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Funciones
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Las funciones pueden tener algunas gráficas fascinantes: patrones ocultos, formas fantásticas y simetrías. Mira, por ejemplo, la siguiente gráfica.
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Equipo de profesores de Integración de funciones pares e impares
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¿Notas algo? ¡Parece que hemos puesto un espejo en el eje y! Veamos ahora otro gráfico:
Una gráfica con un reflejo en el eje x no es una función porque no supera la prueba de la línea vertical. Sin embargo, si deslizamos hacia la izquierda la parte situada bajo el eje x, ¡ahora tenemos simetría rotacional respecto al origen!
Las funciones que tienen este tipo de simetrías reciben nombres únicos. Además, estas simetrías pueden utilizarse a nuestro favor al integrar estas funciones.
Podemos clasificar algunas funciones en funciones pares o funciones impares. Pero, ¿qué significa esto? Veamos cada definición.
Se dice que una función es par , o simétrica, si para todos los valores x de su dominio.
En otras palabras, una función par es una función cuya salida no cambia si cambiamos el signo de su entrada. ¿Y las funciones impares?
Se dice que una función es impar, o antisimétrica, si para todos los valores x de su dominio.
Por el contrario, si cambiamos el signo de la entrada de una función impar, obtendremos el opuesto de su salida. Podemos aprovechar esta simetría para hallar integrales definidas de funciones pares o impares.
Ten en cuenta que algunas funciones no son ni pares ni impares.
En las gráficas de funciones pares, todo valor situado a la izquierda de la y es espejo del valor situado a su derecha. Esta característica nos da la fórmula de las integrales definidas de funciones pares.
Sea una función integrable en el intervalo . Si es una función par, se cumple la fórmula siguiente:
Veamos el área entre una función par y el eje x positivo.
Podemos compararla con el área entre la misma función y el eje x negativo.
Observa cómo las áreas son iguales; sólo están reflejadas sobre el eje y. Esta observación significa que podemos hallar el área de todo el intervalo multiplicando cualquiera de estas áreas por 2. Normalmente, utilizamos el área sobre el eje x positivo, lo que nos da la fórmula para integrar funciones pares:
La gráfica de una función impar es como la de una función par, pero los valores especulares son negativos. A continuación se muestra la fórmula para integrar funciones impares.
Sea una función integrable en el intervalo . Si es una función impar, se cumple la siguiente fórmula:
Veamos la integral definida de una función impar.
Observa cómo las áreas vuelven a ser las mismas, pero ahora se reflejan sobre ambos ejes. En este caso, un área es el negativo de la otra. Por tanto, si las sumamos, el resultado es igual a 0. A partir de este hecho, obtenemos la fórmula de las integrales definidas de funciones impares:
Podemos utilizar las propiedades de las funciones pares e impares para demostrar las fórmulas de integración de funciones pares e impares. ¡Vamos a ello!
Sea una función par. Consideremos la integral definida .
Podemos dividir esta integral en dos intervalos utilizando las propiedades de las integrales.
Como es una función par, podemos sustituir con en el primer término del lado derecho de la ecuación.
Ahora hacemos una sustitución en u (ver Integración por sustitución) en el mismo término dejando que . De esta forma y el límite inferior de la integración se convierte en .
Ahora utilizamos el signo menos dentro de la integral para invertir los límites de la integral definida.
Como las integrales que intervienen en la ecuación anterior son todas integrales definidas, la variable de integración no importa en absoluto. Por tanto, el primer y el segundo término del lado derecho de la ecuación son iguales.
Esta equivalencia nos da la fórmula para integrar funciones pares.
Sea una función impar. Consideremos la integral definida .
También dividiremos esta integral.
Como es una función impar, podemos sustituirla por . Esta sustitución consiste esencialmente en cambiar el signo de la función de positivo a negativo y de nuevo a positivo.
Ahora podemos proceder del mismo modo que hicimos para la integral de una función par, haciendo la misma sustitución en u y simplificando.
Los dos términos de la parte derecha de la ecuación son el negativo el uno del otro. Por tanto, su suma es igual a 0. Esta simplificación nos da la fórmula para integrar funciones impares.
Al utilizar las fórmulas de integración de funciones pares e impares, debemos asegurarnos de que nuestra función es par o impar. Veamos cómo se hace.
Halla el valor de la integral definida:
Solución:
Empezamos por comprobar si la función dada es par o impar.
Iguala el integrando de la integral definida.
Evalúa y simplifica utilizando las propiedades de los exponentes.
Hemos comprobado que la función es par porque . Ahora podemos utilizar la fórmula para integrar funciones pares.
Integra utilizando las fórmulas básicas de integración.
Evalúa y simplifica.
Utilizando esta fórmula es que la evaluación cuando es relativamente sencilla. Veamos otro ejemplo.
Halla el valor de la integral definida .
Solución:
Una vez más, empezamos por comprobar si la función es par o impar.
Pon igual al integrando de la integral definida.
Evalúa y simplifica utilizando las propiedades de los exponentes.
Factoriza -1.
Hemos comprobado que la función es impar porque . Ahora podemos utilizar la fórmula para integrar funciones impares.
Observa que no hemos tenido que utilizar ninguna otra regla de integración.
¡Aquí tienes un consejo rápido para Funciones Polinómicas! Si todos los exponentes de la Función Polinómica son números pares (o términos constantes), entonces la función es par. Del mismo modo, si todos los exponentes de la función polinómica son impares, entonces la función es impar. Con este atajo, no tienes que evaluar f(-x) y puedes averiguar rápidamente qué fórmula utilizar.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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