Formación de sumas de Riemann: Integrales, Cálculo

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Formar sumas de Riemann área parábola rectángulos StudySmarter Aproximación del área bajo una curva utilizando rectángulos - StudySmarter Originals

El primer paso es dividir el intervalo de integración en tantos subintervalos como queramos. Recuerda que cuantos más subintervalos utilicemos, mejor aproximación obtendremos. Las aproximaciones del punto final derecho y del punto final izquierdo utilizan los mismos puntos que obtenemos al hacer una partición para hallar la altura de cada rectángulo. Sin embargo, ¡no estamos limitados a estos puntos!

Fórmulas en notación Sigma

Antes de continuar, introduciremos algunas fórmulas en Notación Sigma que nos facilitarán la vida cuando trabajemos con sumas.

Las siguientes expresiones dan la suma de enteros consecutivos, el cuadrado de enteros y el cubo de enteros, respectivamente:

$\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

$\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

$\sum_{i = 1}^{n} i^{3} = {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2}$

Las fórmulas anteriores, junto con las propiedades básicas de las sumas, son muy útiles a la hora de aproximar áreas utilizando la notación sigma. ¡Veamos un ejemplo utilizándolas!

Evalúa la siguiente suma: $S = \sum_{i = 1}^{10} (i^{2} + 2 i - 1)$

Utilicemos las propiedades de la suma y las fórmulas anteriores para evaluar la suma dada.

Utiliza las propiedades de la suma para reescribir la suma.

$S = \sum_{i = 1}^{10} i^{2} - 2 {\sum i}_{i = 1}^{10} - {\sum 1}_{i = 1}^{10}$

Utiliza $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ con $n = 10$ para evaluar la primera suma.

$S = \frac{10 (10 + 1) (2 (10) + 1)}{6} - 2 \sum_{i = 1}^{10} i - {\sum 1}_{i = 1}^{10}$

Simplifica.

$S = 385 - 2 \sum_{i = 1}^{10} i - \sum_{i = 1}^{10} 1$

Utiliza $\sum_{i = 1}^{10} i = \frac{n (n + 1)}{2}$ con $n = 10$ para evaluar la segunda suma.

$S = 385 - \frac{10 (10 + 1)}{2} - \sum_{i = 1}^{10} 1$

Simplifica.

$S = 385 - 55 - \sum_{i = 1}^{10} 1$

La última suma es simplemente sumar 1 10 veces, que es lo mismo que 10 veces 1.

$S = 385 - 55 - 10$

Simplifica.

$S = 320$

Formar sumas de Riemann

Una forma de aproximar el área bajo una curva es dividir el área en rectángulos. Esto se consigue de la siguiente manera:

Empieza dividiendo el intervalo del área en subintervalos. ¡Cuantos más, mejor!
Asocia un rectángulo a cada subintervalo.
La anchura de cada rectángulo es igual a la longitud de su subintervalo correspondiente.
La altura de cada rectángulo se puede hallar evaluando la función en algún punto del subintervalo.
- La aproximación al extremo izquierdo utiliza el valor más a la izquierda del subintervalo.
- La aproximación al punto final derecho utiliza el valor más a la derecha del subintervalo.

Pero, ¿qué limita nuestra elección al valor más a la izquierda o al valor más a la derecha? Nada. Siempre que tomemos cualquier punto dentro del intervalo, ¡podemos hacerlo!

Por supuesto, nuestras aproximaciones serán distintas, pero debemos centrarnos en aumentar el número de intervalos en lugar de preocuparnos por qué punto utilizar para la altura de los rectángulos.

Definición de la suma de Riemann

Tras dividir el área bajo una curva en rectángulos, los sumamos y obtenemos una aproximación al área. Esto se conoce como Suma de Riemann, llamada así por el matemático Bernhard Riemann, que trabajó en la idea en el siglo XIX.

Antes de definir la Suma de Riemann, debemos establecer algunos antecedentes. Sea $f (x)$ una función definida en un intervalo cerrado $a \leq x \leq b$ y sea $P = {x_{i}}$ para $i = 0, 1, 2, . . ., n$ sea una partición regular de $a \leq x \leq b$ . Tenemos un conjunto de n subintervalos de la forma $x_{i - 1} \leq x \leq x_{i}$ todos ellos con una longitud de $Δ x = \frac{b - a}{n}$ .

Formación de sumas de Riemann partición regualar StudySmarter Una partición regular del intervalo - StudySmarter Originals

Hasta aquí, tenemos la misma configuración para las aproximaciones del punto extremo derecho y del punto extremo izquierdo utilizando subintervalos igualmente espaciados. La diferencia radica en qué punto utilizamos para hallar la altura de los rectángulos.

