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El cálculo es el estudio del cambio. Por esta razón, el uso del cálculo es parte integrante del estudio del movimiento, valga el juego de palabras.
Definición de integración del movimiento
La integración delmovimiento es un método para estudiar cómo se mueven los objetos en el espacio, mediante el uso de la integración. Antes de tratar este tema, es importante recapitular primero algunas ideas relacionadas con la integración.
Integración y área bajo una curva
La integración es un método que puede utilizarse para hallar el área bajo una gráfica.
Fig. 1,. La integral de esta función entre \(a\) y \(b\) da el valor del área sombreada.
La integral definida entre \(a\) y \(b\) de la función anterior da el área bajo la gráfica. Si la función es \(f(t),\) se escribe
\[ \int_a^b f(t) \, \textrm{d}t. \]
Para más información sobre integrales, así como para hallar la integral de una determinada función, consulta Integrales.
Desplazamiento, velocidad y aceleración
El desplazamiento, la velocidad y la aceleración son los factores más importantes cuando se trabaja con cualquier tipo de objeto en movimiento. Todas estas definiciones suponen que un objeto se mueve en una dirección, a lo largo de la recta real.
Eldesplazamiento \(s(t)\) es la distancia a la que se encuentra un objeto de una determinada posición, tomada como origen.
El desplazamiento es direccional, es decir, puede ser positivo o negativo según en qué dirección se encuentre el objeto desde el origen.
Lavelocidad \(v(t)\) es la tasa de variación del desplazamiento.
- Si la velocidad es \(0,\) el objeto está inmóvil.
- Si la velocidad es positiva, el objeto se desplaza hacia delante (hacia el infinito en el eje real).
- Si la velocidad es negativa, el objeto se desplaza hacia atrás (hacia el infinito negativo en el eje real).
Laaceleración \(a(t)\) es la tasa de cambio de la velocidad.
Si la aceleración es 0, el objeto se desplaza a la misma velocidad.
Si la aceleración es positiva, el objeto irá
acelerando si se desplaza hacia delante,
o disminuye su velocidad si se desplaza hacia atrás.
Si la aceleración es negativa, el objeto irá
ralentizándose si se desplaza hacia delante,
o se acelerará si se desplaza hacia atrás.
En las definiciones anteriores, \(t\) representa el tiempo. Como estas definiciones utilizan la razón de cambio, puedes estar seguro de que se utilizará la diferenciación cuando trabajes con ellas. Se cumplen las siguientes fórmulas:
\[ \begin{align} v(t) & = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} \\ a(t) & = \frac{mathrm{d}v}{mathrm{d}t}. \fin{align} \]
Primera integral del movimiento
Dadas las funciones \(s(t), v(t) \) y \( a(t),\) que denotan desplazamiento, velocidad y aceleración, existen las siguientes fórmulas integrales indefinidas:
|int v(t), \mathrm{d}t & = s(t) + c \int v(t) \, \mathrm{d}t & = s(t) + c \int a(t) \, \mathrm{d}t & = v(t) + c. \end{align}. \]
No olvides incluir tu constante de integración cuando tomes integrales indefinidas.
Esto tiene sentido dadas las relaciones de derivación del apartado anterior, ya que son simplemente las fórmulas inversas. Veamos algunos ejemplos de utilización de estas fórmulas.
Una partícula viaja con velocidad \( v(t) = 6t^2, \) y tiene desplazamiento \(100\) al cabo de 5 segundos. Halla la función velocidad de esta partícula.
Solución:
El primer paso es tomar la integral indefinida de la partícula.
\[ \begin{align} s(t) & = \int v(t) \, \mathrm{d}t \ & = \int 6 t^2 \, \mathrm{d}t \ & = 2 t^3 + c. \end{align} \]
Ahora, puedes sustituir \(t=5\) en el vector desplazamiento para hallar el valor de la constante de integración.
\[ \begin{align} v(5) = 100 & = 2 \cdot 5^3 + c \\_y = 2 \cdot 125 + c \_y = 250 + c. \end{align}. \]
Por tanto, tienes que
\[ \begin{align} 250 + c & = 100 \\ \implies c & = -150. \end{align} \]
Por tanto, la función de desplazamiento debe ser
\[ s(t) = 2 t^3 - 150. \]
Veamos ahora una en la que debes hallar la función velocidad a partir del vector aceleración.
