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Para repasar las propiedades del límite, consulta Leyes del límite
Encontrar el límite de funciones racionales
Ellímite de las funciones racionales es el número al que se aproxima una función racional \(f(x) \(b\)) a medida que \(x\) se acerca a un cierto valor \(a).
\lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=b\]
Recuerda que las funciones racionales son continuas en sus dominios, por lo que en cualquier punto del dominio de una función racional encontrar el límite es tan fácil como encontrar el valor de la función en ese punto. Empieza a ser un poco más divertido en los puntos que no están en el dominio o al hallar el límite en el infinito.
Encuentra
\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{2x^2-3x+1}{x^3+4}\]].
Respuesta:
Se trata de aplicar, si es posible, la regla del cociente para los límites. Como tanto el numerador como el denominador son polinomios.
\[lim_{x \rightarrow 2}(2x^2-3x+1)=2(2)^2-3(2+1\}]
\lim_{x \rightarrow 2} = 8-6+1]
\lim_{x \rightarrow 2}=3\]
y
\límite 2(x^3+4)=2^3+4].
\lim_x \rightarrow 2}(x^3+4)=12]
lo que significa que se cumplen las condiciones para aplicar la Regla del Cociente para los límites. Ahora ya sabes que
\{[lim_{x \rightarrow 2}{dfrac{2x^2-3x+1}{x^3+4}={dfrac{3}{12}].
\lim_{x \rightarrow 2} = \dfrac{1}{4}].
Ahora halla
\[\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}\].
Contesta:
Aunque la Regla del Cociente es válida para los límites en el infinito, requiere que el límite del numerador y el denominador sean ambos números reales, lo que en este caso no es cierto. Eso significa que no puedes aplicar la Regla del Cociente para límites en el infinito. En su lugar, prueba a factorizar para ver si eso te ayuda. Si factorizas el denominador, verás que
\[x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\]
¡Anulemos algunos factores! Esto nos deja con
\[lim_{x \arrow \infty } \x^2+2x+4}{x^3-8}=lim_x flecha derecha flecha izquierda \dfrac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}\]
\lim_x \rightarrow \infty } \dfrac{1}{x-2}\]
Éste es un límite mucho más sencillo; para más información sobre límites como éste, consulta Límites infinitos. Allí aprenderás a demostrar que
\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x-2}=0\].
Es decir
\lim_x \rightarrow \infty} dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}=0].
En el ejemplo siguiente puedes ver lo que ocurre cuando hay una asíntota vertical en la que intentas tomar el límite.
Halla
\[lim_{ x \rightarrow 2} \dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}\].
Respuesta:
En el ejemplo anterior, pudiste factorizar el denominador, lo que te permitió buscar un límite más sencillo:
\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{1}{x-2}\].
Para este ejemplo, tendrás que mirar el límite de la izquierda y el límite de la derecha y ver si son iguales. De hecho
\[lim_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{1}{x-2}=\infty\]
mientras que
\lim_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{1}{x-2}=-\infty\]].
Por tanto, no puedes encontrar el límite, y dirías que el límite no existe.
Para repasar los límites por la izquierda y por la derecha, consulta Límites por un lado
Encontrar algebraicamente el límite de una función
Hay muchas técnicas algebraicas que te pueden ayudar a encontrar límites. Una de las más utilizadas es la simplificación de fracciones.
Encuentra
\[\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}{x-2}]
Respuesta:
Observa que esta función tiene algo interesante en \(x=2\), ya que allí el denominador es cero. Será un agujero en la gráfica, o una asíntota vertical, o alguna otra discontinuidad. Eso significa que no puedes aplicar la Regla del Cociente para los límites, ya que el límite del denominador no puede ser cero. En su lugar, hagamos primero un poco de álgebra:
\[\dfrac{dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}{x-2} = \left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3} \right)\].
\izquierda( \dfrac{1}{x-2} {derecha) izquierda( \dfrac{3-(x+1)}{3(x+1)} {derecha)
\izquierda( \dfrac{1}{x-2} {derecha) {izquierda( \dfrac{2-x}{3(x+1)} {derecha)}
\izquierda( \dfrac{1}{x-2} {derecha) {izquierda( \dfrac{x-2}{3(x+1)} {derecha)}
\[-\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{x+1} \right)\]
Ahora puedes utilizar las leyes de los límites para ver que\[lim_{x \rightarrow 2} \left( - \dfrac{1}{3} \izquierda( -dfrac {1}{x+1} {derecha) {derecha)=-\dfrac {1}{3} lim_{x {derecha}{flecha 2} {izquierda( -dfrac {1}{x+1} {derecha) {derecha)]{izquierda( -dfrac {1}{3} {derecha) {izquierda( -dfrac {1}{3} {derecha) {derecha) {derecha) }{[-dfrac {1}{9}]lo que significa que
\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}{x-2}=-\dfrac{1}{9}\}.
