La Regla del Poder: Matemáticas, Historia

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Tomemos como ejemplo la Derivada. Hallar la derivada de una función es una de las operaciones básicas del Cálculo. Sin embargo, utilizar los límites puede llevar mucho tiempo, ya que hay muchos pasos y mucho álgebra implicada. He aquí un ejemplo de ese proceso.

Halla la derivada de $f (x) = x^{2}$ .

Utiliza la definición de derivada.

$\frac{d f}{d x} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Evalúa $f (x + h)$ y $f (x)$ .

$\frac{d f}{d x} = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{2} - x^{2}}{h}$

Expande ${(x + h)}^{2}$ .

$\frac{d f}{d x} = \lim_{h \to 0} \frac{x^{2} + 2 x h + h^{2} - x^{2}}{h}$

Simplifica.

$\frac{d f}{d x} = \lim_{h \to 0} (2 x + h)$

Evalúa el límite.

$\frac{d f}{d x} = 2 x$

La derivada de $f (x) = x^{2}$ es $\frac{d f}{d x} = 2 x$ .

Muchos pasos, ¿verdad? En lugar de hacer todos estos procedimientos, hay muchas fórmulas en cálculo que podemos utilizar para hallar derivadas con menos pasos, ahorrándonos tiempo y energía mental. Estas fórmulas se conocen como reglas de derivación, y una de estas reglas de derivación es la regla de la potencia.

Fórmula de la regla de potencia y ejemplos

Una de las funciones principales del cálculo es la función potencia.

Las funcionespotencia son funciones en las que la variable es la base y se eleva a cualquier potencia de números reales.

$f (x) = x^{n}$

Estas funciones son esenciales en Cálculo para construir funciones más avanzadas, como funciones polinómicas o funciones racionales. Podemos hallar la derivada de una función potencia utilizando lo que se conoce como regla de la potencia. Veámosla.

La regla de la potencia es una fórmula para hallar la derivada de una función potencia. Sea $n$ sea un número real:

$\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$

Esta regla puede simplificar mucho la búsqueda de derivadas en cálculo. Veamos algunos ejemplos.

Halla la derivada de $f (x) = x^{5}$ .

Identifica la potencia de la función potencia. Esta función tiene una potencia de 5.

$f (x) = x^{5}$

Diferénciala utilizando la regla de la potencia.

$\frac{d f}{d x} = 5 x^{5 - 1}$

Simplifica el exponente.

$\frac{d f}{d x} = 5 x^{4}$

La derivada de $f (x) = x^{5}$ es $\frac{d f}{d x} = 5 x^{4}$ .

Podemos utilizar la regla de la potencia en combinación con otras reglas de diferenciación para hallar la derivada de una función polinómica. Veamos un ejemplo de este proceso.

Halla la derivada de $g (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x$ .

Utiliza las reglas de la suma, la diferencia y el multiplicador constante.

$\frac{d g}{d x} = 3 \frac{d}{d x} x^{4} - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} x$

Diferencia utilizando la regla de la potencia.

$\frac{d g}{d x} = 3 (4 x^{3}) - 2 (3 x^{2}) + x^{0}$

Simplifica.

$\frac{d g}{d x} = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 1$

La derivada de $g (x) = 3 x^{4} - 2 x^{3} + x$ es $\frac{d g}{d x} = 12 x^{3} - 6 x^{2} + 1$ .

Derivación de la regla de la potencia

Para demostrar la regla de la potencia, veremos la derivada de $f (x) = x^{n}$ utilizando límites. Necesitamos hallar dicha derivada utilizando límites sólo una vez, demostrando nuestra fórmula. Después podremos utilizar la fórmula siempre que necesitemos diferenciar una función potencia.

Empezamos utilizando la definición de derivada.

$\frac{d}{d x} x^{n} = \lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

A continuación, evalúa $f (x + h)$ y $f (x)$ .

$\frac{d}{d x} x^{n} = \lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h}$

Podemos utilizar el Teorema Binomial para expandir ${(x + h)}^{n}$ .

${(x + h)}^{n} = (\begin{matrix} n \\ 0 \end{matrix}) x^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) h^{n}$

Los dos primeros coeficientes binomiales son 1 y $n$ respectivamente.

${(x + h)}^{n} = x^{n} + n x^{n - 1} h + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h^{2} + . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) h^{n}$

Para reflejar la definición de derivada, tenemos que restar $x^{n}$ y dividir por $h$ a ambos lados de la ecuación.

Ahora tenemos la siguiente expresión:

$\frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = n x^{n - 1} + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) x^{n - 2} h + . . . + (\begin{matrix} n \\ n \end{matrix}) h^{n - 1}$

Como tomamos el límite a medida que h llega a 0, todos los términos que contienen a h desaparecen. Por tanto, sólo nos queda $n x^{n - 1}$ .

$\lim_{h \to 0} \frac{{(x + h)}^{n} - x^{n}}{h} = n x^{n - 1}$

Por último, hemos llegado a la regla de la potencia.

$\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$

Regla de la potencia para potencias negativas y fraccionarias

Sólo hemos demostrado el caso de los números enteros positivos. Sin embargo, podemos utilizar la regla de la potencia cuando las potencias son negativas. La fórmula es la misma.

Halla la derivada de $g (x) = x^{- 3}$ .

Identifica la potencia de la función potencia. En este caso, la potencia es -3.

$g (x) = x^{- 3}$

Diferencia utilizando la regla de la potencia.

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{- 3 - 1}$

Simplifica el exponente.

$\frac{d g}{d x} = - 3 x^{- 4}$

También podemos utilizar la regla de la potencia para potencias fraccionarias, como en el caso de la función raíz cuadrada.

