Funciones hiperbólicas: 'Ejemplos', 'Gráficas'

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Este artículo trata en detalle las funciones hiperbólicas básicas y sus propiedades, identidades, derivadas, integrales, inversas y ejemplos.

Definición de función hiperbólica
Funciones hiperbólicas: fórmulas
Funciones hiperbólicas: gráficas
Funciones hiperbólicas: propiedades e identidades
Derivadas de funciones hiperbólicas
Integrales de funciones hiperbólicas
Funciones hiperbólicas inversas
Funciones hiperbólicas: ejemplos y aplicaciones

Definición de función hiperbólica

¿Qué son las funciones hiperbólicas?

Las funciones hiperbólicas son esencialmente las funciones trigonométricas de la hipérbola. Amplían la noción de las ecuaciones paramétricas del círculo unitario, donde $(x = \cos (θ), y = \sin (θ))$ a las ecuaciones paramétricas de la hipérbola unitaria, y se definen en términos de la función exponencial natural (donde $e$ es el número de Euler), lo que nos da las dos fórmulas hiperbólicas fundamentales siguientes:

$(x = \cos h (c) = \frac{e^{c} + e^{- c}}{2}, y = \sin h (c) = \frac{e^{c} - e^{- c}}{2})$

A partir de estas dos definiciones: coseno hiperbólico y seno hiperbólico, se pueden derivar el resto de las seis funciones hiperbólicas principales, como se muestra en la tabla siguiente.

Funciones hiperbólicas: Fórmulas

A continuación se indican las fórmulas de las funciones hiperbólicas:

Las 6 fórmulas hiperbólicas principales
Seno hiperbólico	$\sin h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$	Cosecante hiperbólica:	$c s c h (x) = \frac{1}{\sin h (x)} = \frac{2}{e^{x} - e^{- x}}$
Coseno hiperbólico:	$\cos h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$	Secante hiperbólica:	$s e c h (x) = \frac{1}{\cos h (x)} = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$
Tangente hiperbólica:	$\tan h (x) = \frac{\sin h (x)}{\cos h (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$	Cotangente hiperbólica:	$c o t h (x) = \frac{\cos h (x)}{\sin h (x)} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$

Donde $\sin h$ se pronuncia "cinch $\cos h$ se pronuncia "cosh", $\tan h$ se pronuncia "tanch", $\csc h$ se pronuncia "coseech". $\sec h$ se pronuncia "seech", y $\cot h$ se pronuncia "cotanch".

Derivación de las formas exponenciales

Una característica clave de las funciones trigonométricas hiperbólicas es su semejanza con las funciones trigonométricas, lo que puede verse en la fórmula de Euler:

$e^{\pm i θ} = \cos (θ) \pm i \sin (θ)$

Resolviendo esto para el coseno y el seno obtenemos

$\cos (θ) = \frac{e^{i θ} + e^{- i θ}}{2}, \sin (θ) = \frac{e^{i θ} - e^{- i θ}}{2 i}$

Que es sorprendentemente similar a las funciones coseno y seno hiperbólicas:

$\cos h (c) = \frac{e^{c} + e^{- c}}{2}, \sin h (c) = \frac{e^{c} - e^{- c}}{2}$

Pero fíjate en que las funciones hiperbólicas no tienen la parte imaginaria que tiene la fórmula de Euler.

¿Por qué faltan los números imaginarios en las funciones hiperbólicas?

Porque cuando resolvemos la fórmula de Euler para las funciones hiperbólicas, la componente imaginaria no existe en la solución de las funciones hiperbólicas.

Funciones hiperbólicas: Gráficas

Las gráficas de las dos funciones hiperbólicas fundamentales: seno hiperbólico y coseno hiperbólico, pueden esbozarse utilizando la adición gráfica, como se muestra a continuación.

El gráfico de $y = \sin h (x) = \frac{1}{2} e^{x} - \frac{1}{2} e^{- x} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$	La gráfica de $y = \cos h (x) = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$
La gráfica del seno hiperbólico usando la adición gráfica - StudySmarter Originals	La gráfica del coseno hiperbólico usando la suma gráfica - StudySmarter Originals

A continuación se muestran las gráficas del resto de las seis funciones hiperbólicas principales.

