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En este artículo repasamos qué son las funciones trigonométricas inversas y analizamos en detalle sus fórmulas, gráficas y ejemplos. Pero antes de seguir adelante, si necesitas repasar las funciones inversas, consulta nuestro artículo Funciones inversas.
¿Qué es una función trigonométrica inversa?
De nuestro artículo Funciones inversas, recordamos que la inversa de una función puede hallarse algebraicamente intercambiando los valores x e y y resolviendo después para y. También recordamos que podemos hallar la gráfica de la inversa de una función reflejando la gráfica de la función original sobre la recta \(y=x\).
Ya conocemos las operaciones inversas. Por ejemplo, la suma y la resta son inversas, y la multiplicación y la división son inversas.
La clave aquí es: una operación (como la suma) hace lo contrario de su inversa (como la resta).
En trigonometría, esta idea es la misma. Las funciones trigonométricas inversas hacen lo contrario de las funciones trigonométricas normales. Más concretamente,
El seno inverso, \(sen^{-1}\) o \(arccosin\), hace lo contrario de la función seno.
El coseno inverso, \(cos^{-1}\) o \(arccos\) , hace lo contrario de la función coseno.
La tangente inversa, \(tan^{-1}\) o \(arctan\), hace lo contrario de la función tangente.
La cotangente inversa, \(cot^-1}\) o \(arccot\), hace lo contrario de la función cotangente.
La secante inversa, \(sec^-1}\) o \(arcsec\), hace lo contrario de la función secante.
La cosecante inversa, \(csc^-1}\) o \(arccsc\), hace lo contrario de la función cosecante.
Las funciones trigonométricas inversas también se llaman funciones de arco porque, cuando se les da un valor, devuelven la longitud del arco necesaria para obtener ese valor. Por eso a veces vemos las funciones trigonométricas inversas escritas como \(arcsin, arccos, arctan\), etc.
Utilizando el triángulo rectángulo de abajo, ¡vamos a definir las funciones trigonométricas inversas!
Fig. 1. Un triángulo rectángulo con los lados marcados.
Las funciones trigonométricas inversas son operaciones inversas a las funciones trigonométricas. En otras palabras, hacen lo contrario de lo que hacen las funciones trigonométricas. En general, si conocemos una razón trigonométrica pero no el ángulo, podemos utilizar una función trigonométrica inversa para hallar el ángulo. Esto nos lleva a definirlas de la siguiente manera:
| Funciones trigonométricas - dado un ángulo, devuelven una razón | Funciones trigonométricas inversas - dada una razón, devuelven un ángulo |
| \[\sin(\theta)=\dfrac{opuesta}{hipotenusa}\] | \[(\theta)=sin^{-1} \dfrac{opposite}{hypotenuse}\] |
| \cos(\theta)=\dfrac{adyacente}{hipotenusa}] | \[(\theta)=cos^{-1}\dfrac{adjacent}{hypotenuse}\] |
| \[Tan(\theta)=dfrac{opuesto}{adyacente}] | \[(\theta)=\tan^{-1}\dfrac{opposite}{adjacent}\] |
| \[\cot(\theta)=dfrac{adyacente}{opuesto}] | \[(\theta)=\cot^{-1}\dfrac{adjacent}{opposite}\] |
| \[sec(\theta)=dfrac{hipotenusa}{adyacente}] | \[(\theta)=\sec^{-1}\dfrac{hypotenuse}{adjacent}\] |
| \[csc(\theta)=dfrac{potenusa}{opuesta}] | \[(\theta)=csc^{-1}\dfrac{hypotenuse}{opposite}\] |
Nota sobre la notación
Como habrás observado, la notación utilizada para definir las funciones trigonométricas inversas hace que parezca que tienen exponentes. Aunque pueda parecerlo, ¡el superíndice \(-1\) NO es un exponente! En otras palabras, ¡no es lo mismo \(\sin^{-1}(x)\) que \(\dfrac{1}{\sin(x)})! El superíndice \(-1\) significa simplemente "inverso".
En perspectiva, si elevamos un número o variable a la potencia \(-1\), significa que estamos pidiendo su inverso multiplicativo, o su recíproco.
- Por ejemplo, \(5^{-1}=\dfrac{1}{5}\).
- Y en general, si la variable es un número real distinto de cero, entonces \(c^{-1}=\dfrac{1}{c}\).
