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Fig. 1. Gráfica de un polinomio quíntico con tres puntos críticos
A veces estos puntos críticos son máximos o mínimos locales, y a veces ninguno de los dos. ¿Cómo puedes determinar si los puntos críticos son máximos o mínimos locales? ¡Utiliza la prueba de la segunda derivada!
Para un repaso sobre máximos y mínimos, consulta nuestros artículos Máximos y mínimos y Máximos y mínimos absolutos.
Significado de la prueba de la segunda derivada
Después de encontrar los puntos críticos de una función mediante la Prueba de la Primera Derivada, la siguiente pregunta que surge de forma natural es si esos puntos son máximos locales, mínimos locales o ninguno de los dos. La Prueba de la Segunda Derivada es un método para saber si un punto crítico es un extremo local.
Sea \( f(x) \) una función que se puede diferenciar al menos dos veces, y sea \( c \) un punto crítico de \( f(x).\) La prueba de la segunda derivada establece que
- Si \( f''(c) < 0,\) entonces \( f(c) \) es un máximo local de \( f(x). \)
- Si \( f''(c) > 0,\) entonces \( f(c) \) es un mínimo local de \( f(x). \)
En palabras, la prueba de la segunda derivada te dice lo siguiente
Si la segunda derivada en un punto crítico es negativa, la función tiene un máximo local en ese punto.
Si la segunda derivada en un punto crítico es positiva, la función tiene un mínimo local en ese punto.
Observa que la prueba de la segunda derivada no cubre el caso en que \( f''(c)=0. \) Esto se debe a que la prueba no es concluyente en ese caso, por lo que no se puede decir nada más sobre la función.
La Prueba de la Segunda Derivada recibe su nombre del hecho de que necesitas encontrar la segunda derivada de la función con la que estás trabajando. Tiene sentido, ¿verdad?
La prueba de la segunda derivada y los extremos locales
Como la Prueba de la Segunda Derivada es capaz de decirte si un punto crítico es un máximo o un mínimo local, suele utilizarse después de encontrar los puntos críticos mediante la Prueba de la Primera Derivada.
Considera la función
\[ f(x) = 2x^3-3x^2-12x+4,\]
cuyos puntos críticos están en \( x=-1 \) y \( x=2. \) Utiliza la Prueba de la Segunda Derivada para hallar si cada punto crítico es un máximo o un mínimo local.
Respuesta:
Necesitas la segunda derivada de la función, por lo que tienes que diferenciarla dos veces. Utiliza la Regla de Potencia para hallar la primera derivada, es decir
\[f'(x) = 6x^2-6x-12,\]
y úsala de nuevo para hallar la segunda derivada, es decir
\[f''(x) = 12x-6.\]
A continuación, tienes que evaluar la segunda derivada en cada punto crítico. Como ya tienes los puntos críticos, esto es muy sencillo, así que
\[ \begin{align} f''(-1) &= 12(-1)-6 &= -12-6 &= -18, \end{align}\]
y
\χ[ χin{align} f''(2) &= 12(2)-6 χ &= 24-6 χ &= 18. \fin]]
Acabas de encontrar que \( f''(-1) =-18, \) que es menor que 0. Eso significa que hay un máximo relativo en \( x=-1. \) Del mismo modo, como has encontrado que \( f''(2)=18, \) que es mayor que 0, puedes concluir que se produce un mínimo relativo en \( x=2. \)
Fig. 2. Gráfica de un polinomio cúbico y sus extremos locales
Cabe señalar que la Prueba de la Segunda Derivada sólo nos dice lo que ocurre si la segunda derivada NO es igual a cero. Recuerda que si \( f''(c)=0 \) la prueba no es concluyente.
Considera la función
\[g(x)=x^3-3x^2+3x-2,\]
que sólo tiene un punto crítico en \( x=1. \) Utiliza la Prueba de la Segunda Derivada para saber si es un máximo o un mínimo local.