Si hay raíces flotando a su alrededor, puede ayudar multiplicar por el conjugado.
Encuentra
\[\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}\]
Respuesta:
De nuevo se te impide utilizar la Regla del Cociente para los límites, porque el límite del denominador es cero si introduces -2. Así que prueba a multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado del numerador:
\[\dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}=\dfrac{(\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+3}+1)}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]
\[\dfrac{(\sqrt{x+3})^2-1}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]
\[\dfrac{x+3-1}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]
\[\dfrac{x+2}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]
\[\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+1}\]
Ahora intenta evaluar el límite del denominador, y verás que
\[lim_{x \rightarrow -2} (\sqrt{x+3}+1)=\sqrt{-2+3}+1\].
\.
.
Esto significa que puedes aplicar la regla del cociente para los límites y decir que
\[lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}].
Ahora sabes que
\lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{\qrt{x+3}-1}{x+2}=dfrac{1}{2}].
Hallar el límite de una función a trozos
Para ver más ejemplos de cómo hallar los límites de funciones a trozos, consulta Límites unilaterales.
Utilizando la función
\f(x)= \left( \begin{matrix} x+3 &, x \geq 1\\ x^2-4 &, x<1\end{matrix} \derecha)
encuentra
\lim_{x \rightarrow 1} f(x)\]
si existe.
Contesta:
Si se tratara de cualquier límite que no fuera como \(x \rightarrow 1\) podrías introducir los valores de la función para hallar el límite, ya que ambos trozos de la función son polinomios. Pero \(x=1\) es donde cambia la definición de la función, así que en su lugar tienes que mirar el límite por la izquierda y el límite por la derecha. Para esta función
\[lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)= lim_{x \rightarrow 1^+}(x+3)=4 \]
y
\lim_x \rightarrow 1^-} f(x)=lim_x \rightarrow 1^-}(x^2-4)=-3].
Como esos dos números no son iguales
\lim_{x \rightarrow 1} f(x)\}
no existe.
Para ver más ejemplos de límites de funciones definidas a trozos, consulta Límites unilaterales
Encontrar límites de funciones exponenciales
Cuando buscas límites de funciones exponenciales, depende de si se trata de una función exponencial estándar, como por ejemplo
\[f(x)=e^x\]
o una función exponencial compuesta, como
\[g(x)=e^{\sqrt{x-1}}\]
Si buscas límites de funciones exponenciales estándar, consulta Funciones exponenciales para una discusión sobre el comportamiento de las funciones exponenciales.
Recuerda que si tienes dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), y \(f(x)\) es continua en \(g(c)\), entonces:
\[lim_{x \rightarrow c} f(g(x))=f\left( lim_{x \rightarrow c} g(x) \right)\].
.
Para más detalles sobre la composición de dos funciones y los límites, consulta Teoremas de continuidad
Encuentra
\[lim_{x \rightarrow 2} e^{\sqrt{x-1}}.
Responde:
Piensa en este límite como en la composición de dos funciones,
\(f(x)=e^x\) y \(g(x)=\sqrt{x-1}\)
Entonces
\[f \cdot g(x)=f(g(x))=e^{\sqrt{x-1}} \]
Ya sabes que la función exponencial es continua en todas partes, y que \(g(x)\) tiene un límite como \(x \rightarrow 2\). Por tanto,
\lim_{x \rightarrow 2} f(g(x))=f \left(lim_{x \rightarrow 2} g(x) \right)\].
\f(lim_x \rightarrow 2} = f(lim_x \rightarrow 2} = f(lim_x \rightarrow 2} = f(lim_x \rightarrow 2} g(x) \right)
\[f(2)=límite(x)=cuadrado(2-1)=derecha]
\[f(1)=e^1=e\]
Hallar la derivada de una función mediante el proceso límite
Quizá te preguntes cómo hallar la derivada de una función utilizando límites. Éste es un tema más amplio de lo que cabe en este artículo, así que para más información, consulta Funciones derivadas y Derivadas como tasas de variación.
Encontrar límites de funciones específicas - Puntos clave
- Comprueba siempre si puedes aplicar correctamente la Ley del Límite antes de utilizarla. Ten especial cuidado con la Regla del Cociente.
- Cuando busques el límite de una función racional, puede ser muy útil utilizar el álgebra para reescribir la función. Además, considera la posibilidad de multiplicar por conjugados en el caso de raíces en la función racional.
- Si buscas el límite de una función a trozos en la que la función cambia de definición, utiliza límites unilaterales.
- Para hallar el límite de funciones exponenciales, u otras funciones compuestas, recuerda que si tienes dos funciones \(f(x)\) y \(g(x)\), y \ (f(x)\) es continua en \(g(c)\), entonces: \[lim_{x \rightarrow c} f(g(x))=f \left(lim_{x \rightarrow c}g(x) \right)\].
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