El método del disco

Definición del método del disco

El método del disco es un método de integración que divide un sólido de revolución en una serie de discos tridimensionales y suma el volumen de cada disco para hallar el volumen total del sólido.

El método del disco divide el sólido de revolución en una serie de discos aplanados. Cada disco está contenido en un plano perpendicular al eje de rotación.

Para hallar el volumen de todo el sólido, se suma el volumen de cada disco.

Gráfico del método del disco

Para comprender mejor la idea en la que se basa el método del disco, observa la siguiente imagen.

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La sección transversal de un disco es un círculo con un área de $\pi r^2$, por lo que puedes hallar el volumen de cada disco multiplicando su área por su grosor, de modo que

$$V_{textodisco}=\pi r^2\mathrm{\Delta }x,$$

donde $\mathrm{\Delta }x$ es un pequeño subintervalo del intervalo de integración.

Para hallar el volumen del sólido girado alrededor del eje $x-$-, cortas el sólido en rodajas tales que las rodajas estén contenidas en planos perpendiculares al eje $x-$-. El volumen de cada corte, o disco, se suma, dando una estimación del volumen del sólido. El volumen exacto del sólido se obtiene cortando el sólido en infinitos discos e integrando en su lugar.

Si el sólido se obtiene mediante una rotación alrededor del eje $y-$-, entonces los discos deben estar en un plano perpendicular al eje $y-$-. En general, los discos se encuentran en planos perpendiculares al eje de rotación.

Ecuación para el método del disco

La sección transversal de un disco es un círculo con un área de $\pi r^2$, por lo que puedes hallar el volumen de cada disco multiplicando su área por su grosor, de modo que

$$V_{textodisco}=\pi r^2\mathrm{\Delta }x,$$

donde $\mathrm{\Delta }x$ es el grosor del disco, y es la longitud de un pequeño subintervalo del intervalo de integración.

Para obtener el volumen del sólido completo, necesitas tener en cuenta otras cosas.

1. El radio de cada disco viene dado ahora por la función, por lo que $r$ se convierte en $f(x)$.

2. El disco se hace muy delgado, por lo que $\mathrm{\Delta }x$ se convierte en $\mathrm{d}x$.

3. En lugar de sumar todos los discos, integras, lo que significa que la suma, $\text{suma}$, se convierte en integración, $\int$.

El volumen $V$ de un sólido generado al girar la región acotada $y=f(x)$ y el eje $x$-en el intervalo $[a,b]$ alrededor del eje $x$-viene dado entonces por

\V=int_a^b \pi \left[f(x) \right]^2 \, \mathrm{d}x.\].

Observa que en la fórmula anterior los discos son perpendiculares al eje $x-$-porque la revolución se hizo alrededor del eje $x-$-.

Si la revolución se hace alrededor del eje $y-$-, entonces la fórmula se adapta como

\V=int_a^b \pi \left[ f(y) \right] ^2\, \mathrm{d}y, \].

donde los discos son perpendiculares al eje y.

Ejemplos del método de los discos

Practiquemos la determinación de volúmenes de sólidos mediante el método del disco con algunos ejemplos.

Para la función

$$f(x)=x^2-4x+4,$$

considera la región delimitada por la curva $y=f(x)$, $x=0$, $x=4$ y el eje $x$-.

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Figura 2. Región delimitada entre $x=0,$ $f(x),$ $x=4,$ y el eje $x-$

Halla el volumen del sólido obtenido al girar la región anterior alrededor del eje \(x-)-.

Contesta:

El sólido de revolución para este caso puede representarse en la siguiente figura.

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Figura 3. Sólido obtenido al girar la región anterior alrededor del eje $x-$-.

