Funciones de Coordenadas Polares

Significado de las funciones en coordenadas polares

Una función en coordenadas polares o función polar es una función de la forma

\[ r = f(\theta), \]

donde \(r\) y \(\theta\) satisfacen que

\[ \begin{align} x &= r \cos \theta, \mbox{ y } \\ y &= r \sin \theta . \fin].

Mientras que una función en coordenadas rectangulares toma un valor \(x\) y devuelve un valor \(y\), una función polar toma un ángulo y devuelve una distancia desde el origen.

Fig. 1. Sistema de coordenadas polares.

Las funciones polares se diferencian de las curvas polares en que una función sólo puede tener una salida para cualquier entrada, mientras que una curva puede tener múltiples salidas para cualquier entrada dada. Por ejemplo, la ecuación

\[ r^2 = \cos (2\theta )\}]

define una curva polar, pero no define una función polar. En concreto, cuando

\[ \theta = \frac{\pi}{6}, \]

tanto

\[ r = \sqrt{\frac{1}{2}} \mbox{ y } r = -\sqrt{\frac{1}{2}} \mbox]

satisfacen que

\r^2 &= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = \fin].

Para más información sobre curvas polares que pueden no ser funciones polares, consulta el artículo Curvas polares.

Derivar funciones escritas en coordenadas polares

Puede ser muy útil transformar funciones escritas en coordenadas rectangulares en funciones polares, y viceversa. Algunas funciones se escriben de forma más natural en un sistema de coordenadas que en otro, por lo que la conversión entre sistemas de coordenadas puede simplificar enormemente los cálculos, como la obtención de derivadas y la búsqueda de integrales. En general, las funciones con

\[ x^2 + y^2 \]

suelen tener buenas formas polares.

Algunas identidades importantes que hay que conocer al trabajar con funciones en coordenadas polares son las siguientes:

• \( y = r\sin \eta\)

• \(x = r\cos \theta \)

• \(x^2 + y^2 = r^2)

• \(Tan zeta = Frac{x}{y} zeta)

Si decides utilizar la relación

\[ \theta = \tan^{-1}\left( \frac{x}{y} \right), \]

recuerda tener cuidado con el cuadrante en el que están tus puntos, ya que para cualquier \(x\) y \(y\) hay muchos valores de \(\theta) que satisfacen

\[\tan \theta = \frac{x}{y}. \]

Para más información sobre la selección del ángulo correcto, consulta el artículo Coordenadas polares.

Pasos para derivar funciones en coordenadas polares

De rectangulares a polares

Si vas a convertir una función o ecuación escrita en coordenadas rectangulares a una función o ecuación en coordenadas polares, puedes seguir dos pasos:

Paso1: Sustituye cada instancia de \(x\) por \(r \cos \theta \), cada instancia de \(y\) por \(r \sin\theta \), y cada instancia de \(x^2 + y^2) por \( r^2\).

Paso 2: Simplifica la expresión. La identidad\[ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1 \]puede ser especialmente útil en este paso.

Veamos algunos ejemplos.

A veces puede que no estés seguro de si has terminado de simplificar.

De polar a rectangular

Convertir una función escrita en coordenadas polares en una función escrita en coordenadas rectangulares puede ser un poco más complicado, pero siguiendo los pasos que se indican a continuación suele ser un buen comienzo.

Paso 1: Sustituye cada instancia de \(\theta\) por expresiones en términos de \(x\), \(y\) y \(r\). Las relaciones

\[ \comenzar{alinear} \cos\theta &= \frac{x}{r} \\ χsinχtheta &= χfrac {y} {r} χtanχtheta &= χfrac {y} {x} \fin]]

suelen ser útiles aquí, al igual que las identidades trigonométricas de doble y medio ángulo.

Paso 2: Reorganiza la ecuación y sustituye cada instancia de \(r\) por expresiones en términos de \(x\) y \(y\), utilizando la relación

\x^2 + y^2 = r^2 \].

y elevando al cuadrado los términos \(r\) según sea necesario.

Paso 3: Simplifica la ecuación.

Veamos algunos ejemplos.

Veamos un ejemplo en el que realmente necesitas simplificar un poco.

