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En este artículo aprenderás qué es una integral indefinida, su definición, fórmula y propiedades. También verás ejemplos de cálculos de integrales indefinidas.
Definición de integral indefinida
Como sabes por el artículo de las antiderivadas, el proceso de hallar la antiderivada de una función se llama integración. Recuerda que, si te dan una función, \( f(x) \), una antiderivada de \( f(x) \) es cualquier función \( F(x) \) que cumpla la condición
\[ F'(x) = f(x). \]
Entonces, ¿cómo entra en juego aquí la integral indefinida?
Bueno, se utiliza para hacer referencia a toda la familia de antiderivadas de una función, mientras que una antiderivada es sólo una de las infinitas posibilidades.
Teniendo esto en cuenta, defines la integral indefinida como
Si \( F(x) \) es una antiderivada de una función \( f(x) \), entonces la familia de antiderivadas de \( f(x) \) se llama integral indefinida. La notación de esta integral indefinida es
\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]
donde \(C\) es una constante cualquiera.
Observa que
\( \int \) se llama símbolo integral,
\( f(x) \) se llama integrando,
\( x \) se llama variable de integración,
\( \mathrm{d}x \) se denomina diferencial,
\F(x) es la antiderivada, y
\( C \) se denomina constante de integración (o constante de integración).
Ten en cuenta que los términos "integral indefinida" y "antiderivada" a veces se utilizan indistintamente y, en algunos textos, una antiderivada también se denomina "función primitiva".
Dada la terminología que se te ha presentado en esta definición, el acto de hallar las antiderivadas de una función, \( f \), se denomina comúnmente
- integrar \( \mathbf{f} \)o bien
- hallar la integral de \( \mathbf{f} \).
Para una función, \( f(x) \), y su antiderivada, \( F(x) \), las funciones de la forma \( F(x) + C \), donde \( C \) es una constante cualquiera, suelen denominarse familia de antiderivadas de \( \mathbf{f(x)} \).
Integral indefinida: Una familia de antiderivadas
Para ayudarte a visualizar lo que significa "familia de antiderivadas", considera este ejemplo.
La integral indefinida, la constante de integración y la familia de antiderivadas
Considera la función
\[ f(x) = 2x. \]
¿Cuál es la integral indefinida de \( f(x) \)?
Solución:
La integral indefinida de \( f(x) = 2x \) es
\[ \int 2x ~\mathrm{d}x = x^{2} + C, \]
donde \(C\) es la constante de integración.
Como la derivada de cualquier constante es \(0\), \(C\) puede ser cualquier constante (siempre que sea un número real), ya sea positiva, negativa, o incluso la propia \(0\).
Cuando hallas una integral indefinida, siempre añades la constante de integración, \(C\), a tu solución final.
¿Por qué?
Porque tienes infinitas soluciones: la familia de antiderivadas de \( f(x) \).
- Para este ejemplo, el conjunto de todas las funciones de la forma \( F(x) = x^{2} + C \) (donde \(C\) es una constante cualquiera) se conoce como familia de antiderivadas de la función \( f(x) = 2x \).
Dicho de otro modo, una integral indefinida no tiene límites, por lo que estás hallando un conjunto de integrales, en lugar de una concreta (como en el caso de resolver integrales definidas). El \(+\,C\) indica que la solución tiene infinitas posibilidades.
En las siguientes gráficas se muestran algunas de las posibles soluciones de la integral indefinida de \( f(x) = 2x \).
Figura 1. La familia de antiderivadas de la función \( f(x) = 2x \) está formada por todas las funciones de la forma \( f(x) = x^{2}+C \), donde \(C\) es cualquier constante (siempre que sea un número real).
Fórmula de la integral indefinida
Al igual que ocurre con las antiderivadas en general, las integrales indefinidas no tienen una única fórmula para resolverlas. Hay una serie de reglas y propiedades que aprenderás a utilizar para resolver integrales indefinidas: se basan en las reglas de diferenciación que ya has aprendido. La razón de ello se explica en el artículo sobre el teorema fundamental del cálculo.
Dicho esto, la esencia de hallar una integral indefinida de una función es hacer lo contrario de las reglas de diferenciación que ya conoces.