Entonces, ¿por qué son distintas las funciones trigonométricas inversas?
- Porque las funciones trigonométricas inversas son funciones, ¡no cantidades!
- En general, cuando vemos un superíndice \(-1\) tras el nombre de una función, significa que es una función inversa, ¡no recíproca!
Por tanto:
- Si tenemos una función llamada \(f\), su inversa se llamaría \(f^{-1}\) .
- Si tenemos una función llamada \(f(x)\), su inversa se llamaría \(f^{-1}(x)\).
¡Este patrón continúa para cualquier función!
Funciones trigonométricas inversas: Fórmulas
Las principales fórmulas trigonométricas inversas se enumeran en la tabla siguiente.
| Las 6 principales fórmulas trigonométricas inversas | |
| Seno inverso, o seno de arco: \(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\) | Cosecante inversa, o cosecante de arco: \(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\) |
| Coseno inverso o arco coseno: \(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\) | Secante inversa o arco secante: \(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\) |
| Tangente inversa o arco tangente: \(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\) | Cotangente inversa o cotangente de arco: \(y=cot^{-1}(x)=arcot(x)\) |
¡Explorémoslas con un ejemplo!
Considera la función trigonométrica inversa: \(y=sin^{-1}(x)\)
Basándonos en la definición de las funciones trigonométricas inversas, esto implica que \(sen(y)=x\).
Teniendo esto en cuenta, supongamos que queremos hallar el ángulo θ en el triángulo rectángulo de abajo. ¿Cómo podemos hacerlo?
Fig. 2.Un triángulo rectángulo con sus lados marcados con números.
Solución:
- Prueba a utilizar funciones trigonométricas:
- Sabemos que \(\sin(\theta)=\dfrac{opuesta}{hipotenusa}=\dfrac{1}{2}\), pero esto no nos ayuda a encontrar el ángulo.
- Entonces, ¿qué podemos intentar a continuación?
- Utilizar funciones trigonométricas inversas:
- Recordando la definición de funciones trigonométricas inversas, si \(\sin(\theta)=\dfrac{1}{2}\), entonces \(\theta=\sin^{-1}\ izquierda(\dfrac{1}{2}\ derecha)\).
- Basándonos en nuestro conocimiento previo de las funciones trigonométricas, sabemos que \(\sin(30^o)=\dfrac{1}{2}\).
- Por tanto
- \(\theta=\sin^{-1}\left(\dfrac{1}{2}\right)\)
- \(\theta=30^o\)
Gráficas de funciones trigonométricas inversas
¿Qué aspecto tienen las funciones trigonométricas inversas? Veamos sus gráficas.
Dominio y rango de las funciones trigonométricas inversas
Pero, antes de poder representar gráficamente las funciones trigonométricas inversas, tenemos que hablar de sus dominios. Como las funciones trigonométricas son periódicas, y por tanto no son uno a uno, no tienen funciones inversas. Entonces, ¿cómo podemos tener funciones trigonométricas inversas?
Para encontrar las inversas de las funciones trigonométricas, ¡debemos restringir o especificar sus dominios para que sean uno a uno! Esto nos permite definir una inversa única del seno, coseno, tangente, cosecante, secante o cotangente.
En general, utilizamos la siguiente convención al evaluar funciones trigonométricas inversas:
| Función trigonométrica inversa | Fórmula | Dominio |
| Seno inverso / arco seno | \(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\) | \([-1,1]\) |
| Coseno inverso / arco coseno | \(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\) | \([-1,1]\) |
| Tangente inversa / arco tangente | \(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\) | \(-\infty, \infty\) |
| Cotangente inversa / cotangente de arco | \(y=cot^{-1}(x)=arccot(x)\) | \(-\infty, infty\) |
| Secante inversa / secante de arco | \(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\) | \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) |
| Cosecante inversa / cosecante de arco | \(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\) | \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\cup) |
Éstos son sólo los dominios convencionales, o estándar, que elegimos al restringir los dominios. Recuerda que, como las funciones trigonométricas son periódicas, ¡hay un número infinito de intervalos en los que son uno a uno!
Para representar gráficamente las funciones trigonométricas inversas, utilizamos las gráficas de las funciones trigonométricas restringidas a los dominios especificados en la tabla anterior y reflejamos esas gráficas sobre la recta \(y=x\), igual que hicimos para hallar las Funciones Inversas.
