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Una forma interesante de definir funciones es utilizar una variable como límite de integración de una integral. Esto es especialmente útil porque nos ayuda a construir el puente entre derivadas e integrales, que es una parte central del Teorema Fundamental del Cálculo. Por esta razón, es importante estudiar lo que se conoce como función de acumulación.
Definición de la función de acumulación
Normalmente te enfrentarás a dos tipos de integrales cuando estudies Cálculo: integrales definidas e integrales indefinidas. Normalmente, al hallar una integral definida obtienes un número como respuesta.
El valor de la integral definida
\[ \int_0^2 x\,\mathrm{d}x\]
puede hallarse hallando primero su antiderivada, o integral indefinida (sin necesidad de añadir una constante de integración), es decir
\[ \int x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^2,\}].
y luego, utilizando la parte de evaluación del Teorema Fundamental del Cálculo, entonces
\[ \int_0^2 x,\mathrm{d}x = \left( \frac{1}{2}(2)^2\2derecha) - \left( \frac{1}{2}(0)^2\2derecha),\]
lo que te dará como resultado un número, que es
\[ \int_0^2 x\,\mathrm{d}x = 2.\]
Sin embargo, puedes dejar uno de los límites de integración como variable, convirtiendo la integral definida en una función. Esta función se conoce como función de acumulación.
Sea \( f\) una función integrable en el intervalo \( [a,b]\). Una función de acumulación es una función \( F(x) \), para
\(a<x<b\)), tal que
\[ F(x) = \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t,\}]
o
\[ F(x) = \int_x^b f(t),\mathrm{d}t,\}].
Básicamente, una función de acumulación es una función que se obtiene resolviendo una integral definida y dejando como variable uno de los límites de integración.
Halla la función de acumulación
\[ F(x)=\int_0^x t\,\mathrm{d}t.\]
Solución:
Para hallar una función de acumulación debes tratar la integral implicada del mismo modo que tratas una integral definida, así que empieza por hallar la antiderivada, es decir
\[ \int t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}t^2,\]
y luego utiliza la parte de evaluación del Teorema Fundamental del Cálculo, con lo que obtendrás
\[ \begin{align} \int_0^x t\,\mathrm{d}t &= \left( \frac{1}{2}(x)^2 \right) - \left( \frac{1}{2}(0)^2\right) \t &= \frac{1}{2}x^2. \end{align}\]
Esto significa que
\[ F(x)= \frac{1}{2}x^2.\]
En general, la función de acumulación depende de los límites de integración, por lo que tener distintos límites de integración debería modificar la función de acumulación.
Halla la función de acumulación
\[ G(x)=\int_1^x t\,\mathrm{d}t.\]
Solución:
Ya has hallado la integral indefinida en el ejemplo anterior, así que
\[ \int t\,\mathrm{d}t = \frac{1}{2}t^2.\]
Esta vez tienes que utilizar la parte de evaluación del Teorema Fundamental del Cálculo con límites de integración distintos, y al hacerlo obtendrás
\[ \begin{align} \int_1^x t\,\mathrm{d}t &= \left( \frac{1}{2}(x)^2 \right) - \left( \frac{1}{2}(1)^2\right) \t &= \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}. \end{align}\}]
Esto significa que, esta vez, la función de acumulación para estos límites de integración es
\G(x)= \frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}.
En los últimos ejemplos, las funciones de acumulación coinciden con antiderivadas de \(f(x)\), es decir
\[ F'(x) = x,\]
y
\[ G'(x) = x.\]
Esto no siempre será así. Considera el siguiente ejemplo.
Halla la función de acumulación
\[ H(x)=\int_x^1 t\,\mathrm{d}t.\]
Solución:
Puedes ir directamente a la parte de evaluación del Teorema Fundamental del Cálculo, esta vez con límites de integración distintos, así
\[ \begin{align} \int_x^1 t\,\mathrm{d}t &= \left( \frac{1}{2}(1)^2 \right) - \left( \frac{1}{2}(x)^2\right) \t &= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^2. \end{align}\]
Esto significa que, esta vez, la función de acumulación para estos límites de integración es
\H(x)= \frac{1}{2}-\frac{1}{2}x^2.\]
Esta vez puedes averiguar que
\[ H'(x) = -x,\\]
por lo que si la variable \(x\) está en el límite inferior de integración, ¡la función de acumulación diferirá de una antiderivada por un signo!
