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Definición de un problema de valor inicial
Empecemos respondiendo a una pregunta habitual. ¿Se supone que es "valor inicial" o "valor inicial"? Bueno, ¡depende del país en el que te encuentres y de quién haya escrito el libro de texto que estés leyendo! Para ser coherentes, este artículo no utiliza el guión. En su lugar, el problema de valor inicial se abrevia PIV, lo que evita la cuestión de si el guión debe estar ahí o no.
¿Qué es un PIV?
Un PIV es una ecuación diferencial junto con un lugar de inicio de la solución. A menudo se escriben
\[ \begin{align} &y' = f(x,y) \\y(a) = b \end{align} \]
donde \((a,b)\) es el punto por el que debe pasar la solución \(y(x)\).
Recuerda que el primer paso para resolver una ecuación diferencial es intentar encontrar la solución general, que te da una constante de integración. Después, utilizando el valor inicial, puedes hallar una solución particular. Para más información sobre estos temas, consulta Soluciones generales de ecuaciones diferenciales y Soluciones particulares de ecuaciones diferenciales.
Problema del valor inicial de una ecuación diferencial de primer orden
Empecemos con la ecuación diferencial lineal de primer orden de coeficiente constante
\[ y'+Ay=B\]
donde \(A\) y \(B\) son números reales con \(A\neq 0\). Recuerda que la solución general de esta ecuación diferencial lineal es
\[y(x) =Ce^{-Ax}+\frac{B}{A}\]
donde \(C\) es una constante.
Si añades el valor inicial \(y(x_1) = y_1\), donde \(x_1\) y \(y_1\) son números reales, puedes introducirlos en la solución general para obtener
\[ y_1=Ce^{-Ax_1}+\frac{B}{A}, \]
así que
\[ C = \frac{y_1 - \frac{B}{A}}{e^{-Ax_1}}. \]
Eso significa que la solución del PIV
\[ \begin{align} y' &= f(x,y) \ y(x_1) &= y_1 \end{align} \]
es
\y(x) &= \frac{y_1 - \frac{B}{A}}{e^{-Ax_1}} e^{-Ax}+\frac{B}{A} \\ &= izquierda(y_1 - \frac{B}{A}derecha)e^{-A(x-x_1)} + \frac{B}{A} . \end{align}\]
Eso puede ser un poco pesado de memorizar, así que, en lugar de hacerlo, es mejor recordar la solución general y luego resolverla dados tus valores iniciales. Veamos un ejemplo.
Resuelve el PIV
\[ &y' +3y = 7 &y(0) = \frac{1}{3}. \end{align} \]
Solución
El primer paso es encontrar la solución general, que para este problema es
\[y(x) =Ce^{-3x}+\frac{7}{3}.\]
Recuerda que en realidad se trata de una familia de funciones, y que puedes representarlas gráficamente para distintos valores de \(C\).
La solución general es una familia de funciones.
El PIV te pide que elijas la función que pasa por el punto \(\left(0, \frac{1}{3}\right)\). Utilizando el valor inicial para resolver \(C\), obtienes
\[\frac{1}{3} =Ce^{-3\cdot 0}+\frac{7}{3},\].
por lo que \(C = -2\). Eso significa que la solución del PIV es
\[y(x) = -2e^{-3x}+\frac{7}{3}.\]
Se trata de una función particular de la familia de funciones que tiene la propiedad de que pasa por el valor inicial, como puedes ver en la gráfica de abajo.
La solución particular pasa por el valor inicial.
Las soluciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden IVP lineales de coeficiente constante tienen algunas buenas propiedades que proceden directamente del hecho de que puedes escribir explícitamente la solución como
\[ y(x) = \left(y_1 - \frac{B}{A} \right)e^{-A(x-x_1)} +\frac{B}{A}.\]
Esas propiedades son,
Las soluciones del PIV son únicas. Esto significa que para cada valor inicial obtienes un, y sólo un, valor de \(C\) que funciona.