Las gráficas de la cosecante, secante, tangente y cotangente hiperbólicas
La gráfica de $y = c s c h (x) = \frac{1}{\sin h (x)} = \frac{2}{e^{x} - e^{- x}}$	La gráfica de $y = s e c h (x) = \frac{1}{\cos h (x)} = \frac{2}{e^{x} + e^{- x}}$
La gráfica de la cosecante hiperbólica - StudySmarter Originals	La gráfica de la secante hiperbólica - StudySmarter Originals
La gráfica de $y = \tan h (x) = \frac{\sin h (x)}{\cos h (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$	La gráfica de $y = c o t h (x) = \frac{\cos h (x)}{\sin h (x)} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$
La gráfica de la tangente hiperbólica - StudySmarter Originals	La gráfica de la cotangente hiperbólica - StudySmarter Originals

Observa que todas estas funciones hiperbólicas tienen asíntotas horizontales(verde) y/o verticales(rosa). La gráfica de la secante hiperbólica tiene un máximo global en el punto $(0, 1)$ .

Dominio y rango de las funciones hiperbólicas

Mientras observamos las gráficas de las funciones hiperbólicas, ¡tengamos en cuenta sus dominios y rangos!

Función	Dominio	Rango
$y = \sin h (x)$	$(- \infty, \infty)$	$(- \infty, \infty)$
$y = \cos h (x)$	$(- \infty, \infty)$	$[1, \infty)$
$y = \tan h (x)$	$(- \infty, \infty)$	$(- 1, 1)$
$y = c s c h (x)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$
$y = s e c h (x)$	$(- \infty, \infty)$	$(0, 1]$
$y = c o t h (x)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$	$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$

Funciones hiperbólicas: Propiedades e identidades

Las propiedades e identidades de las funciones hiperbólicas también son bastante similares a las de sus homólogas trigonométricas:

Propiedades:
- $\sin h (- x) = - \sin h (x)$
- $\cos h (- x) = \cos h (x)$
- $\tan h (- x) = - \tan h (x)$
- $\sec h (- x) = \sec h (x)$
- $c s c h (- x) = - \csc (x)$
- $\cot h (- x) = - \cot h (x)$
- $\cos h (2 x) = \cos h^{2} (x) + \sin h^{2} (x) = 1 + 2 \sin h^{2} (x) = 2 \cos h^{2} (x) - 1$
- $\sin h (2 x) = 2 \sin h (x) \cos h (x)$
- Pueden deducirse de las funciones trigonométricas que tienen argumentos complejos:
  - $\sin h (x) = - i \sin (i x)$
  - $\cos h (x) = \cos (i x)$
  - $\tan h (x) = - i \tan (i x)$
  - $\csc h (x) = i \csc (i x)$
  - $\sec h (x) = \sec (i x)$
  - $\cot h (x) = i \cot (i x)$
Identidades:
- $\cos h^{2} (x) - \sin h^{2} (x) = 1$
- $\tan h^{2} (x) + s e c h^{2} (x) = 1$
- $c o t h^{2} (x) - c s c h^{2} (x) = 1$
- $\cos h (x) + \sin h (x) = e^{x}$
- $\cos h (x) - \sin h (x) = e^{- x}$
- $\sin h (x) + \sin h (y) = 2 \sin h (\frac{x + y}{2}) \cos h (\frac{x - y}{2})$
- $\sin h (x) - \sin h (y) = 2 \cos h (\frac{x + y}{2}) \sin h (\frac{x - y}{2})$
- $\cos h (x) + \cos h (y) = 2 \cos h (\frac{x + y}{2}) \cos h (\frac{x - y}{2})$
- $\cos h (x) - \cos h (y) = 2 \sin h (\frac{x + y}{2}) \sin h (\frac{x - y}{2})$
- $2 \sin h (x) \cos h (y) = \sin h (x + y) + \sin h (x - y)$
- $2 \cos h (x) \sin h (y) = \sin h (x + y) - \sin h (x - y)$
- $2 \sin h (x) \sin h (y) = \cos h (x + y) - \cos h (x - y)$
- $2 \cos h (x) \cos h (y) = \cos h (x + y) + \cos h (x - y)$
- $\sin h (x \pm y) = \sin h (x) \cos h (y) \pm \cos h (x) \sin h (y)$
- $\cos h (x \pm y) = \cos h (x) \cos h (y) \pm \sin h (x) \sin h (y)$
- $\sin h^{2} (x) = \frac{- 1 + \cos h (2 x)}{2}$
- $\cos h^{2} (x) = \frac{1 + \cos h (2 x)}{2}$

¡Pongamos a prueba nuestra comprensión de estas identidades!

