formas indeterminadas

Considera el siguiente límite:

\[ \lim_{x \a 4} \frac{x^2-16}{x-4}\]

Si intentas sustituir \(x\) por \(4\) en el límite anterior, verás que

\[ \begin{align} \límite de x a 4 \frac{x^2-16}{x-4} &= \frac{4^2-16}{4-4} \\ y= frac {16-16} {4-4} \\ y= frac {0} {0} \end{align}\}]

que es una forma indeterminada de

\[ \frac{0}{0}\]

Para evaluar correctamente este límite, puedes factorizar la diferencia de cuadrados, de modo que puedas cancelar los términos semejantes, es decir

\[ \frac{0} {align} \límite de x a 4 \frac {x^2-16} {x-4} &= lim_x {hasta 4} \frac{(x+4)\cancel{(x-4)}}{\cancel{(x-4)}} \\ χ &= χlim_x χa 4} (x+4) χ &= 4+4 χ &= 8\ñ[/align}].

En el ejemplo anterior, has evaluado el límite:

\[ \lim_{x \a 4} \frac{x^2-16}{x-4}\]

Factorizando el numerador. Si no se te ocurre esta factorización concreta, también puedes utilizar la regla de L'Hôpital, obteniendo

\[ |comienzo{alineación} \límite de x a 4 \frac{x^2-16}{x-4} &= \lim_{x \a 4} \frac{2x}{1} \\ y= frac{2(4)}{1} \\ y= 8fin{align} \]

Evalúa el límite:

\[ \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right)\]

Solución:

Si evaluaras el límite por sustitución directa, hallarías que

\[ \lim_{ x \to 0^+} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2}\right)= \infty - \infty\].

Se trata, pues, de una forma indeterminada.

En lugar de evaluar directamente, prueba a restar ambas fracciones, es decir

\[ \lim_{ x \a 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right)= \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{x-1}{x^2}\right)\].

Así que puedes inspeccionar el límite por sustitución directa.

El numerador es negativo y el denominador positivo cuando te acercas a \(0\) por la derecha, por lo que el resultado será infinito negativo, es decir:

• Una forma indeterminada es una expresión de dos funciones cuyo límite no puede evaluarse por sustitución directa.
  • Las formas indeterminadas más comunes son \(0/0\\) y \( \pm\infty/\pm\infty\).
  • Las otras formas indeterminadas se refieren a las expresiones \(0 \cdot \infty\), \(0^0\), \( \infty^0\), \(1^\infty\) y \(\infty-\infty\).
• Un límite que dé lugar a una forma indeterminada que implique cocientes puede evaluarse mediante la Regla de L'Hôpital.
• Por medios algebraicos, es posible transformar los límites que implican a las demás formas indeterminadas en expresiones que implican cocientes, por lo que puedes utilizar la regla de L'Hôpital para evaluarlos.

\[ \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right) = -\infty\]

Evalúa el límite

\[ \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right)\}].

Solución:

Una vez más, si evaluaras directamente el límite, comprobarías que

\[ \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right) = \infty-\infty\].

Restando las fracciones, obtienes

\[ \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \a 0^+} \frac{\cos{x}-1}{x}\].

El coseno de \(0\) es \(1,\), por lo que tanto el numerador como el denominador se aproximan a \(0\) a medida que \(x \a 0.\) Esto sugiere el uso de la regla de L'Hôpital, es decir

\[ \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin{x}}{1}].

Como el seno de \(0\) es \(0\), ahora puedes evaluar el límite, obteniendo

\[ \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{\cos{x}}{x}-\frac{1}{x}\right) =0\].

Evalúa el límite

\[ \lim_{x \a \infty} x\, e^{-x}.\]

Solución:

Como de costumbre, empieza por intentar evaluar el límite directamente. El límite como \(x \a \infty\) de \(e^{-x}\) es \(0\), así que estás tratando con una forma indeterminada de \( \infty \cdot 0\). Para utilizar L'Hôpital, observa que puedes escribir \(e^{-x}\) como \(e^x\) en el denominador, es decir

\[ \lim_{x \to \infty} x\,e^{-x} = \lim_{x \to \infty}\frac{x}{e^x}.\}

Ahora tienes una forma indeterminada de \( \infty/\infty\), así que utiliza la regla de L'Hôpital,

\[ \iniciar{alinear} \x,e^{-x} &= \lim_x {a \infty} \frac{1}{e^x}\ &= 0. \end{align}\]

Evalúa el límite

\[\lim_{x \a 0^+} x^x.\]

Solución:

Empieza por etiquetar el límite, a saber

\L = límite de x a 0^+}x^x.

A partir de aquí, puedes tomar el logaritmo natural de ambos lados, es decir

\ln{L}=ln{izquierda( lim_x hasta 0^+} x^x derecha)}.

