Funciones algebraicas

¿Qué son las funciones algebraicas?

Como aprendimos en nuestro artículo Funciones, hay muchas clases de funciones. Una de esas clases son las funciones algebraicas.

Esta clase de funciones se generó cuando se incluyeron los cocientes y las potencias fraccionarias aparte de las funciones polinómicas. Si no fuera por estos complementos, ¡simplemente tendríamos funciones polinómicas! Estas adiciones a las funciones polinómicas dan lugar a los tipos de funciones algebraicas .

Tipos de funciones algebraicas

• Funciones polinómicas: Una función polinómica es una función que es una suma de términos, cada uno de los cuales es (una constante x una potencia entera no negativa de la variable). Las funciones polinómicas pueden expresarse de la forma \(f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_2x^2 + a_1x + a_0\), donde_an,_an-1, ..., _a2, _a1, _a0sonconstantes, y n es un número entero no negativo. Un ejemplo de función polinómica es \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + x + 5\).

  Observa que la constante puede ser un número negativo (por ejemplo -2), de modo que en lugar de una suma, el término parece una resta. Si la potencia de la variable fuera negativa, significaría que el término está en una fracción, y por tanto sería una función racional y no una función polinómica. Cuando un término variable (x) aparece sin constante, significa que la constante es en realidad el número 1 (\(x \cdot 1 = x\)). Si aparece una constante sola, significa que la potencia de la variable es 0 (\(a \cdot x^0 = a \cdot 1 = a\)).

• Funcionesracionales: Una función racional es un cociente de dos funciones polinómicas. Puede expresarse de la forma \(f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}\), donde p(x) y q(x) son funciones polinómicas. La función es indefinida cuando q(x) = 0, ya que no se puede dividir por cero. Un ejemplo de función racional es \(f(x) = \frac{(x^2 - 1)}{(x + 2)} = (x^2-1)(x+2)^{-1}\).
• Funcionespotencia/raíz: Una función potencia es una función de la forma \(f(x) = kx^n\), donde k y n son constantes. Cuando n es una fracción, obtenemos una función raíz. Por ejemplo, si \(n = \frac{1}{2}}), obtenemos la función raíz cuadrada; si \(n = \frac{1}{3}}), obtenemos la función raíz cúbica, y así sucesivamente. Un ejemplo de función potencia es \(f(x) = 5x^3\). Un ejemplo de función raíz es \(f(x) = \sqrt x\) o \(f(x) = \sqrt[3]x\).

  Una ecuación de la forma \(n^x\) NO es una función algebraica, ya que la variable (x) es el exponente en lugar de la base.

Ejemplos de funciones algebraicas

Basándonos en nuestra definición de función algebraica, vamos a enumerar algunos ejemplos de funciones algebraicas.

\[f(x)=3x+2\]

\[g(x)=x^2-2x-9\]

\[h(x)=cuadrado[3]{x}]

\[j(x)=\dfrac{x+2}{2x-3}\]

\[k(x)=4x^9-3x^4+x\}]

\[p(x)=x^4\]

Funciones no algebraicas

Entonces, si una función algebraica sólo puede incluir las operaciones \(+, -, x, /\), exponentes (y raíces), ¿qué pasa con todas esas otras funciones que incluyen otros operadores, o tienen la variable en puntos distintos de los comentados? ¡Todas ellas son funciones no algebraicas!

Algunos ejemplos de funciones no algebraicas son:

• Funciones trigonométricas, como \(f(x)=\sin(2x)\)

• Funciones hiperbólicas, como : \(f(x)=\cosh(x)\)

• Funciones exponenciales, como : \(f(x)=e^x\)

• Funciones logarítmicas, como : \(f(x)=ln(x)\)

• Funciones de valor absoluto, como : \(f(x)=|x|\)

Cálculo diferencial con funciones algebraicas

Cuando se trata de representar gráficamente funciones algebraicas, a veces necesitamos tomar Derivadas y Derivadas de orden superior para encontrar los puntos críticos y los puntos de inflexión de las gráficas de estas funciones.

Derivadas de funciones algebraicas - Puntos críticos

Si queremos encontrar los puntos críticos de la gráfica de una función algebraica, debemos saber cómo tomar la derivada de la función. Esto lo encontrarás en nuestro artículo sobre Derivadas.

¿Qué es un punto crítico?

Pero, ¿qué es exactamente un punto crítico?

Siempre que tenemos un punto crítico de una función, hay una tangente horizontal, una tangente vertical, un giro brusco o un cambio de concavidad en ese punto.

• Si el punto crítico es \(f'(c)=0\), tenemos una tangente horizontal en ese punto. Esto significa que
  • La función tiene un punto máximo o mínimo en \( c \).
    • Si tenemos \( f(x)=x^{2} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico. En este punto crítico tenemos una tangente horizontal y un mínimo absoluto en \( x=0 \).

Fig. 2. Si tenemos \( f(x)=x^{2} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico tenemos una tangente horizontal en verde y un mínimo absoluto en \( x=0 \).

