Integrales impropias

Evalúa la siguiente integral impropia:

$$\int_{1}^{\infty} \x^2} \mathrm{d}x.$$

Respuesta:

Empieza observando que, a pesar de que la función es discontinua en \(x=0\), la discontinuidad no está incluida en tu intervalo de integración, por lo que puedes continuar.

Fig. 3. La discontinuidad no está incluida en el intervalo de integración.

Ahora puedes seguir los pasos para evaluar integrales impropias.

1. Escribe la integral impropia como un límite.

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow\infty} \πint_1}^{b} \x^2} \x.$$

2.Evalúa la integral definida.

Para este paso puedes hallar la antiderivada de la función con la regla de potencias,

$$\int \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x = -\frac{1}{x}+C,$$

y luego utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo, por lo que

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \x=lim_{b\rightarrow\infty} \left[ \left( -\frac{1}{b} \right) - \left( -\frac{1}{1}{right) \right].$$

3. Evalúa el límite y simplifica.

$$ \begin{align} \int_{1}^{\infty}\frac{1}{x^2} \mathrm{d}x &= 0 -(-1) \\\= 1. \fin{align} $$

Evalúa la siguiente integral:

$$\int_{-3}^{3}\frac{1}{x^3} \mathrm{d}x.$$

Responde:

1. Escribe ambas integrales utilizando límites apropiados que se aproximen a la discontinuidad.

Observa que la función es discontinua en \(x=0\), por lo que tienes que dividirla en dos integrales

$$\int_{-3}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x = \int_{-3}^{0} \frac{1}{x^3} \dx + int_{0}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x.$$

2. 2. Evalúa la(s) integral(es) resultante(s).

A continuación, tienes que evaluar cada integral. Esto puede hacerse hallando la antiderivada del integrando (con ayuda de la regla de potencias)

$$\int \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^2} +C,$$

y luego utilizando El Teorema Fundamental del Cálculo para cada par de límites de integración, así

$$\int_{-3}^{0} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x=\lim_{t\rightarrow 0^{-}} \left[ \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^2} \right) -\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{(-3)^2}\derecha) \derecha],$$

y

$$\int_{0}^{3} \frac{1}{x^3} \mathrm{d}x=\lim_{t\rightarrow 0^{+}} \left[ \left( -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^2} \right) -\left(-\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^2}\right) \right].$$

3. 3. Evalúa los límites resultantes.

Observa que no existe ninguno de los límites requeridos. ¡Esto es información suficiente para concluir que la integral diverge!

En los ejemplos anteriores has visto que

$$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} \mathrm{d}x$$

converge, y su valor es \(1\).

También has comprobado que el valor de

$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x$$

no existe porque el límite implicado en su evaluación no existe, por tanto, puedes decir que diverge.

Evalúa la siguiente integral:

$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x.$$

Responde:

Empieza por observar que la función \(f(x)=\frac{1}{x}\) no está definida cuando \(x=0\), por lo que estás ante una integral impropia.1. Escribe la integral impropia como un límite.Debes empezar escribiendo la integral impropia como un límite, de modo que

$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \lim_{t\rightarrow 0^{+}} \^{2} \x \mathrm{d}x.$$

2. 2. Evalúa la integral resultante.

A continuación, halla la antiderivada de la función del integrando (puedes echar un vistazo a nuestras Integrales que implican funciones logarítmicas para refrescar la memoria)

$$\int \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln{x},$$

y, por último, utiliza el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida

$$\int_{0}^{2} \frac{1}{x} \mathrm{d}x = \ln{2} - |ln{t}. \ln{t}.$$

3. Evalúa el límite resultante.

Desgraciadamente, el último límite no existe, por lo que la integral tampoco existe.

Evalúa la integral siguiente:

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} \, \mathrm{d}x.$$

Contesta:

1. Escribe la integral impropia como un límite.

Como siempre, empieza escribiendo la integral como un límite, así

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} |mathrm{d}x=lim_{b\\rightarrow \infty} \e^{-x} \x.$$

2. 2. Evalúa la integral resultante.

A continuación, halla la antiderivada de la función exponencial

$$\int e^{-x} |mathrm{d}x = -e^{-x} + C.$$

Por último, puedes utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo para evaluar la integral definida

$$\int_{0}^{\infty} e^{-x} |mathrm{d}x = \lim_{b\rightarrow \infty} \left[ \left(-e^{-b} \right) - \left(-e^{0}\right) \right].$$

3. 3. Evalúa el límite resultante.

El límite anterior de la exponencial es igual a \(0\). Además, cualquier número real distinto de cero elevado a la potencia de \(0\) es igual a \(1\). Por tanto,

Inicio \int_{0}^{\infty} e^{-x} \, \mathrm{d}x &= 0 - (-1) \\=1. \fin{align}$$