Una montaña rusa típica
Hay momentos en los que el carrito sube y momentos en los que baja. Entre medias, hay un pequeño momento en el que el carrito se alinea horizontalmente, que puedes aprovechar para recuperar el aliento.
Los puntos en los que esto ocurre tienen un nombre especial y son un importante objeto de estudio en cálculo. ¿Quién dijo que el cálculo y la diversión no casan?
Significado de la Prueba de la Primera Derivada
Estrechamente relacionado con la prueba de la Primera Derivada está el concepto de punto estacionario. Empecemos por echar un vistazo a su definición.
Sea \( f \) una función diferenciable. Un punto estacionario o punto crítico \( c \) es un valor x para el que la derivada de \( f \) es igual a 0. Es decir
\[f'(c)=0.\\]
Como la derivada de una función en un punto crítico es igual a 0, una recta tangente a la función en ese punto tendrá pendiente 0, es decir, será una recta horizontal.
Líneas tangentes a una función cúbica en sus puntos críticos
Una función puede tener más de un punto crítico, y la Prueba de la Primera Derivada es un método para encontrarlos. A continuación veremos cómo realizar la prueba de la primera derivada.
La Prueba de la Primera Derivada es un método para encontrar los puntos críticos de una función diferenciable \( f.\) Consiste en lo siguiente:
- Hallar la derivada de la función.
- Evalúa la derivada de la función en un punto crítico y hazla igual a 0, es decir, escribe la ecuación que diga que \( f'(c)=0. \)
- Resuelve la ecuación del paso anterior para hallar el valor o valores de \( c \) dentro del dominio de \( f \) que son puntos críticos.
La prueba de la primera derivada recibe su nombre del hecho de que necesitas hallar la derivada de la función que estás inspeccionando.
Sigamos estos pasos con un ejemplo.
Considera la función\[ f(x)=x^2+6x+10. \]
Utiliza la prueba de la primera derivada para hallar sus puntos críticos.
Contesta:
Empieza por observar que, como no se indica nada más, puedes suponer que el dominio de la función está formado por todos los números reales. Ahora, los pasos:
1. Halla la derivada de la función.
La función dada es una función polinómica, por lo que puedes hallar su derivada utilizando la regla de potencias, es decir
\[f'(x)=2x+6.\\]
2. Evalúa la derivada en un punto crítico y hazla igual a 0.
Primero evalúa la derivada en un punto crítico \( c, \) así
\[f'(c)=2c+6,\\]
y luego la haces igual a 0, resultando la ecuación
\[2c+6=0.\]
3. Resuelve la ecuación obtenida para \( c.\)
La ecuación resultante es una ecuación lineal que se puede resolver aislando \( c, \) es decir
\[\begin{align}2c &= -6 \\ c &= -3.\end{align}\]
Por tanto, la función tiene un punto crítico en \( x=-3.\)
También es posible que una función no tenga puntos críticos.
Considera la función
\g(x)=e^x.\]
Utiliza la prueba de la primera derivada para hallar sus puntos críticos.
Contesta:
Una vez más, puedes suponer que el dominio de la función está formado por todos los números reales, ya que no se indica nada más.
1. Halla la derivada de la función.
La función dada es una función exponencial, cuya derivada es ella misma, por lo que
\[g'(x)=e^x.\]
2. Evalúa la derivada en un punto crítico y hazla igual a 0.
Este paso es bastante sencillo, así que primero evalúa
\[g'(c)=e^c\]
y luego ponla igual a 0 para escribir la ecuación
\[e^c=0.\]
3. Resuelve la ecuación obtenida para \( c.\)
Desgraciadamente, como no hay ninguna función que haga cierta la ecuación anterior, la ecuación no tiene solución. Esto significa que la función no tiene puntos críticos.
Es importante comprobar siempre el dominio de la función. Veamos por qué.
Considera la función
\[h(x)=x^2+2x+2, \quad \text{para}\quad x\geq 0.\}]
Utiliza la prueba de la primera derivada para hallar sus puntos críticos.
Contesta:
Ahora el dominio de la función está formado por todos los números no negativos. ¡Debes tenerlo en cuenta al resolver la ecuación en el tercer paso!
1. Encuentra la derivada de la función.
Esta función polinómica se puede diferenciar con la regla de potencias, de modo que
\[h'(x)=2x+2.\\]
2. Evalúa la derivada en un punto crítico y hazla igual a 0.
Evalúa \(h'(x)\) en \(x=c,\)
\[h'(c)=2c+2,\\]
y hazla igual a 0
\[2c+2=0.\]
3. Resuelve la ecuación obtenida para \( c.\)
Puedes resolver la ecuación obtenida en el paso anterior aislando \(c,\) así
\[\begin{align} 2c &= -2 \\ c &= -1.\end{align}\]
Este valor no está dentro del dominio de la función, ¡por tanto la función no tiene puntos críticos!
La prueba de la derivada primera y los extremos locales
Los puntos críticos están estrechamente relacionados con los extremos relativos, así que antes de continuar, te recordamos qué significa extremo.
