Definición del Teorema del Squeeze
El Teorema del Estrujamiento es un método de evaluación de límites en el que "estrujamos" un límite indeterminado entre dos límites más sencillos. La función "exprimida" o "acotada" se aproxima al mismo límite que las otras dos funciones que la rodean.
Más concretamente, el Teorema del Estrujamiento afirma que para funciones \(f\), \(g\) y \ (h\) tales que:
\[g(x) \leq f(x) \leq h(x)\]
si\[lim_{x \rightarrow A } g(x)= lim_{x \rightarrow A } h(x)=L\]
para una constante \(L\), entonces
\[lim_{x \rightarrow A} f(x)=L\\]
Fig. 1. Como \(f(x)\) está "estrujada" entre \(g(x)\) y \(h(x)\), se puede aplicar el Teorema del Estrujamiento para evaluar el límite de \(f(x)\) en \(x = 0\).
Demostración del Teorema del Apriete
Demostración informal
Sencillamente, \(f(x)\) está "apretada" entre \(g(x)\) y \(h(x)\). Como \(g(x)\) y \(h(x)\) son iguales en el punto A tal que \(g(A)=h(A)=L\), entonces \(f(A)=L\) ya que no hay espacio entre las otras dos funciones para que \( f\) tome otro valor.
Demostración formal
Supondremos que
- \(g(x)\leq f(x) \leq h(x)\)en cualquier lugar del dominio de las funciones
- \(lim_{x \rightarrow A} g(x)=lim_{x \rightarrow A} h(x)=L\)
Partiendo de estos supuestos, quieres demostrar que
\[lim_{x \rightarrow A} f(x)=L\]
¡Mira la imagen de abajo para una explicación visual de las variables!
Sea conocido un épsilon arbitrario tal que \(\epsilon > 0\). Para demostrar el Teorema del Estrujamiento, debemos encontrar un delta \(\delta > 0\) tal que \(|f(x)-L|< \epsilon) siempre que \(0< |x-A|< \delta) donde L es la evaluación del límite a medida que \ (x) se acerca al punto \ (A\).
Ahora bien, \(\lim_{x \rightarrow A} g(x)=L\) por definición, por lo que debe existir algún \(\delta_g > 0\) tal que
\(|g(x)-L|< \epsilon) para todo \(0 < |x-A|< \delta_g):
Utilizando las leyes del valor absoluto
\[-\epsilon + L < g(x) < \epsilon + L\\]
para todo
\0<|x-A|<\delta_g\].
Del mismo modo, \(lim_{x \rightarrow A} h(x)=L\) por definición, por lo que debe existir algún \(\delta_g > 0\)tal que
\h(x)-L|< \epsilon) para todo \(0 < |x-A|< \delta_g).
Utilizando las leyes del valor absoluto
\[- \epsilon + L < h(x)< \epsilon + L \]
para todo
\0<|x-A|<\delta_g\].
Fig. 2. Explicación visual de la derivación geométrica de (1) y (2).
Como \(g(x)\leq f(x) \leq h(x)\) para todo \ (x\) en algún intervalo abierto que contenga \ (A\), debe existir algún \(\delta_f > 0\) tal que
(3) \(g(x) \leq f(x) \leq h(x)\) para todo \(0< |x-A|< \delta_f\)
Donde \(\delta = min (\delta_g, \delta_h, \delta_f)\), entonces por (1), (2) y (3)
\[-\epsilon + L < g(x) \leq f(x) \leq h(x) < L + \epsilon] para todo \(0<|x-A|<\delta\)
Por tanto,
\(-\epsilon< f(x)-L < \epsilon \) para todo/ \(0<|x-A|<\\delta)
Utilizando las leyes del valor absoluto
\( |f(x)-L| < \epsilon) para todo \(0<|x-A|<\delta)
Entonces, por definición
\[lim_{x \rightarrow A} f(x)=L\]
Cuándo utilizar la fórmula del Teorema de Squeeze
El Teorema del Apriete debe utilizarse como último recurso. Al resolver límites, siempre se debe intentar resolver primero mediante manipulación algebraica o simple. Si falla el álgebra, el Teorema de Apriete puede ser una opción viable para resolver límites.
En efecto, para calcular \(lim_{x \rightarrow A} f(x)\), primero debemos encontrar dos funciones \(g(x)\) y \(h(x)\) que limiten \(f(x)\) y tales que:
\[lim_{x \rightarrow A}g(x)=lim_{x \rightarrow A} h(x)\].
El Teorema del Apriete no puede aplicarse si los límites de las funciones delimitadoras no son iguales.
Ejemplos de evaluación de límites mediante el teorema del estrujamiento
Empecemos con un ejemplo sencillo.
Utiliza el Teorema del Apriete para evaluar
\lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cos \left( \dfrac{1}{x^2} \right)\].
Cuando introducimos \(x = 0\), nos encontramos con una forma indefinida \(cos \left( \frac{1}{0} \right)\). ¡Se trata de un candidato perfecto para el Teorema del Apriete!Éste es un ejemplo de una situación general: el Teorema del Apriete puede aplicarse para hallar el límite de funciones trigonométricas amortiguadas por términos polinómicos.
- Paso 1: Haz una desigualdad de doble cara para acotar la función trigonométrica basándote en la naturaleza de la función coseno.
- Sabemos que la función coseno oscila en el intervalo cerrado \([-1, 1]\), es decir, \(-1 \leq cos(x) \leq 1\)
- Al representar gráficamente \(\cos \left( \frac{1}{x^2} \right)\), comprobamos que f también oscila en el intervalo cerrado \([-1, 1]\), es decir, \(-1 \leq \cos \left( \frac{1}{x^2} \right)\leq 1\)
Es esencial saber que el rango de \(\cos\) (cualquier cosa) y \(\sin\) (cualquier cosa) siempre será \([-1, 1]\) (¡siempre que no se traslade arriba/abajo ni se estire/comprima verticalmente)!