Respuesta:
Necesitas la segunda derivada de la función. Empieza por hallar su primera derivada utilizando la Regla de Potencia, es decir
\[g'(x) = 3x^2-6x+3,\]
y utilízala de nuevo para hallar la segunda derivada, así
\[g''(x) = 6x-6.\]
A continuación, evalúa la segunda derivada en su punto crítico, que es \( x=1, \) para obtener
\[ \begin{align} g''(1) &= 6(1)-6 \\a6 &= 6-6 \a6 &= 0. \end{align}\]
Como evaluaste la segunda derivada en un punto crítico y obtuviste 0, la prueba de la segunda derivada no es concluyente, lo que significa que no puede decir por sí misma si hay un máximo local, un mínimo o ninguno de los dos.
Ahora observa la gráfica de la función.
Fig. 3. Gráfica de un polinomio cúbico sin extremos relativos
Observa que esta función no tiene extremos relativos.
En el ejemplo anterior, la función no tenía ningún extremo relativo. Recuerda que no podías concluir nada de La prueba de la segunda derivada porque \( f''(c)=0,\) ¡pero eso no significa que esto implique que una función nunca tenga extremos relativos!
Considera la función
\[ h(x)= 1-x^4,\\]
que sólo tiene un punto crítico en \( x=0. \) Utiliza la Prueba de la Segunda Derivada para saber si es un máximo o un mínimo local.
Contesta:
Como de costumbre, empieza por hallar las derivadas necesarias. Utilizando la Regla de Potencia puedes hallar que
\[h'(x)=-4x^3,\]
y utilizándola de nuevo encuentras
\[h''(x) = -12x^2.\]
A continuación, evalúa la segunda derivada en el punto crítico, así
\[ \begin{align} h''(0) &= -12(0)^2 \\b\b} &= 0. \end{align} \]
Una vez más, como \( h''(0)=0 \) no puedes concluir nada a partir de la prueba de la segunda derivada. Sin embargo, esta función tiene un máximo local situado en el punto crítico, como muestra su gráfica.
Fig. 4. Gráfica de un polinomio cuártico con un máximo local
En otras palabras, ¡no puedes concluir que un punto no es un mínimo o un máximo sólo porque la Prueba de la Segunda Derivada no te haya dado una respuesta!
La prueba de la segunda derivada y la concavidad
Al igual que la primera derivada te dice si una función es creciente o decreciente, la segunda derivada nos informa sobre la concavidad de la gráfica.
Se dice que una función es cóncava hacia abajo, o simplemente cóncava, en un intervalo en el que su segunda derivada es negativa. Las rectas tangentes a la gráfica de la función dentro de un intervalo en el que es cóncava estarán por encima de la gráfica.
Si un punto crítico está dentro de un intervalo en el que la función es cóncava, entonces será un máximo debido a la prueba de la segunda derivada. La siguiente gráfica muestra las rectas tangentes a una función en un intervalo en el que es cóncava.
Fig. 5. Gráfica de una función cóncava con un máximo local
Si la segunda derivada de una función en un intervalo dado es positiva en cambio, se dice que la función es cóncava hacia arriba o convexa.
Se dice que una función es cóncava hacia arriba , o convexa, en un intervalo en el que su segunda derivada es positiva. Las rectas tangentes a la gráfica de la función dentro de un intervalo en el que es convexa estarán por debajo de la gráfica.
Al igual que ocurre con un intervalo cóncavo, si un punto crítico está dentro de un intervalo en el que la función es convexa, será un mínimo debido a la prueba de la segunda derivada. La siguiente gráfica muestra las rectas tangentes a una función en un intervalo donde es convexa.
Fig. 6. Gráfica de una función convexa con un mínimo local
Encuentra los intervalos para los que la función
\f(x)=x^3+1\]
es cóncava y convexa.
