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Función Logarítmica Natural

Si inviertes 1000 $ a un interés del 5% compuesto continuamente, ¿cuánto tiempo tardarás en ser millonario? Aquí veremos

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Última actualización: 01.01.1970
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la definición de la función logarítmica natural y su relación con la función exponencial natural,
cómo representar gráficamente la función logarítmica natural, y
cómo convertir una función logarítmica en una función logarítmica natural.

Definición de la función logarítmica natural

Recuerda que e es la base utilizada en la función exponencial de crecimiento y decrecimiento $g (x) = e^{x}$ . Para más detalles, consulta Crecimiento y Decaimiento Exponenciales. Además, sabes que las funciones exponenciales y los logaritmos son inversas entre sí, por lo que la inversa de la función de crecimiento exponencial es $f (x) = \log_{e} (x)$ . Sin embargo, este logaritmo natural se utiliza tanto que tiene una abreviatura:

La función logaritmo natural $f (x) = \log_{e} (x)$ es la inversa de la función exponencial $g (x) = e^{x}$ y se escribe $f (x) = \log_{e} (x) = \ln (x)$ . Esto se lee como "f de x es el logaritmo natural de x".

El gráfico siguiente muestra que el logaritmo natural es el reflejo de la función de crecimiento exponencial sobre la recta $y = x$ .

Función logarítmica natural exponencial inversa StudySmarter El logaritmo natural y la función de crecimiento exponencial | StudySmarter Originals

En términos intuitivos, la función exponencial te dice cuánto ha crecido algo dada una cantidad de tiempo, y el logaritmo natural te da la cantidad de tiempo que se tarda en alcanzar una determinada cantidad de crecimiento. Puedes pensar en ello como

$e^{t i m e} = h o w m u c h g r o w t h \ln (h o w m u c h g r o w t h) = t i m e$

Supón que has invertido tu dinero en chocolate, con un tipo de interés del 100% (porque quién no quiere comprar chocolate), creciendo continuamente. Si quieres ver multiplicada por 20 tu inversión inicial, ¿cuánto tiempo tienes que esperar?

Responde:

El logaritmo natural te da la cantidad de tiempo. Puesto que $\ln (20) \approx 3$ sólo tendrías que esperar unos 3 años para ver 20 veces tu inversión inicial. ¡Ése es el poder de la capitalización continua!

El dominio de la función logarítmica natural

Propiedades de la función logarítmica natural

Como la función logarítmica natural no es más que un logaritmo de base e, tiene las mismas propiedades que la función logarítmica normal.

Propiedades de la función logarítmica natural:

es un logaritmo de base e
no hay intersección y
la intersección x está en $(1, 0)$
el dominio es $(0, \infty)$
el rango es $(- \infty, \infty)$
$\ln (e^{x}) = x$
$e^{\ln (x)} = x$

¿Por qué es $\ln (e) = 1$ ?

Responde:

Una razón es que el logaritmo natural y la función exponencial son inversas entre sí, por lo que

$\ln (e) = \ln (e^{1}) = 1$

Pero la razón más intuitiva es que el logaritmo natural te dice cuánto tiempo se tarda en alcanzar una determinada cantidad de crecimiento. Así que pedirte que halles $\ln (e)$ es lo mismo que pedirte que halles el tiempo que se tarda en alcanzar un crecimiento"e". Pero a partir de la función exponencial sabes que la función tarda 1 unidad de tiempo $g (x) = e^{x}$ para alcanzar el valor"e", por lo que $\ln (e) = 1$ .

Conversión de otras funciones logarítmicas en funciones logarítmicas naturales

Puede ser útil cambiar la base de las funciones logarítmicas para ver cómo se comparan entre sí. Para ello utiliza la Regla de Proporción para logaritmos,

\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)}

Puesto que quieres convertir $\log_{b} (x)$ a $\log_{e} (x)$ utiliza $a = e$ para obtener

$\log_{b} (x) = \frac{\log_{a} (x)}{\log_{a} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (e)} = \frac{\ln (x)}{\ln (b)}$

Así que $f (x) = \log_{b} (x)$ equivale a $f (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (b)}$ .

Convierte las funciones $h (x) = \log_{2} (x)$ y $g (x) = \log (x)$ a base $e$ y luego grafíalas todas en la misma figura.

Contesta:

Recuerda que cuando no se menciona una base se supone que es base 10. Por tanto, utilizando la Regla de Proporción obtienes

$h (x) = \log_{2} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (2)},$

$g (x) = \log (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (10)}$

Por tanto, no son más que múltiplos constantes de la función logarítmica natural.

Comparación del logaritmo natural, el logaritmo de base 2 y el logaritmo de base 10 | StudySmarter Originals

Derivadas de la función logarítmica natural

La derivada de la función logarítmica natural es

$\frac{d}{d x} \ln (x) = \frac{1}{x}$

Para más información sobre la derivada de la función logarítmica natural, consulta Derivada de la función logarítmica.

Integración de funciones logarítmicas naturales

La integral de la función logarítmica natural es

$\int \ln (x) d x = x \cdot \ln (x) - x + C$

Para más información sobre la integral de la función logarítmica natural, consulta Integrales de funciones logarítmicas.

Función logarítmica natural - Puntos clave

El logaritmo natural y la función exponencial son inversos entre sí
El logaritmo natural de x es la cantidad de tiempo que tarda la función $y = e^{x}$ alcance la cantidad y de crecimiento.
La función logaritmo natural $f (x) = \log_{e} (x)$ es la inversa de la función exponencial $g (x) = e^{x}$ y se escribe $f (x) = \log_{e} (x) = \ln (x) .$

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Preguntas frecuentes sobre Función Logarítmica Natural

¿Qué es una función logarítmica natural?

Una función logarítmica natural es una función matemática que se basa en el logaritmo natural, representado por ln(x), donde 'l' es el logaritmo y 'n' indica la base e (aproximadamente 2.71828).

¿Para qué se usa el logaritmo natural?

El logaritmo natural se usa para modelar fenómenos de crecimiento y decaimiento exponencial, como el crecimiento poblacional, las tasas de interés continuas y la desintegración radiactiva.

¿Cómo se calcula un logaritmo natural?

El logaritmo natural de un número x se calcula como ln(x) y es el exponente al que se debe elevar el número e para obtener x. Por ejemplo, si e^y = x, entonces ln(x) = y.

¿Cuál es la diferencia entre el logaritmo natural y el logaritmo común?

El logaritmo natural tiene como base el número e (aproximadamente 2.71828), mientras que el logaritmo común (log) tiene como base 10.

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