Si tienes dos valores iniciales distintos, las soluciones correspondientes a esos valores iniciales no pueden cruzarse. Si pudieran cruzarse, se violaría la parte de unicidad.
Las soluciones existen en toda la recta real.
Todas las soluciones tienen el mismo comportamiento a largo plazo. En otras palabras, para una solución \(y(x)\) de la PIV, \[ \limits_{x \to \infty} y(x) =\begin{casos} \frac{B}{A} & \mbox{ si } A>0 \infty & \mbox{si } y_1-\frac{B}{A}>0 \ -\infty & \mbox{ si } y_1-\frac{B}{A}<0\final{casos}. \]
Pasemos ahora a la ecuación diferencial lineal de primer orden
\[ y'+P(x)y=Q(x)\]
donde \(P(x)\) y \(Q(x)\) son funciones. Para hallar la solución de esta ecuación diferencial utilizas el factor integrador
\[ \alpha(x)=e^{int P(x)\,\mathrm{d}x},\\]
y la solución general es
\y(x) = \frac{1}{alfa (x)} \left( \int \alfa(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right).|].
Encontrar la solución del PIV
\y'+P(x)y&=Q(x) \ y(a) &= b \end{align} \]
no va a ser ni mucho menos tan agradable como en el caso del coeficiente constante, ya que necesitas hacer la integración antes de poder averiguar qué es \(C\). Veamos un ejemplo.
Resuelve la PIV
\[ \begin{align} &y'+\frac{1}{x}y=\frac{1}{\sqrt{x}} |y(1) = \frac{5}{3} .\end{align} \]
Solución
Primero vamos a hallar la solución general. El factor integrador es
\[ \inicio{alineación} \alfa(x)&=e^{int P(x)|,\mathrm{d}x}. \\ &= \exp\left( \int \frac{1}}{x} \,\mathrm{d}x \right) &= |x|. \fin \]
Observa que el valor inicial tiene \(x=1\), por lo que, en otras palabras, te interesan valores positivos para \(x\) y puedes suprimir el valor absoluto en el factor integrador para escribir
\[ \alfa(x) = x.\]
Entonces la solución general viene dada por
\y(x) &= \frac{1}{alfa(x)} \left( \int \alfa(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right) \frac{1}{x} \izquierda( int x \frac{1}{cuadrado{x}}, \mathrm{d}x + C derecha) \frac{1}{x} \Izquierda(int = cuadratura de x, x + C derecha) &= frac{1}{x} \left( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2} }+ C \right) \frac &= \frac{2sqrt{x}}{3} + \frac{C}{x}. \end{align}\}]
Ahora puedes introducir el valor inicial \( y(1) = \dfrac{5}{3} \) para obtener
\[ \frac{5}{3} = \frac{2sqrt{1}}{3} + \frac{C}{1}, \frac{C}{1}].
por lo que
\[C = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1.\]
Suponiendo que \(x>0\), la solución de la PIV es
\y(x) = \frac{2}{3} + \frac{1}{x}].
Observa que sólo había una solución, ¡pero desde luego no existe en toda la recta real! Para ver ejemplos de una PIV lineal de primer orden sin solución, o con infinitas soluciones, echa un vistazo a Soluciones particulares a ecuaciones diferenciales.
Quizá te preguntes cuándo una PIV lineal de primer orden tendrá una solución única que exista en toda la recta real.
Si \(a, b \in \mathbb{R}\), y \(P(x)\), \(Q(x)\) son ambas funciones continuas en toda la recta real, entonces la solución del problema de valor inicial
|y' + P(x)y = Q(x) |y(a) = b |final{align}].
existe y es única en toda la recta real.