Una partícula viaja con aceleración \( a(t) = \cos{t} \) y está estacionaria en \(t=0.\) Halla la función velocidad de esta partícula.
Solución:
Primero, integra la función de aceleración.
\v(t) & = \int a(t) \, \mathrm{d}t \ & = \int \cos{t} \y = seno de t + c. + c. fin. \]
Ahora, como la partícula está estacionaria en \(t=0,\) la velocidad debe ser \(0.\) Sustituye esto para hallar el valor de \(c.\)
\[ v(0) = 0 = \sin(0) + c = c \]
Por tanto, \(c\) debe ser \(0.\) Esto significa que la función de velocidad final debe ser
\[ v(t) = \sin{t}. \]
Fórmula de las integrales del movimiento
Se pueden utilizar integrales definidas para calcular el desplazamiento total entre dos tiempos \(t=a\) y \(t=b\). El desplazamiento total es la distancia entre la posición de la partícula en \(t=a\) y \(t=b\). Se puede hallar tomando la integral definida de la partícula con los límites \(a\) y \(b\):
\[ \text{desplazamiento total} = \int_a^b v(t) \, \mathrm{d}t. \]
También puedes hallar la distancia total que ha recorrido la partícula durante este tiempo, tomando el valor absoluto de la velocidad antes de integrarla.
\[ \text{distancia total} = \int_a^b |v(t)| |, \mathrm{d}t. \]
La forma más fácil de ver la diferencia entre desplazamiento total y distancia total es un ejemplo.
Si lanzas una pelota \(2\) metros al aire y la atrapas, el desplazamiento total es \(0\) porque ha vuelto a su lugar original. La distancia total, sin embargo, es de \(4\) metros, ya que ha viajado \(2\) metros en el aire y \(2\) metros de vuelta hacia abajo. Si el objeto viaja siempre con velocidad positiva, el desplazamiento total y la distancia total recorrida serán siempre iguales.
Veamos un ejemplo para hallar el desplazamiento y la distancia de una partícula.
Una partícula se desplaza con velocidad \(v(t) = 8 -4t.\) Halla el desplazamiento total y la distancia total de la partícula entre los tiempos \(t=1\) y \(t=3.\)
Solución:
En primer lugar, halla el desplazamiento total. Toma la integral definida de la función velocidad entre \(t=1\) y \(t=3.\)
\[ \begin{align} \int_1^3 8 - 4t \t, \mathrm{d}t & = [8t - 2t^2]_1^3 \t & = (8 \cdot 3 - 2 \cdot 3^2) - (8 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2) \t & = (24 - 18) - (8 - 2) \t & = 6 - 6 \t & = 0. \end{align} \]
Por tanto, el desplazamiento total es \(0,\)
Para hallar la distancia total recorrida, debes hallar la integral del valor absoluto de la función.
\[ \int_1^3 | 8 - 4t | |, \mathrm{d}t. \]
La función pasará a ser negativa en \(t=2,\), por lo que la integral puede dividirse en dos en este punto.
\[ \begin{align} \int_1^3 | 8 - 4t | \, \mathrm{d}t & = \int_1^2 8 - 4t \, \mathrm{d}t + \int_1^2 -(8-4t) \, \mathrm{d}t & = \int_2^3 8 - 4t \, \mathrm{d}t + \int_1^2 -8+4t \, \mathrm{d}t. \fin \]
Ahora puedes evaluar las integrales de la izquierda para deducir la distancia total recorrida.