A continuación se muestran las 6 principales funciones trigonométricas inversas y sus gráficas, dominio, rango (también conocido como intervalo principal ) y cualquier asíntota.
| La gráfica de \(y=sin^{-1}(x)=arcsin(x)\) | La gráfica de \(y=cos^{-1}(x)=arccos(x)\) | ||
|
| ||
| Dominio: \([-1,1]\) | Rango: \([-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\) | Dominio: \([-1,1]\) | Rango: \([0,\pi]\}) |
| La gráfica de \(y=sec^{-1}(x)=arcsec(x)\) | La gráfica de \(y=csc^{-1}(x)=arccsc(x)\) | ||
|
| ||
| Dominio: \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\) | Rango: \((0, \dfrac{\pi}{2}] \cup [\dfrac{\pi}{2}, \pi)\cup) | Dominio: \((-\infty, -1] \cup [1, \infty)\cup) | Rango: \((-dfrac{\pi}{2},0] \cup [0,\dfrac{\pi}{2})\cup) |
| Asíntota: \(y=\dfrac{\pi}{2}) | Asíntota: \(y=0\) | ||
| La gráfica de \(y=tan^{-1}(x)=arctan(x)\) | La gráfica de \(y=cot^{-1}(x)=arccot(x)\) | ||
|
| ||
| Dominio: \(-\infty, \infty\\) | Rango: \([-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}]\) | Dominio: \(-\infty, \infty\) | Rango: \(0, \pi\) |
| Asíntotas: \(y=-\dfrac{\pi}{2}, y=\dfrac{\pi}{2}\) | Asíntotas: \(y=0, y=\pi\) | ||
Funciones trigonométricas inversas: Círculo unitario
Cuando tratamos con funciones trigonométricas inversas, el círculo unitario sigue siendo una herramienta muy útil. Aunque normalmente pensamos en utilizar el círculo unitario para resolver funciones trigonométricas, el mismo círculo unitario puede utilizarse para resolver, o evaluar, las funciones trigonométricas inversas.
Antes de llegar al círculo unitario propiamente dicho, veamos otra herramienta más sencilla. Los siguientes diagramas nos pueden ayudar a recordar de qué cuadrantes provendrán las funciones trigonométricas inversas en el círculo unitario.
Fig. 3. Diagrama que muestra en qué cuadrantes devuelven valores el coseno, la secante y la cotangente (y, por tanto, sus inversas).
Igual que las funciones coseno, secante y cotangente devuelven valores en los cuadrantes I y II (entre 0 y 2π), sus inversas, el coseno de arco, la secante de arco y la cotangente de arco, también lo hacen.
Fig. 4. Diagrama que muestra en qué cuadrantes devuelven valores el seno, la cosecante y la tangente (y, por tanto, sus recíprocos).
Igual que las funciones seno, cosecante y tangente devuelven valores en los cuadrantes I y IV (entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) y \(\dfrac{\pi}{2}\)), sus inversas, arco seno, arco cosecante y arco tangente, también lo hacen. Observa que los valores del cuadrante IV serán negativos.
Estos diagramas suponen los dominios restringidos convencionales de las funciones inversas.
Hay que distinguir entre hallar funciones trigonométricas inversas y resolver funciones trigonométricas.
Digamos que queremos hallar \(\sin^{-1}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\).
- Debido a la restricción del dominio del seno inverso, sólo queremos un resultado que se encuentre en el cuadrante I o en el cuadrante IV de la circunferencia unitaria.
- Por tanto, la única respuesta es \(\dfrac{\pi}{4}\).
Supongamos ahora que queremos resolver \(\sin(x)=\dfrac{cuadrado2}}{2}}).
- Aquí no hay restricciones de dominio.
- Por tanto, sólo en el intervalo de \((0, 2\pi)\) (o una vuelta alrededor del círculo unitario), obtenemos tanto \(\dfrac{\pi}{4}\) como \(\dfrac{3\pi}{4}\)como respuestas válidas.
- Y, sobre todos los números reales, obtenemos \(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\) y \(\dfrac{3\pi}{4}+2\pi k\) como respuestas válidas.
Recordemos que podemos utilizar el Círculo Unitario para resolver funciones trigonométricas de ángulos especiales: ángulos que tienen valores trigonométricos que evaluamos exactamente.
Fig. 5. El círculo unitario.