Una Suma de Riemann para la función $f (x)$ para la partición P se define como

$\sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$

Donde $x_{i}^{*}$ es cualquier valor dentro del intervalo $x_{i - 1} \leq x \leq x_{i}$ con $x_i \en P$.

Las aproximaciones del punto final derecho y del punto final izquierdo son casos particulares de las Sumas de Riemann.

Sumas de Riemann y aproximación al punto medio

Como podemos utilizar cualquier valor dentro de cada subintervalo al hallar sumas de Riemann, ¿por qué no utilizar el punto medio? Esto se conoce como aproximación al punto medio.

La aproximación al punto medio $M_{n}$ del área bajo una curva es un caso particular de suma de Riemann que se obtiene eligiendo el punto medio de cada subintervalo. Es decir:

$M_{n} = \sum_{i = 1}^{n} f (\frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2}) Δ x$

Como siempre, esto se entiende mejor con un ejemplo. ¡Veamos una aproximación del punto medio!

Utiliza una aproximación al punto medio para aproximar el área por debajo de $f (x) = x^{2} + 1$ en el intervalo $0 \leq x \leq 2$ dividiendo el intervalo en $10$ subintervalos del mismo tamaño.

Halla la longitud de cada subintervalo.

$Δ x = \frac{b - a}{n} = \frac{2 - 0}{10} = 0.2$

Como la longitud de cada subintervalo es 0,2, nuestra partición estará formada por los puntos 0, 0,2, 0,4, ..., 1,6, 1,8 y 2. Esto puede resumirse como sigue:

$x_{i} = 0.2 i$

Estamos utilizando la aproximación del punto medio, por lo que el punto medio entre cada dos valores de la partición se utilizará para hallar la altura de los rectángulos.

Utiliza la fórmula de la aproximación del punto medio con n=10 y $Δ x = 0.2$ .

$M_{10} = \sum_{i = 1}^{10} f (\frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2}) (0.2)$

En lugar de escribir $\frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2}$ podemos utilizar la expresión para $x_{i}$ y simplificar.

$\frac{x_{i - 1} + x_{i}}{2} = \frac{0.2 (i - 1) + 0.2 i}{2} = 0.2 i - 0.1$

Podemos volver a sustituir esta expresión en nuestra fórmula y utilizar las propiedades de la suma para hallar nuestra aproximación.

$M_{10} = \sum_{i = 1}^{10} f (0.2 i - 0.1) (0.2)$

Factoriza 0,2 de la suma.

$M_{10} = 0.2 \sum_{i = 1}^{10} f (0.2 i - 0.1)$

Evalúa la función en $0.2 i - 0.1$

$M_{10} = 0.2 \sum_{i = 1}^{10} ({(0.2 i - 0.1)}^{2} + 1)$

Expande el binomio y simplifica.

$M_{10} = 0.2 \sum_{i = 1}^{10} (0.04 i^{2} - 0.04 i + 1.01)$

Utiliza las propiedades de la suma para reescribir la suma.

$M_{10} = 0.008 \sum_{i = 1}^{10} i^{2} - 0.008 \sum_{i = 1}^{10} i + 0.202 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Utiliza $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ para evaluar la primera suma.

$M_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} - 0.008 \sum_{i = 1}^{10} i + 0.202 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Utiliza $\sum_{i = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$ para evaluar la segunda suma.

$M_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} - 0.008 \frac{10 (11)}{2} + 0.202 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Evalúa la última suma.

$M_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} - 0.008 \frac{10 (11)}{2} + 2.02$

Evalúa utilizando una calculadora.

$M_{10} = 4.66$

¡Recuerda que obtenemos mejores aproximaciones a medida que dividimos el intervalo en más subintervalos!

Hasta ahora, hemos estado aproximando áreas sin saber qué aproximación es mejor. ¿Hay alguna forma de saber qué suma de Riemann es mejor? Lamentablemente, si no conocemos el valor real del área bajo la curva, no podemos saber qué aproximación es mejor. Además, ¡no tendría sentido hacer una aproximación conociendo el valor real!

Sin embargo, existe una forma de exprimir el valor del área entre dos valores.

Suma superior de Riemann

Podemos tomar cualquier valor dentro de cada subintervalo para formar nuestra suma de Riemann. ¿Y si tomamos el valor máximo de $f$

en cada subintervalo? La suma de Riemann obtenida mediante este proceso se denominasuma de Riemann superior .

