Ecuaciones diferenciales lineales: 'Métodos', 'Ejemplos'

Saltar a un capítulo clave

Pues resulta que sí tienen algo en común: ambas se describen con el mismo tipo de matemáticas.

Las ecuaciones diferenciales son muy útiles para describir el mundo que nos rodea. En concreto, tanto la electrónica como los muelles se describen mediante lo que se conoce comoEcuaciones Diferenciales Lineales. Aquí aprenderás a identificarlas y a resolver algunas de ellas.

¿Qué son las ecuaciones diferenciales lineales?

Una ecuación diferencial es una ecuación para una función desconocida, en la que intervienen sus derivadas . Pero, ¿por qué es lineal?

Puedes decir que una ecuación diferencial es lineal si cada variable dependiente aparece en forma lineal. Esto significa que la variable dependiente y/o sus derivadas están todas elevadas a la potencia de \(1\), no están multiplicadas entre sí, y no forman parte de una función especial, como una función trigonométrica o la función exponencial.

A pesar de las consideraciones anteriores, la variable independiente puede ser no lineal. Es decir, la variable independiente puede elevarse al cuadrado, como parte de la función seno, etc.

A continuación se muestran algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales.

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+2y=0\]

\[ x^2\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2} +x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+4y=e^x\]

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\left(\cos{x}\right)y=x^2\]

Ecuaciones diferenciales lineales frente a no lineales

Igual que hay ecuaciones diferenciales lineales, también hay ecuaciones diferenciales no lineales.

Una ecuación diferencial no lineal es una ecuación diferencial que no es una ecuación diferencial lineal.

Sencillo, ¿verdad? Esto significa que la variable dependiente y/o sus derivadas están

Se multiplican entre sí
Están elevadas a una potencia distinta de \(1\)
Forman parte de una función especial, como una función trigonométrica o exponencial.

He aquí algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales no lineales.

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+xy^2=0\]

\[ y\frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}+xy=\ln{x}\]

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\sin{y}=\cos{x}\]

Las ecuaciones diferenciales lineales pueden utilizarse para describir algunos fenómenos naturales, entre otros

Las ondas electromagnéticas.
La difusión del calor.
Los circuitos electrónicos.
El movimiento oscilatorio, como muelles y péndulos.

Por su parte, las ecuaciones diferenciales no lineales pueden describir cosas como:

El clima.
La dinámica de los fluidos.
Dinámica de poblaciones.

Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

Las ecuaciones diferenciales suelen clasificarse en función de su orden. Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación diferencial lineal en la que la mayor derivada implicada es una primera derivada. Una ecuación diferencial lineal de primer orden siempre puede escribirse de la forma

\frac[ \frac{mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x).\]

Esto se conoce como la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden.

También puedes encontrarte con ecuaciones diferenciales escritas en notación prima, por lo que la ecuación diferencial anterior también se puede escribir como

\[ y'+P(x)y=Q(x),\]

donde la dependencia de \(y\) no se indica explícitamente, sino que hay que suponerla según el contexto.

Ten en cuenta que te pueden dar una ecuación diferencial lineal que no esté escrita de ninguna de las dos formas. En estos casos tienes que hacer algo de álgebra para reescribirla.

Considera la siguiente ecuación diferencial

\[ x^2y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +y^2=ye^x.\]

¿Es una ecuación diferencial lineal? Si es así, determina \( P(x)\) y \( Q(x).\)

Contesta:

A primera vista, la ecuación diferencial anterior puede no parecer lineal, así que tendrás que hacer algo de álgebra para averiguarlo. Para ello, tienes que reescribir la ecuación diferencial de modo que el término que contiene la derivada no se multiplique por ningún número distinto de \(1\).