Propiedades de la integral indefinida
Como la integral indefinida no es más que una familia de antiderivadas, sus propiedades son las mismas. Pero, para reiterar, la integral indefinida es lineal; es decir, puedes integrar "término a término" para sumas, diferencias y múltiplos constantes. Estas propiedades de linealidad se resumen en las reglas siguientes.
Propiedad suma/diferencia:
\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \].
Propiedad múltiple constante:
\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]
Pruebas de las propiedades de la integral indefinida
- En general, si \( F \) es una antiderivada de \( f\) y \( G \) es una antiderivada de \( g \), entonces\[ \frac{d}{dx} (F(x) \pm G(x)) = F'(x) \pm G'(x) = f(x) \pm g(x). \]Esto significa que \( F(x) \pm G(x) \) es una antiderivada de \( f(x) \pm g(x) \), por lo que tienes\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = F(x) \pm G(x) + C. \]
- Considera ahora la posibilidad de encontrar una antiderivada de \( kf(x) \), donde \( k \) es una constante cualquiera. Como sabes que\[ \frac{d}{dx} (kf(x)) = k \frac{d}{dx}F(x) = kf'(x) \]para cualquier constante \( k \), puedes concluir que\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = kF(x) + C. \]
Reglas para las integrales indefinidas
En su mayor parte, las reglas para hallar la integral indefinida de una función son las inversas (o inversas) de las reglas para hallar derivadas.
A continuación encontrarás una lista de reglas para integrales indefinidas comunes.
La regla constanteSi consideras la función \( F(x) = 3 \) y escribes su derivada como \( f(x) \), esto significa que \( f(x) = \frac{dF}{dx} \). Ya sabes que puedes hallar la derivada de esta función aplicando la regla de la constante para derivadas: \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \).Supongamos ahora que quieres invertir este proceso y preguntarte, ¿qué función o funciones podrían tener \( f(x) = 0 \) como derivada? Obviamente, \( F(x) = 3 \) es una respuesta. Dices que \( F(x) = 3 \) es una antiderivada de \( f(x) = 0 \).
Sin embargo, hay otras funciones cuya derivada es \( f(x) = 0 \), entre otras \( F(x) = 5 \), \( F(x) = -4 \) y \( F(x) = 200 \). Esto se debe a que cuando tomas una derivada, la constante desaparece.
Por tanto, si te dan cualquier antiderivada de \( f(x) \), todas las demás pueden hallarse añadiendo una constante distinta. En otras palabras, si \( F(x) \) es una antiderivada de \( f(x) \), entonces \( F(x) + C \) también es una antiderivada de \( f(x) \) para cualquier constante \( C \). Este grupo, o familia, de antiderivadas está representado por la integral indefinida.
Este proceso de pensamiento es el que te lleva a las reglas de la integral indefinida.
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}(k) = 0 \\text{Regla de la integral indefinida: &\int k ~\mathrm{d}x = kx + C\end{align} \]
La regla de la potenciaContinuando con el proceso de pensamiento anterior, puedes ver cómo funcionan la mayoría de estas reglas integrales indefinidas. Para muchas funciones, la evaluación de la integral indefinida es directamente opuesta a la derivada. Por ejemplo, si \( n \neq -1 \),\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) = (n+1) \frac{x^{n}}{n+1} = x^{n}, \]te lleva directamente a la regla de la potencia para integrales indefinidas. Así pues, las reglas de la derivada y la integral indefinida son:
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^{n-1} \\text{Regla de la integral indefinida: } &\int x^{n} ~\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1\end{align} \]
Regla del logaritmo natural
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}(\ln|x||) = \frac{1}{x} \\\text{Regla de la integral indefinida: } &\int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C\end{align} \]
La regla exponencial (con base \( e \))
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d}{dx}\left(e^{x}\right) = e^{x} \\\text{Regla de la integral indefinida: } &\int e^{x} ~\mathrm{d}x = e^{x} + C fin{align} \]
La Regla Exponencial (con base \( a \))
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d} {dx} {izquierda(a^{x}\derecha) = a^{x} \ Regla de la integral indefinida: &\int a^{x} ~\mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, ~\ a \neq 1\end{align} \]
La regla del seno
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\text{Regla de la integral indefinida: & &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin(x) + C\end{align} \]
La regla del coseno