Una suma de Riemann para la función $f (x)$ para la partición $P = {x_{i}}$ se denomina suma deRiemann superior si los valores $x_{i}^{*}$ se toman como el valor máximo de cada subintervalo.

En este caso, podemos garantizar que nuestra aproximación será mayor o igual que el valor real del área, ¡ya que estamos tomando trozos más grandes del área! Si dejamos que A sea el área por debajo de la curva y $S_{U}$ sea una suma superior de Riemann, entonces podemos escribir la siguiente desigualdad:

$S_{U} \geq A$

Encontremos ahora una suma de Riemann superior de la función de nuestro ejemplo anterior, $f (x) = x^{2} + 1$ en el mismo intervalo $0 \leq x \leq 2$ dividiendo también el intervalo en 10 subintervalos. Empezaremos por observar su gráfica.

Formación de sumas de Riemann parábola StudySmarter Gráfica de la parábola f(x) dividida con una aproximación al extremo izquierdo - StudySmarter Originals

Podemos observar cómo esta función es una función creciente, por lo que el mayor valor de cada subintervalo es el valor del extremo derecho. Por tanto, haciendo una aproximación al extremo derecho obtendremos una suma de Riemann superior.

Utiliza la fórmula para la aproximación del punto final derecho.

$R_{10} = \sum_{i = 1}^{10} f (x_{i}) Δ x$

Sustituye $x_{i} = i Δ x$ y $Δ x = \frac{2 - 0}{10} = 0.2$ en la fórmula.

$R_{10} = \sum_{i = 1}^{10} f (0.2 i) 0.2$

Factoriza 0,2 y evalúa la función.

$R_{10} = 0.2 \sum_{i = 1}^{10} ({(0.2 i)}^{2} + 1)$

Utiliza las propiedades de la suma para reescribir la suma.

$R_{10} = 0.008 \sum_{i = 1}^{10} i^{2} + 0.2 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Utiliza $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ para evaluar la primera suma.

$R_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} + 0.2 \sum_{i = 1}^{10} 1$

Evalúa la última suma.

$R_{10} = 0.008 \frac{10 (11) (21)}{6} + 0.2 (10)$

Evalúa utilizando una calculadora.

$R_{10} = 5.08$

Podemos ver que el valor de nuestra aproximación es mayor que la aproximación del punto medio. ¡También sabemos que este valor es mayor que el área real bajo la curva!

Suma de Riemann inferior

¿Y si tomamos el valor mínimo de $f$ en

cada subintervalo? ¡Obtenemos una suma de Riemann inferior!

Una suma de Riemann para la función $f (x)$ para la partición $P = {x_{i}}$ se denomina suma deRiemann inferior si los valores $x_{i}^{*}$ se toman como el valor mínimo de cada subintervalo.

Esta vez, podemos garantizar que nuestra aproximación será menor o igual que el valor real del área, ¡ya que estamos tomando trozos más pequeños del área! Si dejamos que A sea el área por debajo de la curva y $S_{L}$ sea una suma de Riemann inferior, entonces podemos escribir la siguiente desigualdad:

$S_{L} \leq A$

Es hora de encontrar una suma de Riemann inferior a la de nuestros ejemplos anteriores. En este caso, el menor valor de cada subintervalo es el valor situado más a la izquierda, por lo que una aproximación al punto final izquierdo nos dará una suma de Riemann inferior.

Utiliza la fórmula para la aproximación del punto final izquierdo.

$L_{10} = \sum_{i = 0}^{9} f (x_{i}) Δ x$

Sustituye $x_{i} = i Δ x$ y $Δ x = \frac{2 - 0}{10} = 0.2$ en la fórmula.

$L_{10} = \sum_{i = 0}^{9} f (0.2 i) 0.2$

Factoriza 0,2 y evalúa la función.

$L_{10} = 0.2 \sum_{i = 0}^{9} ({(0.2 i)}^{2} + 1)$

Utiliza las propiedades de la suma para reescribir la suma.

$L_{10} = 0.008 \sum_{i = 0}^{9} i^{2} + 0.2 \sum_{i = 0}^{9} 1$

Observa que las sumas empiezan en 0. La última suma aún consta de 10 términos, por lo que se puede evaluar como sumar 1 diez veces.

Evalúa la última suma.

$L_{10} = 0.008 \sum_{i = 0}^{9} i^{2} + 0.2 (10)$

En la primera suma, observa que el término que contiene $i = 0$ no contribuye a la suma porque $0^{2} = 0$ por lo que esta suma puede evaluarse como si fuera de $i = 1$ a 9.