• O la función tiene un punto de inflexión en \( c \).
  • Si tenemos \( f(x)=x^{3} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico. En este punto crítico tenemos una tangente horizontal y un cambio de concavidad, pero no un mínimo ni un máximo.

Fig. 3. Si tenemos \( f(x)=x^{3} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos una tangente horizontal en verde y un cambio en la concavidad, pero no un mínimo ni un máximo.

• Si el punto crítico es \(f'(c)=\nexists\) (\(\nexists\) significa que no existe), tenemos
  • Una tangente vertical en elpunto \( c \).
    • Si tenemos \( f(x)=x^{\frac{1}{3} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico. En este punto crítico tenemos una tangente vertical y un cambio de concavidad.

Fig. 4. Si tenemos \( f(x)=x^{\frac{1}{3} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos una tangente vertical en verde y un cambio de concavidad.

• O un giro brusco en el punto \( c \).
  • Si tenemos \( f(x)=cuadrado[3]{x^{2}} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico. En este punto crítico, tenemos un giro brusco y un cambio de concavidad.

Fig. 5. Si tenemos \( f(x)=\sqrt[3]{x^{2}} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos un giro brusco y un cambio de concavidad.

Para encontrar un punto crítico de una función, seguimos estos pasos:

1. Halla la Derivada de la función.

2. Establece la derivada igual a 0.

   1. Resuelve \(x\), si es posible.

3. Encuentra todos los valores de \(x\) (si los hay) en los que la derivada sea indefinida.

4. 4. Todos los valores de \(x\)(si están dentro del dominio de la función original) hallados en los pasos 2 y 3 son las coordenadas \(x\)-de los puntos críticos.

   • Halla los valores \(y\)de los puntos críticos introduciendo los valores \(x\)en la función original y resolviendo para la coordenada \(y\).

Derivadas de orden superior de funciones algebraicas - Puntos de inflexión

Si queremos encontrar lospuntos de inflexión en la gráfica de una función algebraica, debemos saber cómo tomar la segunda derivada de la función. Esto lo encontrarás en nuestro artículo sobre Derivadas de orden superior.

¿Qué es un punto de inflexión?

Pero, ¿qué es exactamente un punto de inflexión?

Dondequiera que tengamos un punto de inflexión en una función, es donde ésta cambia de

• Convexa a Cóncava, o
• Cóncava a Convexa

¿Y qué significan Cóncavo y Convexo? ¹

• Cóncava (también llamada Cóncava hacia arriba o Cóncava hacia abajo) es cuando la pendiente de una función es creciente.

• Cóncava (también llamada Cóncava hacia abajo o Convexa hacia arriba) es cuando la pendiente de una función es decreciente.

Fig. 6. La diferencia entre cóncavo hacia arriba, en azul, y cóncavo hacia abajo, en verde.

Entonces, ¿cómo averiguamos dónde cambia la concavidad de una función?

• Hallamos la segunda derivada de la función.

  • Si la segunda derivada de una función es positiva, entonces es Convexa.

  • Si la segunda derivada de una función es negativa, entonces es Cóncava.

Gráficas de funciones algebraicas

Las gráficas de todos estos tipos de funciones algebraicas varían mucho entre sí. Sin embargo, el procedimiento general para representar gráficamente una función algebraica es el siguiente:

1. Calcula las intersecciones x fijando y resolviendo \(x\).

2. Calcula las intersecciones y fijando y resolviendo \(y\).

3. Busca y representa las asíntotas.

4. Busca y representa los puntos críticos.

5. Busca y traza los puntos de inflexión.

6. Calcula algunos puntos adicionales a lo largo de la curva hasta que tengas una buena idea del aspecto de la curva.

7. Traza todos estos puntos y dibuja la curva que los une.

Hallar el dominio y el rango de las funciones algebraicas

Encontrar el dominio y el rango de las funciones algebraicas depende del tipo de función algebraica que estemos considerando.

Para las funciones polinómicas

• El dominio de todas las funciones polinómicas son todos los números reales: \(-\infty, \infty\).

• El dominio de las funciones polinómicas depende tanto del orden del polinomio como de los valores \(y\)-de la gráfica.

  • Si el orden del polinomio es impar, el rango es siempre \(-\infty, \infty\).

  • Si el orden del polinomio es par, el intervalo depende del valor o valores mínimo y/o máximo de \(y\).

Para funciones racionales:

• Encontrar el dominio de las funciones racionales requiere que sigamos la regla de que el denominador no puede ser igual a \(0\).

• Para hallar el rango de las funciones racionales debemos:

  • En primer lugar, resolver la función para \(x\)

  • Luego, aplicar la regla de que el denominador no puede ser igual a \(0\).

Para funciones de potencia/raíz:

• Tanto el dominio como el rango de las funciones potencia y raíz dependen del exponente. Debemos analizar cada función caso por caso, ya que el dominio y el rango de estas funciones son bastante "sensibles" a los cambios de exponente.

Funciones algebraicas Problemas de ejemplo