Las funciones exponenciales experimentan un crecimiento o decaimiento más rápido que el de los polinomios, y debido a esta propiedad son adecuadas para describir diversos fenómenos de la vida cotidiana, como el crecimiento exponencial de un virus (¿te suena?) o el decaimiento de los elementos radiactivos antes mencionados.
Así que aquí veremos las funciones exponenciales, cuáles son sus propiedades y cómo representarlas gráficamente.
¿Para qué se utilizan las funciones exponenciales?
Las funciones exponenciales pueden utilizarse para modelizar cosas que no toman valores negativos y que crecen o decaen muy rápidamente. Las verás a menudo cuando observes cosas como el número de bacterias en un cultivo, o en inversiones que ganan interés compuesto. Estos son ejemplos de crecimiento exponencial. También puedes encontrar ejemplos en los que se utilizan funciones exponenciales para modelizar la desintegración de isótopos radiactivos. Son ejemplos de descomposición exponencial.
Ejemplo de función exponencial en la vida real
Veamos una situación habitual de la vida real que podemos encontrar y que puede modelizarse utilizando funciones exponenciales.
Uno de los usos más comunes de las funciones exponenciales es el estudio de poblaciones que crecen muy rápidamente. Supongamos que empiezas con 10 moscas y cada semana tienes el doble de moscas. ¿Cuántas moscas tendrás en 3 meses?
Responde:
Nombra la función para contar moscas . La población inicial de moscas es de 10, así que
.
Después de 1 semana tienes el doble de moscas, por lo que
Al cabo de 2 semanas la población se ha duplicado de nuevo, por lo que
Al cabo de 3 semanas la población vuelve a duplicarse, por lo que
Ahora puedes ver la tendencia general y obtener la fórmula
¿En 3 meses cuántas moscas hay? Observa que x se mide en semanas, así que primero convierte 3 meses en 12 semanas. Entonces
Así que en sólo 3 meses, ¡tienes más de cuarenta mil moscas!
¿Qué es una función exponencial?
Una función exponencial es una función que tiene la forma
donde y
son constantes,
, y x es un número real. En lugar de empezar por la forma más general, veamos primero la forma más sencilla
(que es el caso en el que
) para hacernos una idea mejor de cómo se comportan las funciones exponenciales.
¿Cuáles son las características de una función exponencial?
Las características fundamentales de una función exponencial básica son:
- tienen la forma
donde
es una constante
- están definidas para cualquier número real
, por lo que el dominio es
- sólo toman valores positivos, por lo que el rango es
- cuando
, la función aumenta (tiene crecimiento exponencial)
- cuando
, la función disminuye (tiene decaimiento exponencial)
- la gráfica siempre es cóncava hacia arriba
- la intersección y es
- no hay intersección x
- la recta
es una asíntota horizontal
La función es una función exponencial con
. Es una función creciente, y la gráfica es cóncava hacia arriba. Es un ejemplo de crecimiento exponencial.
Fig. 1: Función exponencial a > 1.
La función es una función exponencial con
. Es una función decreciente, pero es cóncava hacia arriba igual que el ejemplo anterior. Es un ejemplo de función exponencial decreciente.
¿Cuál es la ecuación general de una función exponencial?
La función exponencial puede escribirse de forma más general.
Una función exponencial es aquella que tiene la forma donde
y
son constantes,
, y x es un número real.
Las constantes B, k y C toman la gráfica de la función exponencial básica y las desplazan, voltean o estiran.
- C mueve la gráfica hacia arriba o hacia abajo, lo que cambia la posición de la asíntota horizontal y la posición de la intersección y
- B voltea la gráfica sobre el eje x (si
), lo que hace que la gráfica sea cóncava hacia abajo, y también afectará a la posición de la intersección y. Hace que la gráfica aumente/disminuya más rápidamente (
) o menos rápidamente (
).
- k cambia la velocidad de crecimiento exponencial o de decaimiento exponencial. Hace que la gráfica aumente/disminuya más rápidamente (
) o menos rápidamente (
). Si
, entonces se invierte sobre el eje y.
- la asíntota horizontal es la ecuación
- la intersección y está en
- el dominio es
- el intervalo depende tanto de B como de C. Si
(cóncavo hacia arriba), entonces el intervalo es
. Si
(cóncavo hacia abajo), entonces el intervalo es
.
Sólo el valor absoluto de k y B afectan a la rapidez con la que aumenta o disminuye la función exponencial, mientras que el signo negativo sólo es responsable de voltear sobre un eje. Por ejemplo, si ,la función se voltea sobre el eje y (porque k es negativo), y además aumenta más rápidamente (porque el valor absoluto de k es mayor que 1). La rapidez con que aumenta o disminuye la función está relacionada con su derivada. Puedes encontrar más información en Derivada de la función exponencial.