Demuestra que (a) $\cos h^{2} (x) - \sin h^{2} (x) = 1$ y (b) $1 - \tan h^{2} (x) = s e c h^{2} (x)$ .

Solución:

(a) Empezamos con las definiciones de coseno hiperbólico y seno hiperbólico, y luego simplificamos:

$\cos h^{2} (x) - \sin h^{2} (x) = {(\frac{e^{x} + e^{- x}}{2})}^{2} - {(\frac{e^{x} - e^{- x}}{2})}^{2} = \frac{e^{2 x} + e^{0} + e^{0} + e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} - e^{0} - e^{0} + e^{- 2 x}}{4} = \frac{e^{2 x} + 2 + e^{- 2 x}}{4} - \frac{e^{2 x} - 2 + e^{- 2 x}}{4} = \frac{4}{4} = 1$

(b) Partimos de la demostración de la parte (a):

$\cos h^{2} (x) - \sin h^{2} (x) = 1$

Ahora, si dividimos ambos lados por $\cos h^{2} (x)$ obtenemos

$\frac{\cos h^{2} (x)}{\cos h^{2} (x)} - \frac{\sin h^{2} (x)}{\cos h^{2} (x)} = \frac{1}{\cos h^{2} (x)}$

Esto se simplifica en:

$\frac{\cos h^{2} (x)}{\cos h^{2} (x)} - \frac{\sin h^{2} (x)}{\cos h^{2} (x)} = \frac{1}{\cos h^{2} (x)} \Rightarrow 1 - t a n h^{2} (x) = s e c h^{2} (x)$

Este ejemplo nos ha dado una idea de por qué se llaman funciones hiperbólicas. ¡Profundicemos un poco más en ello!

La relación entre las funciones trigonométricas e hiperbólicas

♦ Supongamos que tenemos un número real, $t$ . Entonces el punto $P (\cos (t), \sin (t))$ está en el círculo unitario

$x^{2} + y^{2} = 1$

porque

$\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) = 1$

De hecho, el número real $t$ también puede interpretarse como la medida del radián de $∠ P O Q$ en la imagen inferior. Esta es la razón por la que las funciones trigonométricas se denominan a veces funciones circulares .

Y lo que es más importante, el número real $t$ representa el doble del área de la sección sombreada del círculo.

Funciones hiperbólicas gráfica del círculo unidad StudySmarter La gráfica de un círculo unitario con el ángulo POQ sombreado - StudySmarter Originals

♦ Del mismo modo, si $t$ es cualquier número real, entonces el punto $P (\cos (t), \sin (t))$ está en la mitad derecha de la hipérbola unitaria

$x^{2} - y^{2} = 1$

porque

$\cos h^{2} (t) - \sin h^{2} (t) = 1$

donde $\cos h (t) \geq 1$ .

Sin embargo, en este caso $t$ no representa la medida de un ángulo, sino querepresenta el doble del área de la sección hiperbólica sombreada en la imagen inferior.

Funciones hiperbólicas gráfica de la hipérbola unitaria StudySmarter La gráfica de una hipérbola unitaria con la sección P sombreada - StudySmarter Originals

Derivadas de funciones hiperbólicas

Las derivadas de las funciones hiperbólicas también son análogas a las funciones trigonométricas. Enumeramos estas derivadas en la tabla siguiente.

Derivadas de las 6 principales funciones hiperbólicas
$\frac{d}{d x} (\sin h (x)) = \cos h (x)$	$\frac{d}{d x} (c s c h (x)) = - c s c h (x) c o t h (x)$
$\frac{d}{d x} (\cos h (x)) = \sin h (x)$	$\frac{d}{d x} (s e c h (x)) = - s e c h (x) \tan h (x)$
$\frac{d}{d x} (\tan h (x)) = s e c h^{2} (x)$	$\frac{d}{d x} (c o t h (x)) = - c s c h^{2} (x)$

¡Atención! Aunque los valores de las deriv adas son los mismos que los de las funciones trigonométricas, los signos de las derivadas del coseno hiperbólico y de la secante hiperbólica son opuestos a los de sus homólogas trigonométricas.

También es importante señalar que cualquiera de estas reglas de diferenciación puede combinarse utilizando La Regla de la Cadena. Por ejemplo

$\frac{d}{d x} (\cos h (\sqrt{x})) = \sin h (\sqrt{x}) \times \frac{d}{d x} (\sqrt{x}) = \frac{\sin h (\sqrt{x})}{2 \sqrt{x}}$

Las derivadas de las funciones hiperbólicas son más sencillas de calcular debido al uso de $e^{x}$ y la sencillez de su derivación.

