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El cálculo nos presenta varios trucos computacionales útiles, especialmente en el campo de los límites. Cuando nos enfrentamos a funciones oscilantes o funciones con puntos indefinidos, tomar el límite puede convertirse en una tarea difícil. Por suerte, el Teorema del Apriete , o del Sándwich, es justo el truco para enfrentarse a funciones complicadas como éstas.
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Equipo de profesores de El Teorema del Atrapamiento
El Teorema del Estrujamiento es un método de evaluación de límites en el que "estrujamos" un límite indeterminado entre dos límites más sencillos. La función "exprimida" o "acotada" se aproxima al mismo límite que las otras dos funciones que la rodean.
Más concretamente, el Teorema del Estrujamiento afirma que para funciones \(f\), \(g\) y \ (h\) tales que:
\[g(x) \leq f(x) \leq h(x)\]
si\[lim_{x \rightarrow A } g(x)= lim_{x \rightarrow A } h(x)=L\]
para una constante \(L\), entonces
\[lim_{x \rightarrow A} f(x)=L\\]
Fig. 1. Como \(f(x)\) está "estrujada" entre \(g(x)\) y \(h(x)\), se puede aplicar el Teorema del Estrujamiento para evaluar el límite de \(f(x)\) en \(x = 0\).
Sencillamente, \(f(x)\) está "apretada" entre \(g(x)\) y \(h(x)\). Como \(g(x)\) y \(h(x)\) son iguales en el punto A tal que \(g(A)=h(A)=L\), entonces \(f(A)=L\) ya que no hay espacio entre las otras dos funciones para que \( f\) tome otro valor.
Supondremos que
Partiendo de estos supuestos, quieres demostrar que
\[lim_{x \rightarrow A} f(x)=L\]
¡Mira la imagen de abajo para una explicación visual de las variables!
Sea conocido un épsilon arbitrario tal que \(\epsilon > 0\). Para demostrar el Teorema del Estrujamiento, debemos encontrar un delta \(\delta > 0\) tal que \(|f(x)-L|< \epsilon) siempre que \(0< |x-A|< \delta) donde L es la evaluación del límite a medida que \ (x) se acerca al punto \ (A\).
Ahora bien, \(\lim_{x \rightarrow A} g(x)=L\) por definición, por lo que debe existir algún \(\delta_g > 0\) tal que
\(|g(x)-L|< \epsilon) para todo \(0 < |x-A|< \delta_g):
Utilizando las leyes del valor absoluto
\[-\epsilon + L < g(x) < \epsilon + L\\]
para todo
\0<|x-A|<\delta_g\].
Del mismo modo, \(lim_{x \rightarrow A} h(x)=L\) por definición, por lo que debe existir algún \(\delta_g > 0\)tal que
\h(x)-L|< \epsilon) para todo \(0 < |x-A|< \delta_g).
Utilizando las leyes del valor absoluto
\[- \epsilon + L < h(x)< \epsilon + L \]
para todo
\0<|x-A|<\delta_g\].
Fig. 2. Explicación visual de la derivación geométrica de (1) y (2).
Como \(g(x)\leq f(x) \leq h(x)\) para todo \ (x\) en algún intervalo abierto que contenga \ (A\), debe existir algún \(\delta_f > 0\) tal que
(3) \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) para todo \(0< |x-A|< \delta_f\)
Donde \(\delta = min (\delta_g, \delta_h, \delta_f)\), entonces por (1), (2) y (3)
\[-\epsilon + L < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < L + \epsilon] para todo \(0<|x-A|<\delta\)
Por tanto,
\(-\epsilon< f(x)-L < \epsilon \) para todo/ \(0<|x-A|<\\delta)
Utilizando las leyes del valor absoluto
\( |f(x)-L| < \epsilon) para todo \(0<|x-A|<\delta)
Entonces, por definición
\[lim_{x \rightarrow A} f(x)=L\]
El Teorema del Apriete debe utilizarse como último recurso. Al resolver límites, siempre se debe intentar resolver primero mediante manipulación algebraica o simple. Si falla el álgebra, el Teorema de Apriete puede ser una opción viable para resolver límites.
En efecto, para calcular \(lim_{x \rightarrow A} f(x)\), primero debemos encontrar dos funciones \(g(x)\) y \(h(x)\) que limiten \(f(x)\) y tales que:
\[lim_{x \rightarrow A}g(x)=lim_{x \rightarrow A} h(x)\].
El Teorema del Apriete no puede aplicarse si los límites de las funciones delimitadoras no son iguales.
Empecemos con un ejemplo sencillo.
Utiliza el Teorema del Apriete para evaluar
\lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cos \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\].
Cuando introducimos \(x = 0\), nos encontramos con una forma indefinida \(cos \left( \frac{1}{0} \right)\). ¡Se trata de un candidato perfecto para el Teorema del Apriete!Éste es un ejemplo de una situación general: el Teorema del Apriete puede aplicarse para hallar el límite de funciones trigonométricas amortiguadas por términos polinómicos.
Es esencial saber que el rango de \(\cos\) (cualquier cosa) y \(\sin\) (cualquier cosa) siempre será \([-1, 1]\) (¡siempre que no se traslade arriba/abajo ni se estire/comprima verticalmente)!
Fig. 3. Gráfico del ejemplo 1.
Ahora intentemos algo un poco más complejo.
Halla \ (lim_{x \flecha derecha - \infty} \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\)
Cuando introducimos \(- \infty\), nos queda la forma indeterminada \(\dfrac{\infty}{\infty}\). De nuevo, como aparece una función trigonométrica, ¡ésta es una candidata perfecta para el Teorema del Apriete!Siguiendo la misma estrategia que antes, empieza con la función trigonométrica \(f(x)=\sin(5x)\), y llega hasta
\[f(x)=\dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\]
¡Echemos un vistazo!
Fig. 4. Gráficodel ejemplo 2.
para una constante \(L\), entonces: \[lim_{x \rightarrow A} f(x)=L\]
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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