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Funciones
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Una función algebraica es un tipo de función que puede definirse mediante polinomios. En otras palabras, es una función que sólo implica operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división) y también puede implicar la extracción de raíces. Puede expresarse mediante un número finito de estas operaciones.
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Enviar comentariosLa(s) variable(s) de una función algebraica puede(n) aparecer en el numerador, el denominador o bajo un símbolo de raíz, pero los exponentes de todas las variables de la función deben ser números racionales (fracciones o enteros).
Un problema en el que intervienen funciones algebraicas podría ser algo parecido a esto
Sabes que la edad de tu tío Juan es el doble de tu edad más cuatro años, y sabes que tu edad es 15 años. Puedes utilizar una función algebraica para calcular la edad de tu tío (x): \(x = 15 \cdot 2 +4 = 34\)
En este artículo definiremos qué son las funciones algebraicas, los distintos tipos de funciones algebraicas, cómo identificar funciones algebraicas y no algebraicas, abordaremos el cálculo diferencial de las funciones algebraicas y veremos algunos ejemplos.
Como aprendimos en nuestro artículo Funciones, hay muchas clases de funciones. Una de esas clases son las funciones algebraicas.
Una función algebraica es una función en la que sólo intervienen operaciones algebraicas: suma, resta, multiplicación, división, potencias y raíces.
Esta clase de funciones se generó cuando se incluyeron los cocientes y las potencias fraccionarias aparte de las funciones polinómicas. Si no fuera por estos complementos, ¡simplemente tendríamos funciones polinómicas! Estas adiciones a las funciones polinómicas dan lugar a los tipos de funciones algebraicas .
Observa que la constante puede ser un número negativo (por ejemplo -2), de modo que en lugar de una suma, el término parece una resta. Si la potencia de la variable fuera negativa, significaría que el término está en una fracción, y por tanto sería una función racional y no una función polinómica. Cuando un término variable (x) aparece sin constante, significa que la constante es en realidad el número 1 (\(x \cdot 1 = x\)). Si aparece una constante sola, significa que la potencia de la variable es 0 (\(a \cdot x^0 = a \cdot 1 = a\)).
Una ecuación de la forma \(n^x\) NO es una función algebraica, ya que la variable (x) es el exponente en lugar de la base.
Basándonos en nuestra definición de función algebraica, vamos a enumerar algunos ejemplos de funciones algebraicas.
\[f(x)=3x+2\]
\[g(x)=x^2-2x-9\]
\[h(x)=cuadrado[3]{x}]
\[j(x)=\dfrac{x+2}{2x-3}\]
\[k(x)=4x^9-3x^4+x\}]
\[p(x)=x^4\]
De nuevo, ten en cuenta que las funciones algebraicas sólo incluyen las operaciones\(+,-,x,/\), exponentes enteros y exponentes racionales.
Entonces, si una función algebraica sólo puede incluir las operaciones \(+, -, x, /\), exponentes (y raíces), ¿qué pasa con todas esas otras funciones que incluyen otros operadores, o tienen la variable en puntos distintos de los comentados? ¡Todas ellas son funciones no algebraicas!
Algunos ejemplos de funciones no algebraicas son:
Funciones trigonométricas, como \(f(x)=\sin(2x)\)
Funciones hiperbólicas, como : \(f(x)=\cosh(x)\)
Funciones exponenciales, como : \(f(x)=e^x\)
Funciones logarítmicas, como : \(f(x)=ln(x)\)
Funciones de valor absoluto, como : \(f(x)=|x|\)
Cuando se trata de representar gráficamente funciones algebraicas, a veces necesitamos tomar Derivadas y Derivadas de orden superior para encontrar los puntos críticos y los puntos de inflexión de las gráficas de estas funciones.
Si queremos encontrar los puntos críticos de la gráfica de una función algebraica, debemos saber cómo tomar la derivada de la función. Esto lo encontrarás en nuestro artículo sobre Derivadas.
¿Qué es un punto crítico?
Sea c un punto interior en el dominio de \(f(x)\). Decimos que \(x=c\) es un punto crítico de la función \(f(x)\) si
¡f(c) DEBE EXISTIR para que \(x=c\) sea un punto crítico!
Pero, ¿qué es exactamente un punto crítico?
Siempre que tenemos un punto crítico de una función, hay una tangente horizontal, una tangente vertical, un giro brusco o un cambio de concavidad en ese punto.
Fig. 2. Si tenemos \( f(x)=x^{2} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico tenemos una tangente horizontal en verde y un mínimo absoluto en \( x=0 \).
Fig. 3. Si tenemos \( f(x)=x^{3} \), entonces \( f'(0)=0 \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos una tangente horizontal en verde y un cambio en la concavidad, pero no un mínimo ni un máximo.
Fig. 4. Si tenemos \( f(x)=x^{\frac{1}{3} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos una tangente vertical en verde y un cambio de concavidad.