Problemas de valor inicial y ecuaciones diferenciales separables
Recuerda que una ecuación diferencial es separable si puedes escribirla de la forma
\[N(y)y' = M(x)\]
donde \(N(y)\) y \(M(x)\) son funciones. Para más información y ejemplos de este tipo de ecuaciones, consulta Ecuaciones separables.
Para convertirla en una PIV, sólo tienes que elegir un valor inicial. Así, para números reales \(a\) y \(b\), la IVP es
\[\begin{align} &N(y)y' = M(x) \\b\y(a) = b. \end{align}\]
Con las ecuaciones separables, a menudo hay que tener cuidado con el intervalo de existencia de las soluciones. En casos así, el valor inicial te indica cuál de los intervalos elegir como intervalo de existencia.
Veamos un ejemplo.
Si es posible, resuelve la PIV
\[ \begin{align} &y' = \frac{y^2}{x} \ y(0) = 4. \end{align} \]
Solución
En primer lugar, puedes reescribir la ecuación diferencial como
|frac{1}{y^2} y' = \frac{1}{x}, \]
por lo que es una ecuación diferencial separable. Separando las variables e integrando se obtiene
\[ \int \frac{1}{y^2} \, \mathrm{d}y = \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x\]
por lo que
\[ -\frac{1}{y} = \ln |x| + C.\]
Ahora vamos a intentar utilizar las condiciones iniciales. Si lo haces, estarás utilizando \(x=0\), y no puedes tomar el logaritmo natural de cero. Así que, de hecho, este PIV no tiene solución.
Un ejemplo más, para ver el tipo de cosas que pueden ocurrir.
Considera la PIV
\[ \begin{align} &y' = y^{\frac{1}{3}} \ y(0) = 0. \end{align} \]
Primero demuestra que la solución constante \(y(x)=0\) satisface esta PIV. Después comprueba si hay otras soluciones.
Solución
Ciertamente, si tomas la derivada de una función constante obtienes cero, y \(0^frac{1}{3} = 0\), por lo que la función constante \(y(x) = 0\) satisface la ecuación diferencial. También satisface la condición inicial, por lo que sí satisface la PIV.
¿Qué ocurre con otras soluciones? Se trata de una ecuación separable, por lo que separando e integrando se obtiene
\[ \int \frac{1}{y^\frac{1}{3} }, \mathrm{d}y = \int 1\, \mathrm{d}x\]].
por lo que
\[ \frac{3}{2}y^\frac{2}{3} = x+ C.\]
Utilizando el valor inicial \(y(0) = 0\) para hallar \(C\), se obtiene
\[ \frac{3}{2}0^\frac{2}{3} = 0+ C,\]
por lo que \(C=0\). Eso significa que hay una segunda solución para este PIV, a saber, la solución implícita
\[ \frac{3}{2}y^\frac{2}{3} = x.\]
Puedes obtener la solución explícita resolviendo para \(y\). Si lo haces, obtienes
\[ y^frac{2}{3} = \frac{2}{3}x,\]
así que
\[ y(x) =\left( \frac{2}{3}x \right)^{\frac{3}{2}}.\]
Observa que el intervalo máximo de existencia es \( [0,\infty) \), ya que no puedes tomar la raíz cuadrada de un número negativo. Si graficas las dos funciones, puedes ver que tanto la función constante como la función \(y(x)\) que has resuelto satisfacen la ecuación y el valor inicial.
Dos soluciones de un PIV
¡Siempre vienen bien más ejemplos!
Ejemplos de problemas de valores iniciales de ecuaciones diferenciales
Veamos más ejemplos de PIV.
Encuentra la solución del PIV
\[ &2xy'+4y=3 &y(2) = \frac{5}{4} \end{align} \]
demostrando primero que la solución general es
\y(x) = \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4}.
¿Cuál es el intervalo de existencia de la solución del PIV?