Para el ejemplo anterior, puedes conseguirlo dividiendo toda la ecuación diferencial por \(x^2y,\), lo que te da

\[ \frac{x^2y \frac{mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +y^2 }{x^2y} = \frac{ye^x}{x^2y},\].

que puede simplificarse con un poco de álgebra, obteniendo

\frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}+\frac{y}{x^2} = \frac{e^x}{x^2}. \]

Esto significa que la ecuación diferencial dada es lineal. La función que multiplica a \(y\) es \( P(x) \), y en este caso viene dada por

\[ P(x) = \frac{1}{x^2}, \]

mientras que la función del lado derecho de la ecuación es \( Q(x),\) es decir

\[ Q(x)= \frac{e^x}{x^2}. \]

Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes

Has visto que una ecuación diferencial lineal de primer orden siempre puede escribirse como

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).\]

Esto significa que, en general, \( P \) y \( Q \) son funciones de \(x.\) Sin embargo, en el caso especial de que las funciones \( P(x) \) y \( Q(x) \) sean funciones constantes, tienes una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Las siguientes ecuaciones diferenciales son todas ellas ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes.

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+3y=0\]

\frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}-\pi y=4\]

\[ \frac{\mathrm{d}^2y}{\mathrm{d}x^2}-5\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}-y=e\]

Puedes identificar una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes observando que la variable independiente no aparece explícitamente.

Resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes constantes es una tarea sencilla, ya que son ecuaciones separables. Consideremos la ecuación diferencial

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=b.\]

La ecuación anterior se puede separar. Primero aísla el término que contiene la derivada, así

\[ \frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} = b-ay.\]

El lado derecho de la ecuación puede verse como una función de \(y,\), es decir

\[ g(y) = b-ay,\]

por lo que

|frac {\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = g(y).\]

Esto te indica que la ecuación diferencial puede resolverse por separación de variables. Empieza reescribiendo la ecuación diferencial en términos de las diferenciales de \( x \) y \( y,\) es decir

\[ \mathrm{d}y = (b-ay)\,\mathrm{d}x,\}]

y luego divide ambos lados de la ecuación por \( b-ay,\) obteniendo

\[\frac{1}{b-ay} \, \mathrm{d}y = \mathrm{d}x.\}].

A partir de aquí puedes integrar ambos lados. El lado izquierdo es una de las integrales de funciones logarítmicas, así que

\[-\frac{1}{a} \ln{(b-ay)} = \int \mathrm{d}x,\]

y la integral de una diferencial es sólo la variable de integración, así puedes escribir

\[-\frac{1}{a} \ln{(b-ay)} = x+C.\]

A continuación, tienes que aislar \( y,\) de modo que

\[ \begin{align} \ln{(b-ay)} &= -ax-aC \b-ay &= e^{-ax-aC} \\ ay &= b-e^{-ax-aC} \\ y &= \frac{b}{a}-\frac{1}{a}e^{-ax-aC}. \end{align}\]

Esto se verá mejor utilizando las propiedades de los exponentes y algo de álgebra para escribir

\[-\frac{1}{a}e^{-ax-aC} = e^{-ax}\left(-\frac{1}{a}e^{-aC}\right),\]

donde \( -\frac{1}{a}e^{-aC} \) sigue siendo una constante en su conjunto, por lo que puedes renombrarla, digamos como \(A.\) De esta forma

\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a}\]

es la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes.

Fórmula para resolver ecuaciones diferenciales lineales

Normalmente, no existen fórmulas para resolver ecuaciones diferenciales. Por suerte, en el caso de las ecuaciones diferenciales lineales de primer orden, puedes obtener una fórmula utilizando lo que se conoce como factor integrador.

Considera una ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en forma estándar, es decir

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).\]

La solución general de la ecuación diferencial anterior es

\[ y = \frac{1}{alfa (x)} \izquierda( \int \alfa(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \derecha),\}]

donde

\[ \alpha(x)=e^{int P(x)\,\mathrm{d}x}]

se conoce como factor integrador.

Al igual que las integrales indefinidas, las ecuaciones diferenciales tienen familias de soluciones. Introduciendo distintos valores de la constante de integración, \(C,\) obtienes distintas soluciones de la ecuación diferencial.

