Funciones con valores vectoriales

Vectores

Fig. 1. Un vector puede considerarse como una flecha que apunta de un lugar a otro.

Los vectores pueden escribirse de dos formas distintas,

• Forma de vector columna: \( \ inicio{matriz} x \ y \ fin{matriz}, \)

• Forma componente: \( x \vec{i} + y \vec{j}. \)

Estos dos vectores son equivalentes. Numéricamente, los vectores se pueden sumar y restar sumando o restando sus componentes individuales. Del mismo modo, se pueden multiplicar por cantidades escalares multiplicando sus componentes individuales. En forma de componente, esto se parece a juntar términos semejantes y expandir paréntesis.

Gráficamente, la suma de vectores se hace apilándolos punta con punta, y la resta apilándolos punta con punta, pero apuntando el segundo vector en dirección opuesta. Multiplicar números por un escalar \(\lambda\) es lo mismo que apilar \(\lambda\) de los mismos vectores, punta con punta, y si \(\lambda\) es negativo, el producto apuntará en sentido contrario.

Por último, dado un vector \( v = x \vec{i} + y \vec{j},\) la magnitud \(||vec{v}||) y el ángulo de dirección \(\theta) de un vector pueden calcularse mediante las siguientes fórmulas:

\[ \begin{align} | \vec{v} | & = \sqrt{ x^2 + y^2 }, \\\theta & = \tan^{-1}\left({\frac{x}{y}\}right) \end{align} \]

Para más información sobre todo esto, consulta Vectores.

¿Qué son las funciones vectoriales?

Las funciones de valor vectorial son como las de valor real, pero dan como resultado un vector en lugar de un escalar.

Dada esta definición, puedes deducir el dominio y el rango de una función con valor vectorial.

• El dominio de una función de valor vectorial es un subconjunto de \(\mathbb{R},\)

• El rango de una función vectorial dimensional es un subconjunto de \(\mathbb{R}^n.\)

Aquí te centrarás en vectores en 2 dimensiones, lo que significa que el rango de las funciones será un subconjunto de \(\mathbb{R}^2.\) Es importante tener en cuenta que es un subconjunto de \(\mathbb{R}^2) y no la totalidad de \(\mathbb{R}^2,\), ya que te encontrarás con muchas funciones de valor vectorial que no pueden dar salida a todos los puntos de \(\mathbb{R}^2.\)

Ejemplos de funciones vectoriales

Hay muchos tipos diferentes de funciones vectoriales, pero aquí veremos algunas de las más sencillas.

Líneas rectas

La fórmula vectorial de una recta es

\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} b_1 \b_2 \end{bmatrix}. \]

Aquí, \(\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{b} \) es el vector de posición de un punto \(a\) de la recta, y \( \vec{b} = b_1 \vec{i} + b_2 \vec{j} \) es un vector paralelo a la recta.

Fig. 2. Una recta se define mediante una función de valor vectorial que utiliza un punto de la recta, \(a,\) y un vector paralelo a la recta, \(\vec{b}.\)

Círculos y elipses

La ecuación vectorial de un círculo de radio \(a\) es

\[ \vec{r}(t) = \in{bmatriz} a \cos{t} \ a \sin{t} \fin{bmatriz} \]

Fig. 3. La función vectorial de un círculo puede definirse mediante las funciones seno y coseno.

Una elipse puede definirse de forma similar, pero utilizando \(a\) como intercepción en el eje \(x\)-y \(b\) como intercepción en el eje \(y\).

\[ \vec{r}(t) = \in{bmatriz} a \cos{t} \ b \sin{t} \final{bmatriz} \]

Fig. 4. La función vectorial-valorada de una elipse puede definirse de forma similar a la de un círculo, pero teniendo en cuenta las diferentes intercepciones de los ejes.

Espirales

Hay muchas formas de definir las espirales en matemáticas, pero una forma fácil es definirlas de forma similar a las espirales y los círculos, pero con un término \(t\) delante de las funciones trigonométricas.

\[ \vec{r}(t) = \inicio{bmatriz} a t \cos{t} \ b t \sin{t} \final{bmatriz} \]

Fig. 5, La gráfica de una espiral, donde \(a = b = \frac{1}{2}. \)

Gráfica de funciones vectoriales

La primera vez que aprendiste a representar gráficamente ecuaciones cartesianas como \(y = f(x),\) probablemente empezaste dibujando una tabla de valores para \(x,\) y luego rellenando los valores correspondientes de \(y.\) Luego pudiste trazar estos puntos y unirlos, para crear una estimación de la curva. Puedes hacer exactamente lo mismo para representar gráficamente funciones con valores vectoriales, pero partiendo de la variable \(t\) y utilizando estos valores de \(t\) para calcular los valores correspondientes de \(x\) y \(y.\) Veamos un ejemplo de ello.

Para ver más ejemplos, consulta Graficar funciones vectoriales.

Fórmula de las funciones vectoriales

La fórmula más importante para las funciones vectoriales es la fórmula de la longitud de arco, o longitud de una curva entre dos puntos.

La longitud de la curva entre los puntos \(t=a\) y \(t=b.\)

La longitud \(L\) de una curva \(\vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \) entre dos puntos \(a\) y \(b\) es

\[ L = \int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2} \mathrm{d}t. \]

Esto mide toda la longitud de la curva, como si hubieras colocado un trozo de cuerda sobre la curva y luego lo hubieras cortado y medido. Veamos algunos ejemplos utilizando esta fórmula.

Derivadas de funciones con valor vectorial

La derivada de las funciones de valor vectorial se puede hallar diferenciando cada componente de la función de valor vectorial. La derivada de \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \j) es

\frac{{mathrm{d}{vec{r}}{mathrm{d}t}(t) = \frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}t}(t) \vec{i} + \frac {mathrm{d}g} {mathrm{d} {mathrm{d}(t) \vec{j}, \].

suponiendo que existen las derivadas de \(f(t)\) y \(g(t)\) respecto a \(t\). Esto tiene un sentido lógico, ya que es como utilizar la regla de la suma al diferenciar cualquier otra función. La derivada de una función de valor vectorial en un punto apuntará en la dirección de desplazamiento de la función, en una tangente a la curva.

Si la función de valor vectorial, llamémosla \(\vec{s}(t),\) representa la posición en el plano \(xy\) en el tiempo \(t,\) entonces la derivada de esta función será el vector velocidad \(\vec{v}(t).\) La magnitud del vector velocidad en el tiempo \(t\) es la velocidad de desplazamiento en el tiempo \(t.\) Del mismo modo, la diferencial del vector velocidad será el vector aceleración, \( \vec{a}(t). \) Veamos cómo diferenciar algunas funciones vectoriales.

Para saber más sobre la diferenciación de funciones de valor vectorial, consulta Cálculo de funciones de valor vectorial.