¿Notas algo? ¡Parece que hemos puesto un espejo en el eje y! Veamos ahora otro gráfico:
Una gráfica con un reflejo en el eje x no es una función porque no supera la prueba de la línea vertical. Sin embargo, si deslizamos hacia la izquierda la parte situada bajo el eje x, ¡ahora tenemos simetría rotacional respecto al origen!
Las funciones que tienen este tipo de simetrías reciben nombres únicos. Además, estas simetrías pueden utilizarse a nuestro favor al integrar estas funciones.
¿Qué son las funciones pares e impares?
Podemos clasificar algunas funciones en funciones pares o funciones impares. Pero, ¿qué significa esto? Veamos cada definición.
Se dice que una función es par , o simétrica, si para todos los valores x de su dominio.
En otras palabras, una función par es una función cuya salida no cambia si cambiamos el signo de su entrada. ¿Y las funciones impares?
Se dice que una función es impar, o antisimétrica, si para todos los valores x de su dominio.
Por el contrario, si cambiamos el signo de la entrada de una función impar, obtendremos el opuesto de su salida. Podemos aprovechar esta simetría para hallar integrales definidas de funciones pares o impares.
Ten en cuenta que algunas funciones no son ni pares ni impares.
Integrales definidas de funciones pares
En las gráficas de funciones pares, todo valor situado a la izquierda de la y es espejo del valor situado a su derecha. Esta característica nos da la fórmula de las integrales definidas de funciones pares.
Sea una función integrable en el intervalo . Si es una función par, se cumple la fórmula siguiente:
Veamos el área entre una función par y el eje x positivo.
Podemos compararla con el área entre la misma función y el eje x negativo.
Observa cómo las áreas son iguales; sólo están reflejadas sobre el eje y. Esta observación significa que podemos hallar el área de todo el intervalo multiplicando cualquiera de estas áreas por 2. Normalmente, utilizamos el área sobre el eje x positivo, lo que nos da la fórmula para integrar funciones pares:
Integrales definidas de funciones impares
La gráfica de una función impar es como la de una función par, pero los valores especulares son negativos. A continuación se muestra la fórmula para integrar funciones impares.
Sea una función integrable en el intervalo . Si es una función impar, se cumple la siguiente fórmula:
Veamos la integral definida de una función impar.
Observa cómo las áreas vuelven a ser las mismas, pero ahora se reflejan sobre ambos ejes. En este caso, un área es el negativo de la otra. Por tanto, si las sumamos, el resultado es igual a 0. A partir de este hecho, obtenemos la fórmula de las integrales definidas de funciones impares:
Demostraciones de las integrales de funciones pares e impares
Podemos utilizar las propiedades de las funciones pares e impares para demostrar las fórmulas de integración de funciones pares e impares. ¡Vamos a ello!
Demostración de la integral de una función par
Sea una función par. Consideremos la integral definida .
Podemos dividir esta integral en dos intervalos utilizando las propiedades de las integrales.
Como es una función par, podemos sustituir con en el primer término del lado derecho de la ecuación.
Ahora hacemos una sustitución en u (ver Integración por sustitución) en el mismo término dejando que . De esta forma y el límite inferior de la integración se convierte en .
Ahora utilizamos el signo menos dentro de la integral para invertir los límites de la integral definida.
Como las integrales que intervienen en la ecuación anterior son todas integrales definidas, la variable de integración no importa en absoluto. Por tanto, el primer y el segundo término del lado derecho de la ecuación son iguales.
Esta equivalencia nos da la fórmula para integrar funciones pares.
Demostración de la integral de una función impar
Sea una función impar. Consideremos la integral definida .
También dividiremos esta integral.
Como es una función impar, podemos sustituirla por . Esta sustitución consiste esencialmente en cambiar el signo de la función de positivo a negativo y de nuevo a positivo.
Ahora podemos proceder del mismo modo que hicimos para la integral de una función par, haciendo la misma sustitución en u y simplificando.
Los dos términos de la parte derecha de la ecuación son el negativo el uno del otro. Por tanto, su suma es igual a 0. Esta simplificación nos da la fórmula para integrar funciones impares.
Ejemplos de integración de funciones pares e impares
Al utilizar las fórmulas de integración de funciones pares e impares, debemos asegurarnos de que nuestra función es par o impar. Veamos cómo se hace.
Halla el valor de la integral definida:
Solución:
Empezamos por comprobar si la función dada es par o impar.
Iguala el integrando de la integral definida.
Evalúa y simplifica utilizando las propiedades de los exponentes.
Hemos comprobado que la función es par porque . Ahora podemos utilizar la fórmula para integrar funciones pares.
Integra utilizando las fórmulas básicas de integración.
Evalúa y simplifica.
Utilizando esta fórmula es que la evaluación cuando es relativamente sencilla. Veamos otro ejemplo.
Halla el valor de la integral definida .
Solución:
Una vez más, empezamos por comprobar si la función es par o impar.
Pon igual al integrando de la integral definida.
Evalúa y simplifica utilizando las propiedades de los exponentes.
Factoriza -1.
Hemos comprobado que la función es impar porque . Ahora podemos utilizar la fórmula para integrar funciones impares.
Observa que no hemos tenido que utilizar ninguna otra regla de integración.
¡Aquí tienes un consejo rápido para Funciones Polinómicas! Si todos los exponentes de la Función Polinómica son números pares (o términos constantes), entonces la función es par. Del mismo modo, si todos los exponentes de la función polinómica son impares, entonces la función es impar. Con este atajo, no tienes que evaluar f(-x) y puedes averiguar rápidamente qué fórmula utilizar.
Integración de funciones pares e impares - Puntos clave
- Podemos clasificar algunas funciones en funciones pares o funciones impares .
- Las funciones pares son funciones tales que para cada x en su dominio.
- Las funciones impares son funciones tales que para cada x en su dominio.
- Si es una función par integrable en el intervalo, entonces .
- Si es una función impar integrable en el intervalo, entonces .
- Las funciones pares también se denominan funciones simétricas. Las funciones impares también se conocen como funciones antisimétricas.
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