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Fig. 1. Aproximación del área bajo una curva mediante rectángulos.
Pero, ¿qué ocurre con el área exacta bajo una curva?
Fig. 2. Área bajo la curva.
.
Las integrales definidas están estrechamente relacionadas con el área bajo una curva, así que en este artículo exploraremos cómo evaluar integrales definidas.
Para más información sobre el área entre curvas y cómo hallarla, consulta el artículo Área entre dos curvas.
Evaluación de una integral definida Significado y ejemplo
Evaluar una integral definida significa hallar su valor. Este valor está relacionado con el área bajo la curva.
Te habrás dado cuenta de que una integral indefinida sólo tiene el símbolo integral, \( \int,\) y después de evaluarla sigues teniendo variables y una constante de integración, por ejemplo\[\int x^2 \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3+C.\]Las integrales definidas, en cambio, tienen límites de integración, como \( \int_1^3,\) el resultado final es un número, y no hay constantes de integración, como
\[ \int_1^3 x^2 \mathrm{d}x = \frac{26}{3}\]
Pero, ¿cómo evaluar una integral definida? Hay muchas formas. Las más comunes son:
Tomando el límite de una Suma de Riemann.
Sustituyendo valores mediante el Teorema Fundamental del Cálculo.
A partir de una gráfica utilizando una fórmula geométrica.
Abordemos cada una de ellas por separado.
Evaluación de una integral definida como límite
Empieza recordando la definición de integral definida.
Sea \( f(x) \) una función definida en el intervalo \( [a,b]. \) Suponiendo que exista el límite, la integral definida de \( f(x) \) desde \( a \) hasta \( b \) se denota como
\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x, \]
y se define como
\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=lim_{N\rightarrow \infty} \suma_i=1}^N} f(x_i^*)delta x, \]
donde
\[ \Delta x = \frac{b-a}{N}]
y \(x_i^* \) es cualquier punto dentro de una partición regular del intervalo.
Los valores \( a \) y \( b \) se conocen como límites de integración.
Para más información y ejemplos sobre cómo establecer integrales, consulta el artículo Integrales definidas.
Esto significa que una integral definida se define como el límite de una suma de Riemann a medida que el número de subintervalos tiende a infinito. Echa un vistazo a nuestro artículo Cómo formar sumas de Riemann si necesitas refrescar el tema.
Aquí tienes un ejemplo de cómo evaluar una integral definida utilizando límites.
Evalúa
\[ \int_{0}^{5} x^2,\mathrm{d}x \]
utilizando la definición de integral definida.
Solución:
En este caso, la función es \( f(x)=x^2 \) y los límites de integración son \( a=0 \) y \( b=5.\) Sabiendo esto, puedes hallar \( \Delta x \) :
\[ \begin{align} \Delta x &= \frac{b-a}{N} \\ &= \frac{5-0}{N} \\ &= \frac{5}{N}. \fin{align} \]
Con esto, puedes utilizar la definición de integral definida, de modo que
\[ \int_0^5 x^2\,\mathrm{d}x = \lim_{N\rightarrow \infty} \left[ \sum_{i=1}^{N}left( x_i^* \right)^2 \left( \frac{5}{N}right) \right] .\]
Puedes utilizar cualquier punto dentro de cada subintervalo para evaluar la suma de Riemann. A efectos ilustrativos, se utilizará una aproximación al punto extremo derecho. Esto te permitirá escribir
\[ \begin{align} x_i^* &= a+i\Delta x \\\tu= i\frac{5}{N}, \end{align} \]
que puede sustituirse de nuevo en la integral definida
\[ \int_0^5 x^2\,\mathrm{d}x = \lim_{N\rightarrow \infty} \left[ \sum_{i=1}^{N}left( i\frac{5}{N} \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] .\]
Para evaluar el límite anterior, empieza por reescribir la expresión para simplificarla un poco:
\[\inicio \x^2,&=lim_{N\rightarrow \infty}[\N]. \left[ \sum_{i=1}^{N}left( i\frac{5}{N} \right)^2 \left( \frac{5}{N}\right) \right] \\ &= \lim_{N}flecha \infty} \left[ \left( \frac{5}{N}\right)^3 \sum_{i=1}^{N}i^2 \right]. \end{align}\]
Puedes utilizar la fórmula
\[\sum_{i=1}^{N}i^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\]
para evaluar la suma, así
\[ \int_0^5 x^2 \,\mathrm{d}x = \lim_{N\rightarrow \infty} \left[ \left(\frac{5}{N}{right)^3 \left(\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}{right) \right]. \]
La expresión anterior puede reescribirse expandiendo el producto, es decir
\[ \int_0^5 x^2\,\mathrm{d}x = \lim_{N\rightarrow \infty} \left( \frac{125}{3}+\frac{125}{2N}+\frac{125}{6N^2} \right). \]
Por último, evalúa el límite anterior para hallar
\[ \int_0^5 x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{125}{3}.\]
Este resultado significa que el área bajo \(f(x)=x^2) en el intervalo \( [0,5] \) es igual a \( \frac{125}{3}.\)
Te habrás dado cuenta de que el método anterior no es el más práctico. Por suerte, hay una forma más sencilla.
Evaluar una integral definida sustituyendo valores
Otra forma de evaluar integrales definidas es utilizar la parte de evaluación del Teorema Fundamental del Cálculo.
