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Pero, ¿qué ocurre si el intervalo de integración es infinito? ¿O si la función es discontinua en el intervalo de integración? Estas integrales se conocen como integrales impropias, y debemos tener cuidado al trabajar con ellas. Veamos cómo se hace.
Tipos de integrales impropias
Considera una integral definida. Según el intervalo de integración, pueden darse los siguientes casos
la integral está definida sobre un intervalo infinito; o
la función que estás integrando tiene una discontinuidad en el intervalo de integración.
Si se cumple alguna de las circunstancias anteriores, la integral se conoce como Integral Impropia.
Una IntegralImpropia es una integral definida que, o bien está definida sobre un intervalo infinito, o bien la función de su integrando contiene una discontinuidad en el intervalo.
Evaluación de integrales impropias
Una vez que identificas una integral impropia, el siguiente paso es evaluarla. La evaluación de ambos casos implica límites. Veamos cómo tratar cada uno de ellos.
Sobre un intervalo infinito
Considera la siguiente integral definida:
$$\int_{0}^{2}3e^{\text{-}x}\,\mathrm{d}x .$$
La integral anterior puede verse como el área comprendida entre \(y=3e^{\text{-}x}), las rectas verticales \(x=0\) y \(x=2\), y el eje \(x\).
Fig. 1. Área bajo una curva exponencial.
Pero, ¿qué pasa si sigues yendo más a la derecha?
Fig. 2. Más área bajo la curva exponencial.
Puedes seguir avanzando aún más, hasta el infinito, como en el ejemplo:
$$\int_{0}^{\infty}3e^{\text{-}x}\,\mathrm{d}x.$$
Para evaluar una integral como ésta, necesitas tomar límites.
Sea \(f(x)\) una función que es continua para \(a\leq x\). Si el límite existe, la integral impropia \(\int_{a}^{infty}f(x)\,\mathrm{d}x\) se define como sigue:
$$\int_{a}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x .$$
Los otros tipos de integrales impropias que afectan a intervalos infinitos se definen de forma similar.
Sea \(f(x)\) una función que es continua para \(x\leq b\). Si existe el límite, la integral impropia \(\int_{texto{-}\infty}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x\) se define así:
$$\int_{\text{-}\infty}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{a\rightarrow \infty}\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x .$$
Si la integral debe hacerse sobre todos los números reales, debes dividirla en dos integrales, cada una de las cuales implica las definiciones anteriores.
Sea \(f(x)\) una función continua en todas partes. Si existen ambos límites, la integral impropia \(\int_{text{-}\infty}^{infty}f(x)\,\mathrm{d}x\) se define como sigue:
$$\int_{\text{-}\infty}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_{\text{-}\infty}^{0}f(x)\,\mathrm{d}x+\int_{0}^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x .$$
Para la evaluación de este tipo de integrales impropias seguimos estos pasos:
- Escribe la integral impropia utilizando un límite adecuado.
- Evalúa la integral definida. Esto se suele hacer con el Teorema Fundamental del Cálculo.
- Evalúa el límite resultante.
Veamos un ejemplo de integral sobre un intervalo infinito.
Evalúa la siguiente integral impropia:
$$\int_{1}^{\infty} \x^2} \mathrm{d}x.$$
Respuesta:
Empieza observando que, a pesar de que la función es discontinua en \(x=0\), la discontinuidad no está incluida en tu intervalo de integración, por lo que puedes continuar.
Fig. 3. La discontinuidad no está incluida en el intervalo de integración.
Ahora puedes seguir los pasos para evaluar integrales impropias.
- Escribe la integral impropia como un límite.
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow\infty} \πint_1}^{b} \x^2} \x.$$
2.Evalúa la integral definida.
Para este paso puedes hallar la antiderivada de la función con la regla de potencias,
$$\int \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = -\frac{1}{x}+C,$$
y luego utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, por lo que
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \x=lim_{b\rightarrow\infty} \left[ \left( -\frac{1}{b} \right) - \left( -\frac{1}{1}{right) \right].$$
3. Evalúa el límite y simplifica.
$$ \begin{align} \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2} \mathrm{d}x &= 0 -(-1) \\\= 1. \fin{align} $$
En un intervalo en el que la función no es continua
También es posible tener una integral cuyo integrando sea una función que tenga una discontinuidad en el intervalo dado. En estos casos no puedes incluir la discontinuidad en la integral, pero puedes acercarte lo suficiente a ella.
