lim_{t \a \infty} P(t)=M\) siempre que \(M\) y \(k\) sean positivos; por tanto, \(M\) puede considerarse un valor de equilibrio
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