Hay 8 combinaciones posibles de signos para y
que te indican si una función exponencial va a ser creciente o decreciente, así como cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo.
Haz la gráfica de la función , asegurándote de encontrar todos los puntos importantes y la asíntota horizontal.
Contesta:
1. Primero halla la intersección y introduciendo .
Observa que la función exponencial básica tiene la intersección y en , y esta función la tiene en
. También puedes hallar la intersección y utilizando la fórmula
.
2. Como toda la gráfica está desplazada hacia abajo en 3, eso significa que la asíntota horizontal también está desplazada hacia abajo en 3. Por tanto, la ecuación de la asíntota horizontal es .
3. El valor de B es 5, lo que no volcará la gráfica sobre el eje x porque .
4. El valor de k es -4. Eso volteará la gráfica sobre el eje y porque .
5. A continuación puedes hacer una tabla de valores para la función.
| x | f(x) |
| -2 | 1277 |
| -1 | 77 |
| 0 | -2 |
| 1 | -2.69 |
Fig. 3: Gráfica final de la función.Identificar una función exponencial a partir de una gráfica
¿Puedes saber si algo es una función exponencial con sólo mirar una gráfica? La respuesta corta es que en realidad no. Como el dominio de una función exponencial son todos los números reales, y como es imposible hacer una gráfica de tamaño infinito, no puedes estar absolutamente seguro de que una gráfica sea realmente una gráfica exponencial. Sin embargo, puedes observar una gráfica con algunos puntos marcados en ella y decidir si podría ser exponencial o si definitivamente no lo es.
Formas de mirar una gráfica y saber si no es una función exponencial:
- Si no tiene una asíntota horizontal, no es una función exponencial.
- Si cambia de concavidad (a veces es cóncava hacia arriba y a veces cóncava hacia abajo) no es una función exponencial
- Si el dominio no incluye todos los números reales, no es una función exponencial
- Si no es siempre decreciente o siempre creciente, no es una función exponencial.
Observando la gráfica, decide si la función podría ser exponencial, o si definitivamente no es exponencial.
Fig. 4: Comprueba en la gráfica si es exponencial.
Contesta:
En primer lugar, esta gráfica es cóncava hacia arriba, lo que significa que podría ser una función exponencial. Pero la gráfica empieza decreciendo y luego en se vuelve creciente, por lo que puedes afirmar con rotundidad que NO es la gráfica de una función exponencial.
Observando la gráfica, decide si la función podría ser exponencial, o si definitivamente no es exponencial.
Fig. 5: Comprueba si la gráfica es exponencial.
Contesta:
Esta gráfica es siempre creciente. Y aunque no parece tener una asíntota horizontal, podría estar en algún lugar distinto del área de la gráfica. Por otra parte, esta gráfica es cóncava hacia abajo para , y es cóncava hacia arriba para
, por lo que puedes afirmar con seguridad que NO es una función exponencial.
Observando la gráfica, decide si la función podría ser exponencial, o si definitivamente no lo es.
Fig. 6: Comprueba si la gráfica es exponencial, StudySmarter Originals
Contesta:
Esta función es ciertamente creciente, y siempre es cóncava hacia abajo. Puede que tenga una asíntota horizontal, pero es difícil saberlo sólo con la imagen. Pero el dominio de esta gráfica no incluye ningún valor negativo de x, lo que significa que NO es una función exponencial.
Observando la gráfica, decide si la función podría ser exponencial, o si definitivamente no lo es.
Fig. 7: Comprueba si la gráfica es exponencial.
Contesta:
Esta gráfica parece que tiene una asíntota horizontal en , siempre es decreciente, siempre es cóncava hacia arriba, y parece que el dominio son todos los números reales. Así que podría ser una función exponencial, basándonos sólo en lo que vemos.
Funciones exponenciales - Puntos clave
- Las funciones exponenciales se utilizan para modelizar cosas que crecen o decaen rápidamente, pero no ambas cosas a la vez
- Las funciones exponenciales tienen la fórmula
donde a, B, k y C son constantes, y
- Las funciones exponenciales tienen una asíntota horizontal en
- No se puede decir que una función sea exponencial con sólo mirar la gráfica.
Puede que te preguntes por la derivada o la integral de una función exponencial. Para las derivadas, véase Derivada de la función exponencial. Para las integrales, consulta Integrales de funciones exponenciales .
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