Un extremo de una función se refiere a un máximo o a un mínimo. Extremo es el plural de extremum.
Para una revisión más detallada de este tema, consulta nuestro artículo sobre Máximos y Mínimos.
El ejemplo anterior sobre una función cuadrática es excelente para estudiar la relación entre puntos críticos y extremos locales. En él has comprobado que la función \( f(x) = x^2 + 6x + 10\) tiene un punto crítico en \( -3,\) Echa ahora un vistazo a su gráfica.
Gráfica de una recta tangente a una función en su punto crítico
Parece que los puntos críticos son también los puntos en los que una función tiene extremos locales. No siempre es así, pero existe un teorema que establece esta relación.
ElTeorema de Fermat afirma que, si una función \( f \) tiene un máximo local o un mínimo local en \(x=c,\) y la función es diferenciable en ese punto, entonces \( f'(c)=0.\)
En otras palabras, el Teorema de Fermat te dice que si una función tiene un máximo local o un mínimo local en un punto en el que es diferenciable, entonces es un punto crítico. Ten cuidado de no interpretar mal este teorema, ya que hay algunos errores comunes al hacer el puente entre extremos locales y puntos críticos.
Errores comunes al relacionar Puntos Críticos y Extremos Locales
El Teorema de Fermat nos dice que si una función tiene un extremo local en un punto determinado , entonces es un punto crítico. No siempre funciona al revés. Esto se entiende mejor con un ejemplo.
Considera la función\[f(x)=x^3-2.\]
Utiliza la prueba de la primera derivada para encontrar sus puntos críticos.
Contesta:
Se puede suponer que el dominio de la función son todos los números reales, por lo que debes proceder normalmente.
1. Encuentra la derivada de la función.
Puedes hallar la derivada de esta función polinómica utilizando la regla de potencias, así
\[f'(x)=3x^2.\]
2. Evalúa la derivada en un punto crítico y hazla igual a 0.
A continuación, evalúa la derivada obtenida en el paso anterior en \(x=c\) para obtener
\[f'(c)=3c^2,\]
y luego la haces igual a 0 para escribir una ecuación para \( c\)
\[3c^2=0.\]
3. Resuelve la ecuación obtenida para \( c.\)
La ecuación obtenida en el paso anterior sólo es cierta cuando \(c=0,\) lo que significa que sólo hay un punto crítico en \( x=0.\)
Ahora podrías tener la tentación de suponer que la función tiene un extremo local en 0, pero no es así. Observa su gráfica.
Gráfica de una función cúbica sin extremos locales
Esta función cúbica no tiene extremos locales, pero aun así, el punto crítico está en \(x=0,\) Observa cómo la pendiente en el punto crítico es 0.
En el ejemplo anterior has comprobado que no todos los puntos críticos son extremos locales. Veamos ahora otro error frecuente.
Considera la función
\[g(x)=|x-2|+1.\\]
Observa ahora su gráfica.
La función tiene un mínimo relativo en \(x=2,\), por lo que podrías tener la tentación de suponer que también es un punto crítico. Sin embargo, la función no es diferenciable en \(x=2,\), por lo que no es un punto crítico.
Ahora has descubierto que no todos los extremos locales son puntos críticos. Necesitas que la función sea diferenciable en sus extremos relativos para que sea un punto crítico.
La prueba de la derivada primera para funciones multivariables
Cuando busques información sobre la Prueba de la Derivada Primera, es posible que te encuentres con funciones multivariables. Este tema suele reservarse para los niveles superiores, así que si tienes curiosidad, ¡lánzate a él!
Cuando te dan una función de muchas variables, la Prueba de la Primera Derivada se modifica ligeramente. Tienes que hacer lo siguiente
- Halla cada Derivada Parcial de la función respecto a todas sus variables.
- Evalúa cada Derivada Parcial en un punto crítico y hazlas todas iguales a 0. Es decir, escribe un Sistema de Ecuaciones que establezca que cada Derivada Parcial evaluada en un punto crítico es igual a 0.
- Resuelve el Sistema de Ecuaciones para encontrar los puntos críticos.
¡Veamos un ejemplo de la Prueba de la Primera Derivada aplicada a una función de dos variables!
Considera la función
\[f(x,y)=x^2-xy+2y.\]
Encuentra sus puntos críticos.
Responde:
Como sus entradas son puntos del plano, sus puntos críticos serán pares ordenados de la forma \( (a,b). \)
1. Halla cada Derivada Parcial de la función respecto a todas sus variables.
Las dos derivadas parciales de esta función se pueden hallar con la Regla de Potencia, por lo que
\[\frac{\parcial f}{\parcial x}=2x-y,\]
y
\frac{{parcial f}{parcial y}=-x+2,\}].
