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Tráfico en una calle concurrida - pixabay.com
Para medir el ruido, los científicos utilizan una escala logarítmica. Esta escala tiene en cuenta distintos factores, como la posición y la fuente del ruido. Muchos cálculos relacionados con la medida del sonido y el ruido implican logaritmos en cierto modo, y las integrales no son la excepción. Aquí aprenderemos a tratar las integrales que implican funciones logarítmicas.
Integrales con funciones logarítmicas
Una de las reglas de diferenciación más esenciales es la Regla de Potencia, que nos permite diferenciar cualquier función potencia. Gracias a esta regla, la integración de una función potencia es tan sencilla como su derivada. Recordémoslo con un ejemplo rápido.
Evalúa la integral \(\int x^2\mathrm{d}x\).
Para integrar una función potencia necesitamos aumentar en 1 la potencia de la variable y dividir por el valor de la nueva potencia.
$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{2+1}x^{2+1}+C$$
$$\int x^2\mathrm{d}x=\frac{1}{3}x^3+C$$
Bastante sencillo, ¿verdad? ¡Esto también funciona con potencias negativas!
$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\frac{1}{-2+1}x^{-2+1}+C$$
$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\frac{1}{-1}x^{-1}+C$$
$$\int x^{\text{-}2}\mathrm{d}x=\text{-}\frac{1}{x}+C$$
Pero, ¿qué ocurre si intentamos aplicar esta regla cuando la potencia es igual a \(\text{-}1\)?
$$\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x=\frac{1}{-1+1}x^{-1+1}+C$$
Estaríamos dividiendo por cero, ¡lo cual no está permitido!
La regla de integración de potencias no se aplica cuando la potencia es \(\text{-}1\). Por suerte, hay una forma de evitarlo.
Ahora recordaremos cómo diferenciar una función logaritmo natural.
$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=\dfrac{1}{x}$$
Utilizando las propiedades de las potencias, podemos reescribir la ecuación anterior.
$$\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln{x}=x^{\text{-}1}$$
En el ejemplo anterior, hemos visto cómo tratar una potencia igual a \(\text{-}1). Ahora estamos preparados para escribir la antiderivada de la función potencia cuando la potencia es igual a \(\text{-}1\).
La antiderivada de una función potencia cuando su potencia es igual a \(\text{-}1) es el valor absoluto de la función logarítmica natural.
$$\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x=\ln{|x|}+C$$
También puedes encontrar la fórmula anterior escrita de una de las siguientes formas:
$$\int\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\ln{|x|}+C$$
$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x}=\ln{|x|}+C$$
Espera, ¿por qué hay un valor absoluto? Resulta que el dominio de la función logarítmica natural está formado sólo por números positivos. Como la función \( \frac{1}{x} \) puede tomar valores negativos, necesitamos incluir ambos supuestos, que se resumen tomando el valor absoluto.
Gracias a esta fórmula, la integral de todas las funciones potencia resulta bastante sencilla.
Evalúa la siguiente integral:
$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x$$
Empezamos observando que la integral puede dividirse en 4 integrales.
$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x=\int x^4\mathrm{d}x-2\int x^2\mathrm{d}x+\int x^{\text{-}1}\mathrm{d}x-\int x^{\text{-}3}\mathrm{d}x$$
Ahora podemos integrar cada función potencia individualmente. ¡No olvides añadir la constante de integración!
$$\int(x^4-2x^2+x^{\text{-}1}-x^{\text{-}3})\mathrm{d}x=\frac{1}{5}x^5-\frac{2}{3}x^3+\ln{|x|}+\frac{1}{2}x^{\text{-}2}+C$$
Fórmula de integración de funciones logarítmicas
¿Y si necesitamos integrar la función logarítmica natural? Resulta que la antiderivada de la función logaritmo natural no es sencilla, pero aun así, echémosle un vistazo.
La antiderivada de la función logaritmo natural viene dada por:
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=x(\ln{x}-1)+C$$
¿Listo para sumergirte en la demostración? ¡Vamos allá!
Como ya se ha dicho, la función logarítmica natural no es la derivada de ninguna función simple, por lo que integrarla no es sencillo.
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x$$
En estos casos tenemos que recurrir a diferentes Técnicas de Integración. Intentemos utilizar la Integración por partes.
$$u=\ln{x} \Flecha derecha $$mathrm{d}u=\frac{mathrm{d}x}{x}$$.
$$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x \rightarrow v=x$$
Ahora utilizamos la fórmula de integración por partes \(\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u\).
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=(\ln{x})(x)-\int x\cdot\frac{\mathrm{d}x}{x}$$
Reescribe la expresión anterior, para que quede más clara y bonita.
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=x\ln{x}-\int\mathrm{d}x$$
Recuerda que la integral de \(\mathrm{d}x) es simplemente \(x\). ¡No olvides añadir la constante de integración!
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=x\ln{x}-x+C$$
Por último, factorizamos \(x\) y ¡listo!
$$\int\ln{x}\,\mathrm{d}x=x(\ln{x}-1)+C$$
¿Y si el logaritmo tiene una base distinta de \(e\)? ¡Podemos utilizar las propiedades de los logaritmos!
Un logaritmo con una base distinta de \(e\) puede reescribirse utilizando la siguiente propiedad:
$$\log_{a}{x}=\frac{\ln{x}}{\ln{a}}$$
Donde \(a\) es un número real mayor que \(0\).
Nuestra estrategia para tratar con logaritmos es reescribirlos en términos de logaritmos naturales. Veamos cómo utilizar esta propiedad en una integral.
Evalúa la integral \( \int\log_{2}{x},\mathrm{d}x \).