\[ \begin{align} \int_1^3 | 8 - 4t | |, \mathrm{d}t & = [8t - 2t^2]_1^2 + [-8t + 2t^2]_2^3 \ & = [(8\cdot 2 - 2\cdot 2^2) - (8 \cdot 1 - 2 \cdot 1^2)] + [(-8\cdot 3 + 2 \cdot 3^2) - (-8 \cdot 2 - 2 \cdot 2^2)] \ & = [(16 - 8) + (8 - 2)] + [(-24 + 18) - (-16 + 8)] \\ & = [8 - 6] + [-6 + 8] \\ & = 4. \fin \]
Por tanto, la distancia total recorrida es \(4.\)
Integrales aditivas del movimiento
Si una partícula viaja con velocidad \(v_1(t)\) durante los primeros \(a\) segundos y luego viaja con velocidad \(v_2(t)\) durante los siguientes \(b\) segundos, el desplazamiento puede hallarse sumando estas dos integrales.
\[ \text{desplazamiento total} \int_0^a v_1(t) \, \mathrm{d}t + \int_a^b v_2(t) \, \mathrm{d}t. \]
Esta misma técnica puede utilizarse también para cualquier número finito de funciones de velocidad separadas, y puede emplearse para hallar la distancia total recorrida integrando en su lugar los valores absolutos de las velocidades.
Una partícula viaja con velocidad \(v_1(t) = t^2 \) durante 3 segundos, y luego tiene velocidad \(v_2(t) = 3t\) durante otros 6 segundos. Calcula la distancia total recorrida por la partícula en este tiempo.
Solución:
En primer lugar, como la pregunta pide la distancia total recorrida, debes tomar los valores absolutos de las velocidades. Pero como ambas velocidades son siempre positivas, la distancia total recorrida será igual al desplazamiento, y los valores absolutos son irrelevantes. Por tanto, la distancia total recorrida es
\[ \begin{align} \int_0^3 3t^2 \, \textrm{d}t + \int_3^9 3t \, \textrm{d}t & = [t^3]_0^3 + \left[\frac{3}{2} t^2 \right]_3^9 \\ &\ = (3^3 - 0^3) + \left(\frac{3}{2} \cdot 9^2 - \frac{3}{2} \cdot 3^2 \cdot 3^2 \right) \ & = 27 + (\frac{243}{2} - \frac{27}{2}) \ & = 27 + 116 \ & = 143 \end{align} \]
Por tanto, el desplazamiento total y la distancia total recorrida son 143 unidades.
Integrales de movimiento Problemas de ejemplo
Veamos algunos ejemplos más complicados de preguntas que utilizan la integración y el movimiento.
La aceleración de una partícula viene dada por \[a(t) = 6t\] y la posición de la partícula es \(10\) en \(t=0\) y \(14\) en \(t=2.\) calcula la función de desplazamiento de la partícula.
Solución:
Esta vez tendrás que integrar dos veces, ya que la función dada es la aceleración y no la velocidad. Integrando la función una vez obtendrás
\[ \begin{align} v(t) & = \int a(t) \, \textrm{d}t \ & = \int 6t \, \textrm{d}t \ & = 3t^2 + c. \end{align}\].
Ahora puedes integrar la función velocidad para hallar la función desplazamiento.
\[ \begin{align} s(t) & = \int v(t) \, \textrm{d}t \ & = \int 3 t^2 + c \, \textrm{d}t \ & = t^2 + ct + d. \end{align}. \]
\(d\) es otra constante de integración. Ahora puedes sustituir las condiciones iniciales para hallar la función de desplazamiento exacta. Si \(t=0:\)
\[ \begin{align} s(0) = 10 & = 0^2 + c \cdot 0 + d \implica d & = 10. \fin \]
Por tanto, \(d\) debe ser \(0.\) Si \(t = 2:\)
\[ \begin{align} s(2) = 14 & = 2^2 + c \cdot 10 + 10 \\\\\\b & = 14 + 10c \implica 0 & = 10c \end{align} \]
por lo que \(c = 0.\) Por tanto, la fórmula final del desplazamiento es
\[ s(t) = t^2 + 10. \]
Veamos ahora otro ejemplo de pregunta que puede resultar un poco más difícil.
La partícula \(A\) se desplaza a velocidad \(v_A(t) = 2t^2 \) y la partícula \(B\) se desplaza a velocidad \(v_B(t) = 4t.\) Ambas partículas están en la misma posición en el tiempo \(t=0.\)
- Halla la distancia entre las partículas en el tiempo \(t=5.\)
- ¿En qué momento vuelven a estar las partículas en la misma posición?