Contesta:
Para hallar los intervalos en los que la función dada es cóncava o convexa necesitas inspeccionar su segunda derivada, así que utiliza la Regla de Potencia dos veces para hallarla, es decir
\[f'(x)=3x^2,\]
y
\[f''(x)=6x.\]
A continuación, escribe y resuelve la desigualdad \( f''(x) < 0 \) para hallar dónde es cóncava la función, así
\[inicio{align} f''(x) &< 0 \\\ 6x&<0 \\\ x &< 0. \ fin{align} \]
De la desigualdad anterior se puede concluir que la función es cóncava en el intervalo \( (-\infty,0).\) Esto significa que para todos los valores de x menores que 0, la función es cóncava.
Para hallar dónde es convexa la función escribes y resuelves la desigualdad \( f''(x)>0, \) así
\[ inicio{align} f''(x) &> 0 \\ 6x&>0 \\ x &> 0. \ fin{align} \]
Por tanto, la función es convexa en el intervalo \( (0,\infty).\)
Los valores de x en los que cambia la concavidad de una gráfica se llaman puntos de inflexión. Si la segunda derivada de una función es continua, entonces la segunda derivada evaluada en un punto de inflexión es igual a 0.
Sea \( f(x) \) una función que:
- Es continua en \(x=a.\)
- Cambia su concavidad en \(x=a.\)
El valor \( a \) se llama punto de inflexión de \( f.\)
El punto \( x=0 \) del ejemplo anterior es un punto de inflexión.
Fig. 7. Una función pasa de cóncava a convexa en un punto de inflexión
Considera la función
\[ g(x) = \frac{1}{3}x^3-3x^2+5x+4.\]
Indica sus extremos locales, puntos de inflexión e intervalos cóncavos/convexos, si los hay.
Respuesta:
Puedes utilizar la prueba de la primera derivada para hallar sus extremos locales.
- Halla la derivada de la función.Si utilizas la regla de potencias para diferenciar la función dada, obtendrás\[g'(x)=x^2-6x+5.\]
- Evalúa la función en un punto crítico \(c\) y hazla igual a0.Este paso es bastante sencillo, evalúa la derivada en \(x=c,\) es decir\[g'(c)=c^2-6c+5,\]y hazla igual a 0, así\[c^2-6c+5=0.\]
- Resuelve la ecuación obtenida para \(c.\)La ecuación cuadrática anterior puede resolverse mediante factorización. Piensa en dos números cuyo producto sea \(5\) y su suma sea \(-6.\) Normalmente, debes empezar a factorizar, asíEsto significa que la ecuación puede factorizarse como\[ (c-1)(c-5)=0, \] lo que significa que las soluciones son \(c=1\) y \(c=5.\)
Número 1 Número 2 Producto Suma 1 5 5 6 -1 -5 5 -6
Ahora que has encontrado los puntos críticos, necesitas encontrar la segunda derivada. Puedes hacerlo utilizando de nuevo la Regla de Potencia sobre \( g'(x),\) así
\[g''(x)=2x-6.\\]
A continuación, evalúa la segunda derivada en ambos puntos críticos para saber si son máximos o mínimos, es decir
\[ \begin{align} g''(1) &= 2(1)-6 &= -4, \end{align}\]
por lo que hay un máximo local en \(x=1,\) y
\[ \begin{align} g''(5) &= 2(5)-6 &= 4, \end{align}\]
por lo que hay un mínimo local en \( x=5.\)
Los valores máximo y mínimo pueden hallarse evaluando la función en esos puntos, de modo que
\g(1) &= \frac{1}{3} (1)^3 - 3(1)^2 + 5(1) +4 \frac{19}{3} &= \frac{19}{3} \end{align}\}]
es el máximo local y
\g(5) &= \frac{1}{3} (5)^3 - 3(5)^2 + 5(5) +4 \frac{13}{3} &= -\frac{13}{3} \end{align}\}]
es el mínimo local.