Utiliza $\sum_{i = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$ para evaluar la suma.

$L_{10} = 0.008 \frac{9 (10) (19)}{6} + 0.2 (10)$

Evalúala utilizando una calculadora.

$L_{10} = 4.28$

Obtuvimos una aproximación de 4,28. ¡Esto significa que el valor real del área bajo la curva está entre 4,28 y 5,08!

Sumas de Riemann y área bajo una curva

Hemos visto cómo las sumas de Riemann inferior y superior nos dan una cota del área bajo una curva. Esto también depende de cuántos subintervalos dividamos el área bajo la curva. ¿Qué ocurre si utilizamos una cantidad infinita de subintervalos?

Sea $f (x)$ una función continua en un intervalo $a \leq x \leq b$ . Entonces, el área bajo la curva se obtiene como el límite a medida que n va al infinito de una suma de Riemann:

$A = \lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} f (x_{i}^{*}) Δ x$

Donde $x_{i}^{*}$ es cualquier valor dentro del intervalo $x_{i - 1} \leq x \leq x_{i}$ y $Δ x = \frac{b - a}{n}$ .

Pensemos en la expresión anterior: a medida que aumentamos n, obtenemos rectángulos más finos, que entonces encajarán perfectamente debajo de la curva. ¡Sumando todos estos rectángulos obtenemos el área bajo la curva! Veamos una ilustración con 70 rectángulos.

Formar sumas de Riemann parábola rectángulos delgados StudySmarter Aproximación del área bajo la curva utilizando 70 rectángulos - StudySmarter Originals

Esto parece ajustarse muy bien al área bajo la curva, ¿verdad? ¡Ahora imagina qué pasaría si utilizáramos aún más rectángulos!

Resumen

Formar sumas de Riemann - Puntos clave

Una suma de Riemann consiste en dividir el área bajo una curva en rectángulos y sumarlos.
- Las sumas de Riemann están estrechamente relacionadas con las aproximaciones del punto final izquierdo y del punto final derecho. Ambas son casos particulares de una suma de Riemann.
Una suma de Riemann inferior es una suma de Riemann que se obtiene utilizando el menor valor de cada subintervalo para calcular la altura de cada rectángulo.
- El valor de una suma de Riemann inferior es siempre menor o igual que el área bajo la curva.
Una suma de Riemann superior es una suma de Riemann obtenida utilizando el mayor valor de cada subintervalo para calcular la altura de cada rectángulo.
- El valor de una suma de Riemann superior siempre es mayor o igual que el área bajo la curva.
El área bajo una curva está acotada entre una suma de Riemann inferior y una suma de Riemann superior.
Si tomamos el límite de una suma de Riemann a medida que el número de subintervalos tiende a infinito, obtenemos el área bajo la curva.

Tarjetas en Formación de sumas de Riemann 6

Empieza a aprender

Todas las sumas de Riemann son una aproximación al extremo izquierdo o una aproximación al extremo derecho.

Falso.

La aproximación del punto final derecho es un caso particular de una suma de Riemann.

Cierto.

Una suma de Riemann superior siempre es mayor o igual que el área exacta bajo la curva.

Cierto.

Una suma de Riemann inferior siempre es menor o igual que el área exacta bajo la curva.

Cierto.

Supongamos que, en algún intervalo, la suma de Riemann inferior de una función es 24,92 y la suma de Riemann superior es 25,08. ¿Qué podemos concluir de esta información?

Que el área bajo la curva esté entre 24,92 y 25,08.

Una aproximación por el extremo izquierdo siempre nos da una suma de Riemann inferior.

Falso.

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Preguntas frecuentes sobre Formación de sumas de Riemann

¿Qué es una suma de Riemann?

Una suma de Riemann es un método para aproximar el valor de una integral definida dividiendo el área bajo una curva en rectángulos pequeños y sumando sus áreas.

¿Cuál es la fórmula de la suma de Riemann?

La fórmula general de la suma de Riemann es ∑ f(xᵢ)Δx, donde f(xᵢ) es la altura del rectángulo y Δx es el ancho.

¿Para qué se usan las sumas de Riemann?

Las sumas de Riemann se usan para aproximar integrales definidas y calcular áreas bajo curvas cuando no se puede integrar fácilmente.

¿Cuántos tipos de sumas de Riemann existen?

Existen tres tipos principales: suma de Riemann izquierda, derecha y punto medio, dependiendo de cuál parte del subintervalo se usa para calcular la altura del rectángulo.

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