La integral de la función de acumulación
Te habrás dado cuenta de que la función de acumulación se define utilizando dos variables y, sin embargo, la respuesta es una función de una sola variable. ¿Cómo es posible?
Para ilustrar este proceso, considera la integral definida
\[ \int_1^2 x^2 \,\mathrm{d}x.\]
Resolviendo la integral definida anterior, obtendrás como resultado un número, que es
\[ \int_1^2 x^2 \,\mathrm{d}x = \frac{7}{3}.\]
¿Adónde ha ido la \(x \)? Recuerda que en las integrales definidas, la variable de integración desaparece, lo que significa que puedes usar cualquier variable que quieras dentro de una integral definida, así que
\[ \int_1^2 t^2\,\mathrm{d}t\]
y
\[ \int_1^2 y^2,\mathrm{d}y\]
también dará el mismo resultado. Como la variable más habitual utilizada en las funciones es \(x\), para evitar confusiones hay que utilizar otra variable en la integral definida, y normalmente se elige la letra \(t\). De este modo, el valor de la integral definida
\[ \int_a^x f(t) \, \mathrm{d}t \]
depende del valor de \(x,\), por lo que se escribe en función de \(x\), es decir
\[ F(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d}t.\]
Gráfica de la función de acumulación
Una de las interpretaciones básicas de las integrales definidas es que te dan una medida del área bajo una curva en un intervalo dado. En otras palabras, la integral definida
\[ \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\]
te da el límite neto del área con signo entre \(x=a\), \( f(x)\), \( x=b\), y el eje \(x-\).
Figura 1. Límite de área entre \(x=a,\) \( f(x),\) \( x=b,\) y el eje \(x-\)
Recuerda que un área con signo es positiva si está por encima del eje \(x-\)y negativa si está por debajo del eje \(x-\)-. El área neta con signo se obtiene restando las áreas situadas por debajo del eje \(x-\)a las áreas situadas por encima del eje \(x-\)a.
Esto significa que una función de acumulación es una función que te da el área neta con signo por debajo de la curva \( f \) en términos de uno de sus límites de integración.
Si la variable está en el límite superior de integración, entonces la función de acumulación \( \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \) se refiere al área con signo a la derecha de \(a\).
Figura 2. Área con signo por debajo de \( f(t) \) a la derecha de \(a\)
Si, por el contrario, la variable está en el límite inferior de integración, entonces la función de acumulación \( \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t \) se relaciona con el área con signo a la izquierda de \(b\).
Figura 3. Área con signo bajo \( f(t) \) a la izquierda de \(b\)
Hallar una función de acumulación a partir de una gráfica
A veces te pedirán que encuentres algunos valores de una función de acumulación a partir de una gráfica, en lugar de una expresión matemática. Aquí puedes ver las tareas que se piden con más frecuencia.
Hallar el valor de la función de acumulación
Supón que te dan la función de acumulación
\g(x) = \int_{-2}^x f(t),\mathrm{d}t\].
y se te da también la gráfica de \( f \).
Figura 4. Gráfica de la función \( f\)
Aunque no conozcas la expresión matemática de \(f\), ¡puedes encontrar la función de acumulación mirando la gráfica y relacionándola con formas geométricas! Por ejemplo, puedes hallar \(g(0)\) observando que se convertirá en
\[ g(0) = \int_{-2}^0 f(t),\mathrm{d}t,\}]
que es el área comprendida entre \( x=-2 \) y \( x=0\). Esta zona está resaltada en la siguiente figura.
Figura 5. Área bajo \( f(t) \) en el intervalo de \(-2 \) a \(0\)
Observa que esta área es la misma que la de un triángulo de anchura \( 2 \) y altura \(2,\), por lo que su área viene dada por
\[ \begin{align} A &= \frac{1}{2}(2)(2) \\\\= 2, \end{align}\]
que también te da el valor de la función de acumulación, es decir
\[ \begin{align} g(0) &= \int_{-2}^0 f(t) \mathrm{d}t \\\= 2. \fin \]
Hallar la derivada de la función de acumulación en un punto
También se te puede pedir que halles el valor de la derivada de una función de acumulación en las mismas condiciones. Esta tarea puede parecer difícil al principio, ya que no se te da una expresión matemática para diferenciar.
Supongamos que, para la misma función de acumulación, te piden que halles \( g'(1)\). Empieza por observar que las gráficas de \( f\) y \( g' \) ¡son iguales! Esto se debe a que la variable está en el límite superior de integración de la función de acumulación.