2. Evalúa cada Derivada Parcial en un punto crítico y hazlas todas iguales a 0.
Como los puntos críticos tienen la forma \( (a,b), \) evalúa ambas derivadas parciales mediante \( x=a \) y \( y=b,\) así
|frac{\parcial f}{\parcial x}\right|_{(a,b)}=2a-b,\}].
y
\izquierda. frac {parcial f} {parcial y} derecha {(a,b)}=a+2.\}
Igualando a 0 las expresiones anteriores se obtiene el sistema de ecuaciones
\2a-b &= 0 -a+2 &= 0.fin].
3.Resuelve el sistema de ecuaciones para hallar los puntos críticos.
Ahora puedes resolver el sistema de ecuaciones anterior utilizando un método de tu elección, obteniendo
\[\inicio}a &= 2 \b &= 4.\fin}]
Esto significa que sólo hay un punto estacionario, que está en \( (2,4).\}
Ten en cuenta que si la función tiene tres variables tendrás que evaluar las tres derivadas parciales y escribir tres ecuaciones. En general, si la función tiene \(n\) variables necesitarás \(n\) derivadas parciales y \ (n\) ecuaciones.
Ejemplos de la prueba de la primera derivada
Aquí veremos más ejemplos de la Prueba de la Primera Derivada. ¡Vamos a profundizar!
Considera la función
\f(x)=x^4-2x^2+1.\]
Utiliza la prueba de la primera derivada para hallar sus puntos críticos.
Contesta:
1. Encuentra la derivada de la función.
Puedes hallar la derivada de esta función polinómica utilizando la regla de potencias, así
\f'(x)=4x^3-4x.\]
2. Evalúa la derivada en un punto crítico y hazla igual a 0.
A continuación, evalúa la derivada obtenida en el paso anterior en \(x=c\) para obtener
\[f'(c)=4c^3-4c,\]
y luego la haces igual a 0 para escribir una ecuación para \( c\)
\[4c^3-4c=0.\]
3. Resuelve la ecuación obtenida para \( c.\)
Para resolver esta ecuación empieza por observar que puedes factorizar \(4c\) en el lado izquierdo de la ecuación, es decir
\[4c^3-4c=4c(c^2-1).\]
Además, también puedes factorizar la diferencia de cuadrados, obteniendo
\[4c^3-4c=4c(c-1)(c+1).\]
Sustituyendo esto de nuevo en la ecuación obtienes
\[4c(c-1)(c+1)=0,\]
lo que significa que
\[4c=0,\]
\[c-1=0,\]
y
\[c+1=0.\]
Resolviendo las ecuaciones anteriores puedes encontrar que \( c=0,\) \(c=1,\) y \(c=-1.\) ¡Por tanto, esta función tiene tres puntos críticos!
Veamos ahora un ejemplo en el que interviene una función trigonométrica.
Considera la función
\g(x)=sin{x}.
Utiliza la prueba de la primera derivada para hallar sus puntos críticos.
Contesta:
1.Halla la derivada de la función.
La derivada de la función seno es la función coseno, es decir
\[g'(x)=\cos{x}.\]
2.Evalúa la derivada en un punto crítico y hazla igual a 0.
Evaluando la función anterior en \(x=c\)
\[g'(c)=\cos{c},\]
y haciéndola igual a 0, se obtiene una ecuación para \(c,\)
\[\cos{c}=0,\\]
3.Resuelve la ecuación obtenida para \( c.\)
La función coseno tiene sus ceros en múltiplos impares positivos y negativos de \( ^\pi / _2, \) es decir
\[\pm\frac{\pi}{2},\, \pm\frac{3\pi}{2},\, \pm\frac{5\pi}{2},\]
y así sucesivamente. Puedes expresar estos múltiplos impares utilizando un factor de \( 2n-1\) porque al restar 1 a un número par se obtiene un número impar, por lo que
\[c = \left( 2n-1 \right)\frac{\pi}{2}, \quad \text{ para }\, n=1, 2, 3, \dots .\]
¡La función seno tiene infinitos puntos críticos!
La prueba de la primera derivada y la concavidad
A pesar de estar relacionada con la forma de una gráfica, la Prueba de la Primera Derivada es una prueba para encontrar puntos críticos, no es una prueba para encontrar la concavidad de una gráfica. En ese caso, deberías consultar nuestro artículo sobre la Prueba de la Segunda Derivada.
La prueba de la primera derivada - Puntos clave
- Un punto estacionario o punto crítico es un valor x para el que la derivada de una función es igual a 0.
- La Prueba de la Primera Derivada consiste en encontrar los puntos críticos de una función.
- Puedes hacer la Prueba de la Derivada Primera siguiendo estos pasos:
- Halla la derivada de la función.
- Evalúa la derivada de la función en un punto crítico \(c\) y hazla igual a 0. Es decir, escribe la ecuación \( f'(c)=0.\)
- Resuelve la ecuación anterior para encontrar los puntos críticos. ¡No olvides incluir sólo valores dentro del dominio de la función!
- La Prueba de la Derivada Primera está relacionada con los extremos locales mediante el Teorema de Fermat sobre los puntos estacionarios.
- ¡Que algo sea un punto crítico no significa que sea un extremo local!
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