La Regla del Poder

Fórmula de la regla de potencia y ejemplos

Una de las funciones principales del cálculo es la función potencia.

Estas funciones son esenciales en Cálculo para construir funciones más avanzadas, como funciones polinómicas o funciones racionales. Podemos hallar la derivada de una función potencia utilizando lo que se conoce como regla de la potencia. Veámosla.

Esta regla puede simplificar mucho la búsqueda de derivadas en cálculo. Veamos algunos ejemplos.

Podemos utilizar la regla de la potencia en combinación con otras reglas de diferenciación para hallar la derivada de una función polinómica. Veamos un ejemplo de este proceso.

Derivación de la regla de la potencia

Para demostrar la regla de la potencia, veremos la derivada de $f\left(x\right)=x^n$utilizando límites. Necesitamos hallar dicha derivada utilizando límites sólo una vez, demostrando nuestra fórmula. Después podremos utilizar la fórmula siempre que necesitemos diferenciar una función potencia.

Empezamos utilizando la definición de derivada.

$\frac{d}{dx}{x}^n=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f\left(x\right)}{h}$

A continuación, evalúa $f(x+h)$y $f\left(x\right)$.

$\frac{d}{dx}{x}^n=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{(x+h)}^n-x^n}{h}$

Podemos utilizar el Teorema Binomial para expandir ${(x+h)}^n$.

${(x+h)}^n=\left(\begin{array}{c}n\\ 0\end{array}\right)x^n+\left(\begin{array}{c}n\\ 1\end{array}\right)x^{n-1}h+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{h}^2+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n$

Los dos primeros coeficientes binomiales son 1 y $n$respectivamente.

${(x+h)}^n=x^n+n{x}^{n-1}h+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}{h}^2+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^n$

Para reflejar la definición de derivada, tenemos que restar $x^n$y dividir por $h$ a ambos lados de la ecuación.

Ahora tenemos la siguiente expresión:

$\frac{{(x+h)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}+\left(\begin{array}{c}n\\ 2\end{array}\right)x^{n-2}h+...+\left(\begin{array}{c}n\\ n\end{array}\right)h^{n-1}$

Como tomamos el límite a medida que h llega a 0, todos los términos que contienen a h desaparecen. Por tanto, sólo nos queda $n{x}^{n-1}$.

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{{(x+h)}^n-x^n}{h}=n{x}^{n-1}$

Por último, hemos llegado a la regla de la potencia.

$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}$

Regla de la potencia para potencias negativas y fraccionarias

Sólo hemos demostrado el caso de los números enteros positivos. Sin embargo, podemos utilizar la regla de la potencia cuando las potencias son negativas. La fórmula es la misma.

También podemos utilizar la regla de la potencia para potencias fraccionarias, como en el caso de la función raíz cuadrada.

Más ejemplos de la regla de la potencia

El cálculo está lleno de funciones diferentes a las que podemos aplicar las reglas de la diferenciación. En este apartado veremos más ejemplos de derivadas utilizando la regla de la potencia.

El siguiente ejemplo considera potencias negativas.

Veamos más raíces, que podemos escribir como potencias fraccionarias.

Con suficiente práctica, podemos saltarnos algunos de estos pasos.

Errores comunes al utilizar la regla de la potencia

No podemos utilizar la regla de la potencia si la variable es la potencia de una expresión.

¡Recuerda siempre disminuir la potencia en uno después de diferenciar la función!