A continuación, para hallar dónde la función es cóncava resuelve la desigualdad \( g''(x) < 0 \), es decir
\[ inicio 2x-6 &< 0 \ x &< 3, fin \]].
por lo que la función es cóncava en el intervalo (-infty,3). Para saber dónde es convexa, basta con invertir la desigualdad, de modo que
\[x>3,\]
lo que significa que la función es convexa en el intervalo \( (3,\infty).\)
Como la función pasa de cóncava a convexa en \(x=3,\) se trata de un punto de inflexión.
Fig. 8. Una función con sus extremos locales, punto de inflexión y regiones cóncava/convexa
La prueba de la segunda derivada para funciones multivariables
Al igual que en la Prueba de la Primera Derivada, al realizar la Prueba de la Segunda Derivada para funciones multivariables necesitas utilizar Derivadas Parciales. Sin embargo, esta prueba es más compleja cuando se evalúan funciones multivariables, y está fuera del alcance de este artículo.
Ejemplos de la prueba de la segunda derivada
A continuación veremos más ejemplos de la prueba de la segunda derivada.
Considera la función
\[f(x)=\frac{1}{5}x^5-x,\]
cuyos puntos críticos están en \(x=-1\) y \( x=1. \) Utiliza la Prueba de la Segunda Derivada para hallar si cada punto crítico es un máximo o un mínimo local.
Contesta:
Utiliza la Regla de Potencia dos veces para hallar la segunda derivada de \( f(x), \) que es
\[ f'(x) = x^4-1,\]
y
\[ f''(x) = 4x^3.\]
A continuación, evalúa la segunda derivada en cada punto crítico, así
\[ \begin{align} f''(-1) &= 4(-1)^3 &= -4, \end{align} \]
y
\[ \begin{align} f''(1) &= 4(1)^3 &= 4. \end{align} \]
Como has visto que ( f''(-1) <0) hay un máximo local situado en ( x=-1.) También, como has visto que ( f''(1) >0) hay un mínimo local situado en ( x=1.)
Ahora utilizaremos la segunda derivada de una función para inspeccionar su concavidad.
Encuentra los intervalos para los que la función
\[ g(x) = 2x^3 - x^2 + 3x + 1\]]
es cóncava y convexa.
Contesta:
Empieza por utilizar dos veces la Regla de Potencia para hallar la segunda derivada de \( g(x), \) de modo que
\[ g'(x) = 6x^2 -2x +3, \]
y
\[ g''(x) = 12x - 2.\]
A continuación, escribe y resuelve la desigualdad \( g''(x) < 0 \) para hallar dónde es cóncava la función, es decir
\[ inicio{alineación} g''(x) &< 0 \\ 12x-2&<0 \ 12x &< 2 \ x &< \frac{1}{6}, \final{alineación} \]
por lo que la función es cóncava en el intervalo \( (-\infty, \frac{1}{6}).\)
Por último, escribe y resuelve la desigualdad \( g''(x) > 0 \) para hallar dónde es convexa la función, es decir
\[ \begin{align} g''(x) &> 0 \\\ 12x-2&>0 \\ 12x &> 2 \\ x &> \frac{1}{6}. \fin \]
Por tanto, la función es convexa en el intervalo \( (\frac{1}{6},\infty). \)
La prueba de la segunda derivada - Puntos clave
- La prueba de la segunda derivada es un método para saber qué tipo de extremo es un punto crítico.
- Si la segunda derivada en un punto crítico es negativa, la función tiene un máximo local en ese punto.
- Si la segunda derivada en un punto crítico es positiva, la función tiene un mínimo local en ese punto.
- En caso de que la segunda derivada en un punto crítico sea igual a cero , la prueba no es concluyente. Esto significa que el punto crítico puede ser un máximo local, un mínimo local o ninguna de las dos cosas.
- La segunda derivada de una función también da información sobre la forma de una gráfica.
- La gráfica es cóncava en un intervalo en el que su segunda derivada es negativa.
- La gráfica es convexa en un intervalo en el que su segunda derivada es positiva.
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