Ecuaciones diferenciales lineales

¿Qué son las ecuaciones diferenciales lineales?

Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida, en la que intervienen sus derivadas . Pero, ¿por qué es lineal?

Puedes decir que una ecuación diferencial es lineal si cada variable dependiente aparece en forma lineal. Esto significa que la variable dependiente y/o sus derivadas están todas elevadas a la potencia de $1$, no están multiplicadas entre sí, y no forman parte de una función especial, como una función trigonométrica o la función exponencial.

A pesar de las consideraciones anteriores, la variable independiente puede ser no lineal. Es decir, la variable independiente puede elevarse al cuadrado, como parte de la función seno, etc.

A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0$$

$$x^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+4y=e^x$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+(\cos x)y=x^2$$

Ecuaciones diferenciales lineales frente a no lineales

Igual que hay ecuaciones diferenciales lineales, también hay ecuaciones diferenciales no lineales.

Una ecuación diferencial no lineal es una ecuación diferencial que no es una ecuación diferencial lineal.

Sencillo, ¿verdad? Esto significa que la variable dependiente y/o sus derivadas están

• Se multiplican entre sí

• Están elevadas a una potencia distinta de $1$

• Forman parte de una función especial, como una función trigonométrica o exponencial.

He aquí algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+x{y}^2=0$$

$$y\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}+xy=\ln x$$

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\sin y=\cos x$$

Las ecuaciones diferenciales lineales pueden utilizarse para describir algunos fenómenos naturales, entre otros

• Las ondas electromagnéticas.

• La difusión del calor.

• Los circuitos electrónicos.

• El movimiento oscilatorio, como muelles y péndulos.

Por su parte, las ecuaciones diferenciales no lineales pueden describir cosas como:

• El clima.

• La dinámica de los fluidos.

• Dinámica de poblaciones.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Las ecuaciones diferenciales suelen clasificarse en función de su orden. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación diferencial lineal en la que la mayor derivada implicada es una primera derivada. Una ecuación diferencial lineal de primer orden siempre puede escribirse de la forma

\frac[ \frac{mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x).\]

Esto se conoce como la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden.

También puedes encontrarte con ecuaciones diferenciales escritas en notación prima, por lo que la ecuación diferencial anterior también se puede escribir como

$$y^{\prime }+P(x)y=Q(x),$$

donde la dependencia de $y$ no se indica explícitamente, sino que hay que suponerla según el contexto.

Ten en cuenta que te pueden dar una ecuación diferencial lineal que no esté escrita de ninguna de las dos formas. En estos casos tienes que hacer algo de álgebra para reescribirla.

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

Has visto que una ecuación diferencial lineal de primer orden siempre puede escribirse como

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).$$

Esto significa que, en general, $P$ y $Q$ son funciones de $x.$ Sin embargo, en el caso especial de que las funciones $P(x)$ y $Q(x)$ sean funciones constantes, tienes una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Las siguientes ecuaciones diferenciales son todas ellas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3y=0$$

\frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}-\pi y=4\]

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}-5\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y=e$$

Puedes identificar una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes observando que la variable independiente no aparece explícitamente.

Resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes es una tarea sencilla, ya que son ecuaciones separables. Consideremos la ecuación diferencial

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=b.$$

La ecuación anterior se puede separar. Primero aísla el término que contiene la derivada, así

$$\frac{mathrmdy}{mathrmdx}=b-ay.$$

El lado derecho de la ecuación puede verse como una función de $y,$, es decir

$$g(y)=b-ay,$$

por lo que

|frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(y).\]

Esto te indica que la ecuación diferencial puede resolverse por separación de variables. Empieza reescribiendo la ecuación diferencial en términos de las diferenciales de $x$ y $y,$ es decir

\[ \mathrm{d}y = (b-ay)\,\mathrm{d}x,\}]

y luego divide ambos lados de la ecuación por $b-ay,$ obteniendo

\[\frac{1}{b-ay} \, \mathrm{d}y = \mathrm{d}x.\}].

A partir de aquí puedes integrar ambos lados. El lado izquierdo es una de las integrales de funciones logarítmicas, así que

$$-\frac{1}{a}\ln (b-ay)=\int \mathrm{d}x,$$

y la integral de una diferencial es sólo la variable de integración, así puedes escribir

$$-\frac{1}{a}\ln (b-ay)=x+C.$$

A continuación, tienes que aislar $y,$ de modo que

$$\begin{array}{rlr}\ln (b-ay)& =-ax-aC\text{b}-ay& =e^{-ax-aC}\\ ay& =b-e^{-ax-aC}\\ y& =\frac{b}{a}-\frac{1}{a}{e}^{-ax-aC}.\end{array}$$

Esto se verá mejor utilizando las propiedades de los exponentes y algo de álgebra para escribir

$$-\frac{1}{a}{e}^{-ax-aC}=e^{-ax}(-\frac{1}{a}{e}^{-aC}),$$

donde $-\frac{1}{a}{e}^{-aC}$ sigue siendo una constante en su conjunto, por lo que puedes renombrarla, digamos como $A.$ De esta forma

$$y=A{e}^{-ax}+\frac{b}{a}$$

es la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes.

Fórmula para resolver ecuaciones diferenciales lineales

Normalmente, no existen fórmulas para resolver ecuaciones diferenciales. Por suerte, en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, puedes obtener una fórmula utilizando lo que se conoce como factor integrador.

Considera una ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en forma estándar, es decir

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).$$

La solución general de la ecuación diferencial anterior es

\[ y = \frac{1}{alfa (x)} \izquierda( \int \alfa(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \derecha),\}]

donde

\[ \alpha(x)=e^{int P(x)\,\mathrm{d}x}]

se conoce como factor integrador.

Al igual que las integrales indefinidas, las ecuaciones diferenciales tienen familias de soluciones. Introduciendo distintos valores de la constante de integración, $C,$ obtienes distintas soluciones de la ecuación diferencial.

Puedes seguir estos pasos para utilizar la fórmula para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que estén escritas en forma estándar:

1. Calcula $\int P(x)\mathrm{d}x.$ ¡En este paso no es necesario añadir una constante de integración!

2. Encuentra el factor de integración $\text{alfa}(x).$ Esto puede hacerse introduciendo $\int P(x)\mathrm{d}x$ en la exponencial, es decir

   $$\alpha (x)=e^{intP(x)\mathrm{d}x}.$$

3. Calcula $\int \alpha (x)Q(x)\mathrm{d}x.$

4. Utiliza la fórmula para la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Puedes ver algunos ejemplos en el apartado siguiente.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales

Los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal se entienden mejor con ejemplos. ¡Vamos a ello!

¡El cálculo es cuestión de práctica! He aquí otro ejemplo.

¿Y una con coeficientes constantes?