Ecuaciones separables

Identifica las siguientes ecuaciones de primer orden como separables o no separables.

(a) \(y'=(x^{2}+9)5y \)

(b) \(y'=3x^{2}-4x \)

(c) \(\ln(y') = x+5\)

(d) \(y'=xy+3x-2y-6 \)

(e) \(e^{y'} = x + y\)

Contesta:

(a) Si dejas que \(f(x) = x^{2}+9 \) y \(g(y) = 5y \), entonces puedes escribir \(y' = f(x)g(y)\), por lo que se trata de una ecuación separable.

(b) Ésta ya es separable, aunque quizá tardes un momento en darte cuenta de que puedes dejar que \(g(y) = 1\).

¡No hay ninguna razón por la que no puedas dejar que \(f(x)\) o \(g(y)\) sean funciones constantes!

(c) Puede que la ecuación no parezca separable, pero utilicemos las propiedades de los logaritmos. Recuerda que \ (\ln(y') = x+5\) significa lo mismo que

\[ y' = e^{x+5}.\]

Así que se trata de una ecuación separable.

(d) La ecuación diferencial \(y'=xy+3x-2y-6 \) no parece separable a primera vista, pero hagamos un poco de álgebra para estar seguros. Si factorizas el lado derecho, obtienes

\[ \begin{align} y' &= xy+3x-2y-6 \\b\ \\= x(y+3) - 2(y+3) \\b\ &= (x-2)(y+3). \end{align}\]

Así que, de hecho, esta ecuación es separable.

(e) Probemos a utilizar las propiedades de los logaritmos en este ejemplo. Si lo haces, \ (e^{y'} = x + y\) se convierte en

\[ \ln e^{y'} = \ln (x+y), \]

o lo que es lo mismo

\[ y' = \ln (x+y) .\]

No hay forma de escribir el lado derecho de esa ecuación como \(f(x)g(y)\) porque tienes el término \(x+y\) dentro del logaritmo. Por tanto, esta ecuación no es separable.

Para la ecuación diferencial es \(y' = (x-2)(y+3) \), encuentra cualquier solución constante.

Contesta:

Las soluciones constantes se dan cuando \(g(y) = 0\). Para este problema, \(g(y) = y + 3\), y ésta es igual a cero cuando \(y = -3\). Por tanto, existe una solución constante, y es \(y=-3\).

Resuelve la ecuación diferencial

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{3x^{2}}{\cos y}.\]

Respuesta:

¡Comprueba siempre primero que la ecuación es separable!

Para asegurarte de que la ecuación diferencial es separable, tienes que escribir la ecuación en la forma \(y'=f(x)g(y)\).

Si dejas que \(f(x)=3x^{2}\) y \(g(y)=1/ \cos y\), entonces puedes ver que la ecuación es, de hecho, separable.

Siempre es buena idea buscar los lugares donde \(g(y) = 0\), ya que corresponden a soluciones constantes. En este caso, \(g(y)\) nunca puede ser cero, aunque sí puede ser indefinido. Así que no habrá soluciones constantes, pero puede haber lugares en los que no exista la solución de la ecuación diferencial.

A continuación debes establecer la integral. Puesto que

\frac {{mathrm{d}}y} {{mathrm{d}x} = {\frac {3x^{2}} {\cos y},\frac {3x^{2}}

o

\¾[¾cos y ¾frac {mathrm{d}y} {mathrm{d}x} =3x^{2},¾]

podrías tener la tentación de "multiplicar en cruz por \(\mathrm{d}x \)" y luego integrar. En realidad no puedes hacerlo porque \(\mathrm{d}y/ \mathrm{d}x\) no es realmente una fracción. Pero lo realmente genial es que puedes fingir que lo haces, y eso hace que la integral

\[ \int \cos y \,\mathrm{d}y = \int 3x^2 \,\mathrm{d}x ,\]].

¡que es exactamente lo que habrías obtenido haciendo la sustitución \(u\)!

Entonces, integrando obtienes

\[ \sin y = x^3 + C.\]

Recuerda que esto se llama solución implícita, ya que no tienes \(y\) por sí mismo. Para obtener una solución explícita, puedes resolver para \(y\) y ver que

\[ y(x) = \arcsin(x^3 + C).\]

¿Y un intervalo de existencia? Al principio del problema, te diste cuenta de que cuando \(\cos y = 0\) habría problemas, y puedes ver en la forma explícita de la solución que hay un arcoseno en ella, que sólo está definido en el intervalo

\izquierda[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} derecha].\]

Así que ése es el intervalo máximo de existencia de la solución de la ecuación diferencial.

Contesta:

Ya has comprobado en los ejemplos anteriores que se trata de una ecuación separable, y has encontrado que existe una solución constante \(y = -3\). Así que ahora vamos a encontrar el resto de soluciones.

Estableciendo la integral,

\[ \int \frac{1}{y+3}\, \mathrm{d}y = \int x-2 \,\mathrm{d}x .\]

Entonces, al integrar obtienes

\[ \ln|y+3| = \frac{1}{2}x^2 - 2x + C \]

como solución implícita. Antes de encontrar una solución explícita, fíjate en que necesitas \(y \ne -3\) para que esta solución sea válida, ¡ya que de lo contrario estarías intentando tomar el logaritmo de cero!

Pasamos a encontrar la solución explícita, utilizando las propiedades de los logaritmos,

\[ |y+3| = \exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x + C \right) \]

donde \( \exp\) es sólo una notación práctica para la función exponencial.

Ahora dejemos que \(A = e^C\), ya que no es más que otra constante. Entonces puedes escribir

\[ |y+3| = A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right),\].

pero para que sea una verdadera solución explícita tienes que terminar de resolver para \(y\). De hecho, esto corresponde a dos soluciones distintas,

\y =-3+ A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right),\].

y

\y =-3- Aexp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right).\]

Puedes combinarlas en una sola utilizando el signo \(\pm\) para indicar que puede ser positiva o negativa, para obtener

\y =-3 \pm A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right).\]

Entonces, ¿la solución explícita también te da la solución constante, o hay que escribirla por separado? Observa que si \(A=0\), de hecho obtienes \(y=-3\), por lo que la solución explícita también abarca la solución constante. Eso significa que la solución de la ecuación diferencial es

\[ y =-3 \pm A\exp \left( \frac{1}{2}x^2 - 2x \right).\].