Al utilizar el círculo unitario para evaluar funciones trigonométricas inversas, debemos tener en cuenta varias cosas:
- Si la respuesta está en el cuadrante IV, debe ser una respuesta negativa (es decir, vamos en el sentido de las agujas del reloj desde el punto (1, 0) en lugar de en sentido contrario).
- Por ejemplo, si queremos evaluar \(\sin^{-1}\left( -\dfrac{1}{2}\right)\) nuestro primer instinto es decir que la respuesta es \(330^o\) o \(\dfrac{11\pi}{6}\). Sin embargo, como la respuesta debe estar entre \(-\dfrac{\pi}{2}\) y \(\dfrac{\pi}{2}\) (el dominio estándar para el seno inverso), tenemos que cambiar nuestra respuesta al ángulo co-terminal \(-30^o\), o \(-\dfrac{\pi}{6}\).
- Para utilizar el círculo unitario para obtener los inversos de lasfunciones recíprocas (secante, cosecante y cotangente), podemos tomar el recíproco de lo que está entre paréntesis y utilizar las funciones trigonométricas.
- Por ejemplo, si queremos evaluar \(\sec^{-1}(-\sqrt{2})\), buscaríamos \(\cos^{-1} \left( - \dfrac{1}{sqrt{2}} \right)\) en la circunferencia unitaria, que es lo mismo que ¾(¾cos^-1} ¾izquierda( - ¾dfrac {2} {2} ¾derecha)¾, lo que nos da ¾(¾dfrac {3\pi} {4}) o ¾(135^o).
- ¡Recuerda comprobar tu trabajo!
- Dada cualquier función trigonométrica con argumento positivo (suponiendo eldominio restringido convencional), deberíamos obtener un ángulo que esté en el cuadrante I \( 0 \leq \theta \leq \left( \dfrac{\pi}{2} \right) \).
- Para las funciones arcsin, arccsc y arctan :
- Si nos dan un argumento negativo, nuestra respuesta estará en el cuadrante IV \(-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}\).
- Para las funciones arccos, arcsec y arccot :
- Si nos dan un argumento negativo, nuestra respuesta estará en el cuadrante II \(\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \pi\).
- Para cualquier argumento que esté fuera de los dominios de las funciones trigonométricas para arcsin, arccsc, arccos y arcsec, no obtendremos solución.
Cálculo de funciones trigonométricas inversas
En cálculo, se nos pedirá que encontremos derivadas e integrales de funciones trigonométricas inversas. En este artículo presentamos un breve resumen de estos temas.
Para un análisis más profundo, consulta nuestros artículos Derivadas de funciones trigonométricas inversas e Integrales resultantes de funciones trigonométricas inversas.
Derivadas de funciones trigonométricas inversas
Un hecho sorprendente sobre las Derivadas de Funciones Trigonométricas Inversas es que son funciones algebraicas, no funciones trigonométricas. Las derivadas de las funciones trigonométricas inversas se definen como:
\[\dfrac{d}{dx}\sin^{-1}(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-(x)^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\cos^{-1}(x)=\dfrac{-1}{\sqrt{1+(x)^2}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\tan^{-1}(x)=\dfrac{1}{1+(x)^2}\]
\[\dfrac{d}{dx}\cot^{-1}(x)=\dfrac{-1}{1+(x)^2}\]
\[\dfrac{d}{dx}\sec^{-1}(x)=\dfrac{1}{|x|\sqrt{(x)^2-1}}\]
\[\dfrac{d}{dx}\csc^{-1}(x)=\dfrac{-1}{|x|\sqrt{(x)^2-1}}\]
Integrales que dan lugar a funciones trigonométricas inversas
Anteriormente hemos desarrollado las fórmulas de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas. Estas fórmulas son las que utilizamos para desarrollar las Integrales resultantes de funciones trigonométricas inversas. Estas integrales se definen como
\[\int \dfrac{du}{sqrt{a^2-u^2}}=\sin^{-1}{left( \dfrac{u}{a}{right)+C\]
|int \dfrac{du}{sqrt{a^2+u^2}=dfrac{1}{a}{tan^{-1}}left( \dfrac{u}{a} \right)+C\]
|int \dfrac{du}{u \sqrt{a^2+u^2}}=dfrac{1}{a}{sec^{-1}}left( \dfrac{u}{a} \right)+C\]
Hay 6 funciones trigonométricas inversas, ¿por qué sólo hay tres integrales? La razón es que las tres integrales restantes no son más que versiones negativas de estas tres. En otras palabras, la única diferencia entre ellas es si el integrando es positivo o negativo.