Fig. 4. La función racional es discontinua en el origen.
También necesitas tomar límites para evaluar integrales que incluyan discontinuidades. Veamos cómo.
Sea \(f(x)\) una función continua en el intervalo \(a\leq x < b\) pero discontinua en \(x=b\). Su integral impropia se define como
$$int_{a}^{b} f(x) \$, \mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow b^{-}} \f(x) \_mathrm{d}x.$$
En el caso anterior, la discontinuidad estaba en el límite superior de la integración. Por lo tanto, tienes que tomar el límite a medida que te acercas a la discontinuidad por la izquierda.
Fig. 5. Aproximación a una discontinuidad por la izquierda.
Veamos ahora qué hacer si la discontinuidad está en el límite inferior de integración.
Sea \(f(x)\) una función que es continua para \(a<x\leq b\) pero discontinua en \(x=a\). Su integral impropia se define como
$$int_{a}^{b} f(x) \$, \mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow a^{+}} \f(x) \, \mathrm{d}x.$$
Para recordar los límites por la izquierda y por la derecha, consulta Límites unilaterales.
Si la discontinuidad está en el límite inferior de la integración, tomas el límite al acercarte a él por la derecha .
Fig. 6. Aproximación a una discontinuidad desde la derecha.
¿Y si la discontinuidad está dentro del intervalo de integración? ¡Entonces necesitas un límite por la izquierda y otro por la derecha!
Sea \(f(x)\) una función que es continua para \(a\leq x\leq b\) excepto en un punto \(c\) tal que \(a<c<b\). Su integral impropia se define como
$$int_{a}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x = \int_{a}^{c} f(x) \, \mathrm{d}x + \int_{c}^{b} f(x) \, \mathrm{d}x.$$
Los pasos para evaluar este tipo de integrales impropias son prácticamente los mismos que en el otro caso, sólo tienes que prestar atención a la discontinuidad. Estos son los pasos:
- Escribe la integral utilizando un límite que se aproxime a la discontinuidad. Si la discontinuidad está dentro del intervalo de integración tendrás que dividir la integral y escribir dos límites.
- Evalúa la(s) integral(es) resultante(s). Esto se suele hacer con el Teorema Fundamental del Cálculo.
- Evalúa el límite o límites resultantes.
Veamos un ejemplo de integral impropia que implica una discontinuidad.
Evalúa la siguiente integral:
$$\int_{-3}^{3}\frac{1}{x^3} \mathrm{d}x.$$
Responde:
- Escribe ambas integrales utilizando límites apropiados que se aproximen a la discontinuidad.
Observa que la función es discontinua en \(x=0\), por lo que tienes que dividirla en dos integrales
$$\int_{-3}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x = \int_{-3}^{0} \frac{1}{x^3} \dx + int_{0}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x.$$
2. 2. Evalúa la(s) integral(es) resultante(s).
A continuación, tienes que evaluar cada integral. Esto puede hacerse hallando la antiderivada del integrando (con ayuda de la regla de potencias)
$$\int \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} +C,$$
y luego utilizando El Teorema Fundamental del Cálculo para cada par de límites de integración, así
$$\int_{-3}^{0} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x=\lim_{t\rightarrow 0^{-}} \left[ \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^2} \right) -\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-3)^2}\derecha) \derecha],$$
y
$$\int_{0}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x=\lim_{t\rightarrow 0^{+}} \left[ \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^2} \right) -\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^2}\right) \right].$$
3. 3. Evalúa los límites resultantes.
Observa que no existe ninguno de los límites requeridos. ¡Esto es información suficiente para concluir que la integral diverge!
De hecho, si observas que alguno de los límites no existe, puedes detenerte ahí y concluir que la integral diverge. ¡No es necesario evaluar el otro límite!
En el ejemplo anterior has descubierto que el valor de la integral no existe. Pero, ¿qué significa esto? Estamos hablando de la convergencia de la integral.
