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Fig. 1 - Aunque suenan parecido, homogéneo y homogeneizado no tienen ninguna relación real entre sí.
Ecuación diferencial homogénea frente a no homogénea
De la lectura sobre ecuaciones diferenciales, ya sabes que hay varias formas de clasificarlas. Una muy útil es la de homogéneas frente a no homogéneas.
Las ecuaciones diferencialeshomogéneas pueden escribirse con todas las funciones que implican variables dependientes en un lado de la ecuación, y cero en el otro lado. Las ecuaciones diferenciales no homogéneas tienen una función de la variable independiente en lugar del cero en el otro lado de la ecuación, y funciones de las variables dependientes en el otro lado.
Por ejemplo, la ecuación diferencial
\[ y'' + 2y' - 3xy = 0\]
es una ecuación diferencial homogénea. Se puede escribir con todas las funciones que implican a la variable dependiente en un lado de la ecuación, y cero en el otro lado.
Por el contrario, la ecuación diferencial
\[ y'' + 2y' - 3xy = \sin x\]]
es una ecuación diferencial no homogénea. Tiene una función de la variable independiente, \(x\), en un lado de la ecuación en lugar del cero que tenía el ejemplo anterior.
Es importante señalar que el hecho de que una ecuación diferencial sea homogénea o no homogénea ¡no tiene nada que ver con el orden de la ecuación ni con el hecho de que sea lineal o no!
¿Qué es una ecuación diferencial lineal no homogénea?
Ahora que sabes que una ecuación diferencial puede ser tanto lineal como no homogénea, no tiene por qué ser tanto lineal como no homogénea, veamos el caso en que sí lo es.
Recuerda las propiedades de una ecuación diferencial lineal:
cada variable dependiente aparece de forma lineal;
la variable dependiente y/o sus derivadas están todas elevadas a la potencia de \(1\);
ninguna de las variables dependientes y/o sus derivadas se multiplican entre sí;
la variable dependiente y/o sus derivadas no pueden formar parte de una función especial, como una función trigonométrica o la función exponencial; y
la variable independiente puede ser no lineal (elevada a una potencia, parte de una función especial, etc.).
He aquí algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales:
\( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0\);
\( t^2\dfrac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}t^2} +t\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+4y=e^t\); and
\( \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+\left(\cos{t}\right)y=t^2\).
De las ecuaciones anteriores, sólo
\[ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}+2y=0\]
es una ecuación homogénea. Las otras dos son no homogéneas. Por tanto, aunque una ecuación diferencial puede ser lineal y no homogénea, no tiene por qué serlo.
La forma de resolver una ecuación lineal no homogénea varía en función de si es o no de primer orden. Sigue leyendo para conocer las técnicas para resolver ecuaciones diferenciales no homogéneas de primer orden.
Ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes
Empecemos por el caso de coeficiente constante. Una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden con coeficientes constantes tiene la forma
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=f(x),\]
aunque esto se escribe más comúnmente como
\[y'+ay=f(x).\]
La idea es utilizar un factor integrador para resolver este tipo de ecuaciones diferenciales separables. Las ecuaciones lineales de coeficiente constante de primer orden son especialmente bonitas, ya que el factor integrador para este tipo de ecuaciones es
\[ h(x) = e^{ax}.\\]
Para saber cómo hallar el factor integrador, consulta el artículo Ecuaciones separables.
Entonces multiplicarías ambos lados de la ecuación por el factor integrador, e integrarías, lo que te daría
\[ \int (e^{ax}y)'\, \mathrm{d}x = \int e^{ax} f(x) \, \mathrm{d}x ,\]
así que
\[ e^{ax}y(x) = \int e^{ax} f(x) \, \mathrm{d}x ,\]
o
\[y(x) = e^{-ax} \int e^{ax} f(x) \, \mathrm{d}x .\]
Así que poder encontrar una solución explícita a este tipo de ecuaciones depende realmente de si puedes o no integrar \(e^{ax} f(x) \). Veamos un ejemplo rápido.
Si es posible, encuentra una solución explícita a la ecuación diferencial no homogénea lineal de primer orden y coeficiente constante
\[ y' - 5y = 3x.\]
Solución:
Aquí \(a=-5\) y \(f(x) = 3x\). Por tanto, la solución implícita de la ecuación es
\[ y(x) = e^{5x}\int 3xe^{-5x} \, \mathrm{d}x.\]
En este caso, puedes realizar la integración, por lo que la solución explícita es
\y(x) &= e^{5x}\int 3xe^{-5x} |mathrm{d}x &= 3e^{5x} \left[ e^{-5x}\left(-\frac{x}{5} + \frac{1}{25} \right) + C \right] &= -\frac{3x}{5} + \frac{3}{25} + 3Ce^{5x} fin].
donde puedes utilizar la integración por partes para obtener el resultado.
Observa que la solución contiene una constante de integración. Esto se debe a que la solución de una ecuación diferencial sin valor inicial es una familia de funciones, no una única función.
Para más información sobre soluciones a problemas de valor inicial, consulta Soluciones particulares a ecuaciones diferenciales
A continuación, echemos un vistazo a una ecuación no homogénea de primer orden más general.