Los cortes de la región son perpendiculares al eje $x$-, por lo que debes utilizar la fórmula

$$V={\int }_a^b\pi [f(x){]}^2\mathrm{d}x.$$

Como necesitas elevar la función al cuadrado, tendrás que hacer un poco de álgebra, es decir

$$\begin{array}{rlrlr}\text{izquierda}(f(x)derecha{)}^2& =(x^2-4x+5{)}^{2}izquierda(x^2+(-4x+5)derecha{)}^{2}izquierda(x^2+(-4x+5)derecha{)}^{2}izquierda& =x^4+2x^2(-4x+5)+(-4x+5{)}^{2}izquierda& =x^4-8x^3+10x^2+16x^2-40x+25izquierda& =x^4-8x^3+26x^2-40x+25.\end{array}$$

La expresión anterior puede parecer intimidante, pero su integral puede hallarse simplemente utilizando la Regla de Potencia. Introduciendo $a=0$, $b=4$, y $f(x)=x^2-4x+5$, obtienes

$$\begin{array}{rlr}V& ={\int }_0^4\pi {(x^2-4x+5)}^2\mathrm{d}x& =\pi {\int }_0^4(x^4-8x^3+26x^2-40x+25)\mathrm{d}x.\end{array}$$

Empieza por hallar la integral indefinida con ayuda de la regla de potencias, es decir

\[ \int ( x^4-8x^3+26x^2-40x+25 )\,\mathrm{d}x = \frac{1}{5}x^5-2x^4+\frac{26}{3}x^3-20x^2+25x,\}].

luego utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida, obteniendo

\[ \begin{align} \int_0^4 \left( x^2-4x+5 \right)^2,\mathrm{d}x &= \left[\frac{4^{5}}{5} - 2(4)^{4} + \frac{26}{3}(4)^{3} - 20(4)^{2} +25(4)\right] \ {y- \left[\frac{0^{5}}{5} - 2(0)^{4} + \frac{26}{3}(0)^{3} - 20(0)^{2} + 25(0) \right]. \end{align}\]

Puedes hacer la aritmética con ayuda de una calculadora y hallar

\int_0^4 \left( x^2-4x+5 \right)^2,\mathrm{d}x = \frac{412}{15}.\frac{412}{15}].

Por último, multiplica el valor de la integral definida por $\pi$ para obtener el volumen del sólido de revolución, es decir

$$V=\frac{412}{15}\pi .$$

¿Qué te parece un sólido obtenido mediante la rotación de una región alrededor del eje $y-$y?

Para la función

$$g(x)=x^2,$$

considera la región delimitada por la curva $y=g(x)$, el eje $y$y la recta horizontal $y=1$.

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Figura 4. Región delimitada entre $y=0,$ $g(x),$ $y=1,$ y el eje $y-$

Halla el volumen del sólido obtenido al girar la región anterior alrededor del eje $y-$.

Contesta:

Esta vez el sólido de revolución se representa en la siguiente imagen.

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Ejemplo 5. Sólido obtenido haciendo girar la región anterior alrededor del eje $y-$y

En este ejemplo, los cortes de la región son perpendiculares al eje $y$-, por lo que tendrás que utilizar la fórmula

$$V={\int }_a^b\pi {[x(y)]}^2\mathrm{d}y.$$

Sin embargo, se te da $y$ como función de $x,$, así que tienes que reescribirlo a la inversa, es decir, tienes que escribir $x$ como función de $y.$ Esto puede hacerse con ayuda de la función raíz cuadrada, de modo que

$$y=x^2\to x=\sqrt{y}.$$

Para los límites de integración $a$ y $b$ observa que el área a girar está limitada entre el origen y la recta horizontal $y=1,$ así que \ ( a=0 \) y $b=1.$ Esto te da

\[ \inicio{alineación} V &= \int_0^1 \pi [\sqrt{y}]^{2}, \mathrm{d}y &= \pi \int_0^1 y\,\mathrm{d}y &= \frac{\pi}{2} \Izquierda( 1^2-0^2\Derecha) &= \frac{\pi}{2}. \fin].

El método de la cáscara frente al método del disco

El método de la cáscara, también conocido como método de las cáscaras cilíndricas, es otro método utilizado para calcular el volumen de un sólido de revolución. La diferencia entre el método de la cáscara y el método del disco es laforma del sólido de revolución.

Con el método del disco, divides el sólido en infinitos discos. En cambio, el método de la cáscara divide el sólido en infinitos cilindros huecos. Este método no se abordará en este artículo.