- En lugar de memorizar tres fórmulas más, si el integrando es negativo, podemos factorizar -1 y evaluar utilizando una de las tres fórmulas anteriores.
Integrales trigonométricas inversas
Además de las integrales que dan lugar a las funciones trigonométricas inversas, hay integrales que implican a las funciones trigonométricas inversas. Estas integrales son:
Las integrales trigonométricas inversas que implican el seno del arco.
\(\int sin^{-1} u du = sin^{-1}(u)+\sqrt{1-u^2}+C\)
\(\int u \sin^{-1}u du=\dfrac{2u^2-1}{4} \sin^{-1}(u)+\dfrac{u\sqrt{1-u^2}}{4}+C\)
\(\int u^n sin^{-1}u du \dfrac{1}{n+1} \izquierda[ u^{n+1} \sen^{-1}(u) - \int \dfrac{u^{n+1}du}{\sqrt{1-u^2}}, n \neq -1 \right]\)
Las integrales trigonométricas inversas que implican el coseno del arco.
\(\int cos^{-1}udu =cos^{-1}(u)-\sqrt{1-u^2}+C\)
\(\int cos^{-1} u du = \dfrac{1}{n+1}\left[ u^{n+1} \cos^{-1}(u)+ \int \dfrac{u^{n+1}du}{sqrt{1-u^2}} \right], n \neq -1\)
Las integrales trigonométricas inversas que implican tangente de arco.
\(\int tan^{-1}udu=tan^{-1}(u)-\dfrac{1}{2}ln(1+u^2)+C\)
\(\int u \tan^{-1} u du = \dfrac{u^2-1}{2}\tan^{-1}(u)+C\)
\(\int u^n tan^{-1} udu = \dfrac{1}{n+1}\left[ \dfrac{u^{n+1} du}{1+u^2}\right], n \neq -1\)
Resolución de funciones trigonométricas inversas: Ejemplos
Cuando resolvemos, o evaluamos, funciones trigonométricas inversas, la respuesta que obtenemos es un ángulo.
Evalúa \(\cos^{-1} \left( \dfrac{1}{2}\right) \).
Solución:
Para evaluar esta función trigonométrica inversa, tenemos que encontrar un ángulo \(\theta\) tal que \(\cos(\theta)=\dfrac{1}{2}\).
- Aunque muchos ángulos de θ tienen esta propiedad, dada la definición de \(\cos^{-1}\), necesitamos el ángulo \(\theta\) que no sólo resuelva la ecuación, sino que además esté en el intervalo \([0, \pi]\) .
- Por tanto, la solución es \[\cos^{-1}\ izquierda( \dfrac{1}{2}\ derecha) = \dfrac{\pi}{3}=60^o].
¿Y la composición de una función trigonométrica y su inversa?
Consideremos las dos expresiones
\[\sin\left( sin^{-1}\left( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right) \right)\].
y
\[\sin^{-1}(\sin(\pi))\]
Soluciones:
- La primera expresión se simplifica como
- \(\sin\left( sen^{-1} \left( \dfrac{sqrt{2}}{2} \right) \right)=\sin\left( \dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{sqrt{2}}{2}\)
- La segunda expresión se simplifica como
- \(\sin{-1}(\sin(\pi))=\sin^{-1}(0)=0\)
Pensemos en la respuesta de la segunda expresión del ejemplo anterior.
¿No se supone que la inversa de una función deshace la función original? ¿Por qué no es \( \sin^{-1} ( \sin (\pi) )= \pi \)?
Recordando la definición de funciones inversas: una función \(f\) y su inversa \(f^{-1}\) satisfacen las condiciones \( f (f^{-1}(y))=y\)para todo y en el dominio de \( f^{-1}\) , y \(f^{-1}(f(x))=x\) para todo \(x\) en el dominio de \(f\).
Entonces, ¿qué ha pasado en este ejemplo?
- La cuestión aquí es que la función seno inversa es la inversa de la función seno restringida en el dominio \( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] \) . Por tanto, para \(x\) en el intervalo \( \left[ -\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right] \), es cierto que \(\sin^{-1}(\sin(x))=x\). Sin embargo, para valores de x fuera de este intervalo, esta ecuación no se cumple, aunque \(\sin^{-1}(\sin(x))\)esté definida para todos los números reales de \(x\).