Como el objetivo es encontrar \( g'(1)\), sólo necesitas encontrar \( f(1) \), lo que puedes hacer mirando el valor de \(f\) cuando \( t=1\).
Figura 6. La función pasa por el punto (1,2)
Esto significa que \(g'(1)=2\).
Cómo hallar la derivada segunda de la función de acumulación en un punto
Siguiendo el mismo razonamiento que en el ejemplo anterior, puedes hallar la segunda derivada de \(g\) fijándote en la primera derivada de \(f,\) que es \( g''=f'\). Puedes utilizar este hecho para hallar la segunda derivada de \(g\) en un punto.
Supongamos que necesitas hallar \( g''(1)\). Es lo mismo que hallar \( f'(1)\), así que mira la pendiente de \( f \) en el punto en que \( t=1\). Esto puede parecer difícil al principio, pero cuando mires la gráfica descubrirás que la función es constante entre \(0\) y \(2\), por lo que su pendiente es este intervalo es igual a \(0\).
Figura 7. La función es horizontal en \(t=1\), por lo que su pendiente es igual a \(0\)
De aquí puedes concluir que \( f'(1) = 0,\) significa que \( g''(1)=0\).
Ten en cuenta que debes tener cuidado al hallar derivadas de este modo. Si la función no es suave en un punto, ¡su derivada no existe! Éste es el caso de la función en \(t=0\). Observa el borde de la gráfica cuando pasa de ser lineal a ser constante.
Figura 8. La derivada de la función en \(t=0 \) no existe
Fórmula de la función de acumulación
Para hallar una función de acumulación necesitas hallar la integral definida
\[ \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t,\]
o
\[ \int_x^b f(t)\,\mathrm{d}t,\]
lo que significa que, en lugar de una fórmula para la función de acumulación, necesitas un método para resolver la integral definida. ¡Más información en nuestro artículo Integrales definidas!
Ejemplos de la función de acumulación
El cálculo es cuestión de práctica. Encontrar funciones de acumulación también te ayudará a practicar la resolución de integrales definidas.
Encuentra la función de acumulación
\[ F(x) = \int_\pi^x \cos{t} \, \mathrm{d}t.\]
Solución:
Para hallar una función de acumulación, debes empezar por resolver la integral indefinida. Como el integrando es la función coseno, puedes resolver la integral indefinida utilizando el hecho de que la derivada de la función seno es la función coseno. Como es habitual, no necesitas añadir una constante de integración, por lo que
\[ \int \cos{t} \,\mathrm{d}t = \sin{t}.\]
A continuación, tienes que evaluar la integral definida, lo que te dará
\[ \int_\pi^x \cos{t}\,\mathrm{d}t = \sin{x}-\sin{pi}.\]
Como \( \sin{\pi}=0\), puedes simplificar la expresión anterior y obtener la función de acumulación, es decir
\[ \begin{align} \int_\pi^x\cos{t}, \mathrm{d}t &= \sin{x}-0 \fin \]
Esto significa que la función de acumulación es
\[ F(x) = \sin{x}.\]
Los límites de integración también pueden ser números especiales, como \(e\).
Halla la función de acumulación
\[ G(x) = \int_e^x \frac{5}{t}, \mathrm{d}t.\]
Solución:
Esta vez tendrás que resolver la integral indefinida
\[ \int \frac{5}{t} \, \mathrm{d}t,\]
que es una de las Integrales en las que intervienen funciones logarítmicas. Si lo haces, obtendrás
\[ \begin{align} \int \frac{5}{t} \5 \int \frac{1}{t} \mathrm{d}t &= 5\ln{t}. \end{align}\]
A continuación, evalúa la integral definida como de costumbre, de modo que
\[ \int_e^x \frac{5}{t}, \mathrm{d}t = 5\ln{x}-5\ln{e}.\]
El logaritmo natural del número \( e \) es igual a \(1\). Sabiendo esto puedes simplificar la expresión anterior y obtener
\[ \int_e^x \frac{5}{t}, \mathrm{d}t =5\ln{x}-5, \].
por lo que la función de acumulación es
\G(x) = 5\ln{x}-5.\]
¿Y si la variable está en un límite inferior de integración? ¡No hay problema! Sólo tienes que prestar atención a su signo.