Solución:
1) Como las partículas sólo se mueven en una dimensión, la distancia entre ellas será simplemente el valor absoluto de la diferencia entre sus distancias desde los puntos de partida.
\[ \begin{align} \text{Distancia entre A y B en el tiempo 5} & = \int_0^5 v_A(t) \textrm{d}t - \int v_B(t) \textrm{d}t & = \int v_A(t) - v_B(t) \textrm{d}t. \fin \]
Ahora puedes introducir las fórmulas de \(v_A(t)\) y \(v_B(t)\) en la fórmula anterior para obtener la distancia entre ellas.
\[ \begin{align} \int_0^5 v_A(t) - v_B(t) \t, \textrm{d}t & = \int_0^5 2t^2 - 4t \t, \textrm{d}t \ft[ \frac{2}{3} t^3 - 2 t^2 \right]_0^5 \t & = \frac{2}{3} \cdot 5^3 - 2 \cdot 5^2 & = \frac{250}{3} - 50 y = 100. \fin \]
Por tanto, la distancia entre las dos partículas en el tiempo \(t=0\) es \(\frac{100}{3}.\)
2) Este problema puede resolverse de la misma forma que la pregunta uno, pero debes utilizar una variable, llámala \(t',\) como límite superior de integración, luego fija el resultado como igual a \(0\) y resuelve la ecuación para \(t'.\) Siguiendo los mismos pasos que antes, obtendrás que
\[ \begin{align} \int_0^5 v_A(t) - v_B(t) \, \textrm{d}t & = \int_0^5 2t^2 - 4t \, \textrm{d}t \ & = \left[ \frac{2}{3} t^3 - 2 t^2 \right]_0^{t'} | & = \frac{2}{3} t'^3 - 2 t'^2. \fin{align} \]
Ahora puedes ponerlo igual a 0, y resolver para \(t'.\\)
\[\iniciar{alinear} \frac{2}{3} t'^3 - 2 t'^2 & = 0 \frac{2}{3} (\frac{2}{3} t' - 2 ) = 0. \finalizar \]
Para que esta ecuación sea cierta, o bien \(t'=0\) o bien \(\frac{2}{3} t' - 2 = 0.\) \(t'=0\) es simplemente el punto de partida, y ésta no es la respuesta que busca la pregunta. Por tanto, debe ser que
\[ \begin{align} \t' - 2 & = 0 \frac{2}{3} \implica t' & = 2 \cdot \frac{3}{2} |implica t' & = 3\end{align} \]
Por tanto, las partículas volverán a estar en la misma posición en \ (t=3.\)
Uso de las integrales de movimiento
Las integrales de movimiento son esenciales en áreas de la física como la mecánica clásica y la relatividad general. Estas relaciones entre posición, velocidad y aceleración permiten a científicos e ingenieros modelizar cualquier cosa que se mueva, como coches, cohetes y objetos en el espacio. Por supuesto, las ecuaciones utilizadas en estos modelos suelen ser mucho más complicadas que simples polinomios o funciones trigonométricas.
Integrales del movimiento - Puntos clave
- Existen las siguientes fórmulas, que relacionan entre sí el desplazamiento \(s(t),\) la velocidad \(v(t),\) y la aceleración \(a(t)\) \[ \begin{align} \int v(t) \, \mathrm{d}t & = s(t) + c \int a(t) \, \mathrm{d}t & = v(t) + c. \end{align}. \]
- El desplazamiento total entre los tiempos \(a\) y \(b\) de un objeto es la diferencia entre sus puntos inicial y final. La fórmula para hallar el desplazamiento total a partir de la velocidad \(v(t)\) es \[ \text{desplazamiento total} = \int_a^b v(t) \, \mathrm{d}t. \].
- La distancia total recorrida entre los tiempos \(a\) y \(b\) de un objeto es la distancia recorrida por el objeto durante ese tiempo, independientemente de la dirección. \[ \text{distancia total} = \int_a^b |v(t)| |, \mathrm{d}t. \]
- Si la velocidad es siempre constante, el desplazamiento total y la distancia total recorrida serán siempre iguales.
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