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: (Cos(x)) = -Sin(x) Regla de la integral indefinida: } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \]
La regla de la tangente
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^{2}(x)\text{Regla de la integral indefinida: &\int \sec^{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]
Regla de la cosecante
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\text{Regla de la integral indefinida: } &\int \csc(x)\cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]
La regla secante
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\text{Regla de la integral indefinida: } &\int \sec(x)\tan(x) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \]
La regla de la cotangente
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^{2}(x) \\text{Regla de la integral indefinida: } &\int \csc^{2}(x) ~\mathrm{d}x = -\cot(x) + C\end{align} \]
La regla del seno inverso
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: izquierda(seno^{-1}(x)derecha) = = 1 \\\text{Regla integral indefinida: &\int \frac{1}{cuadrado}{1-x^{2}} ~\mathrm{d}x = \sin^{-1}(x) + C\end{align} \]
Regla de la tangente inversa
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: Izquierda (Tan^1}(x)Derecha) = 1+x^2}. \\\text{Regla integral indefinida: &\int \frac{1}{1+x^{2}} ~\x = \tan^{-1}(x) + C\end{align} \]
Regla de la secante inversa
\[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: izquierda(sec^1}(x)derecha) = = x = x = x = x = x^2}-1} \\text{Regla integral indefinida: &\int \frac{1}{xqrt{x^2}-1} ~\mathrm{d}x = \sec^{-1}|x| + C\end{align} \]
Observa que en notación integral, puedes tratar la diferencial, \( \mathrm{d}x \), como una variable móvil. Esto significa que podrías, por ejemplo, reescribir la regla \( 3^{rd} \) de la lista anterior como
\[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \ Flecha derecha \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \].
Integrales indefinidas: Errores que debes evitar
¿Te has dado cuenta de que en la lista anterior no hay reglas de producto, cociente ni cadena para las integrales?
¿Qué significa esto?
Significa que, al igual que ocurre con las derivadas, las reglas que se aplican a la suma y la resta no se aplican del mismo modo a la multiplicación y la división. En otras palabras, igual que con las derivadas:
- La integral del producto (o cociente) de dos funciones no es igual al producto (o cociente) de la integral de las funciones.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f(x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{int f(x) ~\mathrm{d}x}{int g(x) ~\mathrm{d}x}\end{align} \]
En cambio
las reglas del producto y del cociente de las derivadas te llevan a la integración por partes, y
la regla de la cadena para las derivadas te lleva a la integración por sustitución.
Aunque la integración por partes se deriva específicamente de la regla del producto de las derivadas, se aplica tanto a un producto como a un cociente de integrales. Esto se debe a que, para dos funciones cualesquiera \( f \) y \( g \), puedes escribir el cociente de las dos funciones como un producto:
\[ \frac{f}{g} = f \cdot \frac{1}{g}. \]
En otras palabras, puedes considerar la regla del cociente de las derivadas como una regla del producto disfrazada; lo mismo ocurre con la integración por partes.
Por ejemplo:
Considera la integral indefinida
\[ \int \frac{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x^{2}} ~\mathrm{d}x. \]
Resuelves esta integral mediante integración por partes. Sin embargo, en lugar de utilizar la regla del cociente, es más fácil reescribir esta integral como
\[ \int \sin\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1}{x^{2}} ~\mathrm{d}x \]
y utiliza una regla del producto para realizar la integración por partes.
Cálculo de integrales indefinidas
A la hora de calcular una integral indefinida, los pasos exactos que des dependerán de la propia integral. Sin embargo, hay algunos pasos muy básicos que deberás recordar para calcular todas las integrales indefinidas.
Pasos básicos para calcular una integral indefinida
Determina qué propiedades y reglas se aplican.
Si necesitas utilizar más de una propiedad o regla, decide el orden en que vas a utilizarlas.
Utiliza las reglas que hayas decidido.
Añade la constante de integración.
Comprueba tu resultado demostrando que \( F'(x) = f(x) \).
Ejemplos de integrales indefinidas
En los siguientes ejemplos, evalúa cada una de las integrales indefinidas. Este primer ejemplo es relativamente sencillo.