Fig. 3. Gráfico del ejemplo 1.
- Paso 2: Modifica la desigualdad según sea necesario para acotar la función del problema:
- Nuestra función es \(f(x)=x^2 \cos \left( \frac{1}{x^2} \right)\), así que multiplicamos nuestra desigualdad de doble cara por \(x^2\) y obtenemos
- Paso 3: Comprueba que las funciones acotadas tienen el mismo límite.
- Ahora que nuestra función está acotada, debemos comprobar que \(lim_{x \rightarrow 0}-x^2= lim_{x \rightarrow 0} x^2\) para poder aplicar el Teorema del Estrujamiento: \(lim_{x \rightarrow 0}-x^2= lim_{x \rightarrow 0} x^2=0)
- Paso 4: Aplica el Teorema del Apriete
- Como \(lim_{x \rightarrow 0}-x^2= lim_{x \rightarrow 0} x^2=0\), por el Teorema de la compresión\[lim_{x \rightarrow 0} x^2 \cos \left( \frac{1}{x^2}\right)=0\].
Ahora intentemos algo un poco más complejo.
Halla \ (lim_{x \flecha derecha - \infty} \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\)
Cuando introducimos \(- \infty\), nos queda la forma indeterminada \(\dfrac{\infty}{\infty}\). De nuevo, como aparece una función trigonométrica, ¡ésta es una candidata perfecta para el Teorema del Apriete!Siguiendo la misma estrategia que antes, empieza con la función trigonométrica \(f(x)=\sin(5x)\), y llega hasta
\[f(x)=\dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\]
¡Echemos un vistazo!- Paso 1: Haz una desigualdad de doble cara para acotar la función trigonométrica basándote en la naturaleza de la función seno.
- Sabemos que el seno se comporta como el coseno en el sentido de que oscila en el intervalo cerrado \([-1, 1]\).
- Observando la imagen de abajo, cuando graficamos \(-\sin(5x)\), encontramos que:
Fig. 4. Gráficodel ejemplo 2.
- Paso 2: Modifica la desigualdad según sea necesario para acotar la función del problema
- Nuestra función es:\[f(x)=lim_x \arrow - \infty} \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}\] y nuestra desigualdad de doble cara es: \[-1 \leq -\sin(5x) \leq 1\]
- Suma \(7x^2\) para obtener \[7x^2-1 \leq 7x^2-\sin(5x) \leq 7x^2+1\].
- Multiplica por \(\frac{1}{x^2+15}) para obtener \[\dfrac{7x^2-1}{x^2+15} \leq \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15} \leq \dfrac{7x^2+1}{x^2+15} \]
- Paso 3: Ahora que nuestra función está acotada, debemos comprobar que \lim_x \rightarrow - \infty }dfrac{7x^2-1}{x^2+15}=lim_x \rightarrow -\infty } \dfrac{7x^2+1}{x^2+15}\] Esto con el fin de aplicar el Teorema del Apriete.
- De nuevo, cuando intentamos introducir \(- \infty\), nos encontramos con una forma indeterminada. Sin embargo, esta vez podemos utilizar la manipulación algebraica para resolver.
- Multiplica ambos límites por \[\dfrac{\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}] para obtener \[lim_{x \rightarrow -\infty \dfrac{7- \1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1
- Ahora, al introducir \(-\infty\), obtenemos \(\dfrac{7-0}{1+0}\) y \(\dfrac{7+0}{1+0}\), respectivamente, quedando \[lim_{x \flecha-derecha -\infty} \7x^2-1}{x^2-15}=lim_x flecha-derecha -infty \dfrac{7x^2+1}{x^2-15}=7\]
- Paso 4: Aplica el teorema del estrujamiento
- Puesto que [lim_{x \rightarrow -\infty} \7x^2-1}{x^2-15}=lim_x flecha-derecha -infty \7x^2+1}{x^2-15}=7], entonces, por el Teorema del Estrujamiento: \lim_{x \rightarrow -\infty } \dfrac{7x^2-\sin(5x)}{x^2+15}=7].
Teorema de la compresión - Puntos clave
- El Teorema del Apriete es un método de último recurso para resolver límites que no pueden resolverse mediante manipulación algebraica.
- El Teorema del Apriete afirma que para funciones \ (f\), \(g\) y \(h\) tales que: \[g(x) \leq f(x) \leq h(x) \leq], si: \[lim_{x \rightarrow A} g(x)= lim_{x \rightarrow A} h(x)=L\]
para una constante \(L\), entonces: \[lim_{x \rightarrow A} f(x)=L\]
- Si \(lim_{x \rightarrow A} g(x) \neq lim_{x \rightarrow A} h(x)\), no se puede aplicar el Teorema del Estrujamiento.
- La estrategia general para resolver problemas que contengan funciones trigonométricas es empezar por la función trigonométrica y, a continuación, llegar a la función de la pregunta.
- Un procedimiento paso a paso para el Teorema del Apriete es:
- Paso 1: Haz una desigualdad de doble cara basada en la naturaleza de \(f(x)\).
- Paso 2: Modifica la desigualdad según sea necesario.
- Paso 3: Resuelve los límites a ambos lados de la desigualdad, asegurándote de que son iguales
- Paso 4: Aplica el Teorema del Apriete: el límite de \(f(x)\) es igual a los límites que lo delimitan
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