- Utiliza las propiedades de los logaritmos para reescribir el integrando.
$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\ln{x}}{\ln{2}}\,\mathrm{d}x$$
Observa que \( \ln{2}\) es una constante, por lo que puede sacarse de la integral.
- Saca \( \frac{1}{\ln{2}} \) de la integral.
$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln{2}}\int\ln{x}\,\mathrm{d}x$$
- Integra la función logarítmica natural.
$$\int\log_{2}{x}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{\ln{2}}x(\ln{x}-1)+C$$
Después de ver el ejemplo anterior, podemos generalizar la fórmula de integración de funciones logarítmicas para incluir cualquier tipo de logaritmos.
La antiderivada de una función logarítmica viene dada por:
$$\int\log_{a}{x}\, \mathrm{d}x=\frac{1}{\ln{a}}x(\ln{x}-1)+C$$
Donde \(a\) es un número real mayor que \(0\).
Integración de funciones logarítmicas Ejemplos
¡La mejor forma de mejorar en integración es practicando! Veamos más ejemplos de integrales en las que intervienen funciones logarítmicas.
Evalúa la integral \( \int \ln{2x}\, \mathrm{d}x \).
Podemos evaluar esta integral fácilmente haciendo la sustitución \(2x=u\).
$$2x=u \rightarrow \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}x$$
- Sustituye \(2x=u\) y \( \mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{d}u) en la integral.
$$\int\ln{2x}\,\mathrm{d}x=\int\ln{u} \cdot \frac{1}{2}\mathrm{d}u$$
- Saca \(\frac{1}{2}\) de la integral.
$$\int \ln{2x} |mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int \ln{u} \mathrm{d}u$$
- Integra la función logarítmica natural.
$$\int \ln{2x} \mathrm{d}x = \frac{1}{2} u(\ln{u}-1)+C$$
- Sustituye de nuevo \( 2x=u \) en la integral y simplifica.
$$\int \ln{2x} \x= \frac{1}{2}(2x)(\ln{2x}-1)+C$$
$$\int \ln{2x} |mathrm{d}x = x(\ln{2x}-1)+C$$
Asegúrate de utilizar cualquier propiedad relevante de los logaritmos antes de integrar.
Evalúa la integral \( \int \ln{x^2} \mathrm{d}x \).
A primera vista, podríamos pensar que se trata de una integral complicada porque implica \( x^2 \), pero no hay \( 2x \) para utilizar la integración por sustitución. Sin embargo, utilizando las propiedades de los logaritmos, esto resulta bastante fácil.
- Utiliza la propiedad de los logaritmos \( \ln{a^b} = b \ln{a} \) para reescribir la integral.
$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = \int 2 \ln{x} \mathrm{d}x$$
- Saca \( 2 \) de la integral.
$$ \int \ln{x^2} \x = 2 \int \ln{x} \mathrm{d}x$$
- Integra la función logarítmica natural.
$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = 2x(\ln{x}-1) + C$$
También podemos distribuir 2 dentro y utilizarlo para escribirlo como exponente en el logaritmo natural.
$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = x( 2\ln{x} -2) + C$$
$$ \int \ln{x^2} \mathrm{d}x = x(\ln{x^2} -2) + C$$
Aquí utilizaremos la propiedad del cociente de los logaritmos.
Evalúa \( \int \ln{{Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \, \mathrm{d}x \).
- Utiliza las propiedades de los logaritmos para escribir el cociente como una diferencia.
$$ \int \ln{{Big(\frac{x}{x+1}{Big)} \mathrm{d}x = \int (\ln{x}-\ln{(x+1)}) \, \mathrm{d}x $$
- Utiliza las propiedades de las integrales para dividir la integral.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = \int \ln{x} \mathrm{d}x - \int \ln(x+1)} \mathrm{d}x $$
- Deja que \( u=x+1\) sea \(\mathrm{d}x=\mathrm{d}u \) y sustituye en la segunda integral.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = \int \ln{x} \mathrm{d}x - \int \ln{u} \, \mathrm{d}u $$
- Integra las funciones logarítmicas naturales.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x(\ln{x}-1) + u(\ln{u}-1)+C$$
- Sustituye de nuevo \( u=x+1 \).
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}\Big)} \mathrm{d}x = x(\ln{x}-1)+(x+1)(\ln{x+1)}-1)+C$$
- Utiliza el álgebra para simplificar.
$$ \int \ln{{Big(\frac{x}{x+1}{Big)} \mathrm{d}x = x\ln{x} - x\ln(x+1)} - \ln(x+1)}$$
- Simplifica utilizando las propiedades de los logaritmos.
$$ \int \ln{\Big(\frac{x}{x+1}{Big)} \mathrm{d}x = x\ln{\Big(\frac{x}{x+1}{Big)}-\ln{(x+1)} $$
Integrales con funciones logarítmicas - Puntos clave
- La fórmula para la integración de La regla de la potencia no funciona cuando la potencia es igual a \(\text{-}1\).
- En su lugar, se utiliza la siguiente fórmula \( \int x^{\text{-}1} \mathrm{d}x=\ln{|x|}+C \).
- La antiderivada de la función logarítmica natural viene dada por: \( \int \ln{x} \mathrm{d}x = x (\ln{x}-1)+C\)
- La antiderivada de la función logarítmica natural puede demostrarse mediante la integración por partes.
- Si la base del logaritmo es distinta de \(e\), se puede utilizar la siguiente fórmula: \(\int \log_{a}{x}, \mathrm{d}x = \frac{1}{ln{a}}x(\ln{x}-1)+C\)
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