Puedes seguir estos pasos para utilizar la fórmula para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden que estén escritas en forma estándar:

Calcula \( \int P(x) \, \mathrm{d}x.\) ¡En este paso no es necesario añadir una constante de integración!
Encuentra el factor de integración \( \alfa(x).\) Esto puede hacerse introduciendo \( \int P(x) \, \mathrm{d}x \) en la exponencial, es decir
\[ \alpha(x) = e^{int P(x) \, \mathrm{d}x}.\]
Calcula \( \int \alpha(x)\,Q(x)\,\mathrm{d}x.\)
Utiliza la fórmula para la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Puedes ver algunos ejemplos en el apartado siguiente.

Ejemplos de ecuaciones diferenciales lineales

Los pasos para resolver una ecuación diferencial lineal se entienden mejor con ejemplos. ¡Vamos a ello!

Resuelve la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 3x^2y=6x^2.\]

Respuesta:

Siempre debes empezar por comprobar si la ecuación diferencial está escrita en forma estándar,

\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x).\]

Si es así, también tienes que identificar \( P(x) \) y \( Q(x).\) En este caso la ecuación diferencial ya está escrita en forma estándar, y puedes encontrar que

\[P(x)=3x^2,\]

\[Q(x)=6x^2.\]

Ahora, puedes seguir los pasos introducidos en el apartado anterior.

1. Calcula \( \int P(x) \, \mathrm{d}x.\)

Como \( P(x)=3x^2,\) puedes hallar su integral con ayuda de la Regla de Potencia, es decir

\[ \begin{align} \int P(x)\t, \mathrm{d}x &= \int 3x^2 \t, \mathrm{d}x \t &= x^3. \fin{align} \]

2. Halla el factor integrador \( \alpha(x).\)

Para hallar el factor integrador tienes que introducir la integral obtenida en el último paso en una función exponencial, es decir

\[ \begin{align} \alfa(x) &= e^{int P(x) \, \mathrm{d}x}. \\ &= e^{x^3}. \end{align}\]

3. Calcula \( \int \alpha(x)\,Q(x)\,\mathrm{d}x.\)

Ahora que has encontrado \( \alfa(x),\) necesitas encontrar

\[ \inicio{alineación} \int \alpha(x)\,Q(x)\,\mathrm{d}x &= \int e^{x^3}(6x^2)\,\mathrm{d}x &= 2\int e^{x^3}(3x^2) \mathrm{d}x. \end{align}\]

Por suerte, como \( 3x^2 \) es la derivada de \( x^3,\) ¡puedes utilizar la integración por sustitución! Sea

\[ u= x^3,\]

así

\[ \mathrm{d}u = 3x^2\mathrm{d}x.\]

De esta forma puedes reescribir la integral

\[ \begin{align} \int \alpha(x)\,Q(x) \, \mathrm{d}x &= 2\int e^u \, \mathrm{d}u \\= 2e^u. \end{align}\]

No olvides deshacer la sustitución, es decir

\[ \int \alpha(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x = 2e^{x^3}.\]

4. Utiliza la fórmula para la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Por último, sustituye las expresiones obtenidas en los pasos anteriores para hallar la solución general de la ecuación diferencial, es decir

\y &= \frac{1}{alfa(x)} \left( \int \alfa(x)\,Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right) \frac{1}{e^{x^3}} \left( 2e^{x^3} + C\right) &= 2+ \frac{C}{e^{x^3}} \\ &= Ce^{-x^3}+2. \end{align} \]

La solución general de la ecuación diferencial es entonces

\y = Ce^{-x^3}+2.\]

A diferencia de las integrales indefinidas, en las que la constante de integración se añade al final, en las ecuaciones diferenciales es frecuente encontrarlas multiplicando otra función.

¡El cálculo es cuestión de práctica! He aquí otro ejemplo.

Resuelve la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

+ y = x^2.\}[ x\frac{\mathrm{d}}y}{\mathrm{d}x} + y = x^2.\}

Respuesta:

Esta vez, la ecuación diferencial no tiene forma estándar, por lo que no puedes utilizar la fórmula. Para superarlo, empieza dividiendo toda la ecuación por \(x,\) es decir

\[ \begin{align} \frac{x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y}{x} &= \frac{x^2}{x} \frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x}+\frac{y}{x} &= x. \end{align}\]

De este modo, ahora puedes seguir los pasos habituales utilizando

\[ P(x) = \frac{1}{x}]

\[ Q(x) = x.\]