Como el logaritmo natural es una función continua, puedes moverlo dentro del límite y utilizar las propiedades de los logaritmos naturales, de modo que

\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_x \a 0^+} \ln{L} &= \lim_x \a 0^+} \left( \ln{x^x} \right) &= \lim_x \a 0^+} x\ln{x}. \fin].

Como \(x \to 0^+\), el logaritmo natural va al infinito negativo, por lo que la expresión anterior es una forma indeterminada de \(0 \cdot \infty\), que puedes trabajar utilizando un poco de álgebra

\[ \begin{align} \ln{L} &= ln{L} &= ln{L} &= ln{L} &= ln{L} &= ln{L} &= ln{L} &= ln{L} &= x \\ y = límite de x a 0^+} frac {ln{x}} {frac {1}{x}}, fin].

y luego utiliza la regla de L'Hôpital, de modo que

\[ \begin{align} \ln{L} &= \frac{frac{1}{x}{-\frac{1}{x^2} \frac{1}{x}} \\ (-x) &= 0. end{align} \]

Por último, deshaz el logaritmo natural utilizando la función exponencial, de modo que

\[ \begin{align} L &= e^0 \\\= 1. \end{align}\]

Evalúa el límite

\[\lim_{x \a 0^+} \left(\frac{1}{x}-\csc{x} \right).\]

Solución:

Empieza recordando que la función cosecante es la recíproca de la función seno, por lo que

\izquierda( \frac{1}{x}-\csc{x} {derecha) = \lim_{x \a 0^+} izquierda( \frac{1}{x}-\frac{1}{sin{x}} {derecha).\]

A medida que \(x\) se acerca a cero por la derecha, ambos términos van al infinito, por lo que tienes una forma indeterminada de \( \infty-\infty\). Resuélvelo restando las fracciones

\[ \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{1}{x}-\frac{1}{sin{x}}\derecha) = \lim_{x \a 0^+} \left( \frac{{sin{x}}-x}{xsin{x}}\derecha),\}

que ahora es una forma indeterminada de \(0/0\). Utiliza la regla de L'Hôpital, es decir

\izquierda( \frac{1}{x}-\frac{1}{sin{x}}derecha) = \lim_{x \a 0^+} \frac{cos{x}-1}{\frac{1}{x}+x\cos{x}},\].

pero verás que es otra forma indeterminada de \(0/0\). Utiliza la regla de L'Hôpital una vez más, así

\izquierda( \frac{1}{x}-\frac{1}{sin{x}}derecha) = \lim_{x \a 0^+} \frac{{sin{x}}{cos{x}+\cos{x}-x{sin{x}},\frac{sin{x}].

que ahora se puede evaluar, obteniendo

\izquierda( \frac{1}{x}-\frac{1}{sin{x}}derecha) =0,\}].

Evalúa el límite

\[ \lim_{x \a 0^+} x\cot{x}.\]

Solución:

Recuerda que la función cotangente es la recíproca de la función tangente. Como \(\tan{0}=0\), la cotangente va al infinito cuando se aproxima por la derecha, por lo que es una forma indeterminada de \(0 \cdot \infty.\) Para resolverlo, reescribe la cotangente como el recíproco de la tangente, es decir

\[ \lim_{x \to 0^+} x\cot{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{x}{\tan{x},\}]

que ahora es una forma indeterminada de \(0/0\), así que usa la regla de L'Hôpitals

\[ \lim_{x \a 0^+} x\cot{x} = \lim_{x \a 0^+} \frac{1}{\sec^2{x}}.\]

La secante de \(0\) es igual a \(1\), por lo que

\[ \lim_{x{a0^+} x\cot{x}=1.\}]

Evalúa el límite

\límite_de_x_a_infty}x^{^1/_x}.

Solución:

A medida que \(x\) va al infinito, \(1/x\) va a cero, por lo que ésta es una forma indeterminada de \(\infty^0\). Etiqueta el límite como \(L\) y halla su logaritmo natural, es decir

\[ \ln{L} = \ln{left( \lim_x \a \infty} x^{^1/_x} \right)}, \].

y utilizar el hecho de que el logaritmo natural es una función continua para introducirlo dentro del límite, de modo que

\[ \ln{L} = \lim_{ x\to \infty} \ln{left( x^{1/_x}\right)}.\]

Ahora, utiliza las propiedades de los logaritmos para escribir

\[ \begin{align} \ln{L} &= lim_x {a \infty} \izquierda( \frac{1}{x} {ln{x}{derecha) {ln{L} &= \lim_x {a \infty} \frac{\ln{x}}{x}\end{align}.\]

El límite anterior es ahora una forma indeterminada de \(\infty/\infty\), por lo que puedes utilizar la regla de L'Hôpital, obteniendo

\[ \begin{align} \ln{L} &= \lim_{x} {a \infty} \frac{\frac{1}{x}}{1} \\ y=frac{0}{1} \&= 0.\end{align}\]

Por último, deshaz el logaritmo natural tomando la exponencial, lo que significa que

\[ \begin{align} L &= e^0 \\\= 1. \end{align} \]