Fig. 5. Si tenemos \( f(x)=\sqrt[3]{x^{2}} \), entonces \( f'(0)=DNE \) y \( x=0 \) es un punto crítico en rosa. En este punto crítico, tenemos un giro brusco y un cambio de concavidad.
Para encontrar un punto crítico de una función, seguimos estos pasos:
Halla la Derivada de la función.
Establece la derivada igual a 0.
Resuelve \(x\), si es posible.
Encuentra todos los valores de \(x\) (si los hay) en los que la derivada sea indefinida.
4. Todos los valores de \(x\)(si están dentro del dominio de la función original) hallados en los pasos 2 y 3 son las coordenadas \(x\)-de los puntos críticos.
Halla los valores \(y\)de los puntos críticos introduciendo los valores \(x\)en la función original y resolviendo para la coordenada \(y\).
Si queremos encontrar lospuntos de inflexión en la gráfica de una función algebraica, debemos saber cómo tomar la segunda derivada de la función. Esto lo encontrarás en nuestro artículo sobre Derivadas de orden superior.
¿Qué es un punto de inflexión?
Si \(f(x)\) es continua en \(a\) y \(f(x)\) cambia de concavidad en \(a\), entonces el punto \((a, f(a))\) es un punto de inflexión de \(f(x)\).
Pero, ¿qué es exactamente un punto de inflexión?
Dondequiera que tengamos un punto de inflexión en una función, es donde ésta cambia de
¿Y qué significan Cóncavo y Convexo? 1
Cóncava (también llamada Cóncava hacia arriba o Cóncava hacia abajo) es cuando la pendiente de una función es creciente.
Cóncava (también llamada Cóncava hacia abajo o Convexa hacia arriba) es cuando la pendiente de una función es decreciente.
Ten en cuenta que los exámenes de Cálculo AP (y probablemente tu profesor de Cálculo AP) utilizan los términos Cóncavo Hacia Arriba y Cóncavo Hacia Abajo.
Fig. 6. La diferencia entre cóncavo hacia arriba, en azul, y cóncavo hacia abajo, en verde.
Entonces, ¿cómo averiguamos dónde cambia la concavidad de una función?
Hallamos la segunda derivada de la función.
Si la segunda derivada de una función es positiva, entonces es Convexa.
Si la segunda derivada de una función es negativa, entonces es Cóncava.
Las gráficas de todos estos tipos de funciones algebraicas varían mucho entre sí. Sin embargo, el procedimiento general para representar gráficamente una función algebraica es el siguiente:
Calcula las intersecciones x fijando y resolviendo \(x\).
Calcula las intersecciones y fijando y resolviendo \(y\).
Busca y representa las asíntotas.
Busca y representa los puntos críticos.
Busca y traza los puntos de inflexión.
Calcula algunos puntos adicionales a lo largo de la curva hasta que tengas una buena idea del aspecto de la curva.
Traza todos estos puntos y dibuja la curva que los une.
Grafica la función:
\[f(x)=\dfrac{1}{x}\]
Solución:
Calcula los intersticios de x fijando \(y=0\) y resolviendo para \(x\).
\(f(x)=y=\dfrac{1}{x} \) puede sustituirse por \(y\).
\(0=\dfrac{1}{x}\) establece \(y=0\) y multiplica cruzadamente para resolver \(x\).
\ No hay intersecciones \(x).
Calcula los intersticios \(y) fijando \(x=0) y resolviendo \(y).
\(f(x)=y=\dfrac{1}{x}=f(x)\) puede sustituirse por \(y\).
\(y=\dfrac{1}{0}) establece \(x=0\) y resuelve para \(y\).
\(y \neq \dfrac{1}{0}=\infty\) ¡no puedes dividir por \(0\)! No hay intersecciones \(y).
Encuentra y traza las asíntotas.
Como la expresión \(dfrac{1}{x} \flecha derecha 0\) es \(\flecha derecha \pm \infty\), hay una asíntota horizontal en la recta \(y=0\) (el eje \(x\)).
Como la expresión \(dfrac{1}{x} \rightarrow \pm \infty \) es \(x \rightarrow 0\), existe una asíntota vertical en la recta \(x=0\) (el eje \(y)).
Encuentra y traza los puntos críticos.
Encuentra la derivada de la función (consulta nuestro artículo sobre Derivadas para más información):
\(\dfrac{d}{dx}\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{x^2}\)
Establece la derivada igual a \(0\), y resuelve para \(x\).
\(0=-\dfrac{1}{x^2}\)
\(0 \neq -1\) aunque el punto donde \(x=0\) es un posible candidato a punto crítico porque \(f'(0)=\nexists\), no hay puntos críticos porque antes hemos demostrado que \(f(0)\) no existe.
Encuentra y traza cualquier punto de inflexión.
