Encontrar Límites

Tomemos \(f(x)=k\) donde \(a\) y \(k\) son números reales constantes. ¿Es cierto que

\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=k\]

Respuesta:

Sí. Usando la definición, para cualquier \(\epsilon > 0\) te da,

\[|f(x)-k|=|k-k|=0< \epsilon]]

independientemente de qué \(\delta\) utilices. Así que las funciones constantes tienen el límite que cabría esperar de ellas.

Toma \(f(x)=x\), y sea \(a\) un número real constante. ¿Cómo sabes que

\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=a\}]

Responde:

Podrías tener la tentación de decir "por supuesto, el límite es \(a\), la función es sólo una recta". De hecho, eso es casi suficiente. No puedes usar ninguna de las Propiedades de los Límites, pero puedes usar la definición y tomar \(\delta = \epsilon\) para demostrar que el límite es \(a\).

Tomemos la función \(f(x)=2x^3-3x^2+7\), y \(a\) sea un número real constante. Halla

\[lim_{x \rightarrow a} f(x)\}]

Responde:

Observa que la función no es más que la suma y el producto de potencias de \(x\) junto con la constante \(7\). Ya sabes que

\(lim_{x \rightarrow a} x=a\) y \(lim_{x \rightarrow a} 7 =7\)

por los dos ejemplos anteriores, lo que significa que se cumplen las condiciones para aplicar la Regla de la Suma, la Regla del Producto y la Regla de la Constante. Entonces, aplicándolas se obtiene

\lim_{x \rightarrow a} f(x)= lim_{x \rightarrow } ( 2x^3-3x^2+7)\}].

\f(x)=2a^3-3a^2+7].

Considera la función

\[f(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\]

Halla el límite de la función a medida que \(x flecha 3).

Responde:

Primero, grafica la función y haz una tabla de valores cerca de \(x=3\). Aunque la función tiene más raíces de las que se muestran en la gráfica, como sólo te interesa el límite como \(x \rightarrow 3\), tiene sentido ampliar la función ahí.

Utilizar una gráfica con varios puntos para hallar el límite de una función en rojo.

Tabla 1. Puntos del ejemplo límite.

Los puntos de la gráfica corresponden a los puntos de la tabla. Puedes ver, tanto en la gráfica como en la tabla, que a medida que \(x\) se acerca cada vez más a \(x= 3\), los valores de la función se acercan cada vez más a \(-4\) Eso significa que

\[lim_{x \rightarrow 3} f(x)=-4\\]

.

Observa que en realidad no te importa el valor de la función en \(x=3\) al hallar el límite, porque la definición dice que busques cerca de \(x=3\) pero no en \(x=3\).

Del ejemplo anterior, teníamos

\[f(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\]

y hallamos el límite como \(x flecha 3\). Como sabes que todos los polinomios son continuos en todas partes (para más detalles, consulta Continuidad y teoremas de continuidad), sabes que el límite de la función existe y es igual al valor de la función. Como \(f(3)=-4\), eso significa

\[lim_{x \rightarrow 3} =-4\\]

Observa la función

\[f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x-4}\]

y halla el límite como \(x \ flecha 4\).

Responde:

La función es indefinida en \(x=4\), así que no puedes introducir el valor de la función para hallar el límite. Pero puedes factorizar el numerador para obtener

\[f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x-4}=\dfrac{(x-4)(x+2)}{x-4}=x+2\]

siempre que \(x \neq 4\). Eso significa que la gráfica de la función es en realidad la recta \(y=x+2\) con un agujero en el punto \((4, 6)\). Por tanto, \(lim_{x \rightarrow 4} f(x)=6\).