Ejemplos de funciones en coordenadas polares

Muchas curvas conocidas pueden escribirse como funciones en coordenadas polares. Dos de estas familias de curvas son los círculos y las rectas. Otras curvas polares importantes, muchas de las cuales son funciones polares, se tratan en el artículo Curvas polares.

Para cada uno de los tipos de curvas que aparecen a continuación, veamos sus ecuaciones polares utilizando una combinación de razonamiento geométrico y algebraico. La idea es que tanto los círculos como las rectas tienen bonitas definiciones geométricas que simplifican el álgebra en ciertos casos.

En general, antes de llevar a cabo los pasos descritos anteriormente para convertir entre formas polares y rectangulares, puede ser útil considerar si la ecuación con la que estás trabajando tiene alguna propiedad geométrica que pueda simplificar los cálculos.

Círculos

Hay cuatro tipos de círculos que podemos escribir especialmente bien en coordenadas polares. Son los siguientes

• círculos centrados en el origen

• círculos de radio a centrados en el punto \( (0,a)\)

• círculos de radio a centrados en el punto \( (a,0)\)

• círculos de radio \(\sqrt{a^2+b^2}\) centrados en el punto \( (a, b)\)

La fórmula polar genérica para un círculo de radio a centrado en \( (b, c)\) es bastante complicada y a menudo no resulta especialmente útil, pero estos cuatro casos particulares aparecen a menudo y es importante comprenderlos.

Círculos centrados en el origen

Para deducir la función para un círculo de radio a centrado en el origen, recordamos primero la definición geométrica de círculo.

En este caso, el punto \(O\) resulta ser el origen, lo que significa que cualquier punto de la circunferencia debe estar a una distancia \(a\) del origen.

Puedes escribir esta condición geométrica en términos de coordenadas polares.

Dado un punto \( (r,\theta )\), está en el círculo si \(r=a\), ya que el centro del círculo está en el origen y la coordenada \(r\) describe la distancia desde el origen. No hay condiciones sobre la coordenada \(\theta\), ya que un círculo centrado en el origen puede tener puntos en cualquier ángulo. Así, la función que describe el círculo de radio \(a\) centrado en el origen en coordenadas polares es

\[r=a.\]

Esto describe un círculo porque toma un ángulo \(\eta\) y siempre devuelve \(a\) como la distancia correspondiente al origen.

Fig. 2. Círculo centrado en el origen en coordenadas polares.

Observa que en este caso no has tenido que hacer ningún trabajo algebraico; la ecuación ha salido directamente de la definición geométrica de círculo.

Es importante observar que la gráfica del círculo no describe una función en coordenadas rectangulares, ya que no satisface la prueba de la recta vertical. Sin embargo, es una función cuando se escribe en coordenadas polares. Ésta es una de las ventajas de trabajar con coordenadas polares: muchas curvas que no describen funciones en coordenadas rectangulares sí definen funciones en coordenadas polares.

Círculos centrados en el eje horizontal

La función que describe un círculo de radio \(a\) que pasa por el punto \( (a,0) \) en coordenadas polares es

\[ r^2 = 2a\cos\theta .\\]

Puedes demostrarlo partiendo de la ecuación de una circunferencia en coordenadas rectangulares, y convirtiendo después la ecuación a coordenadas polares.

Primero, en coordenadas rectangulares, la ecuación de una circunferencia de radio a que pasa por el punto \( (a,0)\) es

\[ (x-a)^2 + y^2 = a^2.\]

Haciendo la misma sustitución que en los ejemplos anteriores, obtienes que

\[ (r\cos\theta - a)^2 + (r\sin\theta )^2 = a^2.\]

Ahora es cuestión de simplificar con álgebra para obtener

\[ r^2 \cos^2 \theta - 2ar\cos\theta + a^2 + r^2\sin^2\theta = a^2,\]

o

\[r^2 = 2ar\cos\theta ,\\]

que es exactamente lo que esperabas.

Círculos centrados en el eje vertical

La función que describe un círculo de radio \(a\) que pasa por el punto \( (0,a)\) en coordenadas polares es

\[ r = 2a \sin\theta .\\]

Igual que antes, puedes demostrarlo partiendo de la ecuación de una circunferencia en coordenadas rectangulares, y convirtiendo después la ecuación a coordenadas polares.

