Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Las funciones pueden tener algunas gráficas fascinantes: patrones ocultos, formas fantásticas y simetrías. Mira, por ejemplo, la siguiente gráfica.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratis
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Integración de funciones pares e impares
¡Gracias por su interés en las preferencias de aprendizaje!
¿Qué modo de aprendizaje prefiere? (por ejemplo, « Audio », « Video », « Texto », « Sin preferencia ») (opcional)
Enviar comentarios
¿Notas algo? ¡Parece que hemos puesto un espejo en el eje y! Veamos ahora otro gráfico:
Una gráfica con un reflejo en el eje x no es una función porque no supera la prueba de la línea vertical. Sin embargo, si deslizamos hacia la izquierda la parte situada bajo el eje x, ¡ahora tenemos simetría rotacional respecto al origen!
Las funciones que tienen este tipo de simetrías reciben nombres únicos. Además, estas simetrías pueden utilizarse a nuestro favor al integrar estas funciones.
Podemos clasificar algunas funciones en funciones pares o funciones impares. Pero, ¿qué significa esto? Veamos cada definición.
Se dice que una función es par , o simétrica, si para todos los valores x de su dominio.
En otras palabras, una función par es una función cuya salida no cambia si cambiamos el signo de su entrada. ¿Y las funciones impares?
Se dice que una función es impar, o antisimétrica, si para todos los valores x de su dominio.
Por el contrario, si cambiamos el signo de la entrada de una función impar, obtendremos el opuesto de su salida. Podemos aprovechar esta simetría para hallar integrales definidas de funciones pares o impares.
Ten en cuenta que algunas funciones no son ni pares ni impares.
En las gráficas de funciones pares, todo valor situado a la izquierda de la y es espejo del valor situado a su derecha. Esta característica nos da la fórmula de las integrales definidas de funciones pares.
Sea una función integrable en el intervalo . Si es una función par, se cumple la fórmula siguiente:
Veamos el área entre una función par y el eje x positivo.
Podemos compararla con el área entre la misma función y el eje x negativo.
Observa cómo las áreas son iguales; sólo están reflejadas sobre el eje y. Esta observación significa que podemos hallar el área de todo el intervalo multiplicando cualquiera de estas áreas por 2. Normalmente, utilizamos el área sobre el eje x positivo, lo que nos da la fórmula para integrar funciones pares:
La gráfica de una función impar es como la de una función par, pero los valores especulares son negativos. A continuación se muestra la fórmula para integrar funciones impares.
Sea una función integrable en el intervalo . Si es una función impar, se cumple la siguiente fórmula:
Veamos la integral definida de una función impar.
Observa cómo las áreas vuelven a ser las mismas, pero ahora se reflejan sobre ambos ejes. En este caso, un área es el negativo de la otra. Por tanto, si las sumamos, el resultado es igual a 0. A partir de este hecho, obtenemos la fórmula de las integrales definidas de funciones impares:
Podemos utilizar las propiedades de las funciones pares e impares para demostrar las fórmulas de integración de funciones pares e impares. ¡Vamos a ello!
Sea una función par. Consideremos la integral definida .
Podemos dividir esta integral en dos intervalos utilizando las propiedades de las integrales.
Como es una función par, podemos sustituir con en el primer término del lado derecho de la ecuación.
Ahora hacemos una sustitución en u (ver Integración por sustitución) en el mismo término dejando que . De esta forma y el límite inferior de la integración se convierte en .
Ahora utilizamos el signo menos dentro de la integral para invertir los límites de la integral definida.
Como las integrales que intervienen en la ecuación anterior son todas integrales definidas, la variable de integración no importa en absoluto. Por tanto, el primer y el segundo término del lado derecho de la ecuación son iguales.
Esta equivalencia nos da la fórmula para integrar funciones pares.
Sea una función impar. Consideremos la integral definida .
También dividiremos esta integral.
Como es una función impar, podemos sustituirla por . Esta sustitución consiste esencialmente en cambiar el signo de la función de positivo a negativo y de nuevo a positivo.
Ahora podemos proceder del mismo modo que hicimos para la integral de una función par, haciendo la misma sustitución en u y simplificando.
Los dos términos de la parte derecha de la ecuación son el negativo el uno del otro. Por tanto, su suma es igual a 0. Esta simplificación nos da la fórmula para integrar funciones impares.
Al utilizar las fórmulas de integración de funciones pares e impares, debemos asegurarnos de que nuestra función es par o impar. Veamos cómo se hace.
Halla el valor de la integral definida:
Solución:
Empezamos por comprobar si la función dada es par o impar.
Iguala el integrando de la integral definida.
Evalúa y simplifica utilizando las propiedades de los exponentes.
Hemos comprobado que la función es par porque . Ahora podemos utilizar la fórmula para integrar funciones pares.
Integra utilizando las fórmulas básicas de integración.
Evalúa y simplifica.
Utilizando esta fórmula es que la evaluación cuando es relativamente sencilla. Veamos otro ejemplo.
Halla el valor de la integral definida .
Solución:
Una vez más, empezamos por comprobar si la función es par o impar.
Pon igual al integrando de la integral definida.
Evalúa y simplifica utilizando las propiedades de los exponentes.
Factoriza -1.
Hemos comprobado que la función es impar porque . Ahora podemos utilizar la fórmula para integrar funciones impares.
Observa que no hemos tenido que utilizar ninguna otra regla de integración.
¡Aquí tienes un consejo rápido para Funciones Polinómicas! Si todos los exponentes de la Función Polinómica son números pares (o términos constantes), entonces la función es par. Del mismo modo, si todos los exponentes de la función polinómica son impares, entonces la función es impar. Con este atajo, no tienes que evaluar f(-x) y puedes averiguar rápidamente qué fórmula utilizar.
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
En StudySmarter, has creado una plataforma de aprendizaje que atiende a millones de estudiantes. Conoce a las personas que trabajan arduamente para ofrecer contenido basado en hechos y garantizar que esté verificado.
Lily Hulatt es una especialista en contenido digital con más de tres años de experiencia en estrategia de contenido y diseño curricular. Obtuvo su doctorado en Literatura Inglesa en la Universidad de Durham en 2022, enseñó en el Departamento de Estudios Ingleses de la Universidad de Durham y ha contribuido a varias publicaciones. Lily se especializa en Literatura Inglesa, Lengua Inglesa, Historia y Filosofía.
Conoce a Lily
Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
Conoce a Gabriel Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