Solución de una ecuación diferencial de primer orden no homogénea
Una ecuación diferencial general lineal de primer orden no homogénea con coeficientes constantes tiene la forma
\[y'+a(x)y=f(x).\]
Este tipo de ecuación se sigue resolviendo mediante un factor integrador. Aquí el factor integrador es
\[ h(x) = e^{int a(x)\,\mathrm{d} x},\}]
y la solución de la ecuación diferencial es
\[y(x) = e^{-int a(x)\,\mathrm{d} x} \int e^{int a(x)\,\mathrm{d} x} f(x) \, \mathrm{d}x .\]
¡Eso significa que encontrar una solución explícita sigue dependiendo de poder encontrar una integral de forma cerrada!
Para un recordatorio sobre las integrales de forma cerrada, consulta Integrales indefinidas y formas cerradas.
Veamos un ejemplo.
Si es posible, encuentra una solución explícita para la ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden
\[ y' + \frac{y}{x} = x^2.\]
Solución:
Para este problema el factor integrador es
\[ \begin{align} h(x) &= e^{\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d} x} &\= e^{\ln x}\ &= x. \end{align}\}]
Por tanto, la solución implícita viene dada por
\y(x) &= e^{-int a(x)\},\mathrm{d} x} \int e^{\int a(x)\},\mathrm{d} x} f(x) \, \mathrm{d}x \} & =frac{1}{x} \int x (x^2) \, \mathrm{d}x. \fin \]
Esto se puede integrar, por lo que la solución explícita es
\y(x) &= \frac{1}{x} \x^3, \mathrm{d}x &= \frac{1}{x} \izquierda( \frac{1}{4}x^4 + C \derecha) \frac{C}{x} + \frac{x^3}{4}. \end{align}\]
Observa que la ecuación diferencial original no está bien definida cuando \(x=0\), y tampoco lo está la solución explícita.
¡Siempre vienen bien más ejemplos!
Ejemplos de ecuaciones lineales no homogéneas
Veamos algunos ejemplos más.
Resolver la ecuación diferencial lineal no homogénea
\[ xy'-2y = \frac{1}{x}.\]
¿Hay alguna restricción en el dominio de la solución?
Solución:
El primer paso es poner la ecuación en forma estándar dividiendo ambos lados de la ecuación por \(x\), lo que te da
\[y' - \frac{2}{x}y = \frac{1}{x^2}.\]
Entonces un factor integrador es
\[ \begin{align} h(x) &= e^{int - \frac{2}{x}\,\mathrm{d} x} &= e^{-2\ln x} &= \frac{1}{x^2}. \fin{align}\]
Eso significa que la solución implícita es
\y(x) &= x^2 \int \frac{1}{x^2} \izquierda(\frac{1}{x^2} derecha), \mathrm{d}x &=x^2int \frac{1}{x^4} \fin{align} \]
y la solución explícita es
\y(x) &= x^2\int \frac{1}{x^4} \, \mathrm{d}x &= x^2\left( -\frac{1}{3x^3} + C\right) &= -\frac{1}{3x} + Cx^2.\pend{align} \]
Observa que esta solución no está definida en \(x=0\). Eso significa que hay dos dominios posibles para la solución, o bien \((-\infty, 0)\) o bien \((0, \infty )\). Sin condiciones iniciales, no puedes saber cuál es el dominio deseado, así que ambos aparecen como dominios posibles.
Para un recordatorio sobre la forma estándar, consulta Soluciones a ecuaciones diferenciales.
Veamos otro ejemplo.
Resuelve la ecuación diferencial lineal no homogénea
\[ y' + y\tan x =1.\]
¿Hay alguna restricción en el dominio de la solución?
Solución:
Observa que esta ecuación no está bien definida siempre que \(\cos x = 0\), por lo que es de esperar que la solución tenga restricciones en el dominio. Esta ecuación diferencial ya está en forma estándar y la solución viene dada por
\y(x) &= e^{-\int a(x)\},\mathrm{d} x} \int e^{\int a(x)\},\mathrm{d} x} f(x) \, \mathrm{d}x \\ &= e^{-\int \tan x\,\mathrm{d} x} \int e^{\int \tan x\,\mathrm{d} x} (1) \, \mathrm{d}x \\ &= e^{\ln|\cos x|} e^{-\ln|\cos x|} e^{-\ln|\cos x|} \izquierda( \frac{ \sec x \ln|\tan x + \sec x|}{|sec x| } + C\derecha). \fin]
¡Sólo con mirar la solución puedes ver que habrá muchas restricciones en el dominio de la solución! De hecho, dependiendo de las condiciones iniciales, puede que no haya solución.
Ecuación diferencial no homogénea - Puntos clave
- Las ecuaciones diferenciales homogéneas se pueden escribir con todas las funciones que implican variables dependientes en un lado de la ecuación, y cero en el otro lado.
- Las ecuaciones diferenciales no homogéneas tienen una función de la variable independiente en lugar de cero en el otro lado de la ecuación, y funciones de las variables dependientes en el otro lado.
- La ecuación diferencial lineal de coeficiente constante de primer orden \(y'+ay=f(x) \) tiene la solución\[y(x) = e^{-ax} \int e^{ax} f(x) \, \mathrm{d}x .\].
- La ecuación diferencial lineal general de primer orden \(y'+a(x)y=f(x) \) tiene la solución \[y(x) = e^{-int a(x)\,\mathrm{d} x} \int e^{\\int a(x)\,\mathrm{d} x} f(x) \, \mathrm{d}x .\].
- Poder encontrar una solución explícita a una ecuación diferencial lineal no homogénea de primer orden depende de si la integral \( \int e^{int a(x)\},\mathrm{d} x} f(x) \, \mathrm{d}x \) tiene o no una forma cerrada.
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