Halla la derivada de $h (x) = \sqrt{x}$ .

Escribe la raíz como potencia fraccionaria.

$h (x) = x^{\frac{1}{2}}$

Diferencia utilizando la regla de la potencia.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Simplifica la potencia.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Escribe la potencia negativa en el denominador.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{2} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Escribe la potencia como raíz.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}}$

La regla de la potencia funciona cuando n es cualquier número real. ¡Por suerte, la fórmula es la misma para todos los casos!

Más ejemplos de la regla de la potencia

El cálculo está lleno de funciones diferentes a las que podemos aplicar las reglas de la diferenciación. En este apartado veremos más ejemplos de derivadas utilizando la regla de la potencia.

Halla la derivada de $f (x) = 2 x^{4} - x^{2}$ .

Utiliza las reglas de la suma, la diferencia y el multiplicador constante.

$\frac{d f}{d x} = 2 \frac{d}{d x} x^{4} - \frac{d}{d x} x^{2}$

Diferencia utilizando la regla de la potencia.

$\frac{d f}{d x} = 2 (4 x^{3}) - 2 x$

Simplifica.

$\frac{d f}{d x} = 8 x^{3} - 2 x$

El siguiente ejemplo considera potencias negativas.

Halla la derivada de $g (x) = x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ .

Escribe la potencia en el denominador como potencia negativa.

$g (x) = x^{2} + x^{- 2}$

Utiliza la regla de la suma.

$\frac{d g}{d x} = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (x^{- 2})$

Diferencia utilizando la regla de la potencia.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - 2 x^{- 3}$

Escribe el exponente negativo como denominador.

$\frac{d g}{d x} = 2 x - \frac{2}{x^{3}}$

Veamos más raíces, que podemos escribir como potencias fraccionarias.

Halla la derivada de $h (x) = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^{5}}$ .

Escribe la raíz como una potencia fraccionaria.

$h (x) = x^{\frac{1}{3}} + \frac{1}{x^{5}}$

Escribe la potencia en el denominador como una potencia negativa.

$h (x) = x^{\frac{1}{3}} + x^{- 5}$

Utiliza la regla de la suma.

$\frac{d h}{d x} = \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}} + \frac{d}{d x} x^{- 5}$

Diferencia utilizando la regla de la potencia.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} - 5 x^{- 5 - 1}$

Simplifica las potencias.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} - 5 x^{- 6}$

Escribe las potencias negativas como denominadores.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{3} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} - \frac{5}{x^{6}}$

Escribe las potencias fraccionarias como una potencia y una raíz.

$\frac{d h}{d x} = \frac{1}{3} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} - \frac{5}{x^{6}}$

Con suficiente práctica, podemos saltarnos algunos de estos pasos.

Errores comunes al utilizar la regla de la potencia

No podemos utilizar la regla de la potencia si la variable es la potencia de una expresión.

Encuentra la derivada de $f (x) = 2^{x}$ .

Un error frecuente es aplicar la regla de la potencia a funciones que no son potencias.

No podemos aplicar la regla de la potencia en un caso como éste porque la función dada no es una función potencia.

$\frac{d}{d x} 2^{x} \neq x 2^{x - 1}$

Aquí podríamos utilizar en su lugar la Derivada de la Función Exponencial.

¡Recuerda siempre disminuir la potencia en uno después de diferenciar la función!

Encuentra la derivada de $f (x) = x^{5}$ .

Otro error frecuente es olvidar disminuir la potencia de la función potencia.

$\frac{d}{d x} x^{5} \neq 5 x^{5}$

Debemos recordar que la potencia disminuye al diferenciar una función potencia.

$\frac{d}{d x} x^{5} = 5 x^{4}$

La regla de la potencia - Puntos clave

La regla de la potencia es una fórmula para hallar la derivada de funciones potencia.
La fórmula de la regla de la potencia es la siguiente: $\frac{d}{d x} x^{n} = n x^{n - 1}$
Podemos utilizar la regla de la potencia para cualquier número real n, incluidos los números negativos y las fracciones.
Podemos utilizar la regla de la potencia y las reglas básicas de la derivada, como las reglas de la suma, la diferencia y el multiplicador constante, para diferenciar funciones polinómicas.

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Puedes utilizar la regla de la potencia si la potencia es un número entero negativo.

Cierto.

Se puede utilizar la regla de la potencia si la potencia es una fracción.

Cierto.

Se puede utilizar la regla de la potencia si la variable es la potencia.

Falso.

Se puede utilizar la regla de la potencia si la potencia es una fracción negativa.

Cierto.

¿Cómo puedes utilizar la Regla de Potencia para diferenciar la función raíz cuadrada?

Escribe la raíz cuadrada como potencia fraccionaria. Después, utiliza la regla de la potencia.

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Preguntas frecuentes sobre La Regla del Poder

¿Qué es la Regla del Poder en Matemáticas?

La Regla del Poder describe cómo derivar una función en forma de potencia. Si f(x) = x^n, entonces la derivada f'(x) = nx^(n-1).

¿Cómo se aplica la Regla del Poder?

Para aplicar la Regla del Poder, multiplica el exponente por el coeficiente y reduce el exponente en uno. Por ejemplo, la derivada de x^3 es 3x^2.

¿Cuál es un ejemplo de la Regla del Poder?

Un ejemplo es derivar f(x) = x^4. Usando la Regla del Poder, la derivada es f'(x) = 4x^3.

¿Cuál es la importancia de la Regla del Poder?

La Regla del Poder es esencial para el cálculo diferencial, permitiendo calcular derivadas de manera rápida y eficiente en funciones polinómicas.

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Derivación de la regla de la potencia

Regla de la potencia para potencias negativas y fraccionarias

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