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Definición de función vectorial
Antes de entrar en los detalles de las funciones de valor vectorial, es importante comprender bien los vectores.
Vectores
Un vector es un objeto matemático que tiene dirección y magnitud.
Fig. 1. Un vector puede considerarse como una flecha que apunta de un lugar a otro.
Los vectores pueden escribirse de dos formas distintas,
Forma de vector columna: \( \ inicio{matriz} x \ y \ fin{matriz}, \)
Forma componente: \( x \vec{i} + y \vec{j}. \)
Estos dos vectores son equivalentes. Numéricamente, los vectores se pueden sumar y restar sumando o restando sus componentes individuales. Del mismo modo, se pueden multiplicar por cantidades escalares multiplicando sus componentes individuales. En forma de componente, esto se parece a juntar términos semejantes y expandir paréntesis.
Gráficamente, la suma de vectores se hace apilándolos punta con punta, y la resta apilándolos punta con punta, pero apuntando el segundo vector en dirección opuesta. Multiplicar números por un escalar \(\lambda\) es lo mismo que apilar \(\lambda\) de los mismos vectores, punta con punta, y si \(\lambda\) es negativo, el producto apuntará en sentido contrario.
Por último, dado un vector \( v = x \vec{i} + y \vec{j},\) la magnitud \(||vec{v}||) y el ángulo de dirección \(\theta) de un vector pueden calcularse mediante las siguientes fórmulas:
\[ \begin{align} | \vec{v} | & = \sqrt{ x^2 + y^2 }, \\\theta & = \tan^{-1}\left({\frac{x}{y}\}right) \end{align} \]
Para más información sobre todo esto, consulta Vectores.
¿Qué son las funciones vectoriales?
Las funciones de valor vectorial son como las de valor real, pero dan como resultado un vector en lugar de un escalar.
Una función de valor vectorial es una función que toma un valor escalar como entrada y da un vector como salida. Una función vectorial de una variable tiene el siguiente aspecto,
\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} f(t) \\ g(t) \end{bmatrix} = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j}. \]
Aquí, \( f(t)\) y \(g(t)\) son ecuaciones paramétricas.
Dada esta definición, puedes deducir el dominio y el rango de una función con valor vectorial.
El dominio de una función de valor vectorial es un subconjunto de \(\mathbb{R},\)
El rango de una función vectorial dimensional es un subconjunto de \(\mathbb{R}^n.\)
Aquí te centrarás en vectores en 2 dimensiones, lo que significa que el rango de las funciones será un subconjunto de \(\mathbb{R}^2.\) Es importante tener en cuenta que es un subconjunto de \(\mathbb{R}^2) y no la totalidad de \(\mathbb{R}^2,\), ya que te encontrarás con muchas funciones de valor vectorial que no pueden dar salida a todos los puntos de \(\mathbb{R}^2.\)
Ejemplos de funciones vectoriales
Hay muchos tipos diferentes de funciones vectoriales, pero aquí veremos algunas de las más sencillas.
Líneas rectas
La fórmula vectorial de una recta es
\[ \vec{r}(t) = \begin{bmatrix} a_1 \ a_2 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix} b_1 \b_2 \end{bmatrix}. \]
Aquí, \(\vec{a} = a_1 \vec{i} + a_2 \vec{b} \) es el vector de posición de un punto \(a\) de la recta, y \( \vec{b} = b_1 \vec{i} + b_2 \vec{j} \) es un vector paralelo a la recta.
Fig. 2. Una recta se define mediante una función de valor vectorial que utiliza un punto de la recta, \(a,\) y un vector paralelo a la recta, \(\vec{b}.\)
Círculos y elipses
La ecuación vectorial de un círculo de radio \(a\) es
\[ \vec{r}(t) = \in{bmatriz} a \cos{t} \ a \sin{t} \fin{bmatriz} \]
Fig. 3. La función vectorial de un círculo puede definirse mediante las funciones seno y coseno.