Convergencia de integrales impropias
Has visto en qué circunstancias se pueden hallar los valores de las integrales impropias. En tales casos decimos que las integrales convergen.
Supongamos que tenemos una integral impropia. Si existen todos los límites que intervienen en su evaluación, se dice que la integral converge. Si alguno de los límites no existe, el valor de la integral no existe, y se dice que diverge.
Normalmente, diremos que la integral diverge o que converge a un valor determinado.
En los ejemplos anteriores has visto que
$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x$$
converge, y su valor es \(1\).
También has comprobado que el valor de
$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x$$
no existe porque el límite implicado en su evaluación no existe, por tanto, puedes decir que diverge.
Ejemplos de evaluación de integrales impropias
Veamos más ejemplos de integrales impropias.
Evalúa la siguiente integral:
$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x.$$
Responde:
Empieza por observar que la función \(f(x)=\frac{1}{x}\) no está definida cuando \(x=0\), por lo que estás ante una integral impropia.1. Escribe la integral impropia como un límite.Debes empezar escribiendo la integral impropia como un límite, de modo que
$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \^{2} \x \mathrm{d}x.$$
2. 2. Evalúa la integral resultante.
A continuación, halla la antiderivada de la función del integrando (puedes echar un vistazo a nuestras Integrales que implican funciones logarítmicas para refrescar la memoria)
$$\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln{x},$$
y, por último, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida
$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln{2} - |ln{t}. \ln{t}.$$
3. Evalúa el límite resultante.
Desgraciadamente, el último límite no existe, por lo que la integral tampoco existe.
La siguiente integral aparece con bastante frecuencia en Física y Estadística. Se utiliza para modelizar los límites del comportamiento exponencial.
Evalúa la integral siguiente:
$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, \mathrm{d}x.$$
Contesta:
1. Escribe la integral impropia como un límite.
Como siempre, empieza escribiendo la integral como un límite, así
$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} |mathrm{d}x=lim_{b\\rightarrow \infty} \e^{-x} \x.$$
2. 2. Evalúa la integral resultante.
A continuación, halla la antiderivada de la función exponencial
$$\int e^{-x} |mathrm{d}x = -e^{-x} + C.$$
Por último, puedes utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida
$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} |mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow \infty} \left[ \left(-e^{-b} \right) - \left(-e^{0}\right) \right].$$
3. 3. Evalúa el límite resultante.
El límite anterior de la exponencial es igual a \(0\). Además, cualquier número real distinto de cero elevado a la potencia de \(0\) es igual a \(1\). Por tanto,
Inicio \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, \mathrm{d}x &= 0 - (-1) \\=1. \fin{align}$$
¿Necesitas recordar cómo evaluar límites como el del ejemplo anterior? ¡Consulta nuestro artículo sobre Límites!
Fórmulas de integrales impropias
Por desgracia, no existe una fórmula para las integrales impropias. Tienes que identificar con qué tipo de integral impropia estás tratando, y luego utilizar el método correspondiente, como se ve arriba en el artículo.
Integrales impropias - Puntos clave
- Una integral impropia es una integral definida que está definida sobre un intervalo infinito, o una en la que la función que estás integrando tiene una discontinuidad en el intervalo.
- No existe una fórmula para evaluar integrales impropias. En su lugar, existen métodos que dependen del tipo de integral impropia con la que estés tratando.
- Si la integral impropia está definida en un intervalo infinito:1. Escribe la integral impropia utilizando un límite apropiado.2. Evalúa la integral definida. Evalúa la integral definida. Esto se suele hacer con el Teorema Fundamental del Cálculo.3. Evalúa el límite resultante.
- Si la integral impropia tiene una discontinuidad en el intervalo de integración:1. Escribe la integral utilizando un límite que se aproxime a la discontinuidad. Si la discontinuidad está dentro del intervalo de integración tendrás que dividir la integral y escribir dos límites.2. Evalúa la(s) integral(es) resultante(s). Esto se suele hacer con el Teorema Fundamental del Cálculo.3. Evalúa el límite o límites resultantes.
- Si existen todos los límites implicados en la evaluación de la integral impropia, decimos que dicha integral converge a un valor.
- Si alguno de los límites implicados en la evaluación de la integral impropia no existe, decimos que dicha integral diverge.
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