Encuentra la segunda derivada de la función (consulta nuestro artículo sobre Derivadas de orden superior para más información):
\(\dfrac{d^2}{dx^2}\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x^3}\)
Establece la segunda derivada igual a \(0\), y resuelve para \(x\).
\(0=\dfrac{2}{x^3}\)
\(0 \neq 2\)la segunda derivada nunca es 0, y es indefinida cuando \(x=0\). No hay puntos de inflexión porque la función original no está definida en \(0\).
Calcula algunos puntos más a lo largo de la curva hasta que tengas una buena idea del aspecto de la curva.
| \(x\) | \(1/x\) |
| \(-4\) | \(-1/4\) |
| \(-3\) | \(-1/3\) |
| \(-2\) | \(-1/2\) |
| \(-1\) | \(-1\) |
| \(0\) | indefinido |
| \(1\) | \(1\) |
| \(2\) | \(1/2\) |
| \(3\) | \(1/3\) |
| \(4\) | \(1/4\) |
Traza todos estos puntos y dibuja la curva que los une.
Fig. 7. Puntos trazados.
Encontrar el dominio y el rango de las funciones algebraicas depende del tipo de función algebraica que estemos considerando.
Para las funciones polinómicas
El dominio de todas las funciones polinómicas son todos los números reales: \(-\infty, \infty\).
El dominio de las funciones polinómicas depende tanto del orden del polinomio como de los valores \(y\)-de la gráfica.
Si el orden del polinomio es impar, el rango es siempre \(-\infty, \infty\).
Si el orden del polinomio es par, el intervalo depende del valor o valores mínimo y/o máximo de \(y\).
Halla el dominio y el rango de la función:
\[f(x)=x^2+4\]
Solución:
Como se trata de una función polinómica:
Para hallar el rango, reconocemos que se trata de la ecuación de una parábola. Podemos reescribir la ecuación en forma de vértice como
\[y=a(x-h)^2+k\]
\[y=(x-0)^2+4\]
Donde
Como el coeficiente principal es positivo, sabemos que la parábola se abre hacia arriba. Esto significa que el vértice es el punto más bajo de la parábola.
Por tanto, el rango es \([4, \infty)\).
Podemos representar gráficamente la función para comprobar nuestro trabajo:
Fig. 8. Gráfica de una función polinómica.
Para funciones racionales:
Encontrar el dominio de las funciones racionales requiere que sigamos la regla de que el denominador no puede ser igual a \(0\).
Para hallar el rango de las funciones racionales debemos:
En primer lugar, resolver la función para \(x\)
Luego, aplicar la regla de que el denominador no puede ser igual a \(0\).
Observa que si los polinomios de la función racional tienen órdenes superiores a \(2\), este proceso se complica rápidamente. Para encontrar el rango de funciones racionales cuyos órdenes sean \(3\) o superiores, necesitaríamos más análisis diferencial.
Halla el dominio y el rango de la función:
\[f(x)=\dfrac{3x-1}{5x+2}\]
Solución:
Como se trata de una función racional, debemos seguir la regla de que el denominador no puede ser igual a \(0\). Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto en los que el denominador es igual a \(0\).
Para hallar el rango, tenemos que encontrar los valores de \(y\) para los que existe un número real de \(x\) tal que
\[y=\dfrac{3x-1}{5x+2}\]
Podemos representar gráficamente la función para comprobar nuestro trabajo:
Fig. 9. Gráfica de una función racional.
Para funciones de potencia/raíz:
Tanto el dominio como el rango de las funciones potencia y raíz dependen del exponente. Debemos analizar cada función caso por caso, ya que el dominio y el rango de estas funciones son bastante "sensibles" a los cambios de exponente.
Encuentra el dominio y el rango de la función:
\[f(x)=\sqrt{4-x^2}\]
Solución:
Hallar el dominio:
Para hallar el rango:
Podemos representar gráficamente la función para comprobar nuestro trabajo:
Fig. 10. Gráfica de una función raíz.
¿Cuáles de las siguientes son funciones algebraicas?
\[1.- f(x)=\sin(x)\]
\[2.- f(x)=x^2-x\]
\[3.- f(x)=ln(x)\]
\[4.- f(x)=|x-2|\]
\[5.- f(x)=x+9\]
\[6.- f(x)=\dfrac{1}{x-5}}]
\[7.- f(x)=x^{dfrac{2}{5}}]
\[8.- f(x)=tanh(x)\]
\[9.- f(x)=e^x\]
\[10.- f(x)=x^4-2x-6]
\[11.- f(x)=\dfrac{2x^5-6x}{x^3}\]
Solución:
Halla el dominio de cada una de las siguientes:
\[f(x)=\dfrac{3}{x^2-1}\]
\[f(x)=\dfrac{2x+5}{3x^2+4}\]
\f(x)=cuadrado{4-3x}]
\[f(x)=\sqrt[3]{2x-1}\]
Solución:
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