Una elipse puede definirse de forma similar, pero utilizando \(a\) como intercepción en el eje \(x\)-y \(b\) como intercepción en el eje \(y\).
\[ \vec{r}(t) = \in{bmatriz} a \cos{t} \ b \sin{t} \final{bmatriz} \]
Fig. 4. La función vectorial-valorada de una elipse puede definirse de forma similar a la de un círculo, pero teniendo en cuenta las diferentes intercepciones de los ejes.
Espirales
Hay muchas formas de definir las espirales en matemáticas, pero una forma fácil es definirlas de forma similar a las espirales y los círculos, pero con un término \(t\) delante de las funciones trigonométricas.
\[ \vec{r}(t) = \inicio{bmatriz} a t \cos{t} \ b t \sin{t} \final{bmatriz} \]
Fig. 5, La gráfica de una espiral, donde \(a = b = \frac{1}{2}. \)
Gráfica de funciones vectoriales
La primera vez que aprendiste a representar gráficamente ecuaciones cartesianas como \(y = f(x),\) probablemente empezaste dibujando una tabla de valores para \(x,\) y luego rellenando los valores correspondientes de \(y.\) Luego pudiste trazar estos puntos y unirlos, para crear una estimación de la curva. Puedes hacer exactamente lo mismo para representar gráficamente funciones con valores vectoriales, pero partiendo de la variable \(t\) y utilizando estos valores de \(t\) para calcular los valores correspondientes de \(x\) y \(y.\) Veamos un ejemplo de ello.
Dibuja la gráfica de \( \vec{r} = t^2 \vec{i} + t \vec{j}, \) para valores de \(-4 < t < 4. \)
Solución
En primer lugar, crea una tabla con tres columnas, titulada \(t, x, y.\) Puedes rellenar la columna \(t\) con los enteros de \(-4\) a \(4.\)
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
| -4 | ||
| -3 | ||
| -2 | ||
| -1 | ||
| 0 | ||
| 1 | ||
| 2 | ||
| 3 | ||
| 4 |
A partir de aquí, puedes empezar a rellenar los valores. Recuerda que \(x\) será el coeficiente del término \(\vec{i}\), y \(y\) será el coeficiente del término \(\vec{j}\). En primer lugar, rellenemos la columna \(x\) elevando al cuadrado todos los valores de la columna \(t\).
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
| -4 | 16 | |
| -3 | 9 | |
| -2 | 4 | |
| -1 | 1 | |
| 0 | 0 | |
| 1 | 1 | |
| 2 | 4 | |
| 3 | 9 | |
| 4 | 16 |
A continuación, rellena la columna \(y\). Será exactamente igual que los valores de la columna \(t\).
| \(t\) | \(x\) | \(y\) |
| -4 | 16 | -4 |
| -3 | 9 | -3 |
| -2 | 4 | -2 |
| -1 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 4 | 2 |
| 3 | 9 | 3 |
| 4 | 16 | 4 |
A continuación, representa gráficamente los pares \((x,y)\).
Fig. 6. La forma de estos puntos parece parecerse a una parábola.
Basándonos en la forma de los puntos trazados y en el hecho de que la función tiene un término \(t^2\), parece ser una parábola. Puedes trazar una curva entre estos puntos para obtener la siguiente curva:
Fig. 7. La curva terminada es la parábola \(x = y^2.\)
Para ver más ejemplos, consulta Graficar funciones vectoriales.
Fórmula de las funciones vectoriales
La fórmula más importante para las funciones vectoriales es la fórmula de la longitud de arco, o longitud de una curva entre dos puntos.
La longitud de la curva entre los puntos \(t=a\) y \(t=b.\)
La longitud \(L\) de una curva \(\vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \) entre dos puntos \(a\) y \(b\) es
\[ L = \int_a^b \sqrt{[f'(t)]^2 + [g'(t)]^2} \mathrm{d}t. \]
Esto mide toda la longitud de la curva, como si hubieras colocado un trozo de cuerda sobre la curva y luego lo hubieras cortado y medido. Veamos algunos ejemplos utilizando esta fórmula.