Sea \(f(x)\) una función integrable en el intervalo \( [a,b], \) y sea \( F(x) \) una antiderivada de \(f(x).\) La parte evaluativa del Teorema Fundamental del Cálculo afirma que
\[ \int_a^b f(x)\},\mathrm{d}x = F(b)-F(a).\]
Deesta forma sólo tienes que hallar la antiderivada de la función y sustituir algunos valores.
Evalúa
\[\int_0^5 x^2 \, \mathrm{d}x \]
utilizando el Teorema Fundamental del Cálculo.
Responde:
Empieza por hallar la antiderivada de \[x^2.\] Esto puede hacerse utilizando la Regla de Potencia, así
\[\int x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{1}{3}x^3+C.\}].
A continuación, tienes que evaluar esta antiderivada en ambos límites de integración y restarlos. Independientemente del valor de \(C\) que elijas, se anulará al hacer la resta, por lo que no es necesario incluirla al utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. Eso significa que la integral es
\[ \begin{align} \int_0^5 x^2 \, \mathrm{d}x &= \left( \frac{1}{3}(5)^3 \right) - \left( \frac{1}{3}(0)^3 \right) \\= \frac{125}{3}. \fin \]
Observa que has obtenido la misma respuesta con un método más sencillo.
Evaluación de integrales definidas mediante fórmulas geométricas
Hasta ahora has utilizado las integrales definidas para hallar el área bajo una curva.
Sea \(f(x)\) una función no negativa e integrable en el intervalo \( [a,b].\) El área bajo la curva viene dada por su integral definida
\[A=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]
Algunas curvas se relacionan perfectamente con figuras geométricas, ¡así que puedes hacerlo a la inversa! ¡Puedes utilizar las fórmulas para hallar el área de figuras geométricas para hallar el valor de integrales definidas!
Evalúa la integral definida
\[ \int_0^4 2x\,\mathrm{d}x.\]
Responde:
En este caso intentas hallar el área bajo la función lineal \( f(x)=2x.\\) Empieza por observar su gráfica.
Fig. 3. Gráfica de la función lineal.
Observa que el área bajo la función es un triángulo de base 4 y altura 8.
Fig. 4. El área bajo la función forma un triángulo rectángulo.
Por tanto, puedes utilizar la fórmula del área de un triángulo para hallar esta área, así
\A &= \frac{in}{align} A &= \frac{bh}{2} \\ y= \frac {4(8)}{2}. \\ &= 16. \fin \]
Esto significa que el valor de la integral definida es 16.
\[ \int_0^4 2x \,\mathrm{d}x = 16 \]
¡Esto ha sido mucho más fácil que encontrar la integral definida a través de su definición!
Mira otro ejemplo.
Evalúa
\[\int_{-3}^3 \sqrt{9-x^2}\,\mathrm{d}x.\]
Respuesta:
Estás buscando el área bajo la función \( f(x)=\sqrt{9-x^2}.\) Dejando que \(y=f(x),\) puedes escribir una ecuación y cancelar la raíz cuadrada elevando ambos lados al cuadrado, es decir
\[ \begin{align} y &= \sqrt{9-x^2} \ y^2 &=9-x^2, \end{align}\]
de donde puedes obtener la ecuación de la forma estándar de una circunferencia,
\[x^2+y^2=9.\]
Ten en cuenta que esta función es sólo la mitad superior de la circunferencia, ¡ya que una circunferencia entera no sería una función!
Fig. 5. La función dada dibuja la parte superior de un círculo.
La función que da la mitad inferior del círculo sería \( f(x)= -\sqrt{9-x^2}.\)
El radio de este círculo es 3, así que puedes hallar su área utilizando la fórmula del área de un círculo, es decir
\A_C &= \pi r A_C &= \pi r^2 \\pi(3)^2 \\pi &= 9\pi, \end{align} \]
pero como el área bajo la curva es la mitad del área del círculo, tienes que tomar la mitad de este resultado. Por tanto,
\[\int_{-3}^3\sqrt{9-x^2} \, \mathrm{d}x = \frac{9}{2}\pi].
Evaluación de integrales definidas a partir de una gráfica
En general, las funciones tienen intervalos en los que son positivas, e intervalos en los que son negativas. ¿Qué le ocurre al área de una función si su gráfica está por debajo del eje x? ¡Todavía puedes asignarle un valor! Sin embargo, las áreas no pueden ser naturalmente negativas. Para superar esto, se hace una convención definiendo el área con signo.
El área con signo de un gráfico es tal que:
- Si la gráfica está por encima del eje x, el área se define como positiva.
- Si la gráfica está por debajo del eje x, el área se define como negativa.
Una integral definida que incluya estos dos tipos de intervalos también tiene un área asociada. Puedes hallarla restando el área por debajo del eje x del área por encima del eje x.
Fig. 6. El área entre el eje x y una función con intervalos positivos y negativos.
Puedes utilizar el método que prefieras para hallar el área de cada porción de la gráfica.
Evaluación de integrales definidas - Puntos clave
- La integral definida \(\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \) de una función integrable y no negativa te da el área entre \( f(x)\) y el eje x.
- Si la función es negativa, el área definida es negativa.
- Puedes evaluar una integral definida tomando el límite de una suma de Riemann a medida que el número de subintervalos tiende a infinito.
- La parte de evaluación del Teorema Fundamental del Cálculo es una forma más práctica de evaluar integrales definidas.
- Si el área bajo una curva corresponde a una figura geométrica, puedes utilizar fórmulas geométricas para evaluar la integral definida.
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