Halla la función de acumulación
\[ H(x) = \int_x^3 \left(\frac{1}{2}t-3\right) \, \mathrm{d}t.\]
Solución:
Puedes utilizar la regla de potencias para hallar la integral indefinida
\[ \int \left(\frac{1}{2}t-3\right) \, \mathrm{d}t, \]
así que
\[ \int \left(\frac{1}{2}t-3\right) \, \mathrm{d}t = t^2-3t.\]
Sabiendo esto, puedes evaluar la integral definida, es decir
\[ \begin{align} \int_x^3 \left( \frac{1}{2}t-3t\right) \, \mathrm{d}t &= \left((3)^2-3(3) \right) - \left((x)^2-3(x) \right) \\\= 0-(x^2-3x) \\\= -x^2+3x. \end{align}\]
Esto significa que la función de acumulación es
\H(x) = -x^2+3x.
¡Es hora de abordar una función de acumulación definida a través de una gráfica!
Sea \( f \) una función continua definida en el intervalo \( [-3,4] \) por la siguiente gráfica.
Figura 9. Gráfica de f
Sea \( g\) una función de acumulación definida como
\[ g = \int_{-3}^x f(t)\,\mathrm{d}t.\]
- Halla \( g(4) \).
- Halla \( g'(0) \).
- Halla \( g''(-1) \).
Solución:
a. Halla \( g(4) \).
Para hallar \( g(4) \) tendrás que hallar el área de toda la curva. Empieza por inspeccionar las formas geométricas presentes en la gráfica de \(f\).
Figura 10. El área bajo \( f\) está formada por dos triángulos, un cuadrado y un cuarto de círculo.
A partir de aquí, puedes hallar el área de cada figura geométrica.
Figura 11. Dimensiones de las figuras presentes en la gráfica de \(f \)
Por último, para hallar el área tienes que sumar todos los valores anteriores, teniendo en cuenta que el triángulo del intervalo \( [-3,2] \) va por debajo del eje \(t-\)por lo que hay que restar esta área al resto.
\[ \begin{align} A &= -\frac{1}{2}+2+4+\frac{1}{4}\pi(2)^2 \frac{11}{2}+\pi. \fin \]
Esto significa que el valor de la función de acumulación evaluado en \( 4 \) es
\[ g(4) = \frac{11}{2}+\pi].
b. Halla \( g'(0)\).
Este punto es sencillo, ya que las gráficas de \( g'\) y \( f \) son iguales, sólo tienes que encontrar el valor de \(f \) en \(0\). Esto significa que
\[ \begin{align} g'(0) &= f(0) \\begin{align}\= 2. \end{align}\]
c. Halla \( g''(-1)\).
Como la derivada segunda de \(g\) es igual a la derivada de \(f\), necesitas hallar la pendiente de una recta tangente a \(f \) en el punto solicitado, es decir
\[ g''(-1)=f'(-1).\\]
Observa que \(f\) es una recta en el intervalo de \(-3\) a \(0,\) por lo que su pendiente es constante en este intervalo. Puedes hallar esta pendiente observando que a medida que \(t\) aumenta en \(1\) en esta parte de la gráfica, \( f(t)\) aumenta también en \(1\). Esto significa que la pendiente es \(1\). De aquí puedes concluir que
\[ \begin{align} g''(-1) &= f'(-1) \\\b\= 1. \end{align}\]
La función de acumulación - Puntos clave
- Una función de acumulación es una función \( F(x) \) tal que\[ F(x) = \int_a^x f(t) \, \mathrm{d}t,\]o\[ F(x) = \int_x^b f(t) \, \mathrm{d}t,\]donde \( f \) es una función integrable en el intervalo \( [a,b]\), y \( a<x<b\).
- Una función de acumulación es una función que se obtiene resolviendo una integral definida y dejando como variable uno de los límites de integración.
- Las funciones de acumulación te dan información sobre el área neta con signo de una función \( f \) en función de uno de sus límites de integración.
- Como la letra \( x\) suele reservarse para una variable, el integrando de una función de acumulación no suele utilizarla como variable de integración, por lo que suele utilizarse en su lugar \( t \).
- Las funciones de acumulación se definen mediante la resolución de una integral definida, por lo que la función dependerá de la función que estés integrando, así como de los límites de integración.
- También puedes evaluar funciones de acumulación observando una gráfica. Para ello debes tener en cuenta que si\[ F(x)= \int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t,\]entonces\[ F'(x)=f(x),\]puedes relacionar ambas gráficas.
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