Halla la longitud de arco de
\[ \vec{r} = \in{bmatrix} \sin{(3t)} \cos{(3t)} \end{bmatrix} \]]
para \(-4 < t < 2.\)
Solución
Aquí, \(f(t) = \sin{(3t)}\) y \(g(t) = \cos{(3t)}.\) La fórmula requiere las derivadas de estas funciones, por lo que debes diferenciar ambas.
\[ \begin{align} f'(t) & = 3 \cos{(3t)} \\ g'(t) & = 3 \sin{(3t)}. \fin \]
A partir de aquí, puedes sustituir esto en la fórmula de la longitud del arco.
\[ \begin{align} L & = \int_{-4}^{2} \(3 \cos{(3t)})^2 + (3 \sin{(3t)})^2}. \^2, \mathrm{d}t & = \int_{-4}^2 \sqrt{ 9 \cos^2{(3t)} + 9 \sin^2(3t)} } |mathrm{d}t & = \int_{-4}^{2} \9 (cos^2{(3t)} + sin^2{(3t)}) \mathrm{d}t. \fin \]
A partir de aquí, puedes utilizar la fórmula \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1. \)
\[ \begin{align} L & = \int_{-4}^{2} \9 \cdot 1} \y =int_-4}^2} 3 \mathrm{d}t & = [3t]_{-4}^{2} \\ χ & = 3\cdot 2 - 3 \cdot (-4) χ & = 18. \fin \]
Por tanto, la longitud del arco es de 18 unidades.
Derivadas de funciones con valor vectorial
La derivada de las funciones de valor vectorial se puede hallar diferenciando cada componente de la función de valor vectorial. La derivada de \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j} \j) es
\frac{{mathrm{d}{vec{r}}{mathrm{d}t}(t) = \frac{mathrm{d}f}{mathrm{d}t}(t) \vec{i} + \frac {mathrm{d}g} {mathrm{d} {mathrm{d}(t) \vec{j}, \].
suponiendo que existen las derivadas de \(f(t)\) y \(g(t)\) respecto a \(t\). Esto tiene un sentido lógico, ya que es como utilizar la regla de la suma al diferenciar cualquier otra función. La derivada de una función de valor vectorial en un punto apuntará en la dirección de desplazamiento de la función, en una tangente a la curva.
Si la función de valor vectorial, llamémosla \(\vec{s}(t),\) representa la posición en el plano \(xy\) en el tiempo \(t,\) entonces la derivada de esta función será el vector velocidad \(\vec{v}(t).\) La magnitud del vector velocidad en el tiempo \(t\) es la velocidad de desplazamiento en el tiempo \(t.\) Del mismo modo, la diferencial del vector velocidad será el vector aceleración, \( \vec{a}(t). \) Veamos cómo diferenciar algunas funciones vectoriales.
La posición de una partícula en el espacio viene dada por la función vectorial
\[ \vec{s}(t) = \begin{bmatrix} 3t^2 \\\ e^t \end{bmatrix}. \]
Halla las funciones vectoriales para la velocidad y la aceleración de la partícula.
Solución
Si diferencias la función de posición, obtendrás la función de velocidad. Ésta será
\[ \vec{v}(t) = \vec{s}'(t) = \begin{bmatrix} 6t \\ e^t \end{bmatrix}. \]
A continuación, puedes diferenciar esto de nuevo para hallar la función de aceleración.
\[ \vec{a}(t) = \vec{v}'(t) = \begin{bmatrix} 6 \ e^t \end{bmatrix}. \]
Para saber más sobre la diferenciación de funciones de valor vectorial, consulta Cálculo de funciones de valor vectorial.
Función vectorial - Puntos clave
- Una función de valor vectorial es una función que toma un valor escalar como entrada y da un vector como salida.
- Las funciones de valor vectorial pueden escribirse \( \vec{r}(t) = f(t) \vec{i} + g(t) \vec{j}. \)
El dominio de una función de valor vectorial es un subconjunto de \(\mathbb{R}\).
El rango de una función vectorial de \(n\)dimensión es un subconjunto de \(\mathbb{R}^n.\)
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