Por ejemplo

$\frac{d}{d x} (\sin h (x)) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} = \cos h (x)$

Integrales de funciones hiperbólicas

Al igual que las derivadas de las funciones hiperbólicas son análogas a sus homólogas trigonométricas, también lo son las integrales de las funciones hiperbólicas. Enumeramos estas integrales en la tabla siguiente.

Integrales de las 6 principales funciones hiperbólicas
$\int \sin h (x) d x = \cos h (x) + C$	$\int \csc h (x) d x = \ln \|\tan h (\frac{x}{2})\| + C$
$\int \cos h (x) d x = \sin h (x) + C$	$\int \sec h (x) d x = \tan^{- 1} \|\sin h (x)\| + C$
$\int \tan h (x) d x = \ln (\cos h (x)) + C$	$\int \cot h (x) d x = \ln \|\sin h (x)\| + C$

A continuación se enumeran otras integrales útiles de funciones hiperbólicas.

Más integrales de funciones hiperbólicas
$\int \sec h^{2} (x) d x = \tan h (x) + C$	$\int \sec h (x) \tan h (x) d x = - \sec h (x) + C$
$\int \csc h^{2} (x) d x = - \cot h (x) + C$	$\int \csc h (x) \cot h (x) d x = - \csc h (x) + C$

Funciones hiperbólicas inversas

Basándonos en las gráficas de las funciones hiperbólicas, podemos ver que $\sin h$ (y su recíproco $\csc h$ ) y $\tan h$ (y su recíproca $\cot h$ ) son funciones uno a uno, pero $\cos h$ (y su recíproca $\sec h$ ) no lo son.

Esto se debe a que el coseno y la secante sonfunciones pares , mientras que el seno, la cosecante, la tangente y la cotangente sonfunciones impares .

Como el coseno y la secante son funciones pares, y por tanto no son uno a uno, tenemos que restringir su dominio para encontrar sus inversas.

Así, con los dominios del coseno y la secante restringidos al intervalo $[0, \infty)$ todas las funciones hiperbólicas son uno a uno, y podemos definir las funciones hiperbólicas inversas como:

$y = \sin h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \sin h (y) = x y = \cos h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \cos h (y) = x a n d y \geq 0 y = \tan h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \tan h (y) = x y = \csc h^{- 1} (x) \Leftrightarrow c sc h (y) = x y = \sec h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \sec h (y) = x a n d y \geq 0 y = \cot h^{- 1} (x) \Leftrightarrow \cot h (y) = x$

Sus fórmulas son:

Las 6 principales funciones hiperbólicas inversas
Seno hiperbólico inverso:	$\sin h^{- 1} (x) = a r c \sin h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$	Cosecante hiperbólica inversa:	$\csc h^{- 1} (x) = a r c \csc h (x) = \ln (\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\|x\|})$
Coseno hiperbólico inverso:	$\cos h^{- 1} (x) = a r c \cos h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$	Secante hiperbólica inversa:	$\sec h^{- 1} (x) = a r c \sec h (x) = \ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x})$
Tangente hiperbólica inversa:	$\tan h^{- 1} (x) = a r c \tan h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$	Cotangente hiperbólica inversa:	$\cot h^{- 1} (x) = a r c \cot h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$

Observa que todas las funciones hiperbólicas inversas implican funciones logarítmicas. Esto se debe a que las funciones hiperbólicas implican funciones exponenciales, ¡y las funciones exponenciales y logarítmicas son inversas entre sí!

Veamos cómo se obtiene el inverso de sinh (también llamado arco sinh). La derivación de las demás sigue un patrón similar.

Supongamos que

$y = \sin h^{- 1} (x)$

Esto significa que:

$x = \sin h (y)$

Por la definición de seno hiperbólico:

$x = \frac{e^{y} - e^{- y}}{2}$

Reordenando esto, obtenemos

$e^{y} - 2 x - e^{- y} = 0$

Entonces, multiplicando ambos lados por $e^{y}$ tenemos:

$e^{2 y} - 2 x e^{y} - 1 = 0$

Ahora lo resolvemos como lo haríamos con una función cuadrática, pensando en $e^{y}$ como $x$ y obtenemos la solución:

$e^{y} = \frac{2 x \pm \sqrt{4 x^{2} + 4}}{2} = x \pm \sqrt{x^{2} + 1}$

Puesto que $e^{y} > 0$ la única solución posible es la positiva:

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

Finalmente, tomando el logaritmo natural de ambos lados, obtenemos:

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

Gráficas de las funciones hiperbólicas inversas

A continuación se muestran las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas.

