fórmulas de integración

Definición de fórmula de integración

Al principio puede parecer absurdo que podamos tener fórmulas para integrales directamente. Pero hay una trampa, sólo podemos tener fórmulas para integrales relativamente sencillas, no para funciones más compuestas.

Empecemos por lo más básico, las fórmulas fundamentales de integración:

Fórmulas básicas de integración

Las siguientes fórmulas de las que vamos a hablar son las fórmulas fundamentales, sobre las que se construyen otras fórmulas.

Por tanto, sería una buena práctica recordarlas de memoria:

$$ \begin{aligned} &\int x^n \, \mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1}+c \\\ &\int e^x \, \mathrm{d}x=e^x+c \\\\ &\int a^x \, \mathrm {d}x=\frac{a^x}{\log_e a}+c \&\int \frac{1}{x} \frac, \mathrm{d}x=\log_e x +c \final{alineado}$$

Fórmulas de integración de funciones trigonométricas

Acabamos de ver las fórmulas de integración de funciones como la función lineal, las funciones cuadráticas, la función exponencial, las funciones logarítmicas, y también funciones como \(\frac{1}{1+x}, \frac{1}{1+x^2}\), etcétera.

Pero hay toda una clase de funciones importantes que aún no hemos abordado, las Funciones Trigonométricas. Hay algunas fórmulas básicas que hay que recordar para las funciones trigonométricas, a partir de las cuales podemos resolver funciones trigonométricas más complicadas. Estas fórmulas de integración son las siguientes

$$ \begin{aligned} &\int \cos x \, \mathrm{d}x=\sin x+c \\ &\int \sin x \, \mathrm{d}x=-\cos x+c \ &\int \tan x \, \mathrm{d}x=-\log_e |\cos x|+c \\ &\int \cot x \, \mathrm{d}x=-\log_e |\\cos x|+c \ &\int \sec^2 x \, \mathrm{d}x=\tan x +c \\\ &\int \csc x \, \mathrm{d}x=\log_e |\frac{\tan x}{2}|+c \\\ &\int \sec x \tan x \, \mathrm{d}x=\sec x+c \ &\int \csc^2 x \, \mathrm{d}x=-\cot x+c \ &\int \csc x \cot x \, \mathrm{d}x=-\cot x+c \end{aligned}$$

Fórmula de la integral definida

Como habrás observado, todas las integraciones que hemos visto están relacionadas con integrales indefinidas. Pero, ¿qué ocurre con las integrales definidas? Las integrales de todas las funciones no cambian, lo único que se introduce son los límites de integración.

A continuación se indican algunas fórmulas, propiedades esencialmente, que son cruciales al hacer integración definida.

$$ \begin{aligned} &\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=F(b)-F(a) \ ; \text{where} \int f(x) \, \mathrm{d}x=F(x)+c \ &\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=-int_b^a f(x) \, \mathrm{d}x \ &\int_a^b f(x) \, \mathrm{d}x=\int_a^b f(a+b-x) \, \mathrm{d}x \ &\int_{-a}^a f(x) \, \mathrm{d}x=2\int_0^a f(x)\, \mathrm{d}x ; \text{where} \ f(x) es una función par. \\ &\int_{-a}^a f(x) \, \mathrm{d}x=0 \ ; \text{donde} \ f(x) es una función impar. \\ fin{alineado}$$

Fórmula de integración Gráfico

Al resolver integrales, necesitamos conocer multitud de fórmulas de integración diferentes, sin las cuales, resolver integrales será imposible (¡a menos que hagas trampas usando WolframAlpha o algo así!).

