Integral indefinida

Definición de integral indefinida

Como sabes por el artículo de las antiderivadas, el proceso de hallar la antiderivada de una función se llama integración. Recuerda que, si te dan una función, \( f(x) \), una antiderivada de \( f(x) \) es cualquier función \( F(x) \) que cumpla la condición

\[ F'(x) = f(x). \]

Entonces, ¿cómo entra en juego aquí la integral indefinida?

Bueno, se utiliza para hacer referencia a toda la familia de antiderivadas de una función, mientras que una antiderivada es sólo una de las infinitas posibilidades.

Teniendo esto en cuenta, defines la integral indefinida como

Observa que

• \( \int \) se llama símbolo integral,

• \( f(x) \) se llama integrando,

• \( x \) se llama variable de integración,

• \( \mathrm{d}x \) se denomina diferencial,

• \F(x) es la antiderivada, y

• \( C \) se denomina constante de integración (o constante de integración).

Dada la terminología que se te ha presentado en esta definición, el acto de hallar las antiderivadas de una función, \( f \), se denomina comúnmente

1. integrar \( \mathbf{f} \)o bien
2. hallar la integral de \( \mathbf{f} \).

Para una función, \( f(x) \), y su antiderivada, \( F(x) \), las funciones de la forma \( F(x) + C \), donde \( C \) es una constante cualquiera, suelen denominarse familia de antiderivadas de \( \mathbf{f(x)} \).

Integral indefinida: Una familia de antiderivadas

Para ayudarte a visualizar lo que significa "familia de antiderivadas", considera este ejemplo.

Fórmula de la integral indefinida

Al igual que ocurre con las antiderivadas en general, las integrales indefinidas no tienen una única fórmula para resolverlas. Hay una serie de reglas y propiedades que aprenderás a utilizar para resolver integrales indefinidas: se basan en las reglas de diferenciación que ya has aprendido. La razón de ello se explica en el artículo sobre el teorema fundamental del cálculo.

Dicho esto, la esencia de hallar una integral indefinida de una función es hacer lo contrario de las reglas de diferenciación que ya conoces.

Propiedades de la integral indefinida

Como la integral indefinida no es más que una familia de antiderivadas, sus propiedades son las mismas. Pero, para reiterar, la integral indefinida es lineal; es decir, puedes integrar "término a término" para sumas, diferencias y múltiplos constantes. Estas propiedades de linealidad se resumen en las reglas siguientes.

Propiedad suma/diferencia:

\[ \int (f(x) \pm g(x)) ~\mathrm{d}x = \int f(x) ~\mathrm{d}x \pm \int g(x) ~\mathrm{d}x \].

Propiedad múltiple constante:

\[ \int kf(x) ~\mathrm{d}x = k \int f(x) ~\mathrm{d}x \]

Reglas para las integrales indefinidas

En su mayor parte, las reglas para hallar la integral indefinida de una función son las inversas (o inversas) de las reglas para hallar derivadas.

A continuación encontrarás una lista de reglas para integrales indefinidas comunes.

1. La regla constanteSi consideras la función \( F(x) = 3 \) y escribes su derivada como \( f(x) \), esto significa que \( f(x) = \frac{dF}{dx} \). Ya sabes que puedes hallar la derivada de esta función aplicando la regla de la constante para derivadas: \( \frac{d}{dx}(k) = 0 \).Supongamos ahora que quieres invertir este proceso y preguntarte, ¿qué función o funciones podrían tener \( f(x) = 0 \) como derivada? Obviamente, \( F(x) = 3 \) es una respuesta. Dices que \( F(x) = 3 \) es una antiderivada de \( f(x) = 0 \).

   • Sin embargo, hay otras funciones cuya derivada es \( f(x) = 0 \), entre otras \( F(x) = 5 \), \( F(x) = -4 \) y \( F(x) = 200 \). Esto se debe a que cuando tomas una derivada, la constante desaparece.

   • Por tanto, si te dan cualquier antiderivada de \( f(x) \), todas las demás pueden hallarse añadiendo una constante distinta. En otras palabras, si \( F(x) \) es una antiderivada de \( f(x) \), entonces \( F(x) + C \) también es una antiderivada de \( f(x) \) para cualquier constante \( C \). Este grupo, o familia, de antiderivadas está representado por la integral indefinida.

   • Este proceso de pensamiento es el que te lleva a las reglas de la integral indefinida.

     \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}(k) = 0 \\text{Regla de la integral indefinida: &\int k ~\mathrm{d}x = kx + C\end{align} \]

2. La regla de la potenciaContinuando con el proceso de pensamiento anterior, puedes ver cómo funcionan la mayoría de estas reglas integrales indefinidas. Para muchas funciones, la evaluación de la integral indefinida es directamente opuesta a la derivada. Por ejemplo, si \( n \neq -1 \),\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x^{n+1}}{n+1} \right) = (n+1) \frac{x^{n}}{n+1} = x^{n}, \]te lleva directamente a la regla de la potencia para integrales indefinidas. Así pues, las reglas de la derivada y la integral indefinida son:

   \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}\left(x^{n}\right) = nx^{n-1} \\text{Regla de la integral indefinida: } &\int x^{n} ~\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C, n \neq -1\end{align} \]

3. Regla del logaritmo natural

   \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}(\ln|x||) = \frac{1}{x} \\\text{Regla de la integral indefinida: } &\int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C\end{align} \]