Evalúa
\[ \int \left( 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \]
Solución:
Determina qué propiedades y reglas se aplican.
Éste es un caso en el que se aplican las reglas de suma/diferencia, múltiplo constante y potencia para integrales.
Si necesitas utilizar más de una propiedad o regla, decide el orden en que las utilizarás.
Aplica la regla de suma/diferencia para integrales.
Aplica la regla del múltiplo constante a las integrales.
Aplica la regla de la potencia para integrales.
Utiliza las reglas que hayas decidido.
Aplica la regla de suma/diferencia para integrales reescribiendo la integral como\[ \begin{align}\int &\left( 4x^{3}} - 6x^{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x = \\\2&\int 4x^{3} ~\mathrm{d}x - \int 6x^{2} ~\mathrm{d}x + \int 2x ~\mathrm{d}x + \int 5 ~\mathrm{d}x.\end{align} \]
Aplica la regla del múltiplo constante para integrales reescribiendo la integral como\begin{align}\int &\left( 4x^{3}} - 6x^{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x = \\&4 \int x^{3} ~\mathrm{d}x - 6 \int x^{2} ~\mathrm{d}x + 2 \int x ~\mathrm{d}x + 5 \int 1 ~\mathrm{d}x.\end{align} \]
Aplica la regla de la potencia para integrales\[ \begin{align}\int &\left( 4x^{3}} - 6x^{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \&= \frac{4}{4}x^{4} - \frac{6}{3}x^{3} + \frac{2}{2}x^{2} + 5x \\\&= x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x end{align} \]
Añade la constante de integración.
\[ \begin{align}\int &\left( 4x^{3}} - 6x^{2} + 2x + 5 \right) ~\mathrm{d}x \\\&= x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x + C\end{align} \]
Comprueba tu resultado demostrando que \( F'(x) = f(x) \).\[ \begin{align}f(x) &= 4x^{3}} - 6x^{2} + 2x + 5 \\F(x) &= x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x + C \~\\F'(x) &= \left( x^{4} - 2x^{3} + x^{2} + 5x + C \right) \\&= 4x^{3} - 6x^{2} + 2x + 5 ~\checkmark\end{align} \]
Este ejemplo requiere que simplifiques primero el integrando.
Evalúa
\[ \int \frac{x^{2}+4\sqrt[3]{x}}{x} ~\mathrm{d}x \]
Solución:
Determina qué propiedades y reglas se aplican.
Para determinar mejor qué reglas utilizar, divide primero la fracción en el integrando:\[ \int \left( \frac{x^{2}}{x} + \frac{4\sqrt[3]{x}}{x}\right) ~\mathrm{d}x. \]
Ahora puedes evaluar la integral término a término utilizando la regla de la suma/diferencia y la regla de la potencia.
Si necesitas utilizar más de una propiedad o regla, decide el orden en que las vas a utilizar.
Aplica la regla de la suma/diferencia.
Aplica la regla de la potencia.
Para aplicar más fácilmente la regla de la potencia, ayuda simplificar aún más el integrando:\[ \int \left( x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} \right) ~\mathrm{d}x \].
Utiliza las reglas que hayas decidido.
Aplica la regla de la suma/diferencia.\[ \int \left( x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} \right) ~\mathrm{d}x = \int x ~\mathrm{d}x + 4 \int x^{-\frac{2}{3} ~\mathrm{d}x \]
Aplica la regla de la potencia.\[ \begin{align}\int \left( x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} \right) ~\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}x^{2} + 4 \frac{1}{izquierda(\frac{-2}{3}\derecha)+1} x^{-\frac{2}{3}+1} \&= \frac{1}{2}x^{2} + \frac{4}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} \&= \frac{1}{2}x^{2} + 12x^{frac{1}{3}}\end{align} \]
Añade la constante de integración.
\[ \int \left( x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} \right) ~\mathrm{d}x = \frac{1}{2}x^{2} + 12x^{frac{1}{3}} + C \]
Comprueba tu resultado demostrando que \( F'(x) = f(x) \).\[ \begin{align}f(x) &= \frac{x^{2}+4\sqrt[3]{x}}{x} = \frac{x^{2}}{x} + 4 cociente[3]{x}{x} = x + 4 cociente[2]{x}{3}}. \\F(x) &= \frac{1}{2}x^{2} + 12x^{frac{1}{3}} + C \ ~F'(x) &= \frac{2}{2}x + \frac{12}{3}x^-\frac{2}{3} \\&= x + 4x^-\frac{2}{3} \&= x + \frac{4}{x^{\frac{2}{3}} ~\checkmark\end{align} \]
Este ejemplo te pide que recuerdes cómo son las integrales de las funciones trigonométricas.