Entonces, ¿qué pasa con \(\sin(\sin^-1}(y))\)? ¿Tiene esta expresión un problema similar?
Esta expresión no tiene el mismo problema porque el dominio de \(\sin^{-1}\) es el intervalo \([-1, 1]\).
Por tanto, \(\sin(\sin^-1}(y))=y\) si \(-1 \leq y \leq 1\). Esta expresión no está definida para ningún otro valor de \(y\).
Resumamos estas conclusiones:
| Las condiciones para que las funciones trigonométricas y sus inversas se anulen entre sí | |
| \(\sin(\sin^{-1}(y)=y)\) si \(-1 \leq y \leq 1\) | \(\sin^{-1}(\sin(x))=x\) si \( -\dfrac{\pi}{2}\leq x \leq \dfrac{\pi}{2}\) |
| \(\cos(\cos^{-1}(y)=y)\) si \(-1 \leq y \leq 1\) | \(Cos^1}(Cos(x))=x) si (0 = x) |
| \(\tan(\tan^{-1}(y)=y)\) si \(-\infty \leq y \leq \infty\) | \(\tan^{-1}(\tan(x))=x\) si \( -\dfrac{\pi}{2}\leq x \leq \dfrac{\pi}{2}\) |
| \(\cot(\cot^{-1}(y)=y)\) si \(-\infty \leq y \leq \infty\) | \(\cot^{-1}(\cot(x))=x\) si \( 0 < x < \pi \) |
| \(\sec(\sec^-1}(y)=y)\) si \(( -\infty, -1] \leq \cup [1, \infty)\) | \(\sec^{-1}(\sec(x))=x\) si \( 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \cup \dfrac{\pi}{2} < x < \pi) |
| \(\csc(\csc^{-1}(y)=y)\) si \(( -\infty, -1] \leq \cup [1, \infty)\) | \(\csc^{-1}(\csc(x))=x\) si \( -\dfrac{\pi}{2} < x < \-0 \cup 0 < x < \dfrac{\pi}{2} \) |
Evalúa las siguientes expresiones:
- \(sin^1}izquierda( -dfrac3}2}) derecha)
- \(tan a la izquierda (tan^1} a la izquierda (-dfrac1/3) a la derecha) a la derecha)
- \(cos^1}) izquierda (coscos) izquierda (frac5pi4}) derecha) derecha)
- \sin^{-1} \left( \cos\left( \dfrac{2\pi}{3} \right) \right)\)
Solución:
- Para evaluar esta función trigonométrica inversa, necesitamos encontrar un ángulo \(\theta\) tal que \(\sin(\theta) = - \dfrac{\sqrt{3}}{2}) y \(-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}).
- El ángulo \( \theta= - \dfrac{\pi}{3} \) cumple estas dos condiciones.
- Por tanto, la solución es \[\sin^{-1}\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right)= -\dfrac{\pi}{3}\].
- Para evaluar esta función trigonométrica inversa, primero resolvemos la función "interna": \[tan^{-1}\left( - \dfrac{1}{sqrt{3}}\right)\], y una vez tenemos esa solución, resolvemos la función "externa \(tan(x)\) .
- \(\tan^{-1}\left( -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)=-\dfrac{\pi}{6}\) → luego introduce \(-\dfrac{\pi}{6}}) en la función "exterior".
- \(tan\left( -\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).
- Por tanto: \tan \left( tan^{-1} \left( - \dfrac{1}{3}\right) \right)=-\dfrac{1}{sqrt{3}}] o, si queremos racionalizar el denominador: \tan \left( tan^{-1} \left( - \dfrac{1}{3}\right) \right)=-\dfrac{1}{sqrt{3}}=-\dfrac{sqrt{3}}{3}].
- Para evaluar esta función trigonométrica inversa, primero resolvemos la función "interna": \( \cos \left( \dfrac{5\pi}{4} \right)\) y una vez tenemos esa solución, resolvemos la función "externa": \(\cos^{-1}\) .
- \(cos\left( \dfrac{5\pi}{4}\right)=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) → a continuación, introduce \(-\dfrac{cuadrado2}{2})en la función "exterior".
- \(\cos^{-1}\left( -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)\). Para evaluar esta expresión, tenemos que encontrar un ángulo \(\theta\) tal que \(\cos(\theta)=-\dfrac{cuadrado2}}{2}) y \(0 < \theta \leq \pi\).