1. Calcula \( \int P(x) \, \mathrm{d}x.\)

Empieza por hallar

\[ \int P(x) \, \mathrm{d}x = \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x,\]

que es una de las Integrales que implican funciones logarítmicas, por lo que

\[ \int P(x) \, \mathrm{d}x = \ln{x}.\]

2. Encuentra el factor integrador \( \alfa(x).\)

Ahora puedes introducir el resultado obtenido en el paso anterior para hallar el factor integrador, es decir

\[ \inicio{alineación} \alfa(x) &= e^{int P(x)\,\mathrm{d}x}. \\ &= e^{ln{x}}. \end{align}\]

Como la función exponencial y la función logarítmica natural son inversas, se deshacen mutuamente, obteniendo

\[ \alfa(x) = x.\}]

3. Calcula \( \int \alpha(x)\,Q(x)\,\mathrm{d}x.\)

Ahora que has encontrado el factor integrador, puedes evaluar

\[ \begin{align} \int \alpha(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x &= \int x(x) \, \mathrm{d}x &= \int x^2 \, \mathrm{d}x, \end{align} \]

lo que puede hacerse con ayuda de la Regla de Potencia, obteniendo

\[ \int \alpha(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3. \]

4. Utiliza la fórmula para la solución general de una ecuación diferencial lineal de primer orden.

Por último, sustituye las expresiones que has obtenido en los pasos anteriores en la fórmula, es decir

\y &= \frac{1}{alfa(x)} \left( \int \alfa(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right) \frac{1}{x}left( \frac{1}{3}x^3+C \right) \frac{1}{3}x^2+\frac{C}{x}. \end{align}\]

La solución general de la ecuación diferencial es entonces

\y = \frac{1}{3}x^2+\frac{C}{x}.

¿Y una con coeficientes constantes?

Resuelve la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden:

\frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} + 3y = 0.\]

Respuesta:

Empieza por observar que la ecuación diferencial dada es una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, por lo que puedes utilizar la solución general para este tipo de ecuaciones, es decir, si

\[ \frac{mathrm{d}y}{mathrm{d}x} +ay=b,\}]

entonces

\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a},\]

donde \( A \) es una constante de integración.

En este caso \(a=3\) y \(b=0,\) entonces

\[y=Ae^{-(3)x}+\frac{(0)}{(3)},\]

lo que significa que la solución de la ecuación diferencial dada es

\y=Ae^{-3x}.\]

Sencillo, ¿verdad?

Ecuación diferencial lineal - Puntos clave

Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial en la que la variable dependiente y/o sus derivadas están todas elevadas a la potencia de \(1\), no se multiplican entre sí y no forman parte de una función especial.
- Si no se cumple alguna de las condiciones anteriores, la ecuación diferencial se clasifica como ecuación diferencial no lineal.
Una ecuación diferencial lineal de primer orden es una ecuación diferencial lineal cuya derivada más alta es una derivada deprimer orden .
Una ecuación diferencial lineal de primer orden siempre se puede escribir como \[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} +P(x) y = Q(x), \] que se conoce como la forma estándar de una ecuación diferencial lineal de primer orden.También se puede escribir utilizando notación de primos como \[ y' + P(x) y = Q(x).\]
- La fórmula para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en forma estándar viene dada por\[ y = \frac{1}{\alpha(x)} \left( \int \alpha(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right), \] donde \( \alpha(x) \) se denomina factor integrador, y viene dado por\[ e^{int P(x) \, \mathrm{d}x}.\]
- Si \( P(x) \) y \(Q(x) \) son funciones constantes, entonces tienes una ecuación diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, que puede escribirse como\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=b.\]En tal caso, su solución general viene dada por\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a},\]donde \( A \) es una constante de integración.

Tarjetas en Ecuaciones diferenciales lineales 13

Empieza a aprender

Considera la siguiente ecuación diferencial lineal de primer orden escrita en forma estándar:
\[ y'+\sin{x}y=\cos{x}.\]

¿Qué función es \( P(x) \)?

\( P(x) = \sin{x}\).

Considera la siguiente ecuación diferencial

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+x^3y=e^x.\]