Evalúa
\[ \int \frac{4}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x \]
Solución:
Determina qué propiedades y reglas se aplican.
Utiliza la regla de la constante múltiple y la regla de la tangente inversa.
Si necesitas utilizar más de una propiedad o regla, decide el orden en que las utilizarás.
Aplica la regla de la constante múltiple.
Aplica la regla de la tangente inversa.
Utiliza las reglas que hayas decidido.
Aplica la regla de la constante múltiple.\[ \int \frac{4}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x = 4 \int \frac{1}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x \]
Aplica la regla de la tangente inversa.\[ \int \frac{4}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x = 4 \tan^{-1}(x) \]
Añade la constante de integración.
\[ \int \frac{4}{1+x^{2}} ~\mathrm{d}x = 4 \tan^{-1}(x) + C \]
Comprueba tu resultado demostrando que \( F'(x) = f(x) \).\[ \begin{align}f(x) &= \frac{4}{1+x^{2}} \\F(x) &= 4 \tan^{-1}(x) + C \\ ~F'(x) &= 4 \cdot \frac{1}{1+x^{2}} \&= \frac{4}{1+x^{2}} ~\checkmark\end{align} \]
Este ejemplo muestra que simplificar las funciones trigonométricas en el integrando puede simplificar drásticamente el problema.
Evalúa
\[ \int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x \]
Solución:
Determina qué propiedades y reglas se aplican.
Reescribe el integrando de la siguiente manera:|[ \begin{align}\int \tan(x) \cos(x) ~\mathrm{d}x &= \int \frac{sin(x)}{\cancel{{coscos(x)}} \&= \int \sin(x) ~\mathrm{d}x\end{align} \]
Ahora ya sabes que sólo necesitas utilizar la regla del seno.
Si necesitas utilizar más de una propiedad o regla, decide el orden en que las utilizarás.
Aplica la regla del seno.
Utiliza las reglas que hayas decidido.
Aplica la regla del seno.\[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) \]
Añade la constante de integración.
\[ \int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C \]
Comprueba tu resultado demostrando que \( F'(x) = f(x) \).\[ \begin{align}f(x) &= \tan(x) \cos(x) = \frac{sin(x)}{cancel{\cos(x)}} \frac{sin(x)} = \sin(x) \F(x) &= -\cos(x) + C \~\F'(x) &= -(-\sin(x)) \\&= \sin(x) ~\checkmark\end{align} \]
Integral indefinida - Puntos clave
- Si \( F(x) \) es una antiderivada de una función \( f(x) \), entonces la familia de antiderivadas de \( f(x) \) se llama integral indefinida. Se escribe como:\[ \int f(x) ~\mathrm{d}x = F(x) + C, \]donde \(C\) es una constante cualquiera.
- Puedes integrar "término a término" para sumas, diferencias y múltiplos constantes. Estas propiedades de linealidad se resumen como:
- Propiedad suma/diferencia:\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \].
- Propiedad múltiple constante:\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]
En su mayor parte, las reglas para hallar la integral indefinida de una función son las inversas de las reglas para hallar derivadas.
- La integral del producto (o cociente) de dos funciones no es igual al producto (o cociente) de la integral de las funciones.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f(x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{int f(x) ~\mathrm{d}x}{int g(x) ~\mathrm{d}x}\end{align} \]
- Los pasos básicos para calcular una integral indefinida son:
Determina qué propiedades y reglas se aplican.
Si necesitas utilizar más de una propiedad o regla, decide el orden en que las utilizarás.
Utiliza las reglas que hayas decidido.
Añade la constante de integración.
Comprueba tu resultado demostrando que \( F'(x) = f(x) \).
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