A continuación encontrarás una lista de casi todas las fórmulas de integración que necesitarás para resolver integrales más complicadas, que comprenden distintas funciones compuestas. Esto incluirá fórmulas que ya has visto antes (trigonométricas, fundamentales) junto con fórmulas trigonométricas inversas, fórmulas hiperbólicas y muchas más. Es una tabla muy útil que debes tener cuando hagas integrales:

Tabla de fórmulas fundamentales de integración

Repasemos algunas de las fórmulas fundamentales de integración en forma de tabla:

∫ e^x, \mathrm{d}x=e^x+c ∫ a^x, \mathrm{d}x=frac{a^x}{log_e a}+c ∫ \frac{1}{x}{c \¾, ¾mathrm{d}x=\log_e x +c ¾ &\int k\, ¾mathrm{d} x=k x+c \end{aligned}$$

Tabla de integración trigonométrica inversa

A continuación se muestra la tabla de integrales de funciones trigonométricas inversas:

$$ \begin{aligned} &\int \sin^{-1} x, \mathrm{d} x=x \sin^{-1} x+\sqrt{1-x^2}+c \&\int \cos^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \cos^{-1} x-\sqrt{1-x^2}+c&\int \tan^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \tan^{-1} x-\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right) +c&\int \cot^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \cot^{-1} x+\frac{1}{2} \ln \left(x^2+1\right) +c &\int \csc ^{-1} x \, \mathrm{d} x=x \csc ^{-1} x+\ln \left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+c &\int \sec ^{-1} x, \mathrm{d} x=x \sec ^{-1} x-\ln \left|x+cuadrado{x^2-1}\right|+c \end{aligned}$$

Cuadro de otras fórmulas de integración

Existen otras fórmulas de integración, que se enumeran a continuación: $$ \begin{aligned} &\int e^{c x} \sin b x \, \mathrm{d} x=\frac{e^{c x}}{c^2+b^2}(c \sin b x-b \cos b x) +c\\ &\int e^{c x} \cos b x \, \mathrm{d} x=\frac{e^{c x}}{c^2+b^2}(c \cos b x+b \sin b x) +c\&\int \frac{1}{x^2+a^2} \, \mathrm{d} x=\frac{1}{a} \tan^{-1} \frac{x}{a} +c\&\int \frac{1}{x^2-a^2} \x= izquierda. \displaystyle \frac{1}{2 a} \ln \left( \frac{a-x}{a+x} \right) +c\displaystyle \frac{1}{2 a} \ln \left( \frac{x-a}{x+a} \right)+c \end{array}\right. \end{aligned}$$

Gráfico de fórmulas de integración trigonométrica

Repasemos las fórmulas trigonométricas con algunas fórmulas cuadráticas y también hiperbólicas:

$$ \begin{aligned} &\int \sin x \, \mathrm{d} x=-\cos x+c \&\int \cos x \, \mathrm{d} x=\sin x+c \&\int \tan x \, \mathrm{d} x=\ln |sec x|+c \&\int \sec x \, \mathrm{d} x=\ln ||tan x+\sec x|+c \\&\int \sin ^2 x \, \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(x-\sin x \cos x)+c \&\int \cos ^2 x \, \mathrm{d} x=\frac{1}{2}(x+sin x \cos x)+c \&\int \tan ^2 x \, \mathrm{d} x=tan x-x+c \&\int \sec ^2 x \, \mathrm{d} x=tan x+c \ &\int \sin x \cos ^n x \, \mathrm{d} x=-\frac{\cos ^{n+1} x}{n+1}+c \\ &\int \sin ^n x \cos x \, \mathrm{d} x=\frac{\sin ^{n+1} x{n+1} +&\int \sinh x \, \mathrm{d}x=\cosh x +c \\ &\int \cosh x \, \mathrm{d}x=\sinh x +c\end{aligned} $$

Algunas de las fórmulas anteriores son a su vez derivadas de las otras, las tomamos como fórmulas ya que aparecen con bastante frecuencia al resolver integrales.

Ejemplos de fórmulas de integración

Apliquemos ahora estas fórmulas y resolvamos un par de integrales. Utilizaremos las fórmulas anteriores sin aportar su demostración, a menos que se nos pida una en concreto.