Las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas
La gráfica de $\sin h^{- 1} (x) = a r c \sin h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$	La gráfica de $\csc h^{- 1} (x) = a r c \csc h (x) = \ln (\frac{1}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\|x\|})$
La gráfica del seno hiperbólico inverso - StudySmarter Originals	La gráfica de la cosecante hiperbólica inversa - StudySmarter Originals
La gráfica de $\cos h^{- 1} (x) = a r c \cos h (x) = \ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$	La gráfica de $\sec h^{- 1} (x) = a r c \sec h (x) = \ln (\frac{1 + \sqrt{1 - x^{2}}}{x})$
La gráfica del coseno hiperbólico inverso - StudySmarter Originals	La gráfica de la secante hiperbólica inversa - StudySmarter Originals
La gráfica de $\tan h^{- 1} (x) = a r c \tan h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 + x}{1 - x})$	La gráfica de $\cot h^{- 1} (x) = a r c \cot h (x) = \frac{1}{2} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$
La gráfica de la tangente hiperbólica inversa - StudySmarter Originals	La gráfica de la cotangente hiperbólica inversa - StudySmarter Originals

Observa que la cosecante, la secante, la tangente y la cotangente hiperbólicas inversas tienen asíntotas horizontales(verde) y/o verticales(rosa). Las gráficas del coseno hiperbólico inverso y de la secante hiperbólica inversa tienen un punto inicial definido en $(1, 0)$ .

Dominio y rango de las funciones hiperbólicas inversas

Mientras observamos las gráficas de las funciones hiperbólicas inversas, ¡tengamos en cuenta sus dominios y rangos!

Función	Dominio	Rango
$y = \sin h^{- 1} (x)$	$(- \infty, \infty)$	$(- \infty, \infty)$
$y = \cos h^{- 1} (x)$	$[1, \infty)$	$[0, \infty)$
$y = \tan h^{- 1} (x)$	$(- 1, 1)$	$(- \infty, \infty)$
$y = \csc h^{- 1} (x)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$
$y = \sec h^{- 1} (x)$	$(0, 1]$	$[0, \infty)$
$y = \cot h^{- 1} (x)$	$(- \infty, - 1) \cup (1, \infty)$	$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas

Todas las funciones hiperbólicas inversas son diferenciables porque todas las funciones hiperbólicas son diferenciables. A continuación se enumeran las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas.

Las derivadas de las funciones hiperbólicas inversas
$\frac{d}{d x} (\sin h^{- 1} (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$	$\frac{d}{d x} (\csc h^{- 1} (x)) = - \frac{1}{\|x\| \sqrt{x^{2} + 1}}$
$\frac{d}{d x} (\cos h^{- 1} (x)) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - 1}}$	$\frac{d}{d x} (\sec h^{- 1} (x)) = - \frac{1}{x \sqrt{1 - x^{2}}}$
$\frac{d}{d x} (\tan h^{- 1} (x)) = \frac{1}{1 - x^{2}}$	$\frac{d}{d x} (\cot h^{- 1} (x)) = \frac{1}{1 - x^{2}}$

Demostremos que $\frac{d}{d x} (\sin h^{- 1} (x)) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}$ .

$\frac{d}{d x} (\sin h^{- 1} (x)) = \frac{d}{d x} (\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})) = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} \times \frac{d}{d x} (x + \sqrt{x^{2} + 1}) (c h a i n r u l e) = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}} (1 + \frac{x}{\sqrt{x^{2} + 1}}) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1} + x}{(x + \sqrt{x^{2} + 1}) \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Funciones hiperbólicas: ejemplos y aplicaciones

Averigua el valor de $x$ si $3 \sin h (x) - 2 \cos h (x) - 2 = 0$ .