Círculos centrados en un punto arbitrario

Éste es el ejemplo más general. Puedes tomar la ecuación de la función que describe una circunferencia de radio \( \sqrt{a^2 + b^2}\) que pasa por el punto \( (a,b)\) en coordenadas polares y sustituirla por el origen, o por un punto del eje horizontal, o por un punto del eje vertical, para obtener cualquiera de las tres ecuaciones anteriores.

La ecuación de la función que describe una circunferencia de radio \( \sqrt{a^2 + b^2}\) que pasa por el punto \( (a,b)\) es

\[ r = 2a\cos\theta + 2b\sin\theta .\]

Puedes demostrarlo partiendo de la ecuación de una circunferencia en coordenadas rectangulares y convirtiendo la ecuación a coordenadas polares, como en los ejemplos anteriores.

Fig. 3. Círculo en coordenadas polares centrado en un punto arbitrario.

Líneas

Las rectas también pueden escribirse como funciones polares. Hay tres ecuaciones polares diferentes para rectas con las que solemos trabajar, dependiendo de la información que nos den:

• Líneas que pasan por el origen con pendiente \( \tan a\)

• Líneas con el punto \( (a, b)\) más cercano al origen

• Líneas con pendiente \(m\) que pasan por el punto \( (a, b)\)

Líneas que pasan por el origen

La recta que pasa por el origen con pendiente \( \tan a\) se define por

\[ \theta = a.\]

La recta vertical que pasa por el origen tiene ecuación

\[ \theta = \frac{\pi}{2}.\}]

Ambas ecuaciones proceden directamente de la definición de tangente. Como \(\theta = a\) es el conjunto de todos los puntos \( (r, \theta )\) que forman un ángulo \(a\) con el eje positivo \(x\)-, da una recta que pasa por el origen.

Fig. 4. Recta que pasa por el origen en coordenadas polares.

La pendiente de una recta es su elevación sobre su recorrido. Es lo mismo que la tangente que hace el ángulo respecto al origen.

Fig. 5. Hallar la pendiente de una recta que pasa por el origen en coordenadas polares.

Así, la recta que pasa por el origen con pendiente \ ( \tan a\) tiene la ecuación \(\theta = a \).

Líneas determinadas por su punto más cercano al origen

La ecuación polar de la recta con el punto \( (a, b)\) más cercano al origen es

\[ r = a\sec (\theta - b).\]

Aquí, en lugar de suponer que \((a, b)\) está en coordenadas cartesianas (como hasta ahora), tienes que suponer que el punto \( (a, b)\) está en coordenadas polares.

Para ver por qué puede ser así, observa la imagen siguiente. En esta imagen, el punto etiquetado como \(A = (r, \theta) \) es un punto arbitrario de la recta.

Fig. 6. Recta en coordenadas polares

Como el punto \(P = (a,b) \) es el punto de la recta más próximo al origen, el segmento de recta \(OP\) es perpendicular a la recta. Por tanto, el triángulo \(\Delta OAP\) es un triángulo rectángulo. Como \(\Delta OAP\ ) es un triángulo rectángulo,

\[ \cos (\theta - b) = \frac{a}{r}.\]

Puedes reordenar esto para obtener que

\[ r = \frac{a} {\cos (\theta - b)} = a\sec (\theta - b),\]

que es exactamente lo que querías.

Líneas determinadas por la pendiente y un punto

La recta con pendiente \(m\) que pasa por un punto \( (0,b)\) viene dada por

\[ r = \frac{b}{sin \theta - m \cos\theta }.\]

Aquí tienes que suponer que \((a, b)\) está en coordenadas rectangulares.

Primero, recuerda que la ecuación de una recta con pendiente \(m\) que pasa por un punto \( (0,b) \) es \(y = mx+b\). Haciendo la misma sustitución que en los ejemplos anteriores obtienes

\r\sin\theta - b = mr\cos\theta .\]

Luego sólo tienes que simplificar para obtener que

\[ r = \frac{b} {\sin \theta - m \cos\theta }.\]

Derivación de coordenadas polares esféricas

Las coordenadas esféricas son generalizaciones de las coordenadas polares a tres dimensiones. Para más información sobre las coordenadas esféricas, consulta el artículo Coordenadas polares. Puedes utilizar las ecuaciones que se encuentran en ese artículo para convertir funciones en coordenadas esféricas en funciones en coordenadas rectangulares, y viceversa.