Solución
Para ver que \(y(x)\) es una solución general, tendrás que hallar la derivada e introducirla en la ecuación. La derivada es
\[ y'(x) = \frac{-2C}{x^3} .\]
Si lo introduces, obtienes
\2xy'+4y &= 2xizquierda(\frac{-2C}{x^3} derecha) + 4izquierda(\frac{C}{x^2} + \frac{3}{4} derecha) &= \frac{-4C}{x^2}. + \frac{4C}{x^2} + 4\left(\frac{3}{4} \right) &= 3, \end{align}\].
que es el lado derecho de la ecuación diferencial original. Por tanto, \(y(x)\) es una solución general.
Observa que la solución general no está definida en \(x = 0\). Por tanto, el intervalo de existencia va a ser o bien \( (-\infty , 0)\) o bien \((0, \infty)\). Como el valor inicial es cuando \(x=2\), el intervalo de existencia para el IVP es \((0 , \infty)\).
Ahora vamos a resolver el IVP. Utilizando el valor inicial,
\[ y(2) = \frac{C}{2^2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}. \]
Resolviendo para \(C\), puedes ver que \(C=2\). Por tanto, la solución del PIV es
\[y(x) = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{4}.\]
A veces tendrás una solución que es implícita, y que también se puede utilizar para resolver un IVP.
Es
\[ y^2 = x^2 - 3\]
una solución implícita del PIV
\[ \begin{align} &y' = \frac{x}{y} \ &y(2) = 1 ?\end{align} \]
Solución
Esto requiere el uso de la diferenciación implícita. Pero antes de hacerlo, conviene asegurarse de que la solución propuesta satisface el valor inicial, porque si no es así, ¡desde luego no puede ser una solución del PIV! Comprobando, el lado izquierdo te da \((y(2))^2 = 1^2 = 1\), y el lado derecho te da \(2^2 - 3 = 1\). Como son iguales, la solución implícita propuesta satisface al menos el valor inicial.
Entonces, utilizando la diferenciación implícita y recordando que \(y\) es función de \(x\),
\[ \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} (y(x))^2 = \frac {\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left(x^2 - 3 \right).\]
Mirando primero el lado izquierdo, y utilizando el hecho de que si es una solución entonces
\[y' = \frac{x}{y} ,\]
obtienes
\[ \begin{align} \(y(x))^2 &=2y(x)y'(x) &= 2y\frac{x}{y} \\ y &= 2x.end{align}\]
En el lado derecho
\a la izquierda (x^2 - 3 a la derecha) = 2x.
Como ambos lados son iguales, \(y(x)\) sí satisface la ecuación diferencial.
Por tanto, la solución implícita propuesta sí resuelve el PIV.
¿Qué haces si no encuentras una solución implícita o explícita a un PIV?
Problemas numéricos de valores iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias
Para la mayoría de los PIV que has visto aquí podrías encontrar una solución explícita, ¡o al menos una implícita! ¿Qué haces si tienes un PIV que no puedes resolver así? Entonces es cuando necesitas utilizar métodos numéricos para encontrar soluciones a los IVP. El método con el que empieza la mayoría de la gente es el Método de Euler. Utiliza un valor inicial, y la ecuación diferencial, para calcular pendientes que conduzcan a una aproximación de la solución de una ecuación diferencial ordinaria IVP. Para más información sobre este tema, junto con multitud de ejemplos, consulta Método de Euler.
Ecuaciones diferenciales con problemas de valor inicial - Puntos clave
- En ecuaciones diferenciales, el problema de valor inicial suele abreviarse PIV.
- Un PIV es una ecuación diferencial junto con un lugar para que comience una solución, llamado valor inicial.
- Los PIV suelen escribirse[ \begin{align} &y' = f(x,y) \\ yy(a) = b \end{align} \] donde \((a,b)\) es el punto por el que debe pasar la solución \(y(x)\).
- Al resolver PIV separables es importante elegir el intervalo de existencia que contiene el valor inicial.
- No todos los PIV tienen una solución única, ¡ni siquiera tienen solución!
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