- El ángulo \(\theta = \dfrac{3\pi}{4}\}) cumple estas dos condiciones.
- Por tanto, la solución es \[\cos^{-1}\left( cos \left( \dfrac{5\pi}{4}\right) \right)=\dfrac{3 \pi}{4}\].
- Para evaluar esta función trigonométrica inversa, primero resolvemos la función "interior": \(\cos \left( \dfrac{2 \pi}{3}\right)\) y una vez tenemos esa solución, resolvemos la función "externa": \(\sin^{-1}(x)\) .
- \(\cosquierda( \dfrac{2 \pi}{3}\derecha)= - \dfrac{1}{2}\) → luego introduce \(-\dfrac{1}{2}}) en la función "exterior".
- \(\sin\izquierda( -\dfrac{1}{2}\derecha)\). Para evaluar esta expresión, tenemos que encontrar un ángulo \(\theta\) tal que \(\sin(\theta)=-\dfrac{1}{2}\) y \(-\dfrac{\pi}{2} \leq \theta \leq \dfrac{\pi}{2}\).
- El ángulo \(\theta= -\dfrac{\pi}{6}\}) cumple estas dos condiciones.
- Por tanto, la solución es \[\sin^{-1}\left(\cos \left( \dfrac{2 \pi}{3}\right) \right)= -\dfrac{\pi}{6}\].
En la mayoría de las calculadoras gráficas, puedes evaluar directamente las funciones trigonométricas inversas para el seno inverso, el coseno inverso y la tangente inversa.
Cuando no se especifica explícitamente, restringimos las funciones trigonométricas inversas a los límites estándar especificados en el apartado "funciones trigonométricas inversas en una tabla". Hemos visto esta restricción en el primer ejemplo.
Sin embargo, puede haber casos en los que queramos encontrar un ángulo correspondiente a un valor trigonométrico evaluado dentro de un límite especificado diferente. En tales casos, es útil recordar los cuadrantes trigonométricos:
Fig. 6. Los cuadrantes trigonométricos y dónde son positivas las funciones trigonométricas (y, por tanto, trigonométricas inversas).
Dado lo siguiente, halla \(theta\).
\[\sin(\theta)=-0.625\]
donde
\[90^o< \theta < 270^o\]
Solución:
- Utilizando una calculadora gráfica, podemos hallar que
- \(\sin^{-1}(-0.625)=-38.68^o=-0.675rad\)
- Sin embargo, basándonos en el intervalo dado para \(\theta\), nuestro valor debería estar en el2º o3º cuadrante, no en el4º cuadrante, como la respuesta que dio la calculadora gráfica.
- Y: dado que \(\sin(\theta)\) es negativo, \(\theta\) tiene que estar en el3º cuadrante, no en el2º.
- Por tanto, sabemos que la respuesta final tiene que estar en el3er cuadrante, y \(\theta\) debe estar entre \(180\) y \(270\) grados.
- Para obtener la solución basándonos en el rango dado, utilizamos la identidad
- \(\sin(\theta)=\sin(180-\theta)\)
- Por tanto
- \(\sin(-38.68^o=\sin(180-(-38.68^o))=\sin(218.68^o)\)
- Por tanto, tenemos
- \(\theta=\sin^{-1}(-0.625)=218.68^o\)
Funciones trigonométricas inversas - Puntos clave
- Una función trigonométrica inversa te da un ángulo que corresponde a un valor dado de una función trigonométrica.
- En general, si conocemos una razón trigonométrica pero no el ángulo, podemos utilizar una función trigonométrica inversa para hallar el ángulo.
- Las funciones trigonométricas inversas deben definirse endominios restringidos , donde son funciones 1 a 1.
- Aunque hay un dominio convencional/estándar en el que se definen las funciones trigonométricas inversas, recuerda que como las funciones trigonométricas son periódicas, hay un número infinito de intervalos en los que se pueden definir.
- Las 6 funciones trigonométricas inversas principales son:
- Seno inverso / arco seno:
- Coseno inverso / arco coseno:
- Tangente inversa / arco cotangente:
- Cosecante inversa / cosecante de arco:
- Secante inversa / arco secante:
- Cotangente inversa / arco cotangente:
- Para saber más sobre el cálculo de funciones trigonométricas inversas, consulta nuestros artículos sobre Derivadas de funciones trigonométricas inversas e Integrales resultantes de funciones trigonométricas inversas.
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