4. La regla exponencial (con base \( e \))

   \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d}{dx}\left(e^{x}\right) = e^{x} \\\text{Regla de la integral indefinida: } &\int e^{x} ~\mathrm{d}x = e^{x} + C fin{align} \]

5. La Regla Exponencial (con base \( a \))

   \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d} {dx} {izquierda(a^{x}\derecha) = a^{x} \ Regla de la integral indefinida: &\int a^{x} ~\mathrm{d}x = \frac{a^{x}}{\ln a} + C, ~\ a \neq 1\end{align} \]

6. La regla del seno

   \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d}{dx}(\sin(x)) = \cos(x)\text{Regla de la integral indefinida: & &\int \cos(x) ~\mathrm{d}x = \sin(x) + C\end{align} \]

7. La regla del coseno

   \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: (Cos(x)) = -Sin(x) Regla de la integral indefinida: } &\int \sin(x) ~\mathrm{d}x = -\cos(x) + C\end{align} \]

8. La regla de la tangente

   \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d}{dx}(\tan(x)) = \sec^{2}(x)\text{Regla de la integral indefinida: &\int \sec^{2}(x) ~\mathrm{d}x = \tan(x) + C\end{align} \]

9. Regla de la cosecante

   \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}(\csc(x)) = -\csc(x)\cot(x) \\text{Regla de la integral indefinida: } &\int \csc(x)\cot(x) ~\mathrm{d}x = -\csc(x) + C\end{align} \]

10. La regla secante

    \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: &\frac{d}{dx}(\sec(x)) = \sec(x)\tan(x) \\text{Regla de la integral indefinida: } &\int \sec(x)\tan(x) ~\mathrm{d}x = \sec(x) + C\end{align} \]

11. La regla de la cotangente

    \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: } &\frac{d}{dx}(\cot(x)) = -\csc^{2}(x) \\text{Regla de la integral indefinida: } &\int \csc^{2}(x) ~\mathrm{d}x = -\cot(x) + C\end{align} \]

12. La regla del seno inverso

    \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: izquierda(seno^{-1}(x)derecha) = = 1 \\\text{Regla integral indefinida: &\int \frac{1}{cuadrado}{1-x^{2}} ~\mathrm{d}x = \sin^{-1}(x) + C\end{align} \]

13. Regla de la tangente inversa

    \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: Izquierda (Tan^1}(x)Derecha) = 1+x^2}. \\\text{Regla integral indefinida: &\int \frac{1}{1+x^{2}} ~\x = \tan^{-1}(x) + C\end{align} \]

14. Regla de la secante inversa

    \[ \begin{align}\text{Regla de la derivada: izquierda(sec^1}(x)derecha) = = x = x = x = x = x^2}-1} \\text{Regla integral indefinida: &\int \frac{1}{xqrt{x^2}-1} ~\mathrm{d}x = \sec^{-1}|x| + C\end{align} \]

Observa que en notación integral, puedes tratar la diferencial, \( \mathrm{d}x \), como una variable móvil. Esto significa que podrías, por ejemplo, reescribir la regla \( 3^{rd} \) de la lista anterior como

\[ \int \frac{1}{x} ~\mathrm{d}x = \ln|x| + C \ Flecha derecha \int \frac{\mathrm{d}x}{x} = \ln|x| + C \].

Integrales indefinidas: Errores que debes evitar

¿Te has dado cuenta de que en la lista anterior no hay reglas de producto, cociente ni cadena para las integrales?

¿Qué significa esto?

Significa que, al igual que ocurre con las derivadas, las reglas que se aplican a la suma y la resta no se aplican del mismo modo a la multiplicación y la división. En otras palabras, igual que con las derivadas:

• La integral del producto (o cociente) de dos funciones no es igual al producto (o cociente) de la integral de las funciones.\[ \begin{align}\int f(x) \cdot g(x) ~\mathrm{d}x &\neq \int f(x) ~\mathrm{d}x \cdot \int g(x) ~\mathrm{d}x \\\int \frac{f(x)}{g(x)} ~\mathrm{d}x &\neq \frac{int f(x) ~\mathrm{d}x}{int g(x) ~\mathrm{d}x}\end{align} \]

En cambio

• las reglas del producto y del cociente de las derivadas te llevan a la integración por partes, y

• la regla de la cadena para las derivadas te lleva a la integración por sustitución.

Cálculo de integrales indefinidas

A la hora de calcular una integral indefinida, los pasos exactos que des dependerán de la propia integral. Sin embargo, hay algunos pasos muy básicos que deberás recordar para calcular todas las integrales indefinidas.

Pasos básicos para calcular una integral indefinida

1. Determina qué propiedades y reglas se aplican.

2. Si necesitas utilizar más de una propiedad o regla, decide el orden en que vas a utilizarlas.

3. Utiliza las reglas que hayas decidido.

4. Añade la constante de integración.

5. Comprueba tu resultado demostrando que \( F'(x) = f(x) \).

Ejemplos de integrales indefinidas

En los siguientes ejemplos, evalúa cada una de las integrales indefinidas. Este primer ejemplo es relativamente sencillo.

Este ejemplo requiere que simplifiques primero el integrando.

Este ejemplo te pide que recuerdes cómo son las integrales de las funciones trigonométricas.

Este ejemplo muestra que simplificar las funciones trigonométricas en el integrando puede simplificar drásticamente el problema.