Solución:

Sustituye los valores de : sinhx=ex-e-x2, coshx=ex+e-x2en la ecuación.
- $3 (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) - 2 (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}) - 2 = 0$
Simplifica:
- $3 (\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}) - 2 (\frac{e^{x} + e^{- x}}{2}) - 2 = 0 \Rightarrow \frac{3 (e^{x} - e^{- x})}{2} - \frac{2 (e^{x} + e^{- x})}{2} - 2 = 0 \Rightarrow 3 (e^{x} - e^{- x}) - 2 (e^{x} + e^{- x}) - 4 = 0 (m u l t i p l y b o t h s i d e s b y 2) \Rightarrow 3 e^{x} - 3 e^{- x} - 2 e^{x} - 2 e^{- x} - 4 = 0 (e x p a n d) \Rightarrow e^{x} - 5 e^{- x} - 4 = 0 (c o l l e c t l i k e t e r m s) \Rightarrow e^{x} (e^{x} - 5 e^{- x} - 4) = e^{x} \cdot 0 (m u l t i p l y b o t h s i d e s b y e^{x}) \Rightarrow {(e^{x})}^{2} - 5 - 4 e^{x} = 0 (e x p a n d) \Rightarrow {(e^{x})}^{2} - 5 - 5 e^{x} + e^{x} = 0 (r e w r i t e - 4 e^{x}) \Rightarrow e^{x} (e^{x} + 1) - 5 (e^{x} + 1) = 0 (f a c t o r b y g r o u p i n g) \Rightarrow (e^{x} - 5) (e^{x} + 1) = 0 (c o m m o n f a c t o r e^{x} + 1)$
Puesto que ex≠-1la única solución es
- $e^{x} = 5 \Rightarrow x = \ln (5)$

Express $e^{x}$ y $e^{- x}$ en función de $\sin h (x)$ y $\cos h (x)$ .

Solución:

Suma las dos ecuaciones para coshx y sinhx.
- $\cos h (x) + \sin h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} + \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{2 e^{x}}{2} = e^{x}$
- Por tanto, $\cos h (x) + \sin h (x) = e^{x} (1)$
Resta las dos ecuaciones para coshx y sinhx.
- $\cos h (x) - \sin h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2} - \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = \frac{e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x}}{2} = \frac{2 e^{- x}}{2} = e^{- x}$
- Por tanto, $\cos h (x) - \sin h (x) = e^{- x} (2)$
Si combinamos las ecuaciones (1) y (2), obtenemos:
- $e^{\pm x} = c o s h (x) \pm s i n h (x)$
- Ésta es la fórmula de Euler para la función hiperbólica.

Existen varias aplicaciones de las funciones hiperbólicas en el mundo real, como por ejemplo

describir la descomposición de la luz, la velocidad, la electricidad o la radiactividad
modelar la velocidad de una ola cuando se desplaza por una masa de agua
el uso del coseno hiperbólico para describir la forma de un cable colgante (llamado catenaria).

Quizá la más famosa sea la descripción del cable colgante.

Funciones hiperbólicas - Puntos clave

Las funciones hiperbólicas son esencialmente las funciones trigonométricas de la hipérbola.
- Por eso a veces se llaman funciones trigonométricas hiperbólicas.
Hay 6 funciones hiperbólicas:
- seno hiperbólico - $\sin h (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$
- coseno hiperbólico - $\cos h (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$
- tangente hiperbólica - $\tan h (x) = \frac{\sin h (x)}{\cos h (x)} = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$
- cosecante hiperbólica - $c s c h (x) = \frac{1}{\sin h (x)}$
- secante hiperbólica - $s e c h (x) = \frac{1}{\cos h (x)}$
- cotangente hiperbólica - $c o t h (x) = \frac{\cos h (x)}{\sin h (x)} = \frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}}$
Sus propiedades e identidades son análogas a las de las funciones trigonométricas.

Tarjetas en Funciones hiperbólicas 1

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¿Por qué tenemos que restringir el dominio del coseno hiperbólico y la secante hiperbólica para encontrar sus inversas?

Porque el coseno y la secante son funciones pares , y por tanto no son uno a uno.

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Preguntas frecuentes sobre Funciones hiperbólicas

¿Qué son las funciones hiperbólicas?

Las funciones hiperbólicas son análogas a las funciones trigonométricas pero basadas en las hiperbolas en vez de círculos.

¿Para qué se usan las funciones hiperbólicas?

Las funciones hiperbólicas se usan en física, ingeniería y matemáticas para modelar fenómenos como el comportamiento de cadenas colgantes.

¿Cuáles son las funciones hiperbólicas básicas?

Las funciones hiperbólicas básicas son el seno hiperbólico (sinh), coseno hiperbólico (cosh) y tangente hiperbólica (tanh).

¿Cuál es la diferencia entre funciones hiperbólicas y trigonométricas?

Las funciones hiperbólicas se relacionan con hiperbolas, mientras que las trigonométricas se relacionan con círculos.

